Тупоугольный треугольник свойства: Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы

Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы

Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы.

 

Поделиться в:

 

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой.

 

Тупоугольный треугольник (понятие и определение)

Элементы тупоугольного треугольника

Свойства тупоугольного треугольника

Формулы тупоугольного треугольника

Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник

 

Тупоугольный треугольник (понятие и определение): 

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, а два других – острые. В свою очередь, тупой угол – это угол, градусная мера которого составляет 90° до 180°, а острый угол – это угол, градусная мера которого составляет менее 90 градусов

Рис. 1. Тупоугольный треугольник

∠ BАC– тупой угол треугольника,

∠ АВС, ∠ BСA – острые углы треугольника

По определению, тупоугольным треугольником не может быть правильный (равносторонний) треугольник, т.к. у него каждый угол составляет 60°.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = АС – стороны треугольника,

∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника 

По определению, тупоугольным треугольником не может быть прямоугольный треугольник , т.к. у него один угол составляет 90° и сумма двух других углов также составляет 90°.

Рис. 3. Прямоугольный треугольник

Тупоугольный треугольник также может быть одновременно равнобедренным треугольником. Но не всякий равнобедренный треугольник тупой.

Рис. 4. Равнобедренный треугольник

АВ = AС – боковые стороны, BС – основание,

∠ ВАС – вершинный угол, ∠ АBC и ∠ BСA – углы при основании

Хотя в тупоугольном треугольнике тупой угол больше 90 градусов, сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам.

 

Элементы тупоугольного треугольника:

Кроме сторон и углов у тупоугольного треугольника также имеются внешние углы. Внешний угол это угол, смежный с внутренним углом треугольника. У любого треугольника, в т.ч. тупоугольного, 6 внешних углов, по 2 на каждый внутренний. Внешний угол тупого угла тупоугольного треугольника всегда будет острым углом. Внешний угол острого угла тупоугольного треугольника всегда будет тупым углом.

Рис. 5. Тупоугольный треугольник и внешний угол

∠ ВAD – острый угол

Медиана тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника), соединяющая вершину треугольника с противоположной стороной, делит ее пополам, т. е. на два одинаковых отрезка.

Рис. 6. Тупоугольный треугольник и медиана тупоугольного треугольника

MA – медиана тупоугольного треугольника

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Рис. 7. Тупоугольный треугольник и высота тупоугольного треугольника

MС – высота тупоугольного треугольника

Высота тупоугольного треугольника может лежать за пределами треугольника.

Биссектриса в тупоугольном треугольнике (как и в любом другом треугольнике) делит угол пополам. Биссектрисы  пересекаются в точке, которая является центром вписанной окружности.

Рис. 8. Тупоугольный треугольник и биссектриса угла тупоугольного треугольника

MA – биссектриса тупого угла тупоугольного треугольника

Кроме того, биссектриса тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника) делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

 

Свойства тупоугольного треугольника:

Свойства тупоугольного треугольника аналогичны свойствам обычного треугольника:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Рис. 9. Тупоугольный треугольник

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

Рис. 10. Тупоугольный треугольник с равными боковыми сторонами

АВ = АС

3. Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°.

4. Любая сторона тупоугольного треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

• • a < b + c;
  • a > b – c;
  • b < a + c,
  • b > a – c;
  • c < a + b;
  • c > a – b.

 

Квадрат

Овал

Остроугольный треугольник

Полукруг

Прямой угол

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Ромб

Трапеция

Тупой угол

Тупоугольный треугольник

Шестиугольник

 

Примечание: © Фото https://www. pexels.com, https://pixabay.com

 

 

Коэффициент востребованности 16 418

Тупоугольный треугольник – площадь, определение, свойства

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 134.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 134.

Тупоугольный треугольник мало чем отличается от обычных произвольных остроугольных треугольников, но тупой угол делает треугольник непривычным для восприятия. Это зачастую приводит в недоумение, поэтому стоит рассмотреть различные варианты решения задач на нахождение параметров тупоугольного треугольника.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Определения

Тупоугольным треугольником будет называться любой треугольник, содержащий тупой угол. Тупоугольный треугольник может быть равнобедренным, но при этом не может быть равносторонним или прямоугольным. Собственно на этом свойства этой фигуры заканчиваются. В остальном, это обычный треугольник и подход к решению таких фигур ничем не отличается.

Рис. 1. Тупоугольный треугольник.

В треугольнике сумма углов равна 180 градусам, поэтому только один угол треугольника может быть тупым, два других при этом всегда острые. Площадь тупоугольного треугольника находится так же, как площадь произвольного треугольника.

Рис. 2. Высота в тупоугольном треугольнике.

Только в тупоугольном треугольнике высота может лежать за пределами треугольника.

Рассмотрим несколько интересных задач на нахождение данных в тупоугольном треугольнике.

Пример решения задачи

В тупоугольном треугольнике АВС известно, что косинус тупого угла равен $-2/\sqrt{13}$. Сторона АС находится напротив тупого угла, $АВ=\sqrt{13}$, ВС=2. Необходимо найти внешнюю высоту треугольника АМ.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Для решения любой задачи можно найти несколько способов. В данной ситуации можно пойти через площадь треугольников, достроить тупоугольный треугольник до прямоугольного или воспользоваться теоремой косинусов.

2(ABC)}=\sqrt{13-4 \over13}=\sqrt{9 \over13}={3\over\sqrt{13}}$$

Теперь запишем две формулы площади, выразим через них высоту и найдем ее значение.

$$S={1\over2}*AM*BC$$

$$S={1\over2}*AB*BC sin(ABC)$$

$${1\over2}*AM*BC={1\over2}*AB*BC*sin(ABC)$$

$$AM*ВС=AB*BC*sin(ABC)$$

$$AM=AB*sin(ABC)$$

$$AM=\sqrt{13}*{3 \over \sqrt{13}}=3$$

• Второй способ – это достроить тупоугольный треугольник до прямоугольного. Если присмотреться, то можно заметить на чертеже два прямоугольных треугольника – это треугольники АМС и АМВ. В треугольнике АМВ можно найти косинус угла АВМ с помощью формул-приведений. Затем, через значение косинуса найти значение синуса того же угла. А синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащей катет – это искомая нами высота, а гипотенуза – это сторона АВ прямоугольного треугольника.

$$cos(ABM)=cos(180-ABC)=-cos(ABC)$$

$$cos(ABM)=-cos(ABC)={2\over \sqrt{13}}$$

Тогда синус, как и в первом способе, выразим через основное тригонометрическое тождество. 2(ABC)}=\sqrt{13-{4\over{4}}}=\sqrt{9\over{13}}={3\over\sqrt{13}}$$

Выразим искомый синус угла АСВ.

$$Sin(ACB)=AB*{sin(ABC)\over{AC}}$$

$$Sin(ACB)=(\sqrt{13}*{{3\over\sqrt{13}}\over{5}})={3\over5}$$

Выразим из треугольника АМС и найденного значения синуса сторону АМ.

$$Sin(ACB)={AM\over AC}$$

$$AM=sin(ACB)*AC$$

$$AM={3\over5}*{5}=3$$

Ответы всех трех способов совпали, а, значит, задача решена верно.

Что мы узнали?

Мы поговорили об определении тупоугольного треугольника. Узнали и посмотрели на практике, какие методы решения тупоугольных треугольников существуют, а также выяснили ,какие формулы и теоремы необходимо знать для успешного решения тупоугольного треугольника.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Азамат Дильдабаев

  5/5

• Арина Алисултанова

  5/5

• Иван Дарьин

  5/5

Оценка статьи

4. 6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 134.

---

А какая ваша оценка?

Тупоугольный треугольник — определение, свойства, формулы, примеры

Что такое тупоугольный треугольник?

Тупоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из внутренних углов больше 90° градусов. В тупоугольном треугольнике, если один угол больше 90°, то сумма двух оставшихся углов меньше 90°.

Для лучшего понимания взгляните на следующий пример.

На этом изображении треугольник XYZ имеет тупой угол Y . Следовательно, этот треугольник является тупоугольным треугольником. Обратите внимание, что два других угла меньше 90 градусов, а сумма всех углов треугольника составляет 180 градусов.

Рекомендуемые игры:

Примеры из жизни 

Вешалка для одежды имеет тупой угол, к которому прикреплен крючок.

Рекомендуемые рабочие листы:

Непримеры тупых углов

В приведенных выше примерах мы ясно видим, что треугольные фигуры не имеют угла больше 90°. Следовательно, это не тупоугольный треугольник.

Особые факты о тупоугольном треугольнике

• Равносторонний треугольник не может быть тупоугольным. Поскольку в равностороннем треугольнике стороны и углы равны, каждый угол равен 60°, что является острым. Следовательно, равносторонний угол никогда не может быть тупым.
• Треугольник не может быть прямоугольным и тупоугольным одновременно. Так как в прямоугольном треугольнике один угол прямой, то два других угла острые. Следовательно, тупоугольный треугольник никогда не может иметь прямого угла и наоборот.
• Сторона, противоположная тупому углу треугольника, наибольшая.

Типы тупоугольных треугольников

1. Равнобедренный тупоугольный треугольник: Здесь две стороны треугольника имеют одинаковую длину.

2. Разносторонний тупоугольный треугольник: В этом типе тупоугольного треугольника все стороны не равны.

Решенные примеры

1. Является ли следующий рисунок примером тупоугольного треугольника?

Ответ:

Нет, данная фигура не является тупоугольным треугольником, так как все углы меньше 90°.

2. Будет ли следующий набор углов образовывать тупоугольный треугольник?

95°, 30°, 55°.

Ответ: Да, эти углы образуют тупоугольный треугольник, так как 95 градусов — тупой угол, а сумма углов (95 + 30 + 55) равна 180 градусам.

3. Тупоугольный треугольник какого типа изображен на рисунке?

Ответ: Это тупоугольный треугольник, так как все его стороны не равны.

Практические задачи

1

Какой из следующих наборов углов образует тупоугольный треугольник?

60°, 35°, 85°

105°, 65°, 10°

65°, 45°, 70°

60°, 50°, 70°

Правильный ответ: 65°, 105°, 105° °, 10°
Тупоугольный треугольник имеет один тупой угол. Два других угла острые.

2

В треугольнике угол равен 110 градусов, а два других угла равны.

Чему будут равны два других угла?

45° каждый

55° каждый

20° каждый

35° каждый

Правильный ответ: 35° каждый
Сумма двух других углов равна 180° − 110° = 70°. Следовательно, два других угла будут равны 35° каждый.

3

Стороны тупоугольного треугольника 3 см, 4 см и 6 см. Чему равен периметр треугольника?

13 СМС

16 СМС

24 СМС

12 СМС

Правильный ответ: 13 см
Периметр тупого треугольника = 3 + 4 + 6 = 12 см

Часто задаваемые вопросы

Can имеют два тупых угла?

Нет, в треугольнике не может быть двух тупых углов, так как сумма трех углов не может превышать 180 градусов.

Как отличить остроугольный треугольник от тупоугольного?

Тупоугольные треугольники имеют один угол больше 90°. В остроугольных треугольниках все углы меньше 90°.

Может ли тупоугольный треугольник иметь один прямой угол?

Нет, в треугольнике не может быть одновременно тупых и прямых углов, так как сумма трех углов не может превышать 180 градусов.

Как узнать, что треугольник тупоугольный?

Мы можем легко определить тупоугольный треугольник, взглянув на его углы. Если какой-либо из углов больше 90°, то такой треугольник является тупоугольным.

Тупоугольный треугольник — определение, формулы, свойства, примеры

Тупоугольный треугольник — это треугольник, один из внутренних углов которого больше 90 градусов. В геометрии треугольники рассматриваются как двумерные замкнутые фигуры с тремя сторонами одинаковой или разной длины и тремя углами одинаковой или разной величины. Основываясь на длине, углах и свойствах, существует шесть видов треугольников, которые мы изучаем в геометрии: разносторонний треугольник, прямоугольный треугольник, остроугольный треугольник, тупоугольный треугольник, равнобедренный треугольник и равносторонний треугольник.

Если один из внутренних углов треугольника больше 90°, то такой треугольник называется тупоугольным. Давайте узнаем больше о тупоугольных треугольниках, их свойствах, необходимых формулах и решим несколько примеров, чтобы лучше понять концепцию.

1.	Что такое тупоугольный треугольник?
2.	Формула тупоугольного треугольника
3.	Свойства тупоугольного треугольника
4.	Часто задаваемые вопросы о тупоугольных треугольниках

Что такое тупоугольный треугольник?

Тупоугольный треугольник или тупоугольный треугольник — это тип треугольника, один из углов при вершине которого больше 90°. В тупоугольном треугольнике один из углов при вершине тупой, а остальные углы острые, т. е. если один из углов больше 90°, то сумма двух других углов меньше 90°. Сторона, противоположная тупому углу, считается самой длинной. Например, в треугольнике ABC три стороны треугольника измеряют a, b и c, причем c является наибольшей стороной треугольника, поскольку она является противоположной стороной тупого угла. Следовательно, треугольник является тупоугольным, где a

2 + b ² < c ²

Тупоугольный треугольник может быть разносторонним или равнобедренным, но никогда не будет равносторонним, поскольку равносторонний треугольник имеет равные стороны и углы, где каждый угол равен 60°. Точно так же треугольник не может быть одновременно и тупоугольным, и прямоугольным, так как в прямоугольном треугольнике один угол равен 9.0°, а два других угла острые. Следовательно, прямоугольный треугольник не может быть тупоугольным и наоборот. Центроид и входящий центр лежат внутри тупоугольного треугольника, а центр описанной окружности и ортоцентр лежат вне треугольника.

В треугольнике ниже один угол больше 90°. Поэтому его называют тупоугольным треугольником или просто тупоугольным треугольником.

Формула тупоугольного треугольника

Существуют отдельные формулы для вычисления периметра и площади тупоугольного треугольника. Изучим каждую из формул подробно.

Периметр тупоугольного треугольника

Периметр тупоугольного треугольника равен сумме мер всех его сторон. Отсюда формула периметра тупоугольного треугольника:

Периметр тупоугольного треугольника = (a + b + c) единиц.

Площадь тупоугольного треугольника

Чтобы найти площадь тупоугольного треугольника, перпендикулярная линия строится вне треугольника, где находится высота. Так как в тупоугольном треугольнике значение одного угла больше 90°. Получив высоту, мы можем найти площадь тупоугольного треугольника, применив формулу, указанную ниже.

В данном тупоугольном треугольнике ΔABC мы знаем, что треугольник имеет три высоты от трех вершин до противоположных сторон. Высота или высота от острых углов тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. Продлеваем основание, как показано, и определяем высоту тупоугольного треугольника.

Площадь треугольника ΔABC = 1/2 × h × b, где BC — основание, а h — высота треугольника.

Площадь тупоугольного треугольника = 1/2 × основание × высота

Площадь тупоугольного треугольника по формуле Герона

Площадь тупоугольного треугольника также можно найти по формуле Герона. Рассмотрим треугольник ΔABC со сторонами a, b и c.

Формула Герона для нахождения площади тупоугольного треугольника: \(\sqrt {s(s — a)(s — b)(s — c)}\) , где (a + b + c) — периметр треугольника, а S — полупериметр, который определяется выражением (s): = (a + b + c)/2

Свойства тупоугольных треугольников

Каждый треугольник имеет свои свойства, которые его определяют. Тупоугольный треугольник имеет четыре различных свойства. Давайте посмотрим, что они из себя представляют:

Свойство 1: Самая длинная сторона треугольника — это сторона, противоположная тупому углу. Рассмотрим ΔABC, сторона BC — это наибольшая сторона, противоположная тупому углу ∠A. См. изображение ниже для справки.

Свойство 2: В треугольнике может быть только один тупой угол. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°. Рассмотрим тупоугольный треугольник, показанный ниже. Мы можем заметить, что один из углов больше 90°, что делает его тупым. Например, если один из углов равен 91°, сумма двух других углов будет равна 89°. Следовательно, в треугольнике не может быть двух тупых углов, так как сумма всех углов не может превышать 180 градусов. Обратите внимание на изображение, приведенное ниже, чтобы понять то же самое с иллюстрацией.

Свойство 3: Сумма двух других углов тупоугольного треугольника всегда меньше 90°. Мы только что узнали, что когда один из углов тупой, сумма двух других углов меньше 90°.

В приведенном выше треугольнике ∠1 > 90°. Мы знаем, что по свойству суммы углов сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° и ∠1 > 90°

Вычитая два предыдущих, мы имеем ∠2 + ∠3 < 90°.

Свойство 4: Центр описанной окружности и ортоцентр тупоугольного треугольника лежат вне треугольника. Ортоцентр (O), точка, в которой пересекаются все высоты треугольника, лежит снаружи тупоугольного треугольника. _{Как видно на изображении ниже:}

Центр окружности (H), срединная точка всех вершин треугольника, лежит снаружи в тупоугольном треугольнике. Как видно на изображении ниже:

☛Похожие статьи о тупоугольном треугольнике

Ознакомьтесь с интересными статьями о тупоугольном треугольнике. Нажмите, чтобы узнать больше!

• Острый треугольник
• 30 60 90 треугольник
• Тупой угол
• Угол боковой угол

Часто задаваемые вопросы о тупоугольном треугольнике

Что такое тупоугольный треугольник?

Тупоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из внутренних углов больше 90°. У него один из углов при вершине тупой, а другие углы — острые, т.е. когда один угол больше 90°, сумма двух других углов меньше 90°. Тупоугольный треугольник также можно назвать тупоугольным треугольником. В общем, тупоугольный треугольник может быть разносторонним треугольником или равнобедренным треугольником, но не равносторонним треугольником. Центр описанной окружности и ортоцентр лежат вне треугольника, а центроид и центр вписанной окружности находятся внутри тупоугольного треугольника.

Возможен ли треугольник с одним тупым и одним прямым углом?

Нет, в треугольнике не может быть одного тупого угла и одного прямого угла вместе, так как в прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, а два других угла острые. Следовательно, прямоугольный треугольник не может быть тупоугольным и наоборот.

Может ли треугольник иметь два тупых угла?

Нет, в треугольнике не может быть более одного тупого угла, так как угол > 90° + угол > 90° = угол >180°. Поскольку сумма углов треугольника в евклидовой геометрии должна быть равна 180°, ни один евклидов треугольник не может иметь более одного тупого угла.

Как узнать, является ли треугольник тупым по длинам сторон?

Самая длинная сторона треугольника считается противоположной стороной тупого угла. Если a, b, c — три стороны треугольника, такие что a ² + b ² < c ² , то треугольник будет иметь тупой угол и будет тупым треугольником.

Как узнать, что треугольник тупоугольный?

Чтобы определить, является ли треугольник тупым, мы можем посмотреть на упомянутые углы. Если один угол больше 90°, а два других угла меньше, а их сумма меньше 90°, то можно сказать, что треугольник тупоугольный. Например, ΔABC имеет такие угловые меры: ∠A = 120°, ∠A = 40°, ∠A = 20°. Этот треугольник тупоугольный, потому что ∠A = 120°.

Каковы свойства тупоугольного треугольника?

Вот свойства тупоугольных треугольников:

• Самая длинная сторона треугольника — это сторона, противоположная тупому углу.
• В треугольнике не может быть более одного тупого угла.

  No related posts.