Тригонометрические квадратные уравнения: Ничего не найдено для Ru Ege Materialy Matematika Trigonometricheskie Uravneniya %23Zamena Peremennoj I Svedenie K Kvadratnomu Uravneniyu

alexxlab / / Разное

Решение квадратных тригонометрических уравнений

Решение квадратных тригонометрических уравнений.

Уравнение распадается на два уравнения:   и

Решение первого уравнения: ,

Решение второго уравнения:

Объединяем эти решения и получим:

Ответ:      

 

Уравнение распадается на два уравнения:   и

Решение первого уравнения: ,

Решение второго уравнения: ,

Объединяем эти решения и получим: 

Ответ:      

 

Решить уравнение

Для решения данного уравнения введен новую переменную: sin(x)=t,

Определим область допустимых значений для нашей переменной:

Получим             

Решим квадратное уравнение относительно t:   

= =  

Проверяем корни нашего уравнения на область допустимых значений t

t =  , следовательно  

t =  , следовательно  

Решаем полученные уравнения относительно x:

, получаем    ,

, получаем  

Ответ: ,       .

Для решения данного уравнения введен новую переменную: cos(x)=t,

Определим область допустимых значений для нашей переменной:

Получим           

Решим квадратное уравнение относительно t:   

==  

Проверяем корни нашего уравнения на область допустимых значений t

t = 2 >1, следовательно   не имеет решений:  

В данном случае решать уравнение   является грубейшей ошибкой, т.к.   , а arccos 2 вообще не имеет смысла!

t =  , следовательно , решаем полученное уравнение:

,

Ответ: .

В данном уравнении необходимо применить основное тригонометрическое тождество, для того чтобы прийти к одной функции

 Приводим к функции синуса, т.к. проще представить

Получаем уравнение:

Раскрываем скобки:

, приводим подобные слагаемые:

, умножим на (-1) для простоты решения:

Для решения данного уравнения введен новую переменную: sin(x)=t,

Определим область допустимых значений для нашей переменной:

Получим             

Решим квадратное уравнение относительно t:   

Проверяем корни нашего уравнения на область допустимых значений t

t =  < -1, следовательно,     не имеет решений:  

t =  , следовательно,       ,    ответ

Ответ: 


Разберемся с областью определения для решений данного уравнения.

Область определения тангенса

,

Область определения котангенса

,

Объединив эти промежутки получим:

, на чертеже обозначено выколотыми точками.

 

Для решения данного уравнения используем тригонометрическое тождество        ,    перепишем уравнение:

, получим   , далее

, произведем замену

Получим             

Решим квадратное уравнение относительно t:  

t=1, следовательно           ,

t= -2, следовательно        

Ответ:   ,  

22. Квадратные тригонометрические уравнения.

Решим уравнение:

 Надо привести уравнение к одной функции. Для этого заменим cos2 x на 1-sin2x. Получим относительно xinx квадратное уравнение:

Пусть xinx=у, тогда 2у2+5у-3=0

Получили квадратное уравнение

Д=25+24=49

;

Следовательно:

а) б) xinx=-3 – решение не имеет

, к z

, к z

Ответ: , к z

4 xin2x- cosx-1=0 Заменим xin2x на 1- cos2x.

Получим 4(1- cos2x)- cosx-1=0 4-4 cos2x- cosx-1=0 -4 cos2x- cosx+3=0 4 cos2x+ cosx-3=0

пусть cosx=у, то

4у2+у-3=0

Д=1-48=49 ;

Следовательно,

а) cosx=-1 б)

х= +2 n, n z , n z

Ответ: +2 n; , n z

23. Однородные тригонометрические уравнения.

Определение. Уравнения вида asinx + bcosx=0 называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени; уравнения вида asin2+ bcosxsinx+ ccos2x =0 называют однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.

Алгоритм решения уравнения asin2+ bcosxsinx+ ccos2x =0

  1. Посмотреть, есть ли в уравнении член asin2х.

  2. Если этот член содержится, то уравнение решается делением обеих его частей на cos2x и последующем введением новой переменной z=tgx.

  3. Если asin2х не содержится, то уравнение решается методом вынесения общего множителя за скобки.

 Существует два метода решения тригонометрических уранений: разложение на множители и введение новой переменной.

Примерами однородных тригонометрических уравнений могут служить уравнения:

sin х — cos х = 0, sin2 х — 5 sin х cos х + 6 cos2 х = 0, cos2 х — sin х cos х = 0.

Решим уравнение sin х — cos х = 0. Для этого заметим, что в данном случае cos x не может быть равен нулю. Если бы было

cos х = 0, то должно было бы быть и sin х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin2 х  +cos2 х = 1. Итак, в данном случае cos х =/= 0. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на cos2 х. В результате получим tg x — 1 = 0, откуда

tg x = 1,    х = π/4   + 2nπ

Аналогично решается и уравнение sin2 х — 5 sin х cos х + 6 cos2 х = 0. Разделив обе части этого уравнения на

cos2 х, получим:

tg2 х — 5 tg х  + 6  = 0;       (tg x)1 = 2;       (tg x)2 = 3.

Поэтому

x = arctg 2 + nπ    х = arctg 3 + kπ.

Теперь решим уравнение cos2 х — sin х cos х = 0.

Здесь уже равенство cos х = 0 возможно, поэтому делить обе части уравнения на cos2 х нельзя. Зато можно утверждать, что sin х =/= 0. В противном случае из уравнения вытекало бы, что

 cos х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin2 х  +cos2 х = 1. Итак, sin х =/= 0. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на sin2 х. В результате получим:

ctg2 х — ctg х = 0,

откуда (ctg х)1 = 0; (ctg х)2 = 1. Соответственно этому получаются две группы корней:

х = π/2   + nπ     и    х = π

/4   + kπ

24.Тригонометрические неравенства.

 1.

     2.

     3.

     4.

     5.

     6.

     7.

     8.

25. Корень n – степени и его свойства.

Корень n- степени из числа а это такое число, n-я степень которого равна а.

Арифметическим корнем n- й степени из числа а называют неотрицательное число, n – я степень которого равна а.

Основные свойства

2(x) + sin(x) = 1

Шаг 1) Перестройте так, чтобы тригонометрическое уравнение равнялось 0

 

Шаг 2) Если вы хотите представить уравнение как квадратное, замените sin, cos, tan ect как X

 

Шаг 3) Решите как квадратное уравнение и найдите множители

 

Шаг 4) Теперь подставьте свою переменную обратно в уравнение, установите каждую скобку на ноль и найдите переменную.

 

Шаг 5) Теперь, когда у вас есть значения, используя ваши параметры в этом случае 0 < x < 2π, используя единичный круг, найдите, где sin = x или cos = x 9x = 1

 

Шаг 3) Преобразуйте в квадратное уравнение и решите

 

Шаг 4) Теперь подставьте свою переменную обратно в уравнение, установите каждую скобку на ноль и найдите переменную.

 

Шаг 5) Теперь, когда у вас есть значения, используя ваши параметры в этом случае 0 < x < 2π, используя единичный круг, найдите, где sin = x или cos = x

 

Шаг 6) В этом случае найдите, где sin( x) = 1/2 и где sin(x)= -1, где 0 < x < 2π 92 +3x - 1 = 0

Для 0

< x < 2π Решите для (√2sin(x)-1)(2cos(x)+√) = 0

Пример 3

Шаг 1) Для этого уравнение, которое вам не нужно факторизовать, потому что оно уже находится в факторизованной форме. Как и в предыдущих примерах, установите для каждой скобки нулевое значение и найдите sin(x).

 

Шаг 5) Теперь, когда у вас есть значения, используя параметры в данном случае 0 < x < 2π, используя единичный круг, найдите, где sin = x или cos = x

 

Шаг 6) Помните о знаках значения, потому что это будет определять, в каких квадрантах они будут находиться. Например, cos(x) = -√3/2 это означает, что значение cos будет отрицательным или в квадранте тангенса/синуса или в квадрантах 2 и 3.

(√2sin(x)-1)(2cos(x)+√) = 0

(√2sin(x)-1)= 0

√2sin(x)-1= 0

√2sin(x) = 1

sin(x) = 1/√2

(2cos(x)+√3)= 0

2cos(x)+√3= 0 2cos(x) = -√3

cos(x) = -√3/2

sin(x) = 1/√2 sin(x) = 45, 135 sin(x) = π/4 или 3π/4

cos( x) = -√3/2 cos(x) = 150, 210 cos(x) = 5π/6 или 7π/6

7.1: Решение тригонометрических уравнений с тождествами

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    13870
    • Дэвид Липпман и Мелони Расмуссен
    • The OpenTextBookStore

      • В предыдущей главе мы решили основные тригонометрические уравнения. В этом разделе мы исследуем методы, необходимые для решения более сложных триггерных уравнений. Создание того, что мы уже знаем, делает эту задачу намного проще. 9{2} (t)\]

      Отрицательный угол Тождества

      \[\sin (-t)=-\sin (t)\quad \cos (-t)=\cos (t)\quad \tan (-t)=-\tan (t)\]

      \[\csc (-t)=-\csc (t)\quad \sec (-t)=\sec (t)\quad \cot (-t)=-\cot (t)\]

      Обратное Тождества

      \[\sec (t)=\dfrac{1}{\cos (t)}\quad \csc (t) = \ dfrac {1} {\ sin (t)} \ quad \ tan (t) = \ dfrac {\ sin (t)} {\ cos (t)} \ quad \ cot (t) = \ dfrac {1} {\ загар (т)} \]

      Пример \(\PageIndex{1}\) 9{2} (t)+\sin (t)=0\) для всех решений с \(0\le t<2\pi\).

      Решение

      Это уравнение похоже на квадратное уравнение, но с sin( t ) вместо алгебраической переменной (мы часто называем такое уравнение «квадратным по синусу»). Как и со всеми квадратными уравнениями, мы можем использовать методы факторинга или квадратную формулу. Это выражение красиво размножается, поэтому мы продолжаем выносить на множитель sin(\(t\)):

      \[\sin (t)\left(2\sin (t)+1\right)=0\ не число\]

      Используя теорему о нулевом произведении, мы знаем, что произведение слева будет равно нулю, если любой из множителей равен нулю, что позволяет нам разбить это уравнение на два случая:

      \[\sin (t)=0\text{ или }2\sin (t)+1=0\nonnumber\]

      Мы можем решить каждое из этих уравнений независимо, используя наши знания о специальных углах.

      \[\sin (t)=0\нечисло\]
      \[2\sin (t)+1=0\нечисло\]
      \[t = 0\текст{ или }t = \pi\нечисло\ ]
      \[\sin (t)=-\dfrac{1}{2}\nonumber\]
      \[t=\dfrac{7\pi }{6}\text{ или }t=\dfrac{11\ пи }{6}\номер\] 9{2} -5u-2=(3u+1)(u-2)\номер\]

      Отмена замены,

      \[(3\sec (t)+1)(\sec (t)-2 )=0\nonumber\]

      Так как произведение равно нулю, разобьем его на два случая и решим каждый отдельно.

      \[3\sec (t)+1=0\nonnumber\]Выделить секанс
      \[\sec (t)=-\dfrac{1}{3}\nonnumber\]Переписать как косинус
      \[ \dfrac{1}{\cos (t)} =-\dfrac{1}{3}\nonumber\]Инвертировать обе стороны
      \[\cos (t)=-3\nonumber\]

      Поскольку косинус имеет диапазоне [-1, 1], косинус никогда не примет значение -3. {2} (\theta)\) или наоборот, 9{2} (t)+\cos (t)-1=0\nonumber\]Коэффициент
      \[\left(2\cos (t)-1\right)\left(\cos (t)+1\right )=0\nonumber\]

      Этот продукт будет равен нулю, если любой из множителей равен нулю, поэтому мы можем разбить это на два отдельных случая и решить каждый независимо.

      \[2\cos (t)-1=0\text{ или }\cos (t)+1=0\не число\]
      \[\cos (t)=\dfrac{1}{2}\ текст { или } \ cos (t) = -1 \ nonumber \]
      \ [t = \ dfrac {\ pi} {3} \ text { или } t = \ dfrac {5 \ pi} {3} \ text { или }t=\pi\nonumber\]

      Упражнение \(\PageIndex{3}\)

      9{2} (t)+3\cos (t)-2=0\не число\]
      \[\left(2\cos (t)-1\right)\left(\cos (t)+2\right )=0\nonumber\]
      \(\cos (t)+2=0\) не имеет решений \(2\cos (t)-1=0\) в точке \(t=\dfrac{\pi }{ 3} ,\dfrac{5\pi }{3}\)

      В дополнение к тождеству Пифагора часто бывает необходимо переписать тангенс, секанс, косеканс и котангенс как часть решения уравнения.

      Пример \(\PageIndex{4}\)

      Решить \(\tan (x)=3\sin (x)\) для всех решений с \(0\le x<2\pi\).

      Решение

      Используя комбинацию тангенса и синуса, мы можем попробовать переписать тангенс

      \[\tan (x)=3\sin (x)\nonumber\]
      \[\dfrac{\sin (x )}{\cos (x)} =3\sin (x)\nonumber\]Умножение обеих сторон на косинус
      \[\sin (x)=3\sin (x)\cos (x) \nonumber\]

      В этот момент у вас может возникнуть соблазн разделить обе части уравнения на sin(\(x\)).

      Не поддавайтесь желанию . Когда мы делим обе части уравнения на количество, мы предполагаем, что количество никогда не равно нулю. В этом случае, когда sin(\(x\)) = 0, уравнение выполняется, поэтому мы потеряем эти решения, если будем делить на синус.

      Чтобы избежать этой проблемы, мы можем изменить уравнение так, чтобы одна сторона была равна нулю (технически можно разделить на sin( x ), если вы отдельно рассматриваете случай, когда sin( x ) = 0 , Поскольку этот шаг легко забыть, рекомендуется метод факторинга, использованный в примере. ).

      \[\sin (x)-3\sin (x)\cos (x)=0\nonumber\]Разложение sin(\(x\)) из обеих частей
      \[\sin (x)\left (1-3\cos (x)\right)=0 \nonumber\]

      Отсюда видно, что мы получаем решения, когда \(\sin (x)=0\) или \(1-3\cos ( х)=0\). 9{-1} \left(\dfrac{1}{3} \right)\приблизительно 1,231\nonumber\]Использование симметрии для поиска второго решения
      \[x=2\pi -1,231=5,052 \nonumber\]

      У нас есть четыре решения на \(0 \le x<2\pi\):

      \[x = 0, 1.231, \quad\pi , 5.052\nonnumber\]

      Пример \(\PageIndex{3}\)

      Решите \(\sec (\theta )=2\cos (\theta )\), чтобы найти первые четыре положительных решения.

      Ответить

      \[\dfrac{1}{\cos (\theta)} =2\cos (\theta)\nonumber\] 9{-1} \left(0,425\right)=1,131\nonumber\] По симметрии можно найти второе решение
      \[\theta =2\pi -1,131=5,152\nonumber\]

      • Обзор идентификаторов триггеров
      • Решение триггерных уравнений
      • Факторинг
      • Использование квадратичной формулы
      • Использование идентификаторов триггеров для упрощения

      Эта страница под названием 7. 1: Решение тригонометрических уравнений с тождествами распространяется под лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Дэвидом Липпманом и Мелони Расмуссен (OpenTextBookStore) посредством исходного содержимого, которое было отредактировано для стиль и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

      1. Наверх
        • Была ли эта статья полезной?
        1. Тип изделия
          Раздел или страница
          Автор
          Дэвид Липпман и Мелони Расмуссен
          Лицензия
          CC BY-SA
          Версия лицензии
          4,0
          Показать страницу Оглавление
          нет
        2. Теги
          1. Пифагорейские тождества
          2. источник@http://www.

            No related posts.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *