Треугольник паскаля и бином ньютона: Бином Ньютона и треугольник Паскаля

Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. | Презентация к уроку по алгебре (10, 11 класс):

Доклад на тему «Бином Ньютона и треугольник Паскаля»

Биномиальные коэффициенты в треугольнике Паскаля

Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. | Презентация к уроку по алгебре (10, 11 класс):

Доклад на тему «Бином Ньютона и треугольник Паскаля»

Биномиальные коэффициенты в треугольнике Паскаля

Добавить комментарий Отменить ответ

Слайд 2

НЬЮТОН — английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления. Открыл дисперсию света, исследовал интерференцию и дифракцию, развивал корпускулярную теорию света. Построил зеркальный телескоп. Сформулировал основные законы классической механики. Открыл закон всемирного тяготения, создал теорию движения небесных тел, создав основы небесной механики. 1643-1727 г.г.

Слайд 3

создание условий для усвоения студентами основных понятий комбинаторики, задач на перебор вариантов, формулы бинома Ньютона с использованием треугольника Паскаля; выработать навыки решения ключевых задач; показать применение теоретического материала при решении задач; способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления; воспитание культуры интеллектуального труда; способствовать развитию интереса к учебному предмету.

Слайд 4

Бином Ньютона. «Би»-удвоение, раздвоение … «Ном»(фран . nombre) – номер, нумерация. «Бином» -»два числа»

Слайд 5

Степени суммы двух чисел:

Слайд 6

В теории многочленов часто двучлены называют биномами .

Слайд 7

Биномиальная формула Ньютона.

Слайд 8

Степени суммы двух чисел:

Слайд 9

Правило Паскаля:

Слайд 10

Треугольник Паскаля

Слайд 11

Треугольник Паскаля чаще встречается в виде значений коэффициентов бинома Ньютона для натуральных n:

Слайд 12

Боковые стороны треугольника Паскаля состоят из единиц. Внутри треугольника Паскаля стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел над ним. Например, значение десять (выделено красным) получено как сумма четверки и шестерки (выделены голубым). Это правило справедливо для всех внутренних чисел, составляющих треугольник Паскаля, и объясняется свойствами коэффициентов бинома Ньютона.

Слайд 13

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 Биномиальные коэффициенты легко находить с помощью треугольника Паскаля

Слайд 14

ПАСКАЛЬ -французский математик, физик, религиозный философ и писатель. Работы по арифметике, теории чисел, алгебре, геометрии, теории вероятностей. В 1641г. сконструировал суммирующую машину . 1623-1662 г.г.

Слайд 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Слайд 16

Биноминальные коэффициенты:

Слайд 17

Биноминальные коэффициенты:

Слайд 18

Число слагаемых на 1 больше степени бинома. Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля. Коэффициенты симметричны. Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются. Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома.

Слайд 19

Записать разложение бинома:

Previous Entry | Next Entry

Бином Ньютона — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

где — биноминальные коэффициенты, — неотрицательное целое число.

Это формула, представляющая выражение ( a + b ) ⁿ при положительном целом n в виде многочлена:

Заметим, что сумма показателей степеней для a и b постоянна и равна n.

Числа называются биномиальными коэффициентами.

Их можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Эта схема называется

треугольником Паскаля:

Первая строка в этой таблице содержит биномиальные коэффициенты для n = 1; вторая — для n = 2; третья — для n = 3 и т.д. Поэтому, если необходимо, например, разложить выражение:

( a + b )⁷ ,

мы можем получить результат моментально, используя таблицу:

Свойства биномиальных коэффициентов.

1. Сумма коэффициентов разложения ( a + b ) ⁿ равна 2

n .

Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома Ньютона мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева:

2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.

Это свойство следует из соотношения:

3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна

Для доказательства воспользуемся биномом: Здесь чётные члены имеют знак « + » , а нечётные — « — ». Так как в результате разложения получается 0, то следовательно, суммы их биномиальных коэффициентов равны между собой, поэтому каждая из них равна: что и требовалось доказать.

{n-1}$.

Другой очевидной особенностью треугольника Паскаля является симметрия: каждая строка одинаково читается вперед и назад. То есть имеем:

Теорема 1.3.3 $\ds {n\выберите i}={n\выберите n-i}$.

Доказательство. Это довольно легко увидеть комбинаторно: каждое $i$-подмножество $n$-множество связано с $(n-i)$-подмножеством.

То есть, если $n$-множество есть $A$, и если $B\subseteq A$ имеет размер $i$, то дополнение $B$ имеет размер $n-i$. Это устанавливает соответствие 1–1 между наборами размер $i$ и наборы размера $n-i$, так что числа каждого одинаковы. (Конечно, если $i=n-i$, доказательство не требуется.) $\qed$ 9{n-i}.$$

Другой поразительной особенностью треугольника Паскаля является то, что элементы по ряду строго возрастают к середине ряда, а затем строго убывает. Поскольку мы уже знаем, что строки симметричный, первая часть этого подразумевает вторую.

Теорема 1.3.4 Для $1\le i\le \lfloor{n\over 2}\rfloor$, $\ds {n\choose i}>{n\выбрать i-1}$.

Доказательство. Это по индукции; базовый случай очевиден с первых нескольких ряды. Писать $$\выравнивание{ {n\выбрать i}&={n-1\выбрать i-1}+{n-1\выбрать i}\cr {n\выбрать i-1}&={n-1\выбрать i-2}+{n-1\выбрать i-1}\cr }$$ При условии, что $1\le i\le \lfloor{n-1\over 2}\rfloor$, мы знаем по индукционная гипотеза о том, что $${n-1\выбрать i}>

{n-1\выбрать i-1}.

$$ При условии, что $1\le i-1\le \lfloor{n-1\over 2}\rfloor$ или эквивалентно $2\le i\le \lfloor{n-1\over 2}\rfloor+1$, мы знаем, что $${n-1\выбрать i-1}>{n-1\выбрать i-2}.$$ Следовательно, если $2\le i\le \lfloor{n-1\over 2}\rfloor$, $${n\выбрать i}>{n\выбрать i-1}.$$ Остается проверить два особых случая: $i=1$ и для четного $n$ $i=\lfloor{n-1\более 2}\rfloor+1=\lfloor{n\более 2}\rfloor$. Они оставлены в качестве упражнения. $\qed$ 9n {k\выбрать i} = {n+1\выбрать i+1}$ для $n\ge 0$ и $i\ge 0$; то есть, объясните, почему левая часть считается так же, как и правая сторона.

Пример 1.3.4 Используйте комбинаторный аргумент, чтобы докажите, что ${k \выберите 2} + {n-k \выберите 2}+k(n-k) = {n \выберите 2}$.

Пример 1.3.5

Используйте комбинаторный аргумент, чтобы докажите, что ${2n\choose n}$ четно.

Пример 1.3.6 Предположим, что $A$ — непустое конечное множество. Докажите, что $A$ имеет столько же четных подмножеств, сколько и нечетных. подмножества. 9k {m\выберите i}{n\выберите k-i}={m+n\выберите k}.$$ Перепишите это тождество в более простой форме, если $m=n$, и когда $k=m=n$.

Пример 1.3.15 Завершите доказательство теоремы 1.3.4.

Пример 1.3.16 Дайте альтернативное доказательство теоремы 1.3.4. характеризуя те $i$, для которых ${n\choose i}/{n\choose i-1} > 1$.

Пример 1.3.17 Когда ${n\выбрать i}/{n\выбрать i-1}$ максимум? Когда ${n\выберите i}/{n\выберите i-1}=2$?

Пример 1.3.18 Когда ${n\выбрать i}-{n\выбрать i-1}$ максимум?

Пример 1.3.19 Доска Galton

представляет собой вертикальную плоскую поверхность с выступающими горизонтальными штифтами, расположенными, как показано ниже. В внизу ряд бункеров; если количество строк равно $n$, количество ячеек равно $n+1$. Мяч падает прямо над верхней кеглей, и каждая булавка отскакивает влево или вправо с равной вероятностью. Мы предположим, что в следующий раз мяч ударяется о кеглю, расположенную ниже, и сразу же покидает или справа от кегли, в которую он попал, и это продолжается вниз по доске, пока мяч не упадет в корзину на дне.

Если мы пронумеруем ящики от 0 до $n$, сколько путей может пройти мяч, чтобы оказаться в ячейке $k$?

Это можно интерпретировать с точки зрения вероятности, что и было намерением сэра Фрэнсиса Гальтона, когда он его проектировал. Каждый путь одинаково вероятно, будет взято мячом. Если выпало много шаров, количество шаров в ячейке $k$ соответствует вероятности попадания в эту мусорное ведро Чем больше путей заканчивается в ячейке, тем выше вероятность. Когда выпадает очень большое количество шаров, шары будет аппроксимировать кривую нормального распределения, известную из вероятность и статистика.

Есть анимация процесса https://www.randomservices.org/random/apps/GaltonBoardExperiment.html. Когда-то была очень хорошая физическая реализация на Тихоокеанский научный центр в Сиэтле.

Математические слова: Биномиальные коэффициенты в треугольнике Паскаля

индекс: нажмите на букву






индекс: предметные области

Биномиальные коэффициенты в треугольнике Паскаля

Числа, записанные любым из способов, указанных ниже. Каждое обозначение читается вслух « n выбрать r «.

Эти числа, называемые биномиальными коэффициенты, потому что они используются в биномиальном теореме, обратитесь к конкретным адресам в языке Паскаля. треугольник. Они относятся к n -му ряду, r -му элементу в треугольнике Паскаля, как показано ниже.

Формула, используемая для вычисления биномиального коэффициенты непосредственно находятся ниже, а также.

относится до n -го ряда, r -го элемента в Паскале Треугольник.

Пример:

есть 5-й ряд, 4-й элемент, поэтому

₅ С ₄ есть другое обозначение того же элемента.

January 2014