11.2.2. Основные свойства тройного интеграла
1. .
2. , ( ).
3. , то .
4. Если во всех точках области функции и удовлетворяют соотношению , то
.
5. Если функция во всех точках области интегрирования удовлетворяет неравенствам , то
,
где V – объем области .
6. Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.
.
Заметим, что если подынтегральная функция , то
, где V – объем области интегрирования .
Вычисление тройного интеграла так же как и двойного, может быть осуществлено посредством ряда последовательных интегрирований.
Пусть дан тройной интеграл
,
причем область
отнесена к системе декартовых координат Oxyz.
Разобьем область интегрирования
плоскостями, параллельными координатным
плоскостям. Тогда частичными областями
будут параллелепипеды с гранями,
параллельными плоскостям Oxy, Oxz, Oyz.
Элемент объема будет равен произведению
дифференциалов переменных интегрирования
.
В соответствии с этим будем иметь:
.
Будем считать, что область имеет следующий вид.
Опишем около цилиндрическую поверхность с образующей, перпендикулярной к плоскости Оху. Она касается области вдоль некоторой линии L, которая делит поверхность, ограничивающую область на две части: верхнюю и нижнюю. Уравнение нижней поверхности пусть будет , а уравнение верхней .
Построенная
цилиндрическая поверхность высекает
из плоскости Оху плоскую область D,
которая является ортогональной проекцией
пространственной области
на плоскость Оху;
при этом линия L проектируется в границу области D.
Будем производить интегрирование сначала по направлению оси Oz. Для этого функция интегрируется по заключенному в отрезку прямой, параллельной оси Oz и проходящей через некоторую точку области D(отрезок ).
При данных х и у переменная интегрирования z будет изменяться от — аппликаты точки входа ( ) прямой в области , до — аппликаты точки выхода ( ) прямой из области .
Результат интегрирования представляет собой величину, зависящую от точки , обозначим ее через :
.
При интегрировании
.
Приводя, далее, двойной интеграл по области D к повторному и интегрируя сначала по у, а затем по х, получим:
, (11.
2.4)
где и — ординаты точек входа в область D и выхода из нее прямой (в плоскости Оху), а и b – абсциссы конечных точек интервала оси Ох, на которую проектируется область D.
Формула (11.2.4) сохраняется и для областей, имеющих цилиндрическую формулу, т. е. ограниченных цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, а снизу и сверху поверхностями, уравнения которых соответственно и .
Если областью интегрирования служит внутренность параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям, то пределы интегрирования постоянны во всех трех интегралах:
.
В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке.
П ример. Вычислить , где область ограничена плоскостями , , , .
Решение. Нарисуем область . Это
треугольная
пирамида.
Очевидно, что z изменяется от плоскости до наклонной плоскости . Тогда
.
11.3. Общая замена переменных в тройном интеграле.
Приложения кратных интегралов.
11.3.1. Общая замена переменных в тройном интеграле.
Пусть функции , , взаимнооднозначно отображают область в декартовых координатах x, y, z на область в криволинейных координатах t, u, v. Пусть элемент объема области переходит при этом в элемент объема области и пусть
.
Тогда
.
J называется якобианом, он вычисляется по следующей формуле:
11.3.2. Переход в тройном интеграле к цилиндрическим
координатам
Отнесем область к системе цилиндрических координат , в которой положение точки М в пространстве определяется полярными координатами ее проекции Р на плоскость Оху
и ее аппликатой .
Тогда, , . (11.3.1)
Вычислим, чему равен якобиан J при переходе к цилиндрическим координатам:
.
Замечание. При переходе к полярным координатам в двойном интеграле якобиан
.
Теперь . Т. о.
,
т. е., чтобы перейти в тройном интеграле к цилиндрическим координатам, нужно в выражении подынтегральной функции заменить x, y, z по формулам (11.3.1) и взять элемент объема равным . Если, в частности, , то интеграл выражает объем V области .
. (11.3.2)
Вычисление тройного
интеграла в цилиндрических координатах
приводится к интегрированию по
,
по
и по
.
Тройной интеграл Виды поверхностей второго порядка Замена переменных в тройном интеграле Тройной интеграл в цилиндрических коор
Слайд 1
Описание слайда:
Тройной интеграл Виды поверхностей второго порядка Замена переменных в тройном интеграле Тройной интеграл в цилиндрических координатах
Слайд 2
Описание слайда:
Виды поверхностей второго порядка
Слайд 3
Описание слайда:
Виды поверхностей второго порядка
Слайд 4
Описание слайда:
Виды поверхностей второго порядка
Слайд 5
Описание слайда:
Виды поверхностей второго порядка
Слайд 6
Описание слайда:
Виды поверхностей второго порядка
Слайд 7
Описание слайда:
Виды поверхностей второго порядка
Слайд 8
Описание слайда:
Виды поверхностей второго порядка
Слайд 9
Описание слайда:
Замена переменных в тройном интеграле
Слайд 10
Описание слайда:
Замена переменных в тройном интеграле
Слайд 11
Описание слайда:
Цилиндрические координаты
Слайд 12
Описание слайда:
Цилиндрические координаты
Слайд 13
Описание слайда:
Цилиндрические координаты
Слайд 14
Описание слайда:
Цилиндрические координаты
Слайд 15
Описание слайда:
Цилиндрические координаты
Слайд 16
Описание слайда:
Цилиндрические координаты
Слайд 17
Описание слайда:
Цилиндрические координаты
Исчисление III.
Тройные интегралы в цилиндрических координатах Онлайн-заметки Пола
Главная
/
Исчисление III
/
Несколько интегралов
/ Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Уведомление для мобильных устройств
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 15.6: Тройные интегралы в цилиндрических координатах
В этом разделе мы хотим взглянуть на тройные интегралы, выполненные полностью в цилиндрических координатах. Напомним, что цилиндрические координаты на самом деле не что иное, как расширение полярных координат в трех измерениях. Ниже приведены формулы преобразования цилиндрических координат.
\ [x = r \ cos \ theta \ hspace {0,25 дюйма} y = r \ sin \ theta \ hspace {0,25 дюйма} z = z \]
Чтобы выполнить интеграл в цилиндрических координатах, нам нужно знать, во что превратится \(dV\) в терминах цилиндрических координат. В разделе «Замена переменных» этой главы мы сможем показать, что
\[dV = r\;dz\,dr\,d\тета\]
Область \(E\), по которой мы интегрируем, становится
\[\ begin{align*}E & = \left\{ {\left({x,y,z} \right)|\left({x,y} \right) \in D,\,\,\ ,{u_1}\left( {x,y} \right) \le z \le {u_2}\left( {x,y} \right)} \right\}\\ & = \left\{ {\left ( {r,\theta ,z} \right)|\alpha \le \theta \le \beta ,\,\,{h_1}\left( \theta \right) \le r \le {h_2}\left( \theta \right),\,\,\,{u_1}\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta} \right) \le z \le {u_2}\left( {r\cos \ theta ,r\sin \theta } \right)} \right\}\end{align*}\] 9{{{u_2}\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta } \right)}}{{r\,f\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta ,z} \right)\,dz}}\,dr}}\,d\theta }}\]
Не забудьте добавить \(r\) и убедитесь, что все \(x\) и \(y\) также преобразуются в цилиндрические координаты.
2} = 4\).
Показать решение
С этим действительно не так уж много нужно сделать, кроме как выполнить преобразования и затем вычислить интеграл.
Начнем с определения диапазона \(z\) в цилиндрических координатах.
\[0 \le z \le x + 2\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}0 \le z \le r\cos \theta + 2 \]
Помните, что мы находимся над плоскостью \(xy\), а значит, над плоскостью \(z = 0\) 92}} \) и \(x = 0\) мы знаем, что у нас есть хотя бы часть правой половины окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Поскольку диапазон \(y\) равен \( — 1 \le y \le 1\), мы знаем, что у нас есть полная правая половина круга радиуса 1 с центром в начале координат. Итак, диапазоны для \(D\) в цилиндрических координатах:
\[\begin{array}{c}\displaystyle — \frac{\pi }{2} \le \theta \le \frac{\pi }{2}\\ 0 \le r \le 1\end{array }\] 93}\cos\theta\sin\theta\,dz}}\,dr}}\,d\theta}}\end{align*}\]
Преобразование тройных интегралов в цилиндрические координаты — Krista King Math
Формулы преобразования тройных интегралов в цилиндрические координаты
Чтобы изменить тройной интеграл вида
???\int\int\int_Bf(x,y,z)\ dV???
в цилиндрические координаты, нам нужно перевести и пределы интегрирования, и саму функцию, и ???dV??? из прямоугольных координат ???(x,y,z)??? в цилиндрические координаты ???(r,\theta,z)???.
92???
для преобразования пределов интегрирования и функции ???f(x,y,z)???. ???dV??? будет преобразовано по формуле
???dV=r\ dz\ dr\ d\theta???
Как преобразовать тройные интегралы в цилиндрические координаты, а затем вычислить преобразованный тройной интеграл
Пройти курс
Хотите узнать больше об исчислении 3? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂 92}}xz\ dz\ dx\ dy???
Начнем с преобразования пределов интегрирования из прямоугольных координат в цилиндрические, начиная с самого внутреннего интеграла. Это будут пределы интегрирования для ???z???, а значит их нужно решить для ???z??? как только мы приведем их к цилиндрическим координатам. Верхний предел ???3??? может остаться прежним, так как ???z=z??? когда мы переходим от прямоугольных к цилиндрическим координатам, но нижний предел необходимо преобразовать с помощью формул преобразования.
92(1)=9???
???r=\pm3???
Похоже пределы интегрирования для ???r??? в цилиндрических координатах будет ???[-3,3]???. Однако помните, что ???r??? представляет собой радиус или расстояние от начала координат. Не имеет смысла говорить, что мы ???-3??? единиц от начала координат. Вместо этого мы всегда говорим, что нижняя граница для ???r??? такое ???0???, что ???0??? это самое близкое, что мы можем быть к происхождению (прямо в происхождении), и ???3??? это самое далекое, что мы можем быть от источника. Итак, пределы интегрирования для ???r??? будет ???[0,3]???.
Наконец, мы установим пределы интегрирования для внешнего интеграла. Это будут пределы интегрирования для ???y???, а значит их нужно решить для ???\theta??? как только мы приведем их к цилиндрическим координатам. Но так как мы собираемся ???\theta???, мы можем просто предположить, что интервал равен ???[0,2\pi]???, потому что этот интервал представляет полный набор значений для ?? ?\theta???, который является просто углом между любой точкой и положительным направлением оси ???x???.