План урока по теме «Числовая окружность на координатной плоскости»
План урока.
Тема: Числовая окружность на координатной плоскости.
Цель: а) образовательная – повторить понятие радиан, определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла, научиться определять значения тригонометрических функций различных углов с помощью единичной тригонометрической окружности;
б) развивающая – развитие логического мышления;
в) воспитательная – воспитание аккуратности при построении чертежей.
Тип урока: повторение и закрепление знаний.
Методы: словесный, наглядный
Оборудование: плакаты «Единичная окружность», «Тригонометр», таблица «Значения тригонометрических функций некоторых углов».
Ход занятия
I Организационный момент
Дома: §11-13, № 13.3
II Актуализация знаний
1) Радианная
мера угла.
Вы уже знакомы с радианной мерой углов. Угол в 1 радиан – это такой
центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности
2) Значения тригонометрических функций некоторых углов можно определить с помощью таблицы:
Можно ли определить с помощью таблицы значение например синус, скажем, 300, или — 45?
Глядя на тригонометрический круг, легко можно ответить на такие вопросы. И вы скоро будете знать как!
Знакомство с тригонометрическим кругом
Давайте по порядку.
Сначала вспомним определения четырёх тригонометрических функций:
Синусом угла назавается ордината точки – конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повёрнутого на угол .
Косинусом угла назавается абсцисса точки – конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повёрнутого на угол .
Тангенсом угла называется отношение ординаты к абсциссе
точки – конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повёрнутого на угол .
Котангенсом угла называется отношение абсциссы к ординате точки – конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повёрнутого на угол .
Теперь выпишем вот такой ряд чисел: 0, 1, 2, 3, 4
А теперь такой:
И, наконец, такой: , , , , ,
Конечно, понятно, что, на самом-то деле, на первом месте стоит 0, на втором месте стоит , а на последнем – 1. То есть нас будет больше интересовать цепочка .
Эта цепочка — и есть основные значения синуса и косинуса в первой четверти.
Начертим в прямоугольной системе координат круг единичного радиуса (то есть радиус-то по длине берем любой, а его длину объявляем единичной).
От луча «0-Старт» откладываем в направлении стрелки (см. рис.) углы .
Получаем соответствующие точки на круге. Так вот если спроецировать точки на каждую из осей, то мы выйдем как раз на значения из указанной выше цепочки.
Почему?
Рассмотрим принцип, который позволит
справиться и с другими, аналогичными ситуациями.
Треугольник АОВ – прямоугольный, в нем . А мы знаем, что против угла в лежит катет вдвое меньший гипотенузы (гипотенуза у нас = радиусу круга, то есть 1).
Значит, АВ= (а следовательно, и ОМ= ). А по теореме Пифагора .
Наконец, что такое синус, косинус в прямоугольном треугольнике?
=,
.
Так вот точка В и будет соответствовать значению , а точка М — значению .
Аналогично с остальными значениями первой четверти.
Как вы понимаете, привычная нам ось (ox) будет осью косинусов, а ось (oy) — осью синусов.
Слева от нуля по оси косинусов (ниже нуля по оси синусов) будут, конечно, отрицательные значения.
III Новыйматериал
Перевод радиан в градусы и градусы в радианы
Все знают, что радиан – это 180○.
Так вот, например, ,а .
Переведите из радиан в градусы:
.
Так, мы научились
переводить радианы в углы.
Теперь наоборот, давайте переводить градусы в радианы.
Допустим, нам надо перевести 80○ в радианы. Нам поможет пропорция. Поступаем следующим образом:
Так как, 180○=π радиан, то заполним таблицу:
Откуда
Тренируемся находить значения синуса и косинуса по кругу
Давайте еще уточним следующее.
Ну хорошо, если нас просят вычислить, скажем, , – здесь обычно путаницы не возникает – все начинают первым делом искать на круге.
А если просят вычислить, например, . Где искать этот ноль? Часто ищут его в начале координат. Почему?
Чтобы не ошибаться, нужно помнить следующее:
1) То, что стоит
после или – это
аргумент=угол, а углы у
нас располагаются на
круге, не ищите их на осяx! (Просто отдельные точки
попадают и на круг, и на ось…) А сами значения синусов и косинусов — ищем на
осях.
2) Если мы от точки «старт» отправляемся против часовой стрелки (основное направление обхода тригонометрического круга), то мы откладываем положительные значения углов, значения углов растут при движении в этом направлении.
Если же мы от точки «старт» отправляемся по часовой стрелке, то мы откладываем отрицательные значения углов.
Пример 1.
Найти значение .
Решение:
Находим на круге . Проецируем точку на ось синусов (то есть проводим перпендикуляр из точки к оси синусов (оу)).
Приходим в 0. Значит, .
Пример 2.
Найти значение .
Решение:
Находим на круге (проходим против часовой стрелки и еще ). Проецируем точку на ось синусов (а она уже лежит на оси синусов).
Попадаем в -1 по оси синусов. Значит, .
Заметим, за точкой «скрываются» такие точки, как (мы могли бы пойти в точку, помеченную как , по часовой стрелке, а значит появляется знак минус), и бесконечно много других.
Можно привести такую аналогию:
Представим тригонометрический круг как беговую дорожку стадиона.
Вы ведь можете оказаться в точке «Флажок», отправляюсь со старта против часовой стрелки, пробежав, допустим, 300 м. Или пробежав, скажем, 100м по часовой стрелке (считаем длину дорожки 400 м).
А также вы можете оказаться в точке «Флажок» (после «старт»), пробежав, скажем, 700 м, 1100 м, 1500 м и т. д. против часовой стрелки. Вы можете оказаться в точке «Флажок», пробежав 500 м или 900 м и т. д. по часовой стрелке от «старт».
Разверните мысленно беговую дорожку стадиона в числовую прямую.
Представьте, где на этой прямой будут, например, значения 300, 700, 1100,
1500 и т.д. Мы увидим точки на числовой прямой, равноотстоящие друг от
друга. Свернем обратно в круг. Точки «cлепятся» в одну.
Так и с тригонометрическим кругом. За каждой точкой скрыто бесконечно много других.
Скажем, углы , , , и т.д. изображаются одной точкой. И значения синуса, косинуса в них, конечно же, совпадают. (Вы заметили, что мы прибавляли/вычитали или 2π? Это период для функции синус и косинус.)
Пример 3.
Найти значение .
Решение:
Переведем для простоты в градусы (позже, когда вы привыкнете к тригонометрическому кругу, вам не потребуется переводить радианы в градусы):
Двигаться будем по часовой стрелке от точки Пройдем полкруга () и еще .
Понимаем, что значение синуса совпадает со значением синуса и равняется
.
Заметим, если б мы взяли, например, или и т.д., то мы получили бы все тоже значение синуса.
Пример 4.
Найти значение .
Решение:
Все же, не будем переводить радианы в градусы, как в предыдущем
примере.
.
То есть нам надо пройти против часовой стрелки полкруга и еще четверть полкруга и спроецировать полученную точку на ось косинусов (горизонтальная ось).
Пример 5.
Найти значение .
Решение:
Как отложить на тригонометрическом круге ?
Если мы пройдем или , да хоть , мы все равно окажемся в точке, которую мы обозначили как «старт». Поэтому, можно сразу пройти в точку на круге
Пример 6.
Найти значение .
Решение:
.
Мы окажемся в точке ( приведет нас все равно в точку ноль). Проецируем точку круга на ось косинусов (смотри тригонометрический круг), попадаем в . То есть .
IV Закрепление
№№ 12.1, 12.2, 12.3, 13.1, 13.2.
V Итог урока
Тригонометрический ансамбль
Органищационный момент!
Слайд № 1. Уважаемые ребята 10 класса! Рад приветствовать Вас и дорогое жюри на увлекательном мероприятии, в котором команды проявят свои все свои умения и навыки в решении задач из тригонометрии. Предсмет математика настолько серьезен и увлекателен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным. Сегодня Вы попробуете свои силы и знания в решении заданий разной сложности и сделаете это в игровой форме, работая в командах. Сегодня у нас на мероприятии две команды: представители 10А класса и 10 Б. Поприветствуем друг друга. Также поприветствуем наше уважаемое жюри, которое будет нас оценивать и наблюдать, чтобы сделать вывод о том, каккие мы молодцы и как много с вами мы знаем! Поприветствуем.
Слайд № 2. Хотелось бы начать с нового высказывания, которое будет актулаьным сегодня дня нашей игры, в которой нет проигравших и не будет. Перед Вами представлен ребус с зашифрованными словами. Необходимо каждой радиане отыскать ее букву на тригонометрической окружности и составить слова.
(Командам выдается листок с шарадой и они совместно ее разгадывают, кто решает первый и заполняет правильно все клетки поля, сдает жюри и получает 3 балла. Правильный ответ: Пришел, поиграл, уже победил!).
Похоже изречение на слова Гая Юлия Цезаря «Пришел, увидел, победил». Но Мы с вами идем дальше, побеждая новые задачи.
Слайд 3. Итак, начнем. Необходим один участник команды. 1 тур. «Разминка».
Попрошу от каждой команды выбрать человека, который поможет команде набрать баллы за ответы на вопросы ведущего. За верные ответы команда будет получать в общий зачет 1 балл, за неверные ответы соответственно, нуль баллов.
Тем временем пока ведущий будет задавать вопросы, команды не сидят на своих местах, а работают над Заданием № 1, решив которое отдают на проверку жюри.
Слайд 4-5. Вопросы тура: отвечает по очереди каждый участник.
В какой четверти лежит угол альфа, если выполняются условия . (2 четверть.)
Какой знак имеет (отрицательный, 2 четверть)
Вычислите sin 7П
Верно ли равенство . Исправьте и скажите, как называют такое неравенство?
Верно ли что ?
Что больше или
Какие значения принимает x?
Чему равен ?
В каких четвертях тангенс принимает отрицательные значения?
Какая из тригонометрических функций является четной?
Чему равняется cos(2x)?
Каков период функций косинуса и синуса?
Как называется функция, для которой справедливо неравенство f(-x)=-f(x)
В какой четверти все тригонометрические функции положительны?
Перечислите значения всех тригонометрических функций от угла 30 градусов?
Чему равен arcsin 3?
Назовите формулу для вычисления корней уравнения сosx=a
В какой четверти находится указанный угол.
График какой тригонометрической функци изображен на рисунке?
График какой тригонометрической функци изображен на рисунке?
Переведите в радианы 120 градусов
Чему равен арккосинус от числа корень из 3 на два?
Перечислите значения всех тригонометрических функций от угла 30 градусов?
Назовите решение частного случая sin x=1
Уважаемое жюри, считаем количество верных ответов наших участнкиов и записываем в их общий зачет.
Слайд 6-7. Уважаемые участники и члены жюри, давайте обсудим результаты первого тура. Прокомментируем решение. Пока я комментирую задания, попрошу жюри подвести некоторые итоги.
Ведущий комментирует бегло идею решения двух заданий.
Слайд 8. Уважаемые друзья! Переходим ко второму туру. В нем мы применим все свои умения и навыки, которые помогут нам исправить ошибки в решении. Для решение такой задачи мне потребуется другой участник от команд, который еще не был в качестве выступающего.
Командам расдается карточка № 2. Неизвестный гений. Работают.
Слайд 9-11. На презентации ведущий ведет диалог по заданиям, оценивая верность ответов, полученныйх от респондентов. За верность ответа, ведущий ставит 1 балл. Тем временем команды попробуют разгадать две известные личности, связанных с нашей сегодняшней темой встречи. Поэтому пока наши участники от команды находят ошибки, команде необходимо расшифровать имена. Преступаем.
Слайд 12-14. Откроем занавес. Итак, перед нами известные гении своего времени.
Бартоломе́ус Пити́скус, 1561—1613) — немецкий математик, астроном, теолог. Внёс вклад в развитие тригонометрии, в том числе предложил сам термин «тригонометрия» в качестве названия этой науки.
Слайд 15-17. И
Гиппарх Никейский.
И др. Древнегреческий астроном, механик, географ и математик II века до н. э., часто называемый величайшим астрономом античности.
Главной заслугой Гиппарха считается то, что он привнёс в греческие геометрические модели движения небесных тел предсказательную точность астрономии Древнего Вавилона. Гиппарх составил таблицы, которые предвосхитили таблицы тригонометрических функций современности.
Слайд 18. Музыкальная пауза, посмотрим как тригонометрия может быть красива.
Перед Вами наглядная модель маятника, подвешанных за нить шариков, движущихся гармонично по закону синуса и косинуса. Смотрим.
Слайд 19-27. Нельзя не сказать о том, как прочно и непредсказуемо вошла в нашу жизнь тригонометрия. А между тем ее можно заметить в смежных науках, таких как физика. Как образ колебания маятника. Как проявляется в биологии и медицине. Тут и цепочка ДНК, тут и сердечные ритмы. Движение рыб в воде и то можно представить как тангенсоиду, если креативно мыслить и видить образами.
Слайд 28. Переходим к 3 туру нашего сегодняшнего мероприятия.
Для этого в разные стороны нашего ринга рассаживаются командиры, чтобы получить свои задания повышенной сложности и приступить к его выполнению. (Раздатка заданий для капитанов. )
Слайд 29. Тем временем, участники комад помогают заработать себе баллы, отвечая на вопросы ведущего, которые указаны на слайдах, а также решая задачи командами (6 заданий). Оцениваение происходит ведущим. Каждый верный устный ответ — 1 балл. Письменно: максимлаьно 6 баллов. Жюри строго фиксирует в бланках оценивания.
Слайд 30-36. Участники отвечают на вопросы, работая с ведущим, жюри оценивает ответы. Команда в зависимости от успешных ответтов и активности может заработать баллы. За верный ответ -1 балл.
Слайд 37-38. Решение заданий наших капитанов.
Слайд 39-40. Задание командам. Письменно решают уравнения и оформляют карточки. За верный пример засчитывается 2 балла.
Слайд 41. Подведения итогов. Благодарность всем участникам за работу!
Приложения
Задание № 1 для индивидуального марафона команд.
Упростите выражение:
Решение:
Ответ:_________________________________
2. Найдите tg(x), если
Р
Ответ:_________________________________
ешение:
Решение задания № 1 индивидуального марафона команды.
1. Упростите:
Дан верный ответ — 2 балла.
2. Найдите tg(x), если
Решение:
Воспользуемся свойством пропорции:
/ : однородное уравнение 1 степени
Ответ: 7.
Дан верный ответ — 2 балла.
Задание второго тура. 2 команда.
Разгадайте ребус, найдя каждому значению угла
соответствующую на окружности букву.
Буква | Буква | |||
Тригонометрический круг с расстановкой букв
Задание второго тура. 1 команда.
Разгадайте ребус, найдя каждому значению угла
соответствующую на окружности букву.
Буква | Буква | |||
Тригонометрический круг с расстановкой букв
Индивидуальное задание для капитанов. Вариант № 1.
Ответ:______________________
Индивидуальное задание для капитанов. Вариант № 2.
Ответ:______________________
Индивидуальное задание для капитанов. Для жюри. Битва капитанов.
Решение уравнений командой. 3 тур.
Команда __________________________________________
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Решение уравнений командой. 3 тур.
Команда __________________________________________
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Ответы на решение уравнений командами. 3 тур.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Турнирная таблица. Сценарий мероприятия.
Вид работы | Поле для заполнения баллов |
1 тур. Разминка. «Участники отвечают у доски на теоретические вопросы». Получают за верный ответ по 1 баллу. | |
1 тур. Решения индивидуального задания группой. Решают командой. Получают за верный ответ по 4 балла максимум. | |
2 тур. Найди ошибку. Участник у доски решает задание из 6 пунктов. Ведущий говорит баллы. Максимум команда может набрать 6 баллов. | |
2 тур. Неизвестный гений. Команда тем временем решает ребус. За ребус может получить 5 баллов. В случае неверной буквы, жюри в праве решить самостоятельно судьбу балла. | |
Музыкальная пауза. Прошу жюри посчитать баллы, которые имеются у команды в данный момент. | |
3 тур. | |
3 тур. Битва капитанов. Решают 13 задание ЕГЭ индивидуально от команды. За верное решение получают 2 балла. | |
3 тур. Устная работа с ведущим. Жюри наблюдает за работой команды и может наградить ее баллами от 0 до 10 в зависимости от активности выступающих. | |
3 тур. Решение уравнений у доски. Ведущий вызывает участников в хаотичном порядке из разных команд, чтобы те решили задачу у доски. Ответ говорится тут же, оценивается верность каждой задачи в 2 балла. | |
Итоги мероприятия. |
Ссылка на презентацию:
https://drive.google.com/file/d/1Svq_ZDydotQ7imPQ3cu8U2QyyMMA0lAw/view?usp=sharing
Ссылка на материалы урока:
https://drive.google.com/drive/folders/1WQAElELOwZi8M5Kc5dho3ClxR7QT8pII?usp=sharing
2.3.8: Тригонометрические функции отрицательных углов
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 14459
Углы, измеренные при вращении по часовой стрелке от положительной оси \(x\). 9{\circ}\). {\circ})\) 9{\circ}\)
Обзор (ответы)
Чтобы просмотреть ответы на обзор, откройте этот PDF-файл и найдите раздел 1.19.
Словарь
| Срок | Определение |
|---|---|
| Отрицательный угол | Отрицательный угол — это угол, измеренный при вращении по часовой стрелке (а не против часовой стрелки) от положительной оси \(x\). |
Дополнительные ресурсы
Интерактивный элемент
Видео: Оценка тригонометрических функций любого угла — Обзор
Практика: Тригонометрические функции отрицательных углов
Эта страница под названием 2.3.8: Тригонометрические функции отрицательных углов распространяется под лицензией CK-12 и была создана, изменена и/или курирована Фондом CK-12 через исходный контент, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами Платформа LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
ПОД ЛИЦЕНЗИЕЙ
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или Страница
- Автор
- СК12
- Лицензия
- СК-12
- Программа ООР или издатель
- СК-12
- Теги
- источник@https://www.ck12.org/c/trigonometry
тригонометрия — Как читать отрицательные радианы в интервале?
спросил
Изменено 8 лет, 9несколько месяцев назад
Просмотрено 22к раз
$\begingroup$
Допустим, область определения функции $\{-\pi/2, \pi/2\}$. Как я должен интерпретировать этот интервал?
Откуда начинается? Куда? В каком направлении?
И если оно начинается с $3\pi/2$, будет ли следующим $-5\pi/3$ (потому что оно начинается с отрицательного значения, $-\pi/2$).
- тригонометрия
$\endgroup$
$\begingroup$
Интервал $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$ — это правая половина единичной окружности. Отрицательные углы поворачиваются по часовой стрелке, поэтому это означает, что $-\dfrac{\pi}{2}$ будет вращаться $\dfrac{\pi}{2}$ по часовой стрелке, заканчиваясь на нижней оси $y$ (или как вы сказал, где находится $\dfrac{3\pi}{2}$) .
Вы читаете интервал слева направо, что означает, что этот интервал начинается с $-\dfrac{\pi}{2}$ на отрицательной оси $y$ и заканчивается на $\dfrac{\pi} {2}$ на положительной оси $y$ (движение против часовой стрелки).
$\endgroup$
$\begingroup$
Обычно интервал имеет скобки, а не фигурные скобки.