Умножение деление вычитание сложение: Онлайн калькулятор. Сложение, вычитание, умножение и деление столбиком

Описание основных узлов: Арифметический узел

1. Представление чисел

Арифметический узел предназначен для выполнения четырех арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления.

Числа, над которыми производятся действия, представляются в двоичной системе. Каждая цифра двоичного числа выражается одним из состояний соответствующей триггерной схемы.

Объем числа составляет 24 двоичных разряда, т.е. число представлено в виде цепочки из 24-х триггеров, которую в дальнейшем мы будем называть регистром. Принята система представления чисел в виде модуля и знака. Т.е. в регистре хранится модуль числа, и, кроме того, в него введен 25-й триггер, одно из положений которого соответствует знаку +, другое – знаку

Для удобства вычислений принято, что наивысший разряд числа соответствует 2^-1, т. е. вычисления производятся над дробными числами.

Такое допущение не сужает диапазон решаемых задач, так как при использовании чисел, превышающих по модулю единицу, они могут быть приведены к дроби нужной величины путем соответствующего изменения масштабов исходных данных и результатов

Иногда может возникнуть необходимость изменение масштаба в процессе решения задачи. Такая возможность также имеется, так как при получении в процессе вычислений чисел, превышающих по модулю единицу, АЦВМ автоматически останавливается на том этапе, где получено это число.

Выбор дробной системы удобен тем, что при умножении двух чисел произведение может только уменьшаться. Поэтому при умножении не может получиться число, превышающее по модулю единицу.

Число, модуль которого больше единицы, может получиться в некоторых случаях деления, но деление встречается в вычислениях гораздо реже, чем умножение. Кроме деления такое число может, очевидно, при сложении и вычитании.

2. Выполнение действий

При использовании цифровых методов вычислений, оказывается, что для выполнения всех четырех арифметических действий необходимо и достаточно, чтобы в АУ могла осуществляться только одна основная операция – сложение, и некоторые вспомогательные действия.

В двоичной системе эти действия, так же как и сложение , выполняются наиболее просто и представляют:

1. Сдвиг модуля числа в сторону высших или низших разрядов («влево» или «вправо»).
2. Взятие дополнения от модуля числа, состоящее в замене всех цифр числа на обратные им («0» на «1» или «1» на «0»).

Легко видно, что сдвиг числа влево или вправо соответствует соответствие умножению или делению его на 2.

Дополнение R числа А есть число, связанное с исходным числом А соотношением

R =1 – 2^-24 — А

Вычитание производится как сложение уменьшаемого с дополнением вычитаемого.

Умножение , очевидно, выполняется в виде последовательных сложений и сдвигов, т.е. точно также как при обычном умножении «столбиком».

Применение двоичной системы упрощает таблицу умножения, которая имеет вид:

0 х 0 = 0
0 х 1 = 0
1 х 1 = 1

Деление производится последовательным вычитанием и сдвигом.

3. Блок-схема АУ

Основной частью АУ, в которой совершаются действия, являются три триггерных регистра: регистр А, регистр В, регистр С. Кроме того в АУ имеется дополнительный регистр, называемый в дальнейшем программно-цифровой магистралью (ПЦМ). Через ПЦМ в АУ поступают из памяти и выдаются из АУ в память числа, над которыми совершаются действия, и результаты. Через ПЦМ кроме того в ГПД поступают инструкции, выбранные из памяти.

Местный программный датчик (МПД) получает из ГПД один из четырех возможных импульсов, указывающих какое действие необходимо совершить над числами, принятыми в регистры А, В, и С. После окончания действия МПД выдает результат в ПЦМ, посылая одновременно в ГПД ответный импульс, извещающий об окончании операции.

В АУ производится сложение чисел, набранных в регистрах А и В. Сумма чисел образуется в регистре В путем установки в каждом разряде регистра В состояния, соответствующего сумме цифр слагаемых, набранных первоначально в А и В в этом разряде, и переходной единицы из предыдущего разряда, если она есть.

Переходная единица образуется как в сложении «столбиком», если сумма цифр в предыдущем разряде равна или больше 2-х. Наличие или отсутствие переходной единицы из предыдущего разряда определяется состоянием триггера переходной единицы, устанавливаемого в соответствии с указанным выше правилом.

Для установки всех триггеров переходных единиц в правильное положение после приема в регистры А и В слагаемых требуется некоторое время, называемое «временем пробега переходной единицы», которое и определяет время занимаемое сложением. Только по прошествии времени пробега из МПД в регистр В поступает импульс выдачи суммы, образующий в регистре В результаты сложения.

Время пробега в нашем случае составляет 1 мксек/разряд.

При вычитании в регистр В принимается уменьшаемое, в регистр А вычитаемое. МПД после получения из ГПД импульса «вычитание» посылает в регистр А импульс дополнения, изменяющий состояние триггеров на обратные. После посылки импульса дополнения через время, соответствующее пробегу единицы, МПД посылает в регистр В импульс выдачи суммы. При этом в В, как и указывалось ранее, образуется искомая разность.

Если результат сложения (вычитания) по модулю превышает 1, то АЦВМ автоматически останавливается.

При умножении сомножители принимаются в регистры А и С, а в регистре В устанавливается 0. МПД посылает в регистр С 24 последовательных импульса сдвига вправо, т. е. в сторону младших разрядов. Таким образом, через 1-й триггер регистра С последовательно проходят все цифры числа, набранного в С, начиная с младшего разряда.

Перед каждым сдвигом, в зависимости от того, «0» или «1» находится в первом триггере регистра С, не производится или производится сложение чисел, находящихся в регистрах А и В. Результат сложения, Образованный в регистре В, затем сдвигается одновременно со сдвигом в С. Таким образом, в регистре В накапливается частное произведение, которое по истечении 24-х сдвигов и будет искомым результатом.

При делении, являющимся действием, обратным умножению, в регистр В, в котором ранее образовывалось произведение, принимается делимое, а в регистр А – делитель. Частное образуется в регистре С.

МПД посылает в регистр В 24 последовательных импульса сдвига влево. Деление при выбранной дробной системе представления чисел возможно, если делимое меньше делителя. В противном случае АЦВМ автоматически останавливается. Сдвиг влево означает умножение делителя на 2. После каждого сдвига происходит проверка, стало ли больше число в регистре В чем в А или нет. Если нет, то в младшем разряде С устанавливается «0», если больше, то после сдвига производится вычитание и в младшем разряде С устанавливается «1». Результат вычитания , образованный в В, продолжает сдвигаться влево. В регистре С после каждого сдвига в В также происходит сдвиг влево, так что устанавливаемые за каждый сдвиг в В цифры из младшего разряда С сдвигаются в сторону старших разрядов, образуя по истечении 24 сдвигов в С частное.

После окончания любого из действий МПД одновременно с ответным сигналом выдает в ПЦМ результат действия. Числа, поступающие из ПЦМ в регистры А, В и С, могут приниматься либо из устройства магнитной памяти, либо из электростатической памяти. Число из МП выдается одновременно во все разряды ПЦМ (параллельно).

Число, выбираемое из ЭП, выдается в ПЦМ последовательно, начиная со старших разрядов, для чего в ПЦМ предусмотрена возможность сдвига числа влево.

Регистры А, В. и С, а также программно-цифровая магистраль ПЦМ выполнены в виде 24 идентичных блоков (см. лист Р-АУ), каждый из которых содержит по одному разряду всех регистров АУ.

Все горизонтальные соединения на блок-схеме выполнены внутри каждого блока.

Вертикальные соединения выполнены в виде шин, проходящих вдоль стойки, на которой размещаются блоки.

Блок-схема АУ M-1

4. Местный программный датчик (МПД)

МПД состоит из трех блоков:

1. Блок для выполнения умножения-деления (лист УД-АУ).
   Для получения серий из 24 импульсов используется триггерный счетчик, отсчитывающий по приходе команды из ГПД заданные 24 импульса. Для формирования нужных импульсов использованы два кипп-реле с промежуточными усилителями и клапанными схемами.
2. Блок для выполнения сложения-вычитания (лист СВ-АУ). В этом блоке формируется импульс сложения, задержанный при помощи кипп-реле на время, необходимое для пробега переходной единицы. Кроме того, здесь же находятся триггеры разрядов знака числа регистров А, В, С и ПЦМ.
   Знаки чисел передаются из памяти в триггер ПЦМ, а оттуда в триггеры регистров А, В и С точно так же как в блоках (Р – АУ). Здесь же образуется знак результата.
3. Блок формирования и усиления импульсов, поступающих в регистры (РИ – АУ).
   В этом блоке осуществляется окончательное формирование импульсов и усиление их по мощности линейкой катодных повторителей.

Описание основных узлов: Магнитное запоминающее устройство.

Отчет помещен в музей 27.04.2009

Десятичные дроби сложение и вычитание, умножение и деление

Обыкновенную дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000, … называют десятичной дробью.

Например, , , . Десятичные дроби изучают в 5 классе, объяснение простое – это дробь, знаменатель которой число , где . Удивительно, но любое число можно представить в виде десятичной дроби. Например, число 6 – это десятичная дробь 6,0, а дробь .

Содержание

Представление любого числа в виде десятичной дроби

Попробуем представить в виде десятичной дроби дробь , для этого разделим 5 на 4, получим . Подберем к числу 4 целый множитель, чтобы при умножении получить 10 или 100. Подходит число 25. Умножим числитель и знаменатель дроби на 25, дробь не изменится, а мы получим – десятичную дробь. Однако, этот метод получения десятичной дроби довольно сложный, на практике часто пользуются простым делением в столбик:

Видно, что когда заканчивается целая часть и мы сносим 0, в этот момент мы ставим запятую и отделяем целую часть десятичной дроби от дробной. Все остальные полученные числа при делении будут записываться после запятой.

Обозначение целой и дробной части

Итак, как же выглядит десятичная дробь? Она состоит из двух частей – целой и дробной.

Десятичная дробь целая и дробная части

В дробной части есть свои разряды:

Представленную дробь можно прочитать так “одна целая двести пятьдесят шесть тысяч семьсот восемьдесят девять миллионных”.

Например, дробь 1,25 читаем так: “одна целая двадцать пять сотых”.

Число 2, 354 читается так: “две целых триста пятьдесят четыре тысячных”.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Запомни!

При сложении (вычитании) десятичных дробей числа записывают так, чтобы одинаковые разряды были записаны один под другим, а запятая под запятой и складывают (вычитают) как натуральные числа.

Например, сложение двух десятичных дробей 0,23567 и 2,56890 запишется так:

Сложение десятичных дробей

А вычитание десятичных дробей можно записать так:

Вычитание десятичных дробей

Умножение десятичных дробей

Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, и в полученном произведении отделить справа запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Например,

Умножение десятичных дробей

Деление десятичных дробей

Деление десятичных дробей можно проводить несколькими способами, в зависимости от того, какие числа мы делим. Давайте их рассмотрим.

1. Пусть нам нужно разделить десятичную дробь на целое число. Тогда делим а это число сначала целую часть, а потом и дробную часть. Например, разделим 6,86 на 2. Разделим на 2 сначала целую часть числа, а потом и его дробную часть – сначала десятые доли, а потом и сотые. Получим: 6,86:2=3,43.
2. Если целая часть числа не делится нацело, то, значит, мы займем число у дробной части, а целая соответственно будет равна 0. Как при обычном делении чисел. Например, разделим 1,25 на 5. При делении числа 125 на 5 мы получили бы 25, но в данном случае у нас нет целой части, поэтому мы запишем 0,25.
3. Разделим десятичную дробь на десятичную дробь. Например, 6,05 разделим на 0,55. Умножим обе дроби на 100 и получается, что нам нужно разделить 605 на 55. При делении находим частное – 11.  Если нам нужно, например, разделить 1,25 на 1,5, то можно умножить обе дроби на 10, чтобы избавиться от запятой в делителе. И получается, что мы делим десятичную дробь 12,5 на 15. Можно поделить в столбик. Однако, если вас смущает десятичная дробь в делимом, то можно сразу смело умножить обе дроби на 100. Делить станет немного труднее, ввиду больших чисел, но зато психологически комфортнее, пока вы хорошо не освоили эту тему. Получим следующее: Деление десятичных дробей

Правило деления числа на десятичную дробь.

Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, а потом выполнить деление на натуральное число.

Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и так далее

При умножении (делении) десятичной дроби на 10, 100, 1000 и так далее достаточно перенести запятую вправо (влево) на столько цифр, сколько нулей во множителе (делителе). Например, если нужно умножить 2,456 на 100, то мы переносим запятую на два знака (в 100 два нуля) вправо (увеличиваем число, ведь оно выросло в 100 раз), 2,456 ·100=245,6. Если нужно разделить число 2,456 на 100, то переносим запятую на два знака влево (уменьшаем число, ведь оно уменьшилось в 100 раз), 2,456:100=0,02456.

Читайте еще по математике:

Отменить умножение (сложение) с делением (вычитание)

Отменить умножение (сложение) с делением (вычитание)

Свойства равенства, о которых упоминалось ранее, некоторыми учащихся, реализуется неправильно даже тогда, когда ситуация требует их использование. Например, при решении уравнения нравиться

требуются два шага:

и

Обратите внимание, что в выражении порядок операций диктует, что умножение на 3 предшествует добавлению 7, и «отмены» этих процессов — вычитание 7 и деление на 3 — производилось в обратном порядке. Это не сказать, что мы не могли бы отменить вещи в другом порядке, но студенты, которые делают это, часто делают следующую ошибку. Деление на 3, они часто пренебрегают тем, что все термины с обеих сторон должны быть разделены на 3. Другими словами, после деления на 3 они записывать

Они слишком увлечены идеей, что будут вычитать 7 из обеим сторонам понять, что, разделив сначала на 3, это не 7, а , который нужно вычесть, давая тот же ответь как раньше. Здесь уместно еще одно замечание. Если круглые скобки появляются в уравнении, таком как

то порядок операций выгружается (вычитание внутри скобки стоят перед умножением на 3). При решении для , мы можем, конечно, распределить 3, тем самым исключив круглые скобки и сделать проблему похожей на последнюю обсуждалось. Требуется еще меньше шагов, если просто «отменить» умножение и вычитание в обратном порядке:

а потом

Теперь вернемся к уравнению

и исследуйте более красноречивые ошибки, которые дали названия UMD и UAS в этот раздел. Некоторый учащиеся осознают необходимость за два шага (подобно тем, которые выполнялись, когда это уравнение было рассмотрено выше) изолировать , но мало чувствовать для каких операций это будет достигнуто. За например, понимая, что, как и в правой части уравнение, является «не-» термином, учащийся может написать

недоразумение, что она вычла 7 слева стороны, но делится на 7 на Обратная сторона. Исходное уравнение и новое больше не имеют те же решения в результате. Тот же ученик может затем признать, что ей нужно переместить на другую сторону. Так как 3 умножается на , она должна «отменить» это на деля обе стороны на 3. Но она может (ошибочно) написать

разделив слева, но вычитая справа. Еще раз, решение отличается от того, которое решило исходное уравнение , а именно .

Еще хуже, когда ученик думает, что может решить за один шаг. (то есть позаботьтесь как об умножении на 3, так и о сложении из 7 за одну операцию). Такой студент может написать что-то вроде

Опять же, ответ, который получает этот студент, , это отличается чем правильный.

---

главных ошибок в алгебре, сделанных студентами, изучающими исчисление (полный документ)
Полный список кодов оценок

---

Томас Л. Скофилд 2003-09-04

3.1: Свойства сложения, вычитания, умножения и деления равенства

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

20035

• Келли Брукс
• Общественный колледж Восточных ворот

Свойства сложения, вычитания, умножения и деления равенства позволяют нам складывать, вычитать, умножать или делить одно и то же значение в обеих частях уравнения, это гарантирует, что уравнение остается верным (обратите внимание, мы не можем делить на ноль).

Концепция: Мы знаем, что это истинное утверждение: \(5=5\)

Утверждение останется верным, если мы проделаем одну и ту же операцию с обеих сторон уравнения.

• Добавьте 4 к обеим частям уравнения, чтобы получить: \[\begin{align*} 5+4 &=5+4 \\[4pt] 9 &=9 \end{align*}\]
• Вычтите 10 с обеих сторон исходного уравнения, чтобы получить: \[\begin{align*} 5-10&=5-10 \\ -5&=-5 \end{align*}\]
• Умножьте на 2 обе части исходного уравнения, чтобы получить: \[ \begin{align*} 5\cdot 2&=5\cdot 2 \\ 10&= 10 \end{align*} \]
• Разделите на 15 обе части исходного уравнения, чтобы получить: \[\begin{align*} \frac{5}{15}&= \frac{5}{15}\\ \frac{1}{3} &=\frac{1}{3} \end{align*}\]

Мы используем свойства равенства сложения, вычитания, умножения и деления для решения уравнений для указанной переменной или неизвестной.

Процесс решения основного линейного уравнения с одной переменной

• Изолировать переменную, «отменив» операцию над переменной, то есть применив противоположную операцию к обеим частям уравнения, используя свойства равенства

Пример \(\PageIndex{1}\)

Решить для x: \(x+2=9\)

Решение

Поскольку 2 добавляется к x, чтобы изолировать x, нам нужно «отменить» прибавление 2, противоположное прибавлению 2 вычитание 2, поэтому, используя свойство равенства вычитания, давайте вычтем 2 из обеих частей уравнения, чтобы получить:

\[x+2-2=9-2 \]

\[x=7\]

Пример \(\PageIndex{2}\)

Решить для x: \(x-7=13\)

Решение

Так как 7 вычитается из х, чтобы изолировать х, нам нужно «отменить» вычитание 7, противоположность вычитанию 7 — это добавление 7, поэтому, используя свойство равенства сложения, давайте добавим 7 к обе части уравнения, чтобы получить:

\[x-7+7=13+7\]

\[x=20\]

Пример \(\PageIndex{3}\)

Решите для x: \(3x=12\)

Решение

Поскольку х умножается на 3, чтобы изолировать х, нам нужно «отменить» умножение на 3, противоположное умножению на 3 деление на 3, поэтому используя свойство равенства деления, давайте разделим на 3 обе части уравнения, чтобы получить:

\[\frac{3x}{3}=\frac{12}{3}\]

\[x=\frac{12}{3}=4\]

Пример \(\PageIndex{4 }\)

Решите для x: \(\frac{x}{8}=2\)

Решение

Поскольку x делится на 8, чтобы изолировать x, нам нужно «отменить» деление на 8. Противоположностью деления на 8 является умножение на 8, поэтому, используя свойство равенства умножения, давайте умножим на 8 обе части уравнения, чтобы получить:

\[\frac{x}{8}\cdot 8=2\cdot 8\]

\[\frac{x}{8}\cdot \frac{8}{1}=2\cdot 8\]

\[x=16\]

Пример \(\PageIndex{5}\)

Решите для x: \(\frac{1}{2}x=5\)

Решение

Мы можем подойти к этой задаче несколькими способами,

Вариант 1: прочитать задачу как x умножается на ½, поэтому мы можем разделить обе части на ½, чтобы изолировать переменную x.

\[\frac{\frac{1}{2}x}{\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{5}{\left(\frac{1}{2) }\справа)}\]

\[x=\frac{5}{\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{5}{1}\cdot \frac{2}{1}=\frac{ 10}{1}=10\]

Вариант 2: Перепишите задачу или представьте, что задача читается как деление x на 2, поскольку ½ \(x\) эквивалентно \(\frac{x {2}\), поэтому мы можем умножить обе части уравнения на 2, чтобы выделить \(x\):

\[\frac{1}{2}x=5\]

\[\frac{ x}{2}=5\]

\[\frac{x}{2}\cdot 2=5\cdot 2\]

\[x=10\]

Аналогично, если у нас есть доля раз переменная, скажем, x, тогда мы можем умножить обе части уравнения на обратную дробь (перевернуть дробь так, чтобы числитель стал знаменателем, а знаменатель стал числителем):

Пример \(\PageIndex{6}\)

Найти x: \(\frac{2}{3}x=7\)

Решение

\[\frac{2}{3} x=7\]

\[\boldsymbol{\frac{3}{2}}\cdot \frac{2}{3}x=\boldsymbol{\frac{3}{2}}\cdot 7\]

\[x=\frac{3}{2}\cdot \frac{7}{1}=\frac{21}{2}\]

Процесс решения линейного уравнения с одной переменной с несколькими операциями

При решении линейного уравнения с несколькими операциями мы меняем порядок операций, потому что мы «отменяем» исходные операции.

Пример:

1. Решите для x: \(2x+5=15\)

Порядок операций состояния для выполнения умножения, затем сложения, поэтому при решении мы изменим этот порядок, чтобы мы «отменили» сначала сложение, затем мы «отменяем» умножение

\[2x+5=15\нечисло \]

Шаг 1: «Отменить сложение на 5», вычитая 5 с обеих сторон уравнения

\[2x +5-\boldsymbol{5}=15-\boldsymbol{5} \без номера \]

\[2x=10\без номера \]

Шаг 2: «Отменить умножение на 2», разделив на 2 обе части уравнения

\[\frac{2x}{\boldsymbol{2}}=\frac{10}{\boldsymbol{2}} \nonumber \]

\[x=5 \nonumber \]

Мы можем проверить наш ответ, подставив значение x в исходное уравнение и убедившись, что уравнение верно: \(2\left(5\right) +5=10+5=15 \, ✓ \)

2. Найдите x: \(\frac{2}{3}x+\frac{1}{5}=\frac{2}{7 }\)

\[\frac{2}{3}x+\frac{1}{5}=\frac{2}{7}\nonumber \]

Шаг 1. Вычтите \(\frac{1}{5}\) из обеих частей уравнения

\[\frac{2}{3}x+\frac{1}{5}-\boldsymbol{\ frac{1}{5}}=\frac{2}{7}-\boldsymbol{\frac{1}{5}}\nonumber \]

\[\frac{2}{3}x=\frac {2}{7}-\frac{1}{5} \nonumber \]

Шаг 2: Найдите ЖК-дисплей для вычитания дробей с правой стороны:

\[\frac{2}{3}x= \frac{2}{7}\cdot \frac{5}{5}-\frac{1}{5}\cdot \frac{7}{7}\nonumber \]

\[\frac{2} {3}x=\frac{10}{35}-\frac{7}{35} \nonumber \]

\[\frac{2}{3}x=\frac{3}{35}\nonumber \]

Шаг 3. Умножьте обе части уравнения на обратную величину \(\frac{2}{3} \), что будет \(\frac{3}{2}\) :

\[\boldsymbol{\frac{3}{2}}\cdot \frac{2}{3}x=\boldsymbol{\ frac{3}{2}}\cdot \frac{3}{35}\nonumber \]

\[x=\frac{9}{70}\nonumber \]

Процесс решения линейных уравнений со скобками

Когда уравнение содержит круглые скобки, мы можем очистить круглые скобки, используя свойство дистрибутивности.

Распределительное свойство: \(a\left(b+c\right)=ab+ac\)

Примеры

1. Решите для m: \(5\left(m+3\right)-2\left (7-m\right)=12\)

Шаг 1: Примените распределительное свойство, чтобы убрать скобки:

\[5m+5\left(3\right)-2\left(7\right)-2 (-m)=12 \нечисло \]

\[5m+15-14+2m=12 \нечисло \]

Шаг 2: Объедините одинаковые члены

\[5m+2m+15-14+1=12 \nonumber \]

\[7m+1=12 \nonumber \]

Шаг 3: Изолируйте переменную, вычитая 1 с обеих сторон, затем разделив обе стороны на 7

\[7m+1-\boldsymbol{1}=12-\boldsymbol{1}\номер \]

\[7m=11\неномер \]

\[\frac{7m}{\boldsymbol{7 }}=\frac{11}{\boldsymbol{7}}\nonumber \]

\[m=\frac{11}{7}\nonumber \]

2.