Тригонометрия с нуля для чайников: Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания

Содержание

основные понятия, история :: SYL.ru

Синус, косинус, тангенс – при произнесении этих слов в присутствии учеников старших классов можно быть уверенным, что две трети из них потеряют интерес к дальнейшему разговору. Причина кроется в том, что основы тригонометрии в школе преподаются в полном отрыве от реальности, а потому учащиеся не видят смысла в изучении формул и теорем.

В действительности данная область знаний при ближайшем рассмотрении оказывается весьма интересной, а также прикладной – тригонометрия находит применение в астрономии, строительстве, физике, музыке и многих других областях.

Ознакомимся с основными понятиями и назовем несколько причин изучить этот раздел математической науки.

История

Неизвестно, в какой момент времени человечество начало создавать будущую тригонометрию с нуля. Однако документально зафиксировано, что уже во втором тысячелетии до нашей эры египтяне были знакомы с азами этой науки: археологами найден папирус с задачей, в которой требуется найти угол наклона пирамиды по двум известным сторонам.

Более серьезных успехов достигли ученые Древнего Вавилона. На протяжении веков занимаясь астрономией, они освоили ряд теорем, ввели особые способы измерения углов, которыми, кстати, мы пользуемся сегодня: градусы, минуты и секунды были заимствованы европейской наукой в греко-римской культуре, в которую данные единицы попали от вавилонян.

Предполагается, что знаменитая теорема Пифагора, относящаяся к основам тригонометрии, была известна вавилонянам почти четыре тысячи лет назад.

Название

Дословно термин «тригонометрия» можно перевести как «измерение треугольников». Основным объектом изучения в рамках данного раздела науки на протяжении многих веков был прямоугольный треугольник, а точнее – взаимосвязь между величинами углов и длинами его сторон (сегодня с этого раздела начинается изучение тригонометрии с нуля). В жизни нередки ситуации, когда практически измерить все требуемые параметры объекта (или расстояние до объекта) невозможно, и тогда возникает необходимость недостающие данные получить посредством расчётов.

Например, в прошлом человек не мог измерить расстояние до космических объектов, а вот попытки эти расстояния рассчитать встречаются задолго до наступления нашей эры. Важнейшую роль играла тригонометрия и в навигации: обладая некоторыми знаниями, капитан всегда мог сориентироваться ночью по звездам и скорректировать курс.

Основные понятия

Для освоения тригонометрии с нуля требуется понять и запомнить несколько основных терминов.

Синус некоторого угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Уточним, что противолежащий катет – это сторона, лежащая напротив рассматриваемого нами угла. Таким образом, если угол составляет 30 градусов, синус этого угла всегда, при любом размере треугольника, будет равен ½. Косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему (либо, что то же самое, отношение синуса к косинусу). Котангенс – это единица, деленная на тангенс.

Стоит упомянуть и знаменитое число Пи (3,14…), которое представляет собой половину длины окружности с радиусом в одну единицу.

Этимология слова «синус»

История слова «синус» поистине необычна. Дело в том, что буквальный перевод этого слова с латыни означает «впадина». Всё потому, что верное понимание слова затерялось при переводе с одного языка на другой.

Названия базовых тригонометрических функций произошли из Индии, где понятие синуса обозначалось словом «тетива» на санскрите — дело в том, что отрезок вместе с дугой окружности, на которую он опирался, походил на лук. Во времена расцвета арабской цивилизации индийские достижения в области тригонометрии были заимствованы, и термин перешел в арабский язык в виде транскрипции. Случилось так, что в этом языке уже было похожее слово, обозначающее впадину, и если арабы понимали фонетическую разницу между родным и заимствованным словом, то европейцы, переводящие научные трактаты на латынь, по ошибке буквально перевели арабское слово, никакого отношения к понятию синуса не имеющее. Им мы и пользуемся по сей день.

Таблицы значений

Существуют таблицы, в которые занесены числовые значения для синусов, косинусов и тангенсов всех возможных углов. Ниже представим данные для углов в 0, 30, 45, 60 и 90 градусов, которые необходимо выучить как обязательный раздел тригонометрии для «чайников», благо запомнить их довольно легко.

Если случилось так, что числовое значение синуса или косинуса угла «вылетело из головы», есть способ вывести его самостоятельно.

Геометрическое представление

Начертим круг, через его центр проведем оси абсцисс и ординат. Ось абсцисс располагается горизонтально, ось ординат – вертикально. Обычно они подписываются как «X» и «Y» соответственно. Теперь из центра окружности проведем прямую таким образом, чтобы между ней и осью X получился нужный нам угол. Наконец, из той точки, где прямая пересекает окружность, опустим перпендикуляр на ось X. Длина получившегося отрезка будет равна численному значению синуса нашего угла.

Данный способ весьма актуален, если вы забыли нужное значение, например, на экзамене, и учебника по тригонометрии под рукой нет. Точной цифры вы таким образом не получите, но разницу между ½ и 1,73/2 (синус и косинус угла в 30 градусов) вы точно увидите.

Применение

Одними из первых специалистов, использующих тригонометрию, были моряки, не имеющие никакого другого ориентира в открытом море, кроме неба над головой. Сегодня капитаны кораблей (самолётов и других видов транспорта) не ищут кратчайший путь по звёздам, зато активно прибегают к помощи GPS-навигации, которая без использования тригонометрии была бы невозможна.

Практически в каждом разделе физики вас ждут расчёты с использованием синусов и косинусов: будь то приложение силы в механике, расчёты пути объектов в кинематике, колебания, распространение волн, преломление света – без базовой тригонометрии в формулах просто не обойтись.

Ещё одна профессия, которая немыслима без тригонометрии – это геодезист. Используя теодолит и нивелир либо более сложный прибор – тахиометр, эти люди измеряют разницу в высоте между различными точками на земной поверхности.

Повторяемость

Тригонометрия имеет дело не только с углами и сторонами треугольника, хотя именно с этого она начинала своё существование. Во всех областях, где присутствует цикличность (биологии, медицине, физике, музыке и т. д.) вы встретитесь с графиком, название которого наверняка вам знакомо — это синусоида.

Такой график представляет собой развёрнутую вдоль оси времени окружность и внешне похож на волну. Если вы когда-нибудь работали с осциллографом на занятиях по физике, вы понимаете, о чем идет речь. Как музыкальный эквалайзер, так и прибор, отображающий сердечные ритмы, используют формулы тригонометрии в своей работе.

В заключение

Задумываясь о том, как выучить тригонометрию, большинство учащихся средней и старшей школы начинают считать её сложной и непрактичной наукой, поскольку знакомятся лишь со скучной информацией из учебника.

Что касается непрактичности — мы уже увидели, что в той или иной степени умение обращаться с синусами и тангенсами требуется практически в любой сфере деятельности. А что касается сложности… Подумайте: если люди пользовались этими знаниями больше двух тысяч лет назад, когда взрослый человек имел меньше знаний, чем сегодняшний старшеклассник, реально ли изучить данную область науки на базовом уровне лично вам? Несколько часов вдумчивых занятий с решением задач – и вы достигнете своей цели, изучив базовый курс, так называемую тригонометрию для «чайников».

ТРИГОНОМЕТРИЯ — это так сложно? Давайте построим его с нуля. | Бхарат | Упрощенная математика

Тригонометрия, один из самых ненавистных предметов в школьные годы. Но почему?

Все из-за терминов «sin», «cos», «tan», «cosec», «sec», «cot». Это так сложно?

Всем привет, в этой статье мы собираемся построить Тригонометрию с нуля.

ПРИМЕЧАНИЕ. Я не претендую на звание математического гения. Я фотограф, который знает важность тригонометрии. Если вы найдете какие-либо ошибки или что-то еще, дайте мне знать. Спасибо!

Прежде всего, в этой статье я собираюсь поэкспериментировать с другим способом обучения. Мы собираемся,

Столкнуться с проблемой
Искать решение
посмотреть, как Тригонометрия предлагает решение

Столкнуться с проблемой

Однажды во время фотосъемки памятника я хотел захватить в кадр всю высоту памятника . Итак, Мне нужно найти расстояние, на котором я должен стоять от памятника, чтобы захватить всю его высоту . У меня был объектив 24 мм, который дает угол обзора около 59°.

Извините за рисунок.

Это точный сценарий, с которым я столкнулся,

Расстояние между мной и памятником = x
Высота памятника, который я хотел заснять = 66 м
Высота моей камеры от пола = 1,6 м

Поскольку я хотел, чтобы памятник находился под углом 90° к кадру, я не наклонял камеру.

Итак, моя камера направлена под углом 90° от земли.

Угол обзора камеры по отношению к земле = 90°
Угол зрения моего 24-мм объектива = 59°

Поскольку моя камера направлена под углом 90° от земли, а высота моей камеры от земли составляет 1,6 м, половина угол зрения моего объектива (59°/2 = 29,5°) мог охватить только 1,6 м из 66 м памятника. т.е. я должен покрыть оставшиеся 64,4 м оставшимися 29,5°.

Давайте изменим эту схему.

Это все, на чем мы должны сосредоточиться.

Высота памятника = 64,4м
Угол обзора = 29,5°
Расстояние между мной и памятником = x

Вот в чем проблема.

В поисках решения

Как тригонометрия предлагает решение

Прежде чем говорить о том, что предлагает нам тригнометрия, попробуем решить ее сами.

Прежде всего, давайте попробуем узнать все, что можно, о треугольниках.

Давайте сначала узнаем о сторонах

Мы все знаем, что у него 3 стороны. Назовем их как a, b и c.

Здесь нужно вспомнить теорему Пифагора .

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

Что это значит?

Это означает, что если мы построим 2 квадрата со сторонами a и b , то сумма площадей двух квадратов будет равна площади квадрата, который мы могли бы построить со стороной c .

Это означает, что мы можем найти недостающую сторону, если мы знаем 2 другие стороны.

Узнайте об углах треугольника

Сумма углов любого треугольника всегда равна 180°.

Таким образом, для прямоугольного треугольника один угол должен быть равен 90°, а два других угла должны быть равны θ и 90-θ. Таким образом, θ — единственный угол, о котором нам нужно беспокоиться.

До сих пор мы говорили только о прямоугольных треугольниках. Значит ли это, что тригонометрия применима только к прямоугольным треугольникам? Неееет. Давайте побеспокоимся о непрямоугольном треугольнике позже. Решение для непрямоугольного треугольника такое классное.

Изучение по бокам в правом треугольнике

противоположность θ => противоположной стороне

ниже θ => Сторонняя сторона

более длинная сторона => Hypotenus давайте поговорим о прямоугольном треугольнике со всеми необходимыми сторонами и углами и посмотрим, что мы можем извлечь из них.

Вот прямоугольный треугольник со своими сторонами и углом.

а = 3

b = 4

c = 5

θ = 36,87°

Хорошо, теперь давайте посмотрим, как мы можем получить неизвестную сторону, если у нас есть 2 известные стороны с помощью теоремы Пифагора.

т.е. мы можем найти 3-ю сторону, если мы знаем 2 другие стороны.

Но для нашей задачи у нас есть только одна сторона и один угол.

Высота памятника = 64,4 м
Угол обзора = 29,5°
Расстояние от меня до памятника = x

Теперь давайте узнаем о θ

Мы знаем, что для того, чтобы получился угол, должны быть две пересекающиеся линии.

Здесь у нас есть 3 линии в треугольнике. (Этот пункт важнее, чем мы думаем. Мы скоро вернемся к этой строке).

Так как у нас есть 3 возможные комбинации линий.

Противоположная сторона и прилежащая сторона
Противоположная сторона и сторона гипотенузы
Прилежащая сторона и сторона гипотенузы

Давайте посмотрим, что мы можем узнать из этих 3 комбинаций линий.

Мы возьмем каждую комбинацию и присвоим ей некоторые выборочные значения и выясним, как эта комбинация влияет на θ .

Треугольное представление приведенной выше таблицы:

Противоположная сторона и смежная сторона

Как мы видим, opp/adj прямо пропорциональна θ.

По мере увеличения opp/adj значение θ увеличивается, и наоборот.

Противоположная сторона и сторона гипотенузы

Как мы видим, opp/hyp прямо пропорциональна θ.

По мере увеличения opp/hyp значение θ увеличивается, и наоборот, но не с той же скоростью, что и opp/adj.

Смежная сторона и сторона гипотенузы

Здесь мы видим, что adj/hyp обратно пропорциональна θ.

По мере увеличения adj/hyp значение θ уменьшается, и наоборот.

Объединим полученные результаты.
opp/adj ∝ θ, Увеличение скорости r1.
opp/hyp ∝ θ, Увеличение скорости r2.
прил/гип ∝ 1/ θ, Убывающий по курсу r3.

Таким образом, найдя скорость, мы можем приравнять соотношение, например, Теперь вы, возможно, поняли, что эти уравнения выглядят знакомо. Посмотрим…

opp/adj = tan(θ)
opp/hyp = sin(θ)
adj/hyp = cos(θ)

Да, нужная нам скорость задается «sin», «cos», «tan», «cosec», «sec», «cot». Просто как тот. Он дает значение из θ на основе сторон, которые мы используем.

Поскольку в треугольнике 3 стороны, получается 3 комбинации сторон. Для каждой комбинации нужен свой коэффициент скорости. Таким образом, имея «sin», «cos» и «tan».

«cosec», «sec» и «cot» — не что иное, как обратные слова «sin», «cos» и «tan».

Теперь попробуем решить нашу задачу,

Height of the monument = 64. 4m
The angle of view = 29.5°
Distance between me and the monument = x

Solution:

Opposite side = 64.4m

θ = 29,5°

Смежная сторона = x

Поскольку мы знаем противоположную сторону и нам нужно найти смежную сторону треугольника, tan(θ) имеет обе стороны: opp и adj.

tan(θ) = opp/adj

=> tan (29,5 °) = 64,4 / x

, поскольку Tan (29,5 °) = 2,78

=> 2,78 = 64,4 / x

=> x = 64,4 / 2,78

x = 23,165 М .

Таким образом, мне нужно стоять 23,165 м от памятника, чтобы преодолеть всю высоту.

Если интересно, какой памятник я сфотографировал?
Это Храм Брихадесвара ( Thanjai periya kovil ). Если вы не видели его вживую, то рекомендую посмотреть. Это такое сказочное место.

Больше моих изображений https://www.instagram.com/bharathh_raj/

Поздравляем! Мы сами успешно построили (базовую) тригонометрию с нуля.

Теперь мы рассмотрим важный вопрос:

Что такое тригонометрия?
Тригонометрия — это раздел математики, изучающий отношения между длинами и углами треугольников.

Таким образом, с помощью тригонометрии мы могли бы найти третью сторону, если бы знали две другие стороны.

Также мы можем найти 2 стороны с одной известной стороной и θ.

Реальные приложения

Тригонометрия может использоваться для измерения высоты здания или гор,
Тригонометрия, используемая в навигации,
Она используется в морской и авиационной промышленности.

Дополнительные примеры использования см. здесь.

Помните, я говорил вам, что расскажу о том, как тригонометрия решает непрямоугольные треугольники? Я также сказал вам, что это было так здорово.

Если подумать, то можно легко разделить любой непрямоугольный треугольник на 2 прямоугольных. Таким образом, мы можем легко решить 2 прямоугольных треугольника, чтобы решить непрямоугольный треугольник.

Применение в программировании

Иногда нам нужно нарисовать некоторые пользовательские фигуры, где нам нужны точные точки для рисования на холсте. В таких случаях мы можем использовать круг в качестве ориентира, чтобы найти точные точки, которые нам нужны.

Мы можем ясно видеть, что радиус «r» окружности есть не что иное, как сторона гипотенузы.

Мы можем решить это по формуле OPP SICE

R = HYP SICE

ОБРАЩЕНИЕ ФОРМУЛА,

ADJ = HYP * COS (θ)

OPP = HYP * SIN (θ)

С COS (θ) = прил/ прил/ прил/ прил/ прил/ прил/ прил/ прил/ прил/ прил. hyp и sin(θ) = opp/hyp,

x = r * cos(θ) не что иное, как прил = hyp * прил/гип
y = r * sin(θ) не что иное, как opp = hyp * opp/hyp

Надеюсь, теперь все это имеет смысл.

Тригонометрия, о которой я рассказал в этой статье, — это только основы. Нам еще многое предстоит узнать.

Спасибо за внимание. Если вам нравится такое обучение или у вас есть какие-либо предложения или вы нашли какие-либо ошибки, не стесняйтесь использовать комментарии.

Если вы узнаете что-то новое из этой статьи, просто хлопните мне в ладоши.

Следуйте за мной на Medium и Instagram для получения других таких статей.

Если вам понравилась эта статья, взгляните на Зачем нужна шестнадцатеричная система счисления?

Тригонометрия для чайников Мэри Джейн Стерлинг

Мили

104 отзыва19 подписчиков

30 марта 2010 г.

Неплохой обзор предмета, но и здесь нет ничего, что могло бы сделать его хотя бы отдаленно интересным. Мне бы хотелось увидеть больше исторической точки зрения, с типами ситуаций, которые требовали развития триггера, а не просто больше словесных задач ради них самих. Вычисление того, насколько большой загон для эму можно сделать из забора заданной длины, — это плохая демонстрация математики, которая позволила людям строить пирамиды и плавать в открытом океане, по крайней мере, на мой взгляд.

учебное пособие

23 ноября 2022 г.

Наконец-то кто-то это объяснит

Математика может быть очень пугающей; однако автор сделал это очень дружелюбным. Теперь мне не терпится продолжить изучение тригонометрии. Больше всего в этой книге мне понравилось то, как автор рассказывает истории. Лучшими рассказами были истории тригонометрии. Кроме того, она преподавала приложения, которые имеют решающее значение для обучения детей полезности и значению тригонометрии.

Многие студенты спрашивали меня, зачем им изучать тригонометрию — теперь я мог им ответить. Я бы порекомендовал эту книгу всем, особенно тем, кто не слишком зациклен на себе.

Подробное введение в тригонометрию

Мне нужно было освежить знания по тригонометрии для исчисления, и эта книга предоставила мне это. Сейчас я чувствую себя с тригонометрией так же комфортно, как и тогда, когда закончил среднюю школу. Стиль письма автора временами был для меня слишком детским, с неуклюжими шутками и староанглийским языком, из-за чего это звучало немного глупо для взрослых. Кроме того, это солидное введение.

Очень приятно читать.

Если не считать нескольких ошибок, эту книгу приятно читать как учебник по тригонометрии. Я настоятельно рекомендую всем, кто нуждается или хочет изучить тригонометрию.

В наше время так много опечаток. Невероятный.
Тем не менее, я почувствовал, что это самая жестокая книга, которую я когда-либо читал.
Может быть потому, что меня ни разу не учили тригонометрии за 12 лет обязательного образования.

Чарил

Автор 2 книги4 подписчика

У меня никогда не было сил в математике, и я продвинулся в ней только в колледже. Я взял эту книгу, чтобы понять суть тригонометрии (а не стать в ней знатоком). Хотя я и получил некоторое понимание, я обнаружил, что большинство проблем слишком абстрактны, чтобы их можно было визуализировать. Я не понимал, почему многие проблемы решаются и что означают решения. Тем не менее, я получил некоторое представление о том, что такое тригонометрия. На мой взгляд, эта книга — хороший способ получить представление о концепциях и, возможно, освежить знания, если вы уже разбираетесь; но для большинства людей слишком много абстрактной информации, чтобы по-настоящему изучить предмет без прохождения курса под руководством учителя.