Трисекция угла доллежаль – ТРИСЕКЦИЯ УГЛА | Наука и жизнь

ТРИСЕКЦИЯ УГЛА | Наука и жизнь

Давний автор журнала академик Николай Антонович Доллежаль - крупный специалист в области энергетики. В свободное время Николай Антонович занимается исследованием знаменитых задач древности, известных как трисекция угла, удвоение куба и квадратура круга (см. "Наука и жизнь" № 7, 1993 г.; №№ 3, 8, 1994 г.; № 9, 1995 г.). Сложность всех этих задач состоит в том, что решаться они должны без вычислений и расчетов, чисто геометрически, только с помощью циркуля и линейки без делений. Используя именно этот классический метод, Н. А. Доллежаль сумел найти очень изящное решение задачи о делении на три равные части произвольного угла.

Наука и жизнь // Иллюстрации

Суть этой геометрической задачи заключается в отыскании графического метода деления произвольного угла на три равные части с помощью циркуля и обыкновенной линейки. Ниже приводим описание метода, решающего эту задачу независимо от размера и типа (острый, тупой) угла, предлагаемого для разделения. Ограничений на формы геометрических фигур нет, численных измерений или вычислений не делается. Для примера взят случайный угол.

Геометрические элементы комбинируются геометрической фигурой, состоящей из равнобедренного треугольника АВС с нижним углом В, подлежащим разделению на три равных угла, и равносторонней трапеции АDFC, все четыре угла которой находятся на равном расстоянии от вершины угла В. Треугольник и трапеция сомкнуты своими основаниями АС. Предлагаемый метод решения задачи состоит в следующем:

1) Основанием для построения упомянутой геометрической фигуры служат уравнения, связывающие основные ее элементы:

где S - основание треугольника и трапеции; а - сторона трапеции; t - высота треугольника; h - высота трапеции.

Главные элементы фигуры находятся во взаимной зависимости: отношения основания к стороне трапеции и высот трапеции треугольника связаны уравнением (2).

У отношений S/а и h/t есть пределы применимости: отношение основания трапеции к ее стороне находится в пределах 2 ... 3, а отношения высот трапеции и треугольника изменяются при этом от бесконечности до 0. За пределами этих ограничений построение фигуры треугольник плюс трапеция невозможно.

В таблице для примера и выбора основных показателей для построения треугольника и трапеции приведены некоторые численные значения переменных, входящих в уравнения. С ее помощью можно задать отношение S/а и получить отношение h/t.

На рис. 1 представлено решение задачи предлагаемым методом. В качестве примера, не имеющего принципиального значения, взято равенство высот треугольника и трапеции. Для большей наглядности на рисунке приведены дополнительные геометрические построения: деление угла надвое, проведение параллельных линий и нанесение равномерных делений.

Решение задачи начинается с деления заданного угла АВС пополам линией ВЕ и проведения под прямым углом к ней через точку В горизонтальной линии XY. На линии ХY в обе стороны от точки В наносятся деления, отвечающие отношению основания трапеции к ее стороне, в данном случае 5 и 2. Это соотношение получено из уравнения (2) при условии равенства высот - см. таблицу.

Из точек, отвечающих делению 5, проводятся параллели биссектрисе ВЕ до пересечения со сторонами угла в точках А и С. Линия АС служит общим основанием треугольника и трапеции, отрезки АВ и ВС равны. Из точек, отвечающих отметке 2 на отрезке XY, проводятся линии, также параллельные биссектрисе угла АВС, и на них отрезками BD и BF, равными сторонам треугольника ВА = ВС, отмечаются точки D и F - вершины углов трапеции АDFC. Точки D и F определяют высоту ВЕ, равную сумме высот треугольника и трапеции.

Для проверки и доказательства проводятся диагонали AF и DC трапеции АDFC, пересекающиеся в точке Z на средней линии треугольника АВС. Образовавшиеся два треугольника АDF и DFC равнобедренные, поскольку их основания, т. е. диагонали трапеции, разделены в точках Т надвое, пересекаясь в них с радиусами ВD и ВF и средней линией РР трапеции. Сторона DF принадлежит обоим треугольникам, поэтому треугольники АВD, DВF и FВС равны. Все три их угла с вершинами в точке В равны между собой и в сумме составляют заданный угол АВС.

Отрезки прямых DM и FN образуют стороны ромбов ADFN и DFCM, своими геометрическими свойствами подтверждающих правильность построения.

На рис. 2 показано соотношение образовавшихся углов. Характерно, что нижние углы трапеции DАС = FСА равны одной трети разделяемого угла АВС.

При построении геометрической фигуры на рис. 1 было принято отношение величины основания трапеции к ее стороне 5:2 для простоты построений: этому соотношению отвечает равенство высот трапеции и треугольника.

На рис. 3 построена фигура "треугольник - трапеция" для сравнительно острого угла АВС. Исходным принимается отношение высоты треугольника к сумме высот треугольника и трапеции, равное 5:6, которому, согласно уравнению (1), отвечает значение S/а = 17/6. Как и в первом случае, это значение поровну, т. е. 8 1/2 к 3, откладывается на линии XY в обе стороны от точки В, и производятся аналогичные построения.

Вообще, нет необходимости предварительно принимать численные значения S/а. Достаточно на линиях ВХ и ВY из точки В отложить по три равных отрезка, отметив их концы, и из любой точки между второй и третьей отметками построить перпендикуляры до пересечения со сторонами угла В в точках А и С. Затем из первой отметки также восстановить перпендикуляры и на них отложить точки D и F на расстоянии от точки В, равном стороне треугольника АВС.

Если из точек А и С на линиях ВD и ВF отложить по две равноотстоящие точки N и М, получим отрезок NM, равный S-2а. Отношение этой длины к а определяет отношение высот трапеции и треугольника согласно формуле (2).

В остальном поступают, как и в первом случае. Правильность построения можно проверить по формуле

следующей из (2). Сумма t+h никогда не превышает сторону ВА(ВD) треугольника.

Графически равенство (4) проверяется так (рис. 4). Берется произвольный угол PQN, разделенный биссектрисой QQ?. На левой стороне угла от точки Q циркулем откладываются отрезки S-а и а, образующие точки Р и L. Далее точка Р соединяется с точкой Q? и из точки L проводится параллельная РQ? линия LQ???. Это означает, что на биссектрисе угла возникла отметка Q, причем а/(S-а)= = QQ??/QQ?. На правой стороне угла откладываем циркулем отрезки 2t+h и t+h из построенного чертежа. Конец отрезка 2t+h - точку N - также соединяем с точкой Q?, а из точки М - конца отрезка t+h - проводим линию, параллельную NQ?. На средней линии угла отмечается отношение (t+h)/(2t+h)=QQ??? /QQ?. Если линии LQ?? и МQ??? пересекаются на средней линии угла, это означает, что левая и правая части в формуле равны. Что и требуется.

Можно ли путем измерения соответствующих отрезков, в частности оснований треугольников, определить их длину? Нельзя, так как каждый служит хордой соответствующей воображаемой дуги окружности, содержащей долю, не поддающуюся измерению. Для определения точности решения задачи может быть использован только графический метод.

Таким образом, нами предложено доказательство возможности графического деления угла на три с помощью циркуля и линейки. Остается графически не выясненной связь элементов трапеции и треугольников, иными словами, зависимость между стороной трапеции а и высотой треугольника t. Эта задача может иметь самостоятельный характер для принципа построения трапеции.

Приношу благодарность профессору МГТУ В. И. Солонину за благожелательную критику.

www.nkj.ru

Трисекция угла - Howling Pixel

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.

Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.

Невозможность построения была доказана Ванцелем в 1837 году. Несмотря на это, в прессе[1][2][3] и даже в некоторых научных журналах[4] время от времени публикуются некоторые неверные способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой.

Невозможность построения

П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что трисекция угла α{\displaystyle \alpha } разрешима только тогда, когда уравнение

x3−3x−2cos⁡α=0.{\displaystyle x^{3}-3x-2\cos \alpha =0.}

разрешимо в квадратных радикалах.

Например,

  • Трисекция осуществима для углов вида 2πn,{\displaystyle {2\pi \over n},} если целое число n{\displaystyle n} не делится на 3.
  • Трисекция острого угла прямоугольного треугольника с целыми сторонами осуществима тогда и только тогда, когда гипотенуза является кубом целого числа[5].

Построения с помощью дополнительных средств

Трисекция угла при помощи невсиса

Следующее построение с помощью невсиса предложено Архимедом.

Предположим, что имеется угол α=POM{\displaystyle \alpha =POM} (рис. 1). Необходимо построить угол β{\displaystyle \beta }, величина которого втрое меньше данного: α=3β{\displaystyle \alpha =3\beta }.

Построим окружность произвольного радиуса a{\displaystyle a} с центром в точке O{\displaystyle O}. Пусть стороны угла пересекаются с окружностью в точках P{\displaystyle P} и M{\displaystyle M}. Продолжим сторону OM{\displaystyle OM} исходного угла. Возьмём линейку невсиса, отложив на ней диастему a{\displaystyle a}, и используя прямую OM{\displaystyle OM} в качестве направляющей, точку P{\displaystyle P} в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок AB{\displaystyle AB}. Получим угол PAM{\displaystyle PAM}, равный одной трети исходного угла α{\displaystyle \alpha }.

Доказательство

Рассмотрим треугольник ABO{\displaystyle ABO} (рис. 2). Так как AB=BO=a{\displaystyle AB=BO=a}, то треугольник равнобедренный, и углы при его основании равны: ∠BAO=∠BOA=β{\displaystyle \angle BAO=\angle BOA=\beta } . Угол ∠PBO{\displaystyle \angle PBO} как внешний угол треугольника ABO{\displaystyle ABO} равен 2β{\displaystyle 2\beta }.

Треугольник BPO{\displaystyle BPO} также равнобедренный, углы при его основании равны 2β{\displaystyle 2\beta }, а угол при вершине γ=180∘−4β{\displaystyle \gamma =180^{\circ }-4\beta }. С другой стороны, γ=180∘−β−α{\displaystyle \gamma =180^{\circ }-\beta -\alpha }. Следовательно,180∘−4β=180∘−β−α{\displaystyle 180^{\circ }-4\beta =180^{\circ }-\beta -\alpha }, а значит, α=3β{\displaystyle \alpha =3\beta }.

См. также

Примечания

  1. С. Кудряшов. Задача Евклида // Газета «Труд». — 2002. — № 073.
  2. Н. А. Доллежаль. Трисекция угла // Наука и жизнь. — 1998. — № 3.
  3. К. Попов. Трисекция угла // Юный Техник. — 1994. — № 12. — С. 62-64. Архивировано 14 июля 2014 года.
  4. Жарков Вячеслав Сергеевич. Деление угла на три равные части при помощи циркуля и линейки (Трисекция угла). // SCI-ARTICLE. — 2016. — № 31.
  5. ↑ Chang, Wen D.; Gordon, Russell A. Trisecting angles in Pythagorean triangles. Amer. Math. Monthly 121 (2014), no. 7, 625–631.
  6. ↑ Три знаменитые задачи древности, 1963, с. 33—45..

Литература

Архит Тарентский

Архи́т Та́рентский (др.-греч. Ἀρχύτας ὁ Ταραντίνος, лат. Archytas; 428 год до н. э., Тарент — 347 год до н. э.) — философ-пифагореец, математик и механик, теоретик музыки, государственный деятель и полководец.

В честь Архита назван кратер на Луне.

Вивиани, Винченцо

Винченцо Вивиани (итал. Vincenzo Viviani; 5 апреля 1622, Флоренция — 22 сентября 1703, Флоренция) — итальянский физик и математик, ученик Галилея и Торричелли, составитель первой биографии Галилея.

Геометрическая криптография

Геометрическая криптография — теоретические криптографические методы, в которых сообщения и шифротексты представлены в виде геометрических величин: углов, отрезков, а вычисления проводятся с помощью циркуля и линейки. Основана на сложности решения определенного класса геометрических задач, например, трисекции угла.

Геометрическая криптография не имеет практического применения, но её предлагается использовать в педагогических целях, чтобы наглядно продемонстрировать принципы криптографии такие, как протокол с нулевым разглашением информации. Идея геометрической криптографии, а именно: идентификации с помощью трисекции угла, была предложена в неопубликованной работе в 1997 году. Является примером криптографии в нестандартной модели вычислений.

Гиппократ Хиосский

Гиппократ Хиосский (Ἱπποκράτης, лат. Hippocrates; вторая половина V в. до н. э.) — древнегреческий математик и астроном.

Гиппократ родился на острове Хиос. В молодости он занимался торговлей, но не преуспел в ней. Разорившись, Гиппократ приехал в Афины, где вскоре стал прославленным математиком.

Динострат

Динострат (греч. Δινόστρατος, лат. Dinostratus, ок. 390 до н. э. — ок. 320 до н. э.) — древнегреческий математик, член Платоновской Академии, ученик Евдокса, брат математика Менехма.

Папп в IV книге Математического собрания сообщает, что Динострат решил задачу о квадратуре круга с помощью квадратрисы. (Эту механическую кривую изобрёл Гиппий Элидский, решивший с её помощью задачу о трисекции угла). Динострат доказывает, что отрезок, отсекаемый квадратрисой на нижней стороне квадрата (см. рис.), так относится к стороне квадрата, как радиус окружности относится к длине дуги, составляющей четверть этой окружности.

Динострат упоминается также у Прокла Диадоха, который пишет, что они с Менехмом «сделали геометрию более совершенной». Есть основания полагать, что Динострат, как и его брат Менехм, занимался коническими сечениями. Он впервые сформулировал (на геометрическом языке) первый замечательный предел.

Диокл (математик)

Диокл (Διοκλῆς, ок. 240 до н. э. – ок. 180 до н. э.) — греческий математик. О его жизни известно лишь то, что он был современником Аполлония Пергского.

Отрывки из работы Диокла «О зажигательных зеркалах» (Περὶ πυρέιων) сохранились в комментарии Евтокия к трактату Архимеда «О шаре и цилиндре».

В одном из отрывков решается задача о делении шара плоскостью таким образом, чтобы получившиеся объёмы имели между собой данное отношение. В другом отрывке рассматривается предложенное Диоклом решение задачи об удвоении куба с помощью специальной геометрической кривой — циссоиды. В ещё одном отрывке циссоида используется для решения более общей задачи о вставки двух средних пропорциональных между двумя данными величинами.

Сочинение Диокла оказало большое влияние на математиков исламского Востока, и, в частности, на Ибн ал-Хайсама.

Квадратриса

Квадратри́са — плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Была предложена в античные времена для решения задач квадратуры круга и трисекции угла.

Квадратура круга

Квадрату́ра кру́га — задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки (без шкалы с делениями) квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Если обозначить R{\displaystyle R} радиус заданного круга, x{\displaystyle x} — длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: x2=πR2,{\displaystyle x^{2}=\pi R^{2},} откуда получаем: x=πR≈1,77245R.{\displaystyle x={\sqrt {\pi }}R\approx 1{,}77245R.} Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно.

Конхоида Никомеда

Конхоида Никомеда ― конхоида прямой, то есть кривая, получающаяся увеличением (вторая ветвь — уменьшением) радиус-вектора точек прямой на некую постоянную величину ℓ{\displaystyle \ell }; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Конхоида имеет две ветви, сама прямая конхоиды является асимптотой обеих ветвей.

Название происходит от др.-греч. κωγχοείδης — «похожий на раковину».

Кубический корень

Куби́ческий ко́рень из a, обозначающийся как a3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}} или как a1/3 — это число x,{\displaystyle x,} куб которого равен a.{\displaystyle a.} Другими словами, это решение уравнения x3=a{\displaystyle x^{3}=a} (обычно подразумеваются вещественные решения).

Математика в Древней Греции

Данная статья — часть обзора История математики.

Невсис

Невсис (от греч. νεῦσις) — метод геометрического построения, цель которого — вписать отрезок заданной длины между двумя кривыми линиями таким образом, чтобы этот отрезок или его продолжение проходил через заданную точку.

Метод был известен ещё в древней Греции. Название происходит от слова νεύειν греч. наклоняться вперёд (мн. νεύσεις).

Никомед (математик)

Никомед (др.-греч. Nικoμήδης, лат. Nicomedes, III век до н. э.) — древнегреческий математик.

Время жизни Никомеда определено, исходя из следующих соображений. С одной стороны, Никомед критиковал Эратосфена за предложенный этим математиком метод удвоения куба. С другой стороны, Аполлонию Пергскому конхоида Никомеда была уже известна.

Никомед занимался классическими математическими проблемами — квадратурой круга и удвоением куба. Для удвоения куба он использовал приём вставок. Для выполнения этого приёма он построил специальную механическую кривую — конхоиду, которую описал в не дошедшем до нас сочинении. Никомед изобрёл и особый механизм для вычерчивания конхоиды. Папп Александрийский пишет, что Никомед, как и Динострат, использовал некую квадратрису (возможно, квадратрису Гиппия) для осуществления квадратуры круга.

Поле (алгебра)

По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.

Поле — основной предмет изучения теории полей. Рациональные, вещественные, комплексные числа, вычеты по модулю заданного простого числа образуют поля.

Построение с помощью циркуля и линейки

Построе́ния с по́мощью ци́ркуля и лине́йки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён.

В задачах на построение циркуль и линейка предполагаются идеальными инструментами, в частности:

Линейка не имеет делений и имеет сторону бесконечной длины, но только одну.

Циркуль может иметь какой угодно большой или малый раствор (то есть может чертить окружность произвольного радиуса).

Томагавк (геометрия)

Томагавк — это инструмент в геометрии для трисекции угла, задачи разбиения угла на три равные части. Фигура состоит из полукруга и двух отрезков и внешне напоминает томагавк, топор индейцев. Тот же инструмент иногда называли ножом сапожника, однако это название уже широко используется для другой фигуры, арбелоса (треугольник со сторонами в виде полуокружностей).

Трисектриса Маклорена

В геометрии трисектриса Маклорена — это кубика, примечательная своим свойством трисекции, поскольку она может быть использована для трисекции угла. Её можно определить как геометрическое место точек пересечения двух прямых, каждая из которых вращаются равномерно вокруг двух различных точек (полюсов) с отношением угловых скоростей 1:3, при этом первоначально прямые совпадают с прямой, проходящей через эти полюса. Обобщение этого построения называется Секущая Маклорена. Секущая названа в честь Колина Маклорена, который исследовал кривую в 1742 году.

Удвоение куба

Удвоение куба — классическая античная задача на построение циркулем и линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма заданного куба.

Наряду с трисекцией угла и квадратурой круга, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

На других языках

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.

howlingpixel.com

Трисекция угла | Математика, которая мне нравится

Существуют три классические задачи в греческой математике, которые оказали значительное влияние на развитии геометрии. Это задачи о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла. Хотя все они тесно связаны, мы решили рассказать о каждой из них отдельно. Данная статья посвящена задаче трисекции произвольного угла. В некотором смысле это наименее известная из трех задач. Конечно, во времена Древней Греции лучше всего знали задачу об удвоении куба, а позднее стала более известна, особенно среди математиков-любителей, задача о квадратуре круга.

Задача о трисекции произвольного угла, которую мы рассматриваем здесь — это задача, у которой я (примеч. E.F. Robertson) видел за всю свою карьеру наибольшее количество неверных решений. Легко просто сказать, что присланное “доказательство’’ возможности трисекции произвольного угла с помощью циркуля и линейки неверно, поскольку такое построение невозможно. Разумеется, знание того, что доказательство неверно и нахождение ошибки в нем — две различные вещи, и часто ошибки тонкие, и их трудно найти.

Есть несколько моментов, в которых задача разделения угла на три части отличается от двух других классических греческих задач. Во-первых, она не имеет реальной истории, относящейся к тому, почему эту задачу впервые начали изучать. Во-вторых, это задача совершенно другого типа. Никто не может построить квадрат, равный по площади никакому кругу, не может построить ребро куба, объем которого в два раза больше объема никакого данного куба. Тем не менее, некоторые углы можно разделить на три равные части. Например, есть довольно простой способ, позволяющий разделить на три равные части прямой угол. Для данного прямого угла нарисуем окружность с центром в точке , пересекающую прямую в точке . Нарисуем вторую окружность того же радиуса с центром в , и пусть она пересечет первую в точке . Тогда треугольник равносторонний, следовательно, угол равен и — . Итак, угол разделен на три части.

Возможно, еще более удивительно, что такие углы как угол в , могут быть разделены на три части, Вы можете сделать это? Следовательно, задача состоит в том, чтобы разделить на три равные части произвольный угол и цель — сделать это с помощью циркуля и линейки (что невозможно), но если это невозможно, разработать какой-то способ, чтобы делить на три равные части произвольные углы.

Папп в своем “Математическом собрании’’ пишет:

“Когда древние геометры стремились разделить данный угол с прямолинейными сторонами на три равные части, они не смогли этого сделать по следующей причине. Мы говорим, что в геометрии есть три вида задач, это так называемые “плоские’’, “телесные’’ и “линейные’’ задачи. Те, которые могут быть решены с помощью прямой линии и окружности, называются “плоскими’’, поскольку линии, с помощью которых такие задачи решаются, плоские. Те задачи, которые решаются с использованием одного или нескольких конических сечений, называются “телесными’’ задачами. Для их решения необходимо использовать поверхности геометрических тел, то есть конусов. Остаются задачи третьего типа, так называемые “криволинейные’’ задачи. Для построения в этих случаях требуются другие кривые, отличные от уже упомянутых, имеющие более разнообразное и динамическое происхождение и возникающие из более неправильных поверхностей и сложных движений. Такой вид имеют кривые, обнаруженные в так называемой “surface loci’’ (геометрическом месте точек поверхности), и многие другие, даже еще более сложные… Эти кривые имеют много замечательных свойств. Более поздние авторы рассмотрели некоторые из них, достойные более глубокого изучения, и одну из таких кривых Менелай назвал “парадоксальной’’. Другие кривые того же типа – это спирали, квадратрисы, конхоиды и циссоиды… Поскольку задачи отличаются таким образом, ранние геометры были не в состоянии решить вышеупомянутую задачу о делении угла, потому что она по природе своей телесная, ибо они еще не были знакомы с коническими сечениями, и по этой причине пребывали в растерянности. Позже, однако, они разделили угол с помощью коник, используя решение, близкое описанному ниже…”

Мы вскорости опишем методы, которые были изобретены для решения этой задачи, но прежде всего давайте посмотрим, откуда эта проблема возникает естественным образом. Возможно, самый очевидный путь, на котором можно было бы встретить эту задачу — это изучение того, как с помощью циркуля и линейки поделить угол пополам. Это просто. Для данного угла отметим равные отрезки и . Построим ромб и проведем его диагональ , которая, как легко видеть, поделит пополам угол .

Древние греки, безусловно, хотели делить углы в любом требуемом соотношении, так чтобы было возможно построение правильного многоугольника с любым количеством сторон. Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки, разумеется, было одной из основных целей греческой математики, и до открытий Гаусса те правильные многоугольники, которые не смогли построить древние греки, так и не были построены.

Хотя трудно указать точную дату возникновения задачи трисекции угла, мы знаем, что Гиппократ, внесший первый крупный вклад в решение задач о квадратуре круга и удвоении куба, также изучал эту задачу. Существует довольно простой способ разделить на три равные части любой угол, который был известен Гиппократу.

Этот способ состоит в следующем. Для данного угла проведем прямую перпендикулярно прямой , пересекающую ее в точке . Построим прямоугольник . Продлим до точки , и пусть пересекает в точке . Если точка выбрана так, что , то угол составляет угла .

Чтобы убедиться в этом, обозначим через середину , так что . Так как угол прямой, то . Кроме того, . Поскольку , . Но , что и требовалось.

Теперь приведем одну из причин, по которой задача трисекции угла кажется менее привлекательной, судя по количеству известных решений, дошедших до нас от лучших древнегреческих математиков. Она состоит в том, что построение, приведенное выше, хотя и невозможное с линейкой без делений и циркулем, тем не менее легко осуществимо на практике. Решение механического типа найти легко. Нужно просто отметить длину от правого конца линейки, а затем расположить эту отметку на , а другой конец линейки — на продолжении , так чтобы линейка определила прямую, проходящую через . Трисекция найдена довольно легко с помощью механического процесса. Так как для решения практической задачи с чисто математической точки зрения оставалось сделать немного, хотя греки в целом не были удовлетворены механическим решением, они не сделали это. Как говорил Платон:

“Действуя [механическим] способом не потерять безвозвратно лучшее в геометрии… ‘’

Существует еще одно механическое решение, которое нашел Архимед. Мы должны немного остановиться на нем и сказать, что этот метод приведен в арабском труде, который называется “Книга лемм’’, который приписывают Архимеду. Конечно, эта работа не является простым переводом работы Архимеда, хотя Архимед цитируется в ней несколько раз, так что совершенно невозможно для кого-либо присвоить ее себе. Однако большинство историков математики считает, что многие из приведенных в книге лемм действительно принадлежат Архимеду. А результат о делении на три части угла настолько в духе его работы “О спиралях’’, что широко признано, что этот метод действительно является методом Архимеда. Построение происходит следующим образом.

Для данного угла проведем окружность с центром в точке так, чтобы и были ее радиусами. Через проведем прямую, пересекающую в точке . Пусть эта прямая пересечет окружность в точке и пусть равно радиусу окружности. Снова это может быть сделано механическим способом, если отметить длину, равную радиусу окружности, на линейке и перемещать ее так, чтобы одна отметка оставалась на , а вторая — на окружности. Перемещать линейку таким образом следует до тех пор, пока она не пройдет через точку . Тогда будет построена прямая . Наконец нужно провести из радиус окружности так, чтобы был параллелен . Тогда отсечет треть угла .

Это довольно легко показать,

   

Никомед жил примерно в то же время, что и Архимед (во втором веке до нашей эры), и он построил свою известную кривую — конхоиду. На самом деле эта кривая была изобретена именно Никомедом для формализации процесса, который мы описали — вращения линейки с закрепленной на прямой точкой. На линейке отмечено фиксированное расстояние, одна отметка находится на данной прямой, в то время как другая описывает кривую — конхоиду. Построение объяснено более подробно в биографии Никомеда (Хит). Теперь это в точности кривая, которая дает решение задачи трисекции угла, приведенной выше, и Никомед решил эту задачу с помощью своей кривой. Однако на практике метод перемещения линейки до получения требуемой конфигурации был в целом гораздо проще, чем рисование конхоиды, и метод Никомеда представлял больше теоретический, а не практический интерес. Хит (Heath) пишет:

“Папп говорит нам, что на практике конхоида не всегда на самом деле изображалась, но что иногда, для большего удобства, двигали линейку вокруг неподвижной точки, пока опытным путем секущая не оказывалась равной заданной длине’’.

Папп рассказал нам о конхоиде Никомеда в своем “Математическом собрании”. В этой же работе Папп пишет о том, как проблема трисекции угла была решена Аполлонием с использованием коник. Папп приводит два решения, которые в обоих случаях включают рисование гиперболы.

Первый показывает, что если прямая фиксирована, то геометрическое место точек таких, что является гиперболой. Гипербола имеет эксцентриситет 2, фокус и директрису, которая является серединным перпендикуляром . Гипербола изображена в левой части рисунка. Справа на двух рисунках показано, как эта гипербола может быть использована для деления на три равные части угла . Проведем окружность с центром в точке через точки и . Затем построим гиперболу с эксцентриситетом 2, фокусом и директрисой — серединным перпендикуляром к . Пусть она пересечет окружность в точке . Тогда отделяет треть угла .

Чтобы убедиться в этом, заметим, что из свойств гиперболы, описанных выше, . Но , и (центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу). Поэтому , что и требовалось.

Хит говорит о том, почему этот отрывок из работы Паппа может представлять интерес в связи с греческими исследованиями коник. Он пишет:

“Отрывок из труда Паппа, из которого взято это решение, замечателен тем, что это один из трех мест в сохранившихся работах греческих математиков … в котором говорится о свойствах фокусов и директрис коник.”

Эти построения, описанные Паппом, показывают, как греки “улучшили’’ свое решение задачи трисекции угла. От механических решений они пришли к решению с помощью конических сечений. Они никогда не могли прийти к “плоским решениям’’, поскольку мы знаем, что это невозможно.

Доказательство невозможности ждало математиков XIX века. Полное доказательство было получено Пьером Ванцелем. В 1837 году Ванцель опубликовал его в журнале Лиувилля:

“…посредством оценки, может ли геометрическая задача быть решена с помощью циркуля и линейки’’.

Гаусс заявил, что проблемы удвоения куба и трисекции угла не могут быть решены с помощью циркуля и линейки, но он не привел никаких доказательств этому. В своей работе 1837 года Ванцель первым доказал эти результаты. Позднее Чарльз Штурм улучшил эти доказательства, но он не опубликовал их.

Перевод статьи J.J. O’Connor and E.F. Robertson, Trisecting an angle

hijos.ru

Н.А.Доллежаль, трисекция угла и "Наука и жизнь"

И у великих бывают причуды. За два с половиной года до смерти, на девяносто девятом году жизни (преставится Николай Антонович, будучи от роду сто одного года, не дожив до конца века и тысячелетия месяца с небольшим) наш знаменитый реакторщик опубликовал в науч-поп журнале статейку про трисекцию угла (скромно упомянув, что квадратурой круга и удвоением куба он тоже занимался): http://www.nkj.ru/archive/articles/10478/

Хотя алгоритма трисекции он не приводит (его, разумеется, и не может быть -- что было показано еще в первой половине прошлого века), но отмечает, что "Остается графически не выясненной связь элементов трапеции и треугольников, иными словами, зависимость между стороной трапеции а и высотой треугольника t." Тем не менее, предложением выше Н.А. пишет: "нами предложено доказательство возможности графического деления угла на три с помощью циркуля и линейки".

Не будем слишком строги к столетнему патриарху (дожить до такого возраста -- уже подвиг). Но вот редакция -- редакция спохватилась, что трисекция угла к классической постановке неразрешима, только почти два года спустя (правда, еще при жизни патриарха): "Задачи эти по условию нужно решить при помощи циркуля и линейки без делений, что невозможно в принципе. Однако каждая задача сама по себе очень интересна как отдельная проблема, требующая для своего решения изощренного логического ума. А предложенные методы позволяют сделать построения со сколь угодно высокой точностью." http://www.nkj.ru/archive/articles/10062/

Конечно, это очень боянистая история, которой больше пятнадцати лет, но Ваш покорный слуга узнал о ней только сегодня. А уж кто ни прошелся по ней! И достославный Миша Вербицкий, и легионы сталин_ист'ов и каддафифилов, для которых "власти скрывают гениальное открытие русского патриота"...

Да, разумеется, то были "лихие, дикие девяностые" (ТМ), бардак, тиф и чума -- и вообще военное время, в которое даже синус (действительного аргумента) может быть больше единицы (С). И вообще надо быть благодарным фанатикам-научным журналистам, даже в такое время не бросившим свое благородное неприбыльное дело в ту эпоху кашпировских, чумаков и грабовых. Но всё же, но всё же... Решение задачи трисекции угла даже для научного журналиста и даже в те суровые и окаянные дни (в "Лузитании", как известно, наибольший расцвет пришелся на еще более суровые и окаянные дни -- но она состояла из ученых, а не научных журналистов, а обыватель про нее в те времена не знал ничего... Да и не любил Доллежаль слово "ученый"...).

nikola-borisov.livejournal.com

Давний автор журнала академик Николай Антонович Доллежаль - крупный…

Я вот одного не пойму: там же глюк найти школьник может, нафига такое печатать?

Показатель уровня журнала. Даже такое проверить не удосужились.

простите я не школьник, можно для меня вкратце?

самая главная ошибка в том что неразрешимость задачи доказана, а автор это проигнорировал. это как с вечным двигателем : ))

далее по доказательству. оно составлено не совсем по порядку, поэтому приходится догадываться что к чему.

во первых там как несложно заметить доказательство не зависит от того как провести вертикальные прямые, т.е. на рисунке просто нарисован случай когда угол делится на 3 равные части. Если сделать по другому (взять другой угол, другие отношения или ещё чего) будет видно что в "доказательстве" ничего не нарушено, а углы не равны.
Далее, вот фраза собственно
"
Образовавшиеся два треугольника АDF и DFC равнобедренные, поскольку их основания, т. е. диагонали трапеции, разделены в точках Т надвое, пересекаясь в них с радиусами ВD и ВF и средней линией РР трапеции.
"
тут первая часть предложения из второй не следует. на любой трапеции средняя линия поделит диагональ пополам, и, кроме того, Три прямые в точке Т не обязательно пересекутся, они все могут не пересекаться в одной точке вообще.

видимо у автора эта проблема решается следующим образом
"
При построении геометрической фигуры на рис. 1 было принято отношение величины основания трапеции к ее стороне 5:2 для простоты построений: этому соотношению отвечает равенство высот трапеции и треугольника.
"
т.е. для разных углов берутся разные отношения и рисунки получаются красивыми. вот только не понятно откуда эти отношения брать "для простоты построения" (видимо из указанных формул) но опять же по тексту написано что эти соотношения не берутся за основу, а проверяются. Т.е. налицо некоторая несвязность речи из которой толком не поймёшь к чему это... ну и дальше надо доказать что если всё таки взять правильно отрезки, то действительно в точке Т пересекутся три прямые а не чего-то там "графически проверять"

это вкратце. детальнее можно было бы выковырять оттуда побольше здравых идей, но в меня в канун НГ нет под рукой времени карандаша и прочего... если сильно интересно - можно попозжее подумать : ))

Собственно, ошибка там в уравнениях, приведённых без доказательства. В частности, из них следует, что при фиксированных h,t величины S и a всегда пропорциональны, что не так.

From: kisa_i_osya
2007-12-31 03:44 pm (UTC)

Доллежаль -- не фейк ли...

(Link)

"Николай Антонович Доллежаль" -- судя по фамилии -- не фейк ли? Может статья, что была статья первоапрельская, а потом в онлайн выкладывая, уточнить не потрудился никто.

Или "Давний автор журнала" настолько достал, что решили отбрыкаться хоть так.

Бывают такие, что проще отдаться, у нас помню был роскошный персонаж, который изобрел новый способ записи транслита, который с масштабах страны давал экономический эффект сравнимый с выаловым продуктов СССР 8) Отстал правда. Выручило то, что есть ГОСТ на транслитерацию, а пациент оказался достаточно вменяем, чтобы понять, что "лучше плохой стандарт, чем никакого" и демонстрации ему расчетов, в соответствии с которыми общенациональный переход на его систему съест 80% экономического эффекта. В итоге, персонаж занялся совершенствованием разработки.

From: blinkenlight
2008-01-01 06:44 am (UTC)

Re: Доллежаль -- не фейк ли...

(Link)

From: kisa_i_osya
2008-01-01 01:06 pm (UTC)

А, ну тогда заслуженный маразматик...

(Link)

А, ну тогда заслуженный маразматик... Такой до печенок доесть способен. Хотя конечно журнал тоже лажанулся.

Он уже умер, ему можно.

From: mitrius
2009-05-10 11:44 am (UTC)

Re: Доллежаль -- не фейк ли...

(Link)

это случайно не Галенко В. Т.?

science-freaks.livejournal.com

В журнале "Наука и жизнь" опубликован способ разделить циркулем и линейкой угол на три равные части.: ru_math — LiveJournal

См. ссылку на сайте "Науки и жизни", а на случай, если уберут - скан (DjVu, 72Kb). Как указано в предисловии редактора:

"Давний автор журнала академик Николай Антонович Доллежаль - крупный специалист в области энергетики. В свободное время Николай Антонович занимается исследованием знаменитых задач древности, известных как трисекция угла, удвоение куба и квадратура круга (см. "Наука и жизнь" № 7, 1993 г.; №№ 3, 8, 1994 г.; № 9, 1995 г.). Сложность всех этих задач состоит в том, что решаться они должны без вычислений и расчетов, чисто геометрически, только с помощью циркуля и линейки без делений. Используя именно этот классический метод, Н. А. Доллежаль сумел найти очень изящное решение задачи о делении на три равные части произвольного угла."

Задачу по нахождению ошибки в очень "изящном решении" рекомендую в качестве веселого предновогоднего упражнения.

А вот не столь веселое: автор статьи Доллежаль Н.А. был руководителем проекта по созданию РБМК-1000 (реактор, использовавшийся на Чернобыльской АЭС). Впрочем, к моменту опубликования ему было 99 лет, так что спрос невелик. Но в конце статьи он вынес благодарность профессору В.И.Солонину "за благожелательную критику". Нашел в интернете, что профессор В.И.Солонин - первый заместитель министра РФ по атомной энергии с января 2002 г, член Научного совета по Государственной научно-технической программе России "Экологически чистая энергетика"; член редколлегии журнала "Атомная энергия" и т.д. (ссылка).

Я попробовал позвонить в журнал "Наука и жизнь" по вопросу, не хотят ли они написать опровержение с указанием ошибки и рассказом о том, почему построить нельзя. Не хотят - по крайней мере, те три человека, с которыми удается соединиться по телефону, высказали общую мысль, что "автор - академик, а Вы, простите, кто? Даже не кандидат наук? Ха-ха-ха". Идея, что журналист тоже мог бы попробовать вникнуть в суть рассуждения и вынести личное мнение о наличии в нем ошибки, оказалась им не близка, никто не захотел даже и слушать.

Может быть, написать официальное письмо от мехмата или стекловки? (впрочем, это призыв в никуда, у меня нет такой возможности). Не хочется оставлять подобный позор вообще без реакции...

ru-math.livejournal.com

WikiZero - Трисекция угла

Wikipedia open wikipedia design.

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.

Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.

Невозможность построения была доказана Ванцелем в 1837 году. Несмотря на это, в прессе[1][2][3] и даже в некоторых научных журналах[4] время от времени публикуются некоторые неверные способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой.

П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что трисекция угла α{\displaystyle \alpha } разрешима только тогда, когда уравнение

x3−3x−2cos⁡α=0.{\displaystyle x^{3}-3x-2\cos \alpha =0.}

разрешимо в квадратных радикалах.

Например,

  • Трисекция осуществима для углов вида 2πn,{\displaystyle {2\pi \over n},} если целое число n{\displaystyle n} не делится на 3.
  • Трисекция острого угла прямоугольного треугольника с целыми сторонами осуществима тогда и только тогда, когда гипотенуза является кубом целого числа[5].

Построения с помощью дополнительных средств[править | править код]

Трисекция угла при помощи невсиса[править | править код]

Рис. 1. Трисекция угла с помощью невсиса Рис. 2. Трисекция угла (доказательство)

Следующее построение с помощью невсиса предложено Архимедом.

Предположим, что имеется угол α=POM{\displaystyle \alpha =POM}

www.wikizero.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *