Тригонометрия частные случаи таблица: Простейшие тригонометрические уравнения — урок. Единый государственный экзамен (11 класс), Математика.

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным от носительно sin и cos , если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла . Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а ) перенести все его члены в левую часть;

б ) вынести все общие множители за скобки;

в ) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos (или sin ) в старшей степени;

д ) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е. 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

Sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

Tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

Корни этого уравнения: y 1 = — 1, y 2 = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

КАТЕГОРИИ:

Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения sinx=a,cosx=a,tgx=a,ctgx=asinx=a,cosx=a,tgx=a,ctgx=a, где xx — угол, который нужно найти, aa — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение sinx=asinx=a.

При |a|>1|a|>1 не имеет решений.

При |a|≤1|a|≤1 имеет бесконечное число решений.

Формула корней: x=(−1)narcsina+πn,n∈Zx=(-1)narcsina+πn,n∈Z

Таблица арксинусов

2. Уравнение cosx=acosx=a

При |a|>1|a|>1 — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При |a|≤1|a|≤1 имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: x=±arccosa+2πn,n∈Zx=±arccosa+2πn,n∈Z

Таблица арккосинусов

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение tgx=atgx=a

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях aa.

Формула корней: x=arctga+πn,n∈Zx=arctga+πn,n∈Z

Таблица арктангенсов

4. Уравнение ctgx=actgx=a

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях aa.

Формула корней: x=artga+πn,n∈Zx=artga+πn,n∈Z

Таблица арккотангенсов

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:

Для косинуса:

Для тангенса и котангенса:

Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: 2cos2(x+π6)−3sin(π3—x)+1=02cos2(x+π6)-3sin(π3—x)+1=0

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

2cos2(x+π6)−3cos(x+π6)+1=02cos2(x+π6)-3cos(x+π6)+1=0,

делаем замену: cos(x+π6)=ycos(x+π6)=y, тогда 2y2−3y+1=02y2-3y+1=0,

находим корни: y1=1,y2=12y1=1,y2=12, откуда следуют два случая:

1. cos(x+π6)=1cos(x+π6)=1, x+π6=2πnx+π6=2πn, x1=−π6+2πnx1=-π6+2πn.

2. cos(x+π6)=12cos(x+π6)=12, x+π6=±arccos12+2πnx+π6=±arccos12+2πn, x2=±π3−π6+2πnx2=±π3-π6+2πn.

Ответ: x1=−π6+2πnx1=-π6+2πn, x2=±π3−π6+2πnx2=±π3-π6+2πn.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: sinx+cosx=1sinx+cosx=1.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: sinx+cosx−1=0sinx+cosx-1=0. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

sinx—2sin2 x2=0sinx—2sin2 x2=0,

2sin x2cos x2−2sin2 x2=02sin x2cos x2-2sin2 x2=0,

2sin x2(cos x2−sin x2)=02sin x2(cos x2-sin x2)=0,

1. sin x2=0sin x2=0, x2=πnx2=πn, x1=2πnx1=2πn.
2. cos x2−sin x2=0cos x2-sin x2=0, tg x2=1tg x2=1, x2=arctg1+πnx2=arctg1+πn, x2=π4+πnx2=π4+πn, x2=π2+2πnx2=π2+2πn.

Ответ: x1=2πnx1=2πn, x2=π2+2πnx2=π2+2πn.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: 11sinx—2cosx=1011sinx—2cosx=10.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: 22sin(x2)cos(x2)−22sin(x2)cos(x2)- 2cos2x2+2sin2x2=2cos2x2+2sin2x2= 10sin2x2+10cos2x210sin2x2+10cos2x2

4tg2x2—11tgx2+6=04tg2x2—11tgx2+6=0

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. tgx2=2tgx2=2, x1=2arctg2+2πnx1=2arctg2+2πn, n∈Zn∈Z,
2. tgx2=34tgx2=34, x2=arctg34+2πnx2=arctg34+2πn, n∈Zn∈Z.

Ответ. x1=2arctg2+2πn,n∈Zx1=2arctg2+2πn,n∈Z, x2=arctg34+2πnx2=arctg34+2πn, n∈Zn∈Z.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: 2cos2(x+π6)−3sin(π3—x)+1=02cos2(x+π6)-3sin(π3—x)+1=0

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

2cos2(x+π6)−3cos(x+π6)+1=02cos2(x+π6)-3cos(x+π6)+1=0,

делаем замену: cos(x+π6)=ycos(x+π6)=y, тогда 2y2−3y+1=02y2-3y+1=0,

находим корни: y1=1,y2=12y1=1,y2=12, откуда следуют два случая:

1. cos(x+π6)=1cos(x+π6)=1, x+π6=2πnx+π6=2πn, x1=−π6+2πnx1=-π6+2πn.

2. cos(x+π6)=12cos(x+π6)=12, x+π6=±arccos12+2πnx+π6=±arccos12+2πn, x2=±π3−π6+2πnx2=±π3-π6+2πn.

Ответ: x1=−π6+2πnx1=-π6+2πn, x2=±π3−π6+2πnx2=±π3-π6+2πn.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: sinx+cosx=1sinx+cosx=1.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: sinx+cosx−1=0sinx+cosx-1=0. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

sinx—2sin2 x2=0sinx—2sin2 x2=0,

2sin x2cos x2−2sin2 x2=02sin x2cos x2-2sin2 x2=0,

2sin x2(cos x2−sin x2)=02sin x2(cos x2-sin x2)=0,

1. sin x2=0sin x2=0, x2=πnx2=πn, x1=2πnx1=2πn.

2. cos x2−sin x2=0cos x2-sin x2=0, tg x2=1tg x2=1, x2=arctg1+πnx2=arctg1+πn, x2=π4+πnx2=π4+πn, x2=π2+2πnx2=π2+2πn.

Ответ: x1=2πnx1=2πn, x2=π2+2πnx2=π2+2πn.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: 11sinx—2cosx=1011sinx—2cosx=10.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: 22sin(x2)cos(x2)−22sin(x2)cos(x2)- 2cos2x2+2sin2x2=2cos2x2+2sin2x2= 10sin2x2+10cos2x210sin2x2+10cos2x2

4tg2x2—11tgx2+6=04tg2x2—11tgx2+6=0

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. tgx2=2tgx2=2, x1=2arctg2+2πnx1=2arctg2+2πn, n∈Zn∈Z,

2. tgx2=34tgx2=34, x2=arctg34+2πnx2=arctg34+2πn, n∈Zn∈Z.

Ответ. x1=2arctg2+2πn,n∈Zx1=2arctg2+2πn,n∈Z, x2=arctg34+2πnx2=arctg34+2πn, n∈Zn∈Z.

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения sinx=a,cosx=a,tgx=a,ctgx=asinx=a,cosx=a,tgx=a,ctgx=a, где xx — угол, который нужно найти, aa — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение sinx=asinx=a.

При |a|>1|a|>1 не имеет решений.

При |a|≤1|a|≤1 имеет бесконечное число решений.

Формула корней: x=(−1)narcsina+πn,n∈Zx=(-1)narcsina+πn,n∈Z

Таблица арксинусов

2. Уравнение cosx=acosx=a

При |a|>1|a|>1 — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При |a|≤1|a|≤1 имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: x=±arccosa+2πn,n∈Zx=±arccosa+2πn,n∈Z

Таблица арккосинусов

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение tgx=atgx=a

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях aa.

Формула корней: x=arctga+πn,n∈Zx=arctga+πn,n∈Z

Таблица арктангенсов

4. Уравнение ctgx=actgx=a

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях aa.

Формула корней: x=artga+πn,n∈Zx=artga+πn,n∈Z

Таблица арккотангенсов

12Следующая ⇒

Читайте также:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры



Последнее изменение этой страницы: 2021-04-20; просмотров: 302; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia. n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы. 2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.
  1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
  2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

  Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

  Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

  Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

  Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.
  

  Методы решения тригонометрических уравнений.

  Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида (см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

  1. Алгебраический метод.

  (метод замены переменной и подстановки).

  2. Разложение на множители.

  П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

  Р е ш е н и е. Перенесём все члены уравнения влево:

  Sin x + cos x – 1 = 0 ,

  Преобразуем и разложим на множители выражение в

  Левой части уравнения:

  П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

  Р е ш е н и е. cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

  Sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

  Sin x · (cos x – sin x ) = 0 ,

  П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

  Р е ш е н и е. cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

  2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

  Cos 4x · (cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

  Cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

  1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

  3. Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным от носительно sin и cos , если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла . Чтобы решить однородное уравнение, надо: а ) перенести все его члены в левую часть; б ) вынести все общие множители за скобки; в ) приравнять все множители и скобки нулю; г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos (или sin ) в старшей степени; д ) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan . sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2. Р е ш е н и е. 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x , Sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , Tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 , Корни этого уравнения: y 1 = — 1, y 2 = — 3, отсюда 1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

  4. Переход к половинному углу.

  Рассмотрим этот метод на примере:

  П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

  Р е ш е н и е. 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos ² (x / 2) + 5 sin ² (x / 2) =

  7 sin ² (x / 2) + 7 cos ² (x / 2) ,

  2 sin ² (x / 2) – 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) + 12 cos ² (x / 2) = 0 ,

  tan ² (x / 2) – 3 tan (x / 2) + 6 = 0 ,

  . . . . . . . . . .

  5. Введение вспомогательного угла.

  Рассмотрим уравнение вида :

  a sin x + b cos x = c ,

  Где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

  Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin (здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини

  Основными методами решения тригонометрических уравнений являются: сведение уравнений к простейшим (с использованием тригонометрических формул), введение новых переменных, разложение на множители. Рассмотрим их применение на примерах. Обратите внимание на оформление записи решений тригонометрических уравнений.

  Необходимым условием успешного решения тригонометрических уравнений является знание тригонометрических формул (тема 13 работы 6).

  Примеры.

  1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

  1) Решить уравнение
  

  Решение:

  Ответ:

  2) Найти корни уравнения

  (sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, принадлежащие отрезку .

  Решение:

  Ответ:

  2. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

  1) Решить уравнение 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

  Решение: Используя формулу sin 2 x = 1 – cos 2 x, получаем

  Ответ:

  2) Решить уравнение cos 2x = 1 + 4 cosx.

  Решение: Используя формулу cos 2x = 2 cos 2 x – 1, получаем

  Ответ:

  3) Решить уравнение tgx – 2ctgx + 1 = 0

  Решение:

  Ответ:

  3. Однородные уравнения

  1) Решить уравнение 2sinx – 3cosx = 0

  Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx. Получим

  Ответ:

  2) Решить уравнение 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

  Решение:

  Используем формулы 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получим

  sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
  sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

  Пусть cosx = 0, тогда sin 2 x = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1.
  Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cos 2 x. Получим

  tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
  Обозначим tgx = y
  y 2 – 6 y + 8 = 0
  y 1 = 4; y 2 = 2
  а) tgx = 4, x= arctg4 + 2 k , k
  б) tgx = 2, x= arctg2 + 2 k , k .

  Ответ: arctg4 + 2 k , arctg2 + 2 k, k

  4. Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с ≠ 0.

  1) Решить уравнение .

  Решение:

  Ответ:

  5. Уравнения, решаемые разложением на множители.

  1) Решить уравнение sin2x – sinx = 0.

  Корнем уравнения f ( х ) = φ ( х ) может служить только число 0. Проверим это:

  cos 0 = 0 + 1 – равенство верно.

  Число 0 единственный корень данного уравнения.

  Ответ: 0.

  Тема: «Методы решения тригонометрических уравнений».

  Цели урока:

  образовательные:

  Сформировать навыки различать виды тригонометрических уравнений;

  Углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;

  воспитательные:

  Воспитание познавательного интереса к учебному процессу;

  Формирование умения анализировать поставленную задачу;

  развивающие:

  Формировать навык проводить анализ ситуации с последующим выбором наиболее рационального выхода из нее.

  Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

  Начнем урок с повторения основного приема решения любого уравнения: сведение его к стандартному виду. Путем преобразований линейные уравнения сводят к виду ах = в, квадратные – к виду ax 2 + bx + c =0. В случае тригонометрических уравнений необходимо свести их к простейшим, вида: sinx = a , cosx = a , tgx = a , которые легко можно решить.

  В первую очередь, конечно, для этого необходимо использовать основные тригонометрические формулы, которые представлены на плакате: формулы сложения, формулы двойного угла, понижения кратности уравнения. Мы уже умеем решать такие уравнения. Повторим некоторые из них:

  Вместе с тем существуют уравнения, решение которых требует знаний некоторых специальных приемов.

  Темой нашего урока является рассмотрение этих приемов и систематизация методов решения тригонометрических уравнений.

  Методы решения тригонометрических уравнений.

  1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции с последующей заменой переменной.

  Рассмотрим каждый из перечисленных методов на примерах, но более подробно остановимся на двух последних, так как два первых мы уже использовали при решении уравнений.

  1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции.

  2. Решение уравнений методом разложения на множители.

  3. Решение однородных уравнений.

  Однородными уравнениями первой и второй степени называются уравнения вида:

  соответственно (а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0).

  При решении однородных уравнений почленно делят обе части уравнения на cosx для (1) уравнения и на cos 2 x для (2). Такое деление возможно, так как sinx и cosx не равны нулю одновременно – они обращаются в нуль в разных точках. Рассмотрим примеры решения однородных уравнений первой и второй степени.

  Запомним это уравнение: при рассмотрении следующего метода – введение вспомогательного аргумента, решим его другим способом.

  
  

  4. Введение вспомогательного аргумента.

  Рассмотрим уже решенное предыдущим методом уравнение:

  Как видим, получается тот же результат.

  Рассмотрим еще один пример:

  В рассмотренных примерах было, в общем, понятно, на что требуется разделить исходное уравнение, чтобы ввести вспомогательный аргумент. Но может случиться, что не очевидно, какой делитель выбрать. Для этого существует специальная методика, которую мы сейчас и рассмотрим в общем виде. Пусть дано уравнение.

  Introduction to Trigonometric Functions

   

  Key Terms

   

• Trigonometric (trig) function
• Sine
• Cosine
• Tangent
• Cosecant
• Secant
• Котангенс

   

  Цели

   

• Знать основы тригонометрических функций в тригонометрии прямоугольного треугольника
• Вычисление значений триггерных функций с помощью калькулятора или таблицы значений
• Использование триггерных функций для решения задач с треугольниками

   

 

Тригонометрия прямоугольного треугольника

 

 

 

 Прямоугольный треугольник имеет один угол измерения 90°. Для любого треугольника сумма внутренних углов равна 180°. Ниже приведен пример прямоугольного треугольника, где маленький «квадрат» указывает на правую сторону (90°) угол. Один угол обозначен θ; другой угол равен 90° – θ .


Хотите узнать больше? Пройдите онлайн-курс Precalculus.

 

 

 

Кроме того, изучение геометрии показывает, что подобные треугольники (где треугольник A подобен треугольнику B, если с помощью некоторой серии перемещений, вращений, отражений и расширений, A может быть преобразован в новый треугольник, конгруэнтный с Б). Свойство подобных треугольников состоит в том, что все их внутренние углы равны, и, следовательно, длины их соответствующих сторон пропорциональны. Некоторые подобные треугольники показаны ниже.




Применяя свойства, упомянутые выше, A ₁ , A ₂ и A ₃ пропорциональны (как и H ₁ , H ₂ и H _{3 , 90, а также 1 , О 2 и О 3 ). Итак, глядя только на первые два треугольника, мы можем написать следующее выражение:}

Это соотношение применимо к любым двум подобным треугольникам, независимо от того, являются ли они прямоугольными. Кроме того, для любых двух подобных треугольников отношение двух сторон одного треугольника, таким образом, такое же, как отношение двух соответствующих сторон другого треугольника. Например,

Наконец, обратите внимание, что эти соотношения меняются с углом θ

Вопрос является численным значением уровня этих сторон. ? Ответ находится в тригонометрических функциях. Давайте снова посмотрим на обычный прямоугольный треугольник с углом θ. Обозначим гипотенузу прямоугольного треугольника H; сторона, противоположная углу θ — это O, а сторона, примыкающая к θ , — это A. (Рисунок ниже не обязательно выполнен в масштабе.)

 

Теперь мы хотим определить функцию с точки зрения каждая пара сторон: O и H, A и H, O и A. Эти функции представляют собой синус , косинус , тангенс и , соответственно угла θ. Для краткости эти функции часто записываются как sin, cos и tan. Ниже приведены отношения этих функций к сторонам прямоугольного треугольника.

 

Один из способов запомнить эти функции и их отношения к сторонам прямоугольного треугольника — мнемоника на.

 

В отличие от таких функций, как полиномы, мы обычно не можем вычислить десятичное значение для заданного угла без использования калькулятора или таблицы значений. Однако в некоторых особых случаях мы можем вычислить значения. Чем больше вы используете триггерные функции, тем лучше вы будете знакомиться с этими особыми случаями; однако мы не будем здесь на них сосредотачиваться.

 

 

Использование калькулятора в тригонометрии

 

 

Хотя таблицы тригонометрических значений доступны в Интернете и в некоторых технических книгах, большинство функций тригонометрического калькулятора сегодня могут вычислять значения, используя значения. Например, если вы используете Windows, встроенный инструмент калькулятора предлагает эту возможность при использовании в «научном» режиме.

 

 

 

 

 

Обратите внимание на кнопки «sin», «cos» и «tan» в левой части инструмента. Чтобы использовать эти функции в этом случае, введите значение угла, затем щелкните триггерную функцию. Например, если вы введете 90, а затем нажмите «sin», результат будет 1. Убедитесь, что ваш калькулятор находится в режиме градусов, если вы используете градусы в качестве единицы измерения угла; мы обсудим другую такую ​​единицу, радианы, позже. Однако сейчас мы будем придерживаться исключительно степеней.

 

 

 

Практическая задача: Используйте калькулятор для вычисления приблизительного десятичного значения для каждого приведенного ниже триггерного выражения. Округление неточных десятичных знаков до трех знаков.

 

а. грех 45° б. cos 0° с. тангенс –10° д. sin 90°

 

 

 

Решение: В каждом случае, используя калькулятор в режиме градусов, введите угол и вычислите триггерную функцию. Возможно, вам придется обратиться к руководству пользователя вашего калькулятора, так как для разных устройств требуются разные процедуры. В любом случае результаты представлены ниже.

 

 

 

 

 

а. 0,707 б. 1 в. –0,176 д. 1

Обратные тригонометрические функции Это косеканс (csc), секанс (sec) и котангенс (cot), которые являются не чем иным, как обратными функциями синуса, косинуса и тангенса соответственно. Эти функции определены ниже — обратите внимание, что мы снова ссылаемся на стороны O, A и H одного и того же прямоугольного треугольника.

Не все научные калькуляторы имеют кнопки для этих взаимных функций, но вы можете просто рассчитать соответствующую функцию TRIG, а затем взять его повторную обработку.

 

 

 

Практическая задача: Используйте калькулятор для вычисления приблизительного десятичного значения для каждого приведенного ниже триггерного выражения. Округление неточных десятичных знаков до трех знаков.

 

 

а. кроватка 45° б. csc 30° с. сек 45° д. sin 60°

 

 

 

Решение: Опять же, в каждом случае, используя калькулятор в режиме градусов, введите угол и вычислите обратную триггерную функцию. Возможно, вам придется сначала вычислить соответствующую стандартную триггерную функцию, а затем взять ее обратную.

 

 

 

а. б.

 

с. д. 0,866

 

 

 

Использование триггерных функций

 

 

Пока наше изучение триггерных функций выглядит как академическое упражнение. Тем не менее, эти функции бесценны при расчете параметров треугольников, когда предоставляется только некоторая информация. Ниже приведены несколько примеров использования триггерных функций для вычисления неизвестных длин сторон треугольников.

Практическая задача:

Вычислите длину гипотенузы прямоугольного треугольника.

 

 

 

Решение: Мы хотим вычислить длину гипотенузы (стороны, противоположной прямому углу), учитывая угол 40° и длину смежной стороны 10 единиц. Глядя на наши тригонометрические функции, обратите внимание, что косинус связывает смежную сторону ( A ) и гипотенузу ( H ) с мерой угла.

Подставьте известные значения.

 

С помощью калькулятора вычислите значение косинуса, затем примените простую алгебру, чтобы найти H.

 

Практическая задача:

Равнобедренный треугольник, показанный ниже, имеет высоту 5 дюймов. Какова длина его основания?

Решение: Во-первых, обратите внимание, что отрезок, определяющий высоту равнобедренного треугольника, подобного этому, делит треугольник на два конгруэнтных прямоугольных треугольника: угол помечен как x. Итак, мы знаем длину стороны, противоположной углу, и хотим найти длину прилежащей стороны. Это означает, что нам нужно использовать функцию касательной.

 

Основой треугольника Isocles составляет 2 x, или около 24,75 дюйма. Здесь мы увидели пример того, как тригонометрию можно использовать даже в задачах, не связанных напрямую с прямоугольными треугольниками.

 

Объяснение урока: Простые тригонометрические уравнения

В этом объяснении мы узнаем, как находить меры угла по заданным значениям интервала и функции.

Тригонометрическое уравнение — это уравнение, которое включает по крайней мере одно из следующего: тригонометрическую функцию, такую ​​как синус, косинус или тангенс; обратная тригонометрическая функция, такая как косеканс, секанс или котангенс; или инверсия любого из них. Некоторые из более простых примеров таких уравнений можно решить без использования калькулятора; однако для большинства из них было бы утомительно пытаться запомнить конкретные значения тригонометрической функции. В этих случаях мы используем обратную функцию наряду со знанием симметрии и периодичности их графиков для вычисления дополнительных решений.

Прежде чем мы продемонстрируем, как использовать симметрию графика тригонометрической функции для нахождения всех решений в заданном интервале, мы сначала напомним точные значения синуса, косинуса и тангенса ряда специальных углов.

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник с двумя сторонами длиной 1 см, как показано на рисунке.

Используя теорему Пифагора, мы можем вычислить длину гипотенузы как √1+1=√2см. Затем, используя тригонометрическое соглашение для обозначения сторон относительно угла в верхней части диаграммы, мы можем вычислить точное значение sin(45)∘. синоффипсин𝜃=45=1√2=√22,∘

Используя этот равнобедренный треугольник и приведенный ниже равносторонний треугольник, вы сможете получить следующие точные значения синуса, косинуса и тангенса (как показано в таблице).

Точные значения для заданных значений 𝜃 следующие.

𝜃	0∘	30=𝜋6∘	45=𝜋4∘	60=𝜋3∘	90=𝜋2∘
sin𝜃	0	12	1√2= √22	√32	1
cos𝜃	1	√32	1√2=√22	12	0
tan𝜃	0	1√3=√33	1	√3	Undefined

Важно, чтобы мы могли вспомнить эти точные значения, не чувствуя необходимости тянуться к калькулятору, и поэтому нам нужно время, чтобы ознакомиться с приведенными таблицами.

В первом примере мы покажем, как использовать симметрию графика синуса вместе с таблицей точных значений, чтобы найти все решения простого тригонометрического уравнения.

Пример 1. Определение общего решения тригонометрического уравнения

Каково общее решение sin𝜃=√22?

Ответ

Чтобы найти общее решение тригонометрического уравнения, мы начинаем с поиска частного решения. В этом случае может помочь таблица точных тригонометрических величин.

Для угла 𝜃, выраженного в радианах, точные значения функции синуса следующие.

𝜃	0	𝜋6	𝜋4	𝜋3	𝜋2
sin𝜃	0	12	√22	√32	1

We observe that sin𝜋4=√22, so 𝜃=𝜋4 is частное решение уравнения sin𝜃=√22.

Чтобы найти другие решения, мы нарисуем график 𝑦=𝜃sin, как показано на следующем рисунке.

Решения sin𝜃=√22 находятся добавлением к диаграмме линии 𝑦=√22. Значения 𝜃 в точках пересечения этой линии с синусоидой являются решениями уравнения.

Поскольку синусоида имеет симметрию относительно 𝜋2 в интервале 0≤𝜃≤𝜋, второе решение находится вычитанием 𝜋4 из 𝜋: 𝜋−𝜋4=3𝜋4.

Помните, функция синуса является периодической с периодом 2𝜋 радиан, поэтому дальнейшие решения можно найти, добавляя или вычитая 2𝜋 радиан из конкретных решений.

Другими словами, решение 𝜋4+2𝑛𝜋, 3𝜋4+2𝑛𝜋, для целых значений 𝑛.

В качестве альтернативы, это может быть представлено с помощью обозначения множества как 𝜋4+2𝑛𝜋, 3𝜋4+2𝑛𝜋, где 𝑛∈ℤ.

В предыдущем примере мы продемонстрировали, как интерпретировать симметрию графика синуса, чтобы найти все решения уравнения. Другим мощным инструментом, который можно использовать для расширения области определения функции синуса, является единичный круг. Помните, что это круг с центром в начале координат и радиусом в 1 единицу. Чтобы использовать единичную окружность для определения синуса 90 575 любого угла 90 576 𝜃, мы начинаем в точке (1,0) и движемся по окружности в направлении против часовой стрелки, пока угол, который образуется между этой точкой, началом , а положительная 𝑥-ось равна 𝜃. Тогда, если эта точка имеет координаты (𝑥,𝑦), sin𝜃 равен значению 𝑦.

Обратите внимание, что значение 𝑦-координаты положительно как в 1-м, так и во 2-м квадрантах; следовательно, значение sin𝜃 также будет положительным в этих квадрантах. Кроме того, поскольку единичный круг обладает отражательной симметрией относительно оси 𝑦, мы можем видеть, что sinsin𝜃=(180−𝜃).

Продолжая двигаться по окружности единичной окружности, мы можем увидеть, что sinsin𝜃=(360+𝜃) для всех значений 𝜃.

Эти результаты можно обобщить следующим образом.

Практическое руководство. Поиск решений простых уравнений с использованием функции синуса

Если 𝜃=𝜃 является решением уравнения sin𝜃=𝑐, для некоторой константы 𝑐∈[−1,1], второе решение определяется выражением 𝜃=180−𝜃. Тогда множество всех решений sin𝜃=𝑐 равно 𝜃=𝜃+2𝑛𝜋𝜃=𝜋−𝜃+2𝑛𝜋,𝑛∈ℤ.и где

Если 𝜃 измеряется в градусах, решения 𝜃=𝜃+360𝑛𝜃=180−𝜃+360𝑛,𝑛∈ℤ.andwhere

Хотя нам может показаться склонным запоминать эти формулы, на практике гораздо эффективнее набросать график функции синуса или единичный круг, чтобы помочь нам вывести множество решений уравнения, включающего функцию синуса. Давайте продемонстрируем это на нашем следующем примере.

Пример 2. Поиск решений тригонометрического уравнения в заданном диапазоне

Найдите набор значений, удовлетворяющих 4𝜃−1=0sin, где 90≤𝜃≤360∘∘.

Ответ

Чтобы решить это простое тригонометрическое уравнение, мы начнем с перестановки, чтобы сделать функцию синуса предметом: 4𝜃−1=04𝜃=1𝜃=14.sinsinsin

Необходимо соблюдать осторожность на следующем этапе вычислений. Мы должны взять как положительные, так и отрицательные квадратные корни из 14. Это приведет к созданию пары уравнений с точки зрения греха𝜃: синорсинсинорсин𝜃=14𝜃=-14,𝜃=12𝜃=-12.

Обратите внимание, что мы могли бы также разложить выражение 4𝜃−1sin на множители как (2𝜃−1)(2𝜃+1)sinsin, а затем решить уравнение (2𝜃−1)(2𝜃+1)=0sinsin, чтобы получить то же самое результат.

Далее, чтобы решить первое уравнение, мы вспоминаем точные значения sin𝜃, где 𝜃 измеряется в градусах, следующим образом.

𝜃	0∘	30∘	45∘	60∘	904
40460 4046777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777767 67. 0477	√32	1

Следовательно, решением уравнения sin𝜃=12 является 𝜃=30∘. Обратите внимание, что это выходит за пределы указанного интервала 90≤𝜃≤360∘∘, поэтому мы будем учитывать симметрию единичного круга, чтобы найти дальнейшие решения.

Мы видим, что единственным решением в заданном интервале является 𝜃=180−30=150∘.

Теперь мы решим второе уравнение, снова используя симметрию единичного круга. Поскольку sin𝜃=𝑦 для всех 𝜃, а значение 𝑦 отрицательно в 3-м и 4-м квадрантах, мы добавляем здесь прямоугольные треугольники, как показано.

Следовательно, следующие два решения равны 𝜃=180+30=210∘ и 𝜃=360−30=330∘. На этом этапе мы могли бы захотеть найти дополнительные решения, добавив к ним целые числа, кратные 360∘, но это привело бы к значениям, выходящим за пределы требуемого интервала.

Набор значений, удовлетворяющих 4𝜃−1=0sin, где 90≤𝜃≤360∘∘, равен {150,210,330}.∘∘∘

В предыдущем примере мы продемонстрировали, как использовать симметрию единичного круга с информацией о точных значениях для решения тригнометрических уравнений, где 𝜃 не является острым углом. Стоит отметить, что для решения второго уравнения sin𝜃=−12 мы могли бы в качестве альтернативы использовать функцию обратного синуса и калькулятор, чтобы найти 𝜃=−12=−30.sin∘

Если бы мы выбрали этот метод, нам пришлось бы рассматривать области единичного круга, где 𝜃0∘, и применять правила симметрии и периодичности как обычно.

В нашем следующем примере мы рассмотрим, как использовать симметрию графика функции косинуса для решения тригнометрического уравнения.

Пример 3. Решение тригонометрического уравнения со смещенным углом в заданном диапазоне

Найдите множество значений, удовлетворяющих условию cos(𝜃−105)=−12, где 0𝜃360∘∘.

Ответ

Чтобы найти решения тригонометрического уравнения в заданном интервале, мы начинаем с поиска конкретного решения. В этом случае может помочь таблица точных тригонометрических величин.

Сначала мы переопределим аргумент функции, положив 𝛼=𝜃−105 таким образом, что косанд𝛼=−12𝜃=𝛼+105.

Изменение интервала действия наших решений путем добавления 105∘ дает −105𝛼255∘∘. Тогда точные значения cos𝛼, где 𝛼 измеряется в градусах, следующие.

𝛼	0∘	30∘	45∘	60∘	90∘
cos𝛼	1	√32	√22	12	0

Мы видим, что cos𝛼=12; однако в таблице нет таких значений 𝛼, что cos𝛼=−12. Нарисовав график функции косинуса и линии 𝑦=12 и 𝑦=-12, мы можем найти соответствующее значение 𝛼.

Граф имеет вращательную симметрию между 0≤𝛼≤180∘∘ около (90,0)∘, поэтому первое решение cos𝛼=−12 есть 𝛼=180−60=120.∘

Используя симметрию кривой, следующее решение 𝛼=180+60=240.∘

По-видимому, есть еще одно решение, полученное с помощью 𝛼=120+360=480∘; однако это вне интервала 105𝛼465∘∘.

Следовательно, решения cos𝛼=−12 равны 𝛼=120∘ и 𝛼=240∘.

Поскольку мы определили 𝜃=𝛼+105, решения cos(𝜃−105)=−12 равны 𝜃=120+105=225𝜃=240+105=345,∘∘и

Следовательно, множество решений {225 345}. ∘∘

Обратите внимание, что альтернативный метод нахождения частного решения cos𝛼=−12 заключается в использовании функции арккосинуса, такой что 𝛼=−12=120.cos∘

На этом этапе оставшиеся шаги по поиску других решений такие же.

Помните, мы также можем использовать симметрию единичного круга для достижения того же результата. Точно так же, как значение 𝑦-координаты точки пересечения конечной стороны угла с единичной окружностью говорит нам значение sin𝜃, значение 𝑥-координаты говорит нам значение cos𝜃.

Поскольку значение 𝑥-координаты положительно в 1-м и 4-м квадрантах, в силу симметрии единичного круга coscos𝜃=(360−𝜃).

Используя симметрию единичной окружности и периодичность функции косинуса, мы можем привести формулы для общего решения уравнений с участием этой функции.

Практическое руководство. Решение простых уравнений с использованием функции косинуса

Если 𝜃=𝜃 является решением уравнения cos𝜃=𝑐 для некоторой константы 𝑐∈[−1,1], второе решение определяется выражением 𝜃=360 −𝜃. Тогда множество всех решений cos𝜃=𝑐 есть 𝜃=𝜃+2𝑛𝜋𝜃=2𝜋−𝜃+2𝑛𝜋,𝑛∈ℤ.и где

Если 𝜃 измеряется в градусах, решения 𝜃=𝜃+360𝑛𝜃=360−𝜃+360𝑛,𝑛∈ℤ.andwhere

В предыдущем примере мы показали, как решить тригонометрическое уравнение, в котором аргумент тригонометрической функции каким-то образом преобразован. В таких случаях мы начинаем с переопределения аргумента и изменения интервала, на котором мы решаем, что позволяет нам использовать симметрию стандартных тригонометрических кривых, прежде чем окончательно решить полученные уравнения в 𝜃. Как правило, это более разумный путь, чем попытки применить преобразования к кривым тригонометрических функций. Это кратко изложено ниже.

Практическое руководство. Решение простого тригонометрического уравнения с преобразованным аргументом

1. Переопределите аргумент тригонометрической функции (например, пусть 𝑥=𝜃+30).
2. Изменить заданный интервал, на котором должны быть найдены решения, используя то же определение (например, 0≤𝜃≤360∘∘ означает 30≤𝑥≤390∘∘).
3. Найдите все решения полученного уравнения на этом новом интервале.
4. Преобразуйте эти решения обратно в исходную переменную, используя исходное определение (например, 𝜃=𝑥−30).

Сейчас мы продемонстрируем, как использовать эту технику для решения уравнения с тройным углом.

Пример 4. Решение тригонометрического уравнения с тройным углом в заданном диапазоне

Найдите множество значений, удовлетворяющих условию sin3𝑥=1, где 0≤𝑥≤2𝜋.

Ответ

Чтобы решить sin3𝑥=1, мы начнем с переопределения аргумента. Положив 𝜃=3𝑥, так что 𝑥=𝜃3, уравнение принимает вид sin𝜃=1, где 0≤𝜃3≤2𝜋. Чтобы упростить этот интервал, мы умножаем на 3, чтобы получить 0≤𝜃≤6𝜋.

Теперь мы можем решить уравнение sin𝜃=1 на этом новом интервале. Для угла 𝜃, заданного в радианах, точные значения функции синуса следующие.

𝜃	0	𝜋6	𝜋4	𝜋3	𝜋2
sin𝜃	0	12	√22	√32	1

Hence, a solution к уравнению sin𝜃=1 равно 𝜃=𝜋2. Чтобы найти дальнейшие решения, нарисуем график 𝑦=𝜃sin на интервале 0≤𝜃≤6𝜋, помня, что функция синуса является периодической с периодом 2𝜋 радиан.

Мы видим, что решения встречаются каждые 2𝜋 радиан, поэтому наши дополнительные решения равны 𝜃=5𝜋2 и 𝜃=9𝜋2.

Следовательно, множество решений sin𝜃=1 на требуемом интервале равно 𝜋2,5𝜋2,9𝜋2.

Поскольку 𝑥=𝜃3, мы можем найти множество решений sin3𝑥=1, разделив каждое из этих значений на 3. Тогда множество решений равно 𝜋6,5𝜋6,3𝜋2.

Сейчас мы продемонстрируем, как применить этот процесс для решения уравнений, включающих функцию тангенса.

Пример 5. Решение тригонометрического уравнения со смещенным двойным углом в заданном диапазоне

Найдите множество значений, удовлетворяющих tan2𝑥+𝜋5=−1, где 0≤𝑥≤2𝜋.

Ответ

Чтобы решить это уравнение, мы начнем с переопределения аргумента, что позволит нам использовать симметрию функции тангенса. Пусть 𝜃=2𝑥+𝜋5, поэтому tan𝜃=−1 на 𝜋5≤𝜃≤21𝜋5.

Затем мы можем использовать таблицу точных значений и знания о периодичности функции тангенса для решения этого нового уравнения.

Помните, что для 𝜃, измеренного в радианах, точные значения tan𝜃 следующие.

𝜃	0	𝜋6	𝜋4	𝜋3	𝜋2
tan𝜃	0	1√3=√33	1	√3	Undefined

Мы видим, что tan𝜋4=1, поэтому давайте воспользуемся этим, чтобы найти значение 𝜃, где tan𝜃=−1. График 𝑦=𝜃tan нарисован на интервале 0≤𝜃≤21𝜋5 ниже.

Мы видим, что график функции тангенса имеет вращательную симметрию относительно (𝑛𝜋,0), где 𝑛∈ℤ. Следовательно, первое решение tan𝜃=−1 равно 𝜃=𝜋−𝜋4=3𝜋4. Точно так же, поскольку функция является периодической с периодом 𝜋 радиан, остальные решения находятся путем добавления к этому значению множителей 𝜋: 𝜃=3𝜋4+𝜋=7𝜋4,𝜃=3𝜋4+2𝜋=11𝜋4,𝜃=3𝜋4+3𝜋=15𝜋4.

Теперь у нас есть четыре решения tan𝜃=−1 на требуемом интервале. Поскольку мы определили 𝜃=2𝑥+𝜋5, мы можем найти значение 𝑥, установив 𝜃=2𝑥+𝜋5 в каждом случае и найдя 𝑥. В случае первого значения 𝜃 это дает 2𝑥+𝜋5=3𝜋42𝑥=11𝜋20𝑥=11𝜋40.

Аналогичным образом оставшиеся значения 𝑥 равны 31𝜋40, 51𝜋40 и 71𝜋40. Следовательно, набор значений, удовлетворяющих tan2𝑥+𝜋5=−1, где 0≤𝑥≤2𝜋, равен 11𝜋40,31𝜋40,51𝜋40,71𝜋40.

В предыдущем примере мы рассмотрели периодичность функции тангенса. Как мы сделали для функций синуса и косинуса, мы можем привести общие решения уравнений, включающих эту функцию.

Практическое руководство. Решение простых уравнений с использованием функции тангенса

Если 𝜃=𝜃 является решением уравнения tan𝜃=𝑐, для некоторой константы 𝑐∈ℝ множество всех решений уравнения tan𝜃=𝑐 равно 𝜃=𝜃+𝑛𝜋,𝑛∈ℤ.где

Если 𝜃 измеряется в градусах, решение 𝜃=𝜃+180𝑛,𝑛∈ℤ.где

До сих пор мы рассматривали только «стандартные» тригонометрические функции: синус, косинус и тангенс. Важно понимать, что процесс выполняется для обратных функций: косеканса, секанса и котангенса. Мы продемонстрируем это на следующем примере.

Пример 6. Нахождение общего решения обратного тригонометрического уравнения

Найдите общее решение уравнения sec𝜃=−√2.

Ответ

Напомним, что функция секанса является обратной функцией косинуса. Другими словами, секко𝜃≡1𝜃.

Следовательно, уравнение sec𝜃=−√2 можно переписать как 1𝜃=-√2𝜃=-1√2=-√22.coscos

Мы знаем, что для угла 𝜃, измеренного в радианах, применяются следующие точные значения функции косинуса.

𝜃	0	𝜋6	𝜋4	𝜋3	𝜋2
cos𝜃	0	√32	√22	12	0

While we observe the value cos𝜋4 равно √22, для −√22 нет значения. Вместо этого мы нарисуем график 𝑦=𝜃cos, чтобы вывести соответствующие решения.

Граф имеет вращательную симметрию между 0≤𝛼≤180∘∘ относительно 𝜋2,0, поэтому первое решение cos𝜃=−√22 есть 𝜃=𝜋−𝜋4=3𝜋4.

Аналогично, следующее решение дается выражением 𝜃=3𝜋2−𝜋4=5𝜋4.

Поскольку функция косинуса является периодической с периодом 2𝜋 радиан, дальнейшие решения находятся путем добавления целых кратных к любому из этих решений. Например, мы могли бы найти другое решение, вычитая 2𝜋 из 5𝜋4: 𝜃=5𝜋4−2𝜋=−3𝜋4.

Другими словами, общее решение sec𝜃=−√2 есть 3𝜋4+2𝜋𝑛,5𝜋4+2𝜋𝑛,𝑛∈ℤ.где

Альтернативно, где

интервал или его общее решение. Сейчас мы повторим ключевые понятия.

Ключевые моменты

• Мы можем решать простые тригонометрические уравнения, используя таблицы точных значений или обратные тригонометрические функции.
• Чтобы помочь нам вычислить все решения данного уравнения в заданном диапазоне, мы можем нарисовать график необходимой тригонометрической функции или использовать единичный круг.
• Симметрия и периодичность функций синуса, косинуса и тангенса позволяют нам вычислять дальнейшие решения тригонометрических уравнений или общие решения, включающие целые числа, кратные 360∘ или 2𝜋 для синуса и косинуса и 180∘ и 𝜋 для тангенса.

Введение в тригонометрию

Добро пожаловать на введение в тригонометрию . Эта веб-книга знакомит учащихся средних и старших классов с тригонометрией с использованием системы углов в градусах и геометрии треугольника. Это первая книга из трех частей:

.
1. Введение в тригонометрию
2. Основы тригонометрии
3. Тригонометрия в комплексной плоскости

Введение

Тригонометрия – это наука о треугольниках и углах. Первоначально этот предмет был вдохновлен астрономией, навигацией и геометрией и с тех пор получил широкое применение в математике, физике и информатике. Эта книга знакомит с тригонометрией с использованием системы градусных углов и базовой геометрии.

Уголки

TODO: дикий угол интерактивный

Примечание: Иллюстрация выше является интерактивной, т. е. синие контрольные точки можно перетаскивать. Эти интерактивы появляются на этом веб-сайте.

градусов

Система градусных углов делит полный оборот на единицы, называемые градусами. В системе координат XY принято измерять углы, начиная с направления вправо (положительное) с направлением против часовой стрелки как положительным.

TODO: показать угловую систему градусов, ориентированную по оси — с нулем вверху.

Измерение углов

Типы уголков

Острый угол

Острый угол определяется как угол, меньший перпендикулярного угла.

Тупой угол

Угол больше 90 градусов.

Перпендикулярный угол

Перпендикулярный угол равен четверти полного оборота.

TODO: возможно, заменить приведенную выше таблицу с эскизами и определениями

Треугольник

Треугольник — это трехсторонний многоугольник. Фигура имеет три вершины, соответствующие углам, образованным сторонами фигуры. Существуют различные способы построения треугольника. Например, треугольник, показанный в интерактивном ниже, образован тремя точками. Синие контрольные точки можно перетаскивать, чтобы изменить форму треугольника.

Треугольник имени можно разбить на префикс «три», означающий три, и «угол». Форма проста, универсальна и, если присмотреться, имеет много общего с кругами.

Остроугольный треугольник

Тупоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник является частным случаем общего треугольника, где один из углов равен .

TODO: показать разные случаи деления треугольников

Специальные треугольники

Есть два особых прямоугольных треугольника, свойства которых полезны и проявляются во многих местах: прямоугольный треугольник 45 45 90 и прямоугольный треугольник 30 60 90. Поскольку углы треугольников делят полный оборот поровну, их геометрия появляется во многих особых случаях.

TODO: Почему треугольник 30-60-90 появляется в такой простой форме? 45-45-90 естественным образом следует из деления квадрата на диагональ. Приводит ли построение шестиугольника к простой форме этого особого треугольника?

Теорема Пифагора

Уникальное свойство прямоугольного треугольника определяется теоремой Пифагора, которая связывает квадраты сторон вместе. Это можно визуализировать, нарисовав квадратную площадь каждой стороны рядом с прямоугольным треугольником.

Триггер. Функции

Тригонометрические функции возвращают отношения сторон прямоугольного треугольника, если в качестве входных данных задан угол прямоугольного треугольника. Исторически сложилось так, что до появления калькуляторов и компьютеров углы, соответствующие отношениям, хранились в таблице. Ниже показаны прямоугольные определения тригонометрических функций.

Функция	Уравнение
Синус
Косинус
Тангенс

Мнемоника

«SoaCaoToa» — это мнемоника, которую можно использовать для запоминания различных соотношений, возвращаемых функцией.

Синус

Учитывая угол прямоугольного треугольника, функция синуса возвращает отношение его противоположной стороны к гипотенузе.

Косинус

Для заданного угла прямоугольного треугольника функция косинуса возвращает отношение прилежащего к гипотенузе.

Касательная

При заданном угле прямоугольного треугольника функция тангенса возвращает отношение противоположного угла к прилежащему.

Таблица соотношений

В то время как калькуляторы повсюду и легко доступны в современной математике, исторически таблицы использовались для поиска соотношений, соответствующих углу. Именно поэтому тригонометрические функции также называют тригонометрические соотношения .

Общие коэффициенты

Уголок	Синус	Косинус	Касательная
0°	0,000	1. 000	0,000
5°	0,087	0,996	0,087
10°	0,174	0,985	0,176
15°	0,259	0,966	0,268
20°	0,342	0,940	0,364
25°	0,423	0,906	0,466
30°	0,500	0,866	0,577
35°	0,574	0,819	0,700
40°	0,643	0,766	0,839
45°	0,707	0,707	1. 000
50°	0,766	0,643	1,192
55°	0,819	0,574	1,428
60°	0,866	0,500	1,732
65°	0,906	0,423	2,145
70°	0,940	0,342	2,747
75°	0,966	0,259	3.732
80°	0,985	0,174	5,671
85°	0,996	0,087	11. 430
90°	1.000	0,000	БЕСКОНЕЧНОСТЬ

Trig Identities

Тригонометрические тождества представляют собой набор полезных уравнений, которые можно использовать для преобразования математических выражений и управления ими. Они представляют собой комбинацию различных теорем и наблюдений, относящихся к треугольникам. Однако для краткости в этой книге рассматриваются только две группы идентичностей. Сумма двух углов и разность двух углов.

Сумма двух углов

Сумма двух углов выражает тригонометрические отношения синуса и косинуса через отношения отдельных углов. Эти тождества можно визуально выразить как «доказательство без слов», как показано на рисунке ниже. Чтобы получить это доказательство, см. эту страницу.

Разность двух углов

Разность двух углов выражает тригонометрические отношения синуса и косинуса через отношения отдельных углов.

No related posts.

Добавить комментарий Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Комментарий *

Имя *

Email *

Сайт