Тригонометрия числа на окружности: Числовая окружность, макеты числовой окружности — урок. Алгебра, 10 класс.

Содержание

Числовая окружность на координатной плоскости. Синус и косинус 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Определение радиана

Мы уже знаем, что аргумент можно откладывать на числовой окружности. Рассмотрим круг и его основные части, которые нам будут нужны в дальнейшем.

Определение радиана. Углы могут измеряться разными единицами – градусами и радианами.

Радианом называется такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу (рис.1).

;

, т.к. длина хорды АВ меньше длины дуги .

Связь радиана и градуса

Связь радиана и градуса.

Окружность разделили на 360 равных частей и угол, равный одной части, приняли за угол в

А сколько углов в 1рад можно получить в одной окружности?

Длина окружности , т.е. в окружности содержится штук радиусов R.

;

— связь градуса и радиана;

— иррациональное число.

Решение типовых задач

Типовые задачи.

1. Дано: . Перевести в рад.

a) Дано: Перевести в рад.

2. Дано: 1рад. Перевести в градусы.

Формулы площади сектора и длины дуги

Через радианную меру угла удобно выражать площадь сектора круга и длину дуги окружности.

Имеем круг радиуса R. Найти площадь сектора AOB.

Длина дуги .

Если , то

Если окружность имеет , то, отложив длину дуги , мы получим центральный угол, который равен в радианном измерении.

Наша цель – тригонометрические функции. Аргументы тригонометрических функций откладывают либо на единичной окружности, либо на координатной прямой. Если окружность единичная, откладывать можно и числа, и углы.

Числовая окружность в координатной плоскости

Переходим к числовой окружности в координатной плоскости.

На окружности начало отсчета – т. А (рис.4).

Зададим . Отложим дугу , получим угол и т. В.

– уравнение окружности с центром в т. О(0;0).

Если ,то уравнение единичной окружности с центром в т.О(0;0).

Мы уже знаем, что любая точка на окружности описывает множество чисел, первое из них – число либо угол Важно уметь находить координаты этих точек.

Любая точка на координатной плоскости характеризуется двумя координатами —.

Определение синуса и косинуса

Определение. Если т. В соответствует числу , а значит и углу , то ее абсциссу называют косинусом этого числа или этого угла, а ее ординату – синусом этого числа или этого угла.

Как вычислять эти значения?

Мы имеем уравнение единичной окружности

И ранее были вычислены соответствующие значения для углов .

Примеры

Пример:

Вычислить значения

Решение:

Необходимо найти

Изобразим т. М на единичной окружности (рис.5). Спроектируем ее на координатные оси и получим точки

координата т.координата т.

Т.е. нам необходимо найти

Рассмотрим прямоугольный (рис.6).

Но т.принадлежит отрицательной полуоси поэтому

Ответ:.

Синусы и косинусы реперных точек

Найдем синусы и косинусы основных реперных точек. Реперные точки – это точки пересечения единичной окружности с осями координат (рис.7).

Т. А соответствует углу 0 рад.

По определению

Значит

Т .В соответствует углу

Значит

Т.С соответствует углу

Значит

Т. D соответствует углу .

Значит

Заключение

Мы ввели числовую окружность и поместили ее в координатную плоскость, решили типовые задачи, определили, что такое синус и косинус угла, выяснили, что если в числовой окружностиR=1, то дуга , соответствующая центральному углу , равна самому углу в радианном измерении, .

Выяснили, что для любой точки

Вычислили для основных точек.

Изучение мы продолжим на следующих уроках.

Список литературы

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.
Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 631; 634; 554; 561; 574; 578.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

РЕШУ ЕГЭ (Источник).
Задачи (Источник).
Задачи (Источник).

10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Числовая окружность. — Числовая окружность. Числовая окружность на координатной плоскости.

Комментарии преподавателя

Для любой функции независимый аргумент откладывается либо на числовой прямой, либо на окружности. Охарактеризуем и числовую прямую, и числовую окружность.

Прямая становится числовой (координатной) прямой, если отмечено начало координат, выбраны направление и масштаб (рис. 1).

Числовая прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми действительными числами.

Например, берем число откладываем на координатной оси, получаем точку Возьмем число откладываем на оси, получаем точку (рис. 2).

И наоборот, если мы взяли любую точку на координатной прямой, то найдется единственное соответствующее ей действительное число (рис. 2).

К такому соответствию люди пришли не сразу. Чтобы понять это, вспомним основные числовые множества.

Сначала ввели множество натуральных чисел

Затем множество целых чисел

Множество рациональных чисел

Предполагалось, что этих множеств будет достаточно, и существует взаимно-однозначное соответствие между всеми рациональными числами и точками прямой. Но оказалось, что на числовой прямой есть бесчисленное множество точек, которые нельзя описать числами вида

Пример – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1. Она равна (рис. 3).

Найдется ли среди множества рациональных чисел число, в точности равное Нет, не найдется. Докажем этот факт.

Докажем методом от противного. Предположим, что существует дробь, равная т.е.

Тогда Возведем обе части в квадрат, Очевидно, что правая часть равенства делится на 2, . Значит и Тогда Но тогда и А значит, Тогда получается, что дробь сократимая. Это противоречит условию, значит

Число иррациональное. Множество рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел Если мы возьмем любую точку на прямой, ей будет соответствовать какое-либо действительное число. И если мы возьмем любое действительное число, ему будет соответствовать единственная точка на координатной прямой.

Уточним, что такое числовая окружность и каковы взаимоотношения между множеством точек окружности и множеством действительных чисел.

Начало отсчета – точка A. Направление отсчета – против часовой стрелки – положительное, по часовой стрелке – отрицательное. Масштаб – длина окружности (рис. 4).

Вводя эти три положения, мы имеем числовую окружность. Укажем, каким образом каждому числу поставить в соответствие точку на окружности и наоборот.

Задав число получаем точку на окружности

(рис. 4).

Каждому действительному числу соответствует точка на окружности. А наоборот?

Точка соответствует числу . А если взять числа Все эти числа своим образом на окружности имеют только одну точку

Например, соответствует точке B (рис. 4).

Возьмем все числа Все они соответствуют точке B. Нет взаимно-однозначного соответствия между всеми действительными числами и точками окружности.

Если есть фиксированное число то ему соответствует только одна точка окружности

Если есть точка окружности, то ей соответствует множество чисел

В отличии от прямой, координатная окружность не обладает взаимно-однозначным соответствием между точками и числами. Каждому числу соответствует только одна точка, но каждой точке соответствует бесчисленное множество чисел, и мы можем их записать.

Рассмотрим основные точки на окружности.

Задано число Найти, какой точке на окружности оно соответствует.

Разделив дугу пополам, получаем точку (рис. 5).

Обратная задача – дана точка середина дуги Найти все действительные числа, которые ей соответствуют.

Отметим на числовой окружности все дуги, кратные (рис. 6).

Важны также дуги, кратные

Дано число Нужно найти соответствующую точку.

Обратная задача – дана точка, нужно найти каким числам она соответствует.

(рис. 7).

Мы рассмотрели две стандартные задачи на двух важнейших точках.

Пример 1.

a) Найти на числовой окружности точку с координатой

Решение:

Откладываем от точки Aэто два целых оборота и еще половина, и Получаем точку M – это середина третьей четверти (рис. 8).

Ответ. Точка M – середина третьей четверти.

b) Найти на числовой окружности точку с координатой

Решение:

Откладываем от точки A полный оборот и еще получаем точку N (рис. 9).

Ответ: Точка N находится в первой четверти.

Мы рассмотрели числовую прямую и числовую окружность, вспомнили их особенности. Особенностью числовой прямой является взаимно-однозначное соответствие между точками этой прямой и множеством действительных чисел. Такого взаимно-однозначного соответствия нет на окружности. Каждому действительному числу на окружности соответствует единственная точка, но каждой точке числовой окружности соответствует бесчисленное множество действительных чисел.

Ранее мы изучили числовую окружность и выяснили её свойства (рис. 1).

Рис. 1

Каждому действительному числу соответствует единственная точка на окружности.

Каждой точке на числовой окружности соответствует не только число но и все числа вида

Поместим окружность в координатную плоскость. По прежнему, каждому числу соответствует точка на окружности. Теперь этой точке на окружности соответствуют две координаты, как и любой точке координатной плоскости.

(рис. 2).

Рис. 2

Наша задача – по данному числу найти не только точку, но и её координаты, и наоборот, по координатам найти одно или несколько соответствующих чисел.

Пример 1.Дана точка – середина дуги Точке соответствуют числа вида

Найти координаты точки (рис. 3).

Рис. 3

Решение:

Координаты можно найти двумя разными способами, рассмотрим их по очереди.

1. Точка лежит на окружности, R=1, значит, она удовлетворяет уравнению окружности

по условию. Мы помним, что величина центрального угла численно равна длине дуги в радианах, значит, угол Это значит также, что прямая делит первую четверть ровно пополам, значит, это прямая

Точка лежит на прямой поэтому удовлетворяет уравнению этой прямой.

Составим систему из двух уравнений.

Решив систему, получим искомые координаты.

2. Рассмотрим прямоугольный (рис. 4).

Рис. 4

Итак, мы задали число нашли точку и её координаты. Определим также координаты симметричных ей точек (рис. 5).

Рис. 5

Следующая задача – таким же образом определить координаты точек, кратных

Окружность радиуса R=1 помещена в координатную плоскость, Найти точку на окружности и её координаты (рис. 6).

Рис. 6

Решение:

Рассмотрим – прямоугольный.

т. е. угол

Найдем координаты симметричных точек (рис. 7).

Рис. 7

Мы задали число нашли точку на окружности, эта точка единственная, и нашли её координаты.

Самостоятельно рекомендуется найти координаты точки, соответствующей числу

Пример 1. Дана точка Найти её прямоугольные координаты.

Решение:

Точка середина третьей четверти (рис. 8).

Рис. 8

Мы поместили числовую окружность в координатную плоскость, научились находить по числу точку на окружности и её координаты. Эта техника лежит в основе определения синуса и косинуса, которые будут рассмотрены далее.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/chislovaya-okruzhnost-2

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/chislovaya-okruzhnost-na-koordinatnoy-ploskosti

http://mathematics-tests.com/10-klass-chislovaya-okruzhnost

http://www.kmrz.ru/catimg/40/400239.jpg

http://shkolnie.ru/pars_docs/refs/18/17881/17881_html_m73662372.jpg

Тригонометрия — Тригонометрия с использованием окружностей — треугольник, угол, тригонометрия и функции

В течение сотен лет тригонометрия считалась полезной только для определения сторон и углов треугольника. Однако, когда математики разработали более общие определения синуса, косинуса и тангенса, тригонометрия стала гораздо более важной как в математике, так и в естественных науках. Общие определения тригонометрических функций были разработаны при рассмотрении этих значений как точек на единичной окружности.

Единичный круг — это круг, имеющий радиус в одну единицу, что означает x ² + y ² = 1. Если мы считаем, что круг представляет вращение стороны угла, то тригонометрические функции могут быть определены координатами x и y точки вращения. Например, координаты точки P(x,y) можно использовать для определения прямоугольного треугольника с гипотенузой длины r. Тогда тригонометрические функции могут быть представлены следующими уравнениями.

С тригонометрическими функциями, определенными как таковые, можно построить график каждой из них, построив ее значение в зависимости от величины угла, который она представляет.

Поскольку значение x и y никогда не может быть больше единицы на единичной окружности, диапазон графиков синуса и косинуса находится в пределах от 1 до -1. Величина угла может быть любым действительным числом, поэтому домен графиков представляет собой все действительных чисел . (Углы, превышающие 360° или 2π радиан, представляют угол с более чем одним оборотом вращения). Графики синусов и косинусов являются периодическими, потому что они повторяют свои значения или имеют период каждые 360° или 2π радиан. Они также имеют амплитуду, равную единице, которая определяется как половина разницы между максимальным (1) и минимальным (-1) значениями.

Возможны графики других тригонометрических функций. Из них наиболее важным является график функции тангенса. Подобно графикам синуса и косинуса, функция тангенса периодична, но имеет период 180° или π радиан. Поскольку тангенс равен y/x, его диапазон составляет от -∞ до ∞, а его амплитуда равна ∞.

Периодичность тригонометрических функций важнее для современной тригонометрии, чем отношения, которые они представляют. Математики и ученые теперь могут описывать многие типы природных явлений, которые периодически повторяются, с помощью тригонометрических функций. Например, время закатов, восходов и комет можно вычислить благодаря тригонометрическим функциям. Кроме того, их можно использовать для описания сезонных изменений температуры , движения волн в океане и даже качества музыкального звука.

Книги

Барнетт, Рэймонд А., Майкл Зейглер, Карл Байлин и Стивен Хит. Аналитическая тригонометрия с приложениями. 7-е изд. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1998.

Блитцер, Роберт и др. Алгебра и тригонометрия. 2-е изд. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 2003.

Ларсон, Рон. Исчисление с аналитической геометрией. Бостон: Houghton Mifflin College, 2002.

Stewart, James, et al. Тригонометрия Пасифик Гроув, Калифорния: Брукс/Коул, 2003.

Вайсштейн, Эрик В. Краткая энциклопедия математики CRC. New York: CRC Press, 1998.

Тригонометрические функции с помощью единичной окружности

по

Определение тригонометрических функций с помощью единичной окружности

Используя единичную окружность, вы можете легко определить функции синуса, тангенса и косинуса.

В этой части мы переопределим эти функции в контексте единичного круга. Напомним, что единичная окружность — это окружность, расположенная в центре начала окружности с радиусом один. «t» — это угол, измеренный в радианах, который образует дугу длины, выраженную как «s».

Координатная плоскость (плюс единичный круг) разделена между двумя осями, осью x и осью y, и расположена по центру в начале координат. Две оси x и y также разделены на 4 четверти, известные как квадранты.

Оценки присваиваются 4 квадрантам – I, II, III и IV.

Для любого угла t мы можем отметить пересечение его стороны и единичного круга с помощью его координат (x,y). Координаты y и x являются выходными данными тригонометрических функций, обозначаемых f (t), где f (t) = sin t и f (t) = cos⁡t соответственно.

Это означает, что

x = cos t

y = sin t

Приведенная ниже диаграмма единичного круга ясно описывает эти координаты.

Тригонометрические функции над единичной окружностью

Принимая во внимание каждую точку единичной окружности, мы хотим рассчитать точную длину ее проекций на оси x и y от исходной точки.

Длина от исходной точки до проекций точки на ось x известна как Косинус , а длина до точки проекции точки от начала координат по оси y известна как Синус .

Как получить угол, значение синуса плюс косинус которого вам известно? Это очень легко понять. Если у вас есть значение синуса по умолчанию, вы сначала найдете это конкретное значение на оси Y и проведете параллельную линию от оси x через эту точку.

У вас будет 2 точки на единичной линии, которые вы добавите к исходной. 2 угла — это те, у которых одно плечо оказывается теми линиями, плюс вторая ось x будет теми углами, которые вы ищете.

Если для угла задано значение косинуса, вы просто получите значение по оси x. От оси Y проведите параллельную линию через эту конкретную точку, которая соединит точки, полученные вами на единичной окружности, в дополнение к их соединению с началом координат.

Два угла с одним плечом, имеющим эти линии, а второе — с осью X, которые будут углами для тех, кто их ищет.

В этом,

Смежный = соседняя сторона к углу θ

противоположность = противоположная сторона к углу θ

Гипотеноза = Сторона гипотенузы к углу θ

^{966. Tan θ = Напротив / рядом
Cosec θ = Гипо. / соч.
Детская кроватка θ = прил. / соч.
Сек θ = Гипо. / прил.
Еще две важные тригонометрические функции известны как тангенс (tan) и котангенс (cot).
Это производные функции, однако их не менее важно помнить.
Чтобы получить значение касательной, мы сначала проводим линию, параллельную оси y=, которая проходит через точку (1, 0).
Чтобы получить значение котангенса, мы сначала проводим линию, параллельную оси x, которая проходит через точку (0, 1).
На следующем шаге мы рисуем линию от начала координат плюс точку на единичной линии, значение которой вы ищете.
No related posts.}

Числовая окружность на координатной плоскости. Синус и косинус 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Определение радиана

Связь радиана и градуса

Решение типовых задач

Формулы площади сектора и длины дуги

Числовая окружность в координатной плоскости

Определение синуса и косинуса

Примеры

Синусы и косинусы реперных точек

Заключение

10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Числовая окружность. — Числовая окружность. Числовая окружность на координатной плоскости.

Тригонометрия — Тригонометрия с использованием окружностей — треугольник, угол, тригонометрия и функции

Тригонометрические функции с помощью единичной окружности

Тригонометрические функции над единичной окружностью

Добавить комментарий Отменить ответ