Умножение дробей на целые числа: Умножение обыкновенной дроби на натуральное число — урок. Математика, 5 класс.

правила, примеры, решения, как умножить натуральное число на смешанную дробь

Данная статья дана для разбора смешанных чисел. Научимся выполнять умножения смешанных чисел и натурального числа.

Умножение смешанных чисел

Умножение смешанных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Для этого нужно сделать перевод смешанных чисел в неправильные дроби.

Используем правила умножения смешанных чисел:

Определение 1

• Умножаемые смешанные числа нужно заменить неправильными дробями;
• Использование правила умножения дроби на дробь.

Рассмотрим решения на примерах.

Пример 1

Сделать умножение 357 и 1211.

Решение

Для начала умножаем смешанные числа в виде неправильных дробей: 357=3·7+57=267 и 1211=1·11+211=1311.

Умножение смешенных дробей заменяем умножением обыкновенных: 357·1211=267·1311.

После чего получим 267·1311=26·137·11=33877.

Дробь несократимая, поэтому выделяем целую часть:33877=43077.

В итоге получим 357·1211=267·1311=26·137·11=33877=43077.

Ответ: 357·1211=43077.

Чтобы закрепить знания умножения смешанных чисел, рассмотрим пример решения.

Пример 2

Произвести умножение 715·119.

Решение

Смешанные числа 715 и 119 можно представить в виде неправильных дробей: 135 и 109.

Получим, что 715·119=365·109=36·105·9.

Этот этап характеризуется применением правила сокращения дроби, тогда получим 36·105·9.

Мы раскладываем на простые множители и выполняем сокращение одинаковых множителей:

36·105·9=2·2·3·3·2·55·3·3=2·2·21=8

Ответ: 715·119=8.

Умножение смешенного и натурального числа

После того, как произведется замена неправильной дробью, умножение смешенного и натурального числа сводится к умножению обыкновенной дроби  и натурального числа.

Пример 3

Произвести умножение 2518 и 45.

Решение

Представляем смешанное число 2518 в виде неправильной дроби 4118, получим 2518·45=4118·45=41·4518. Необходимо заменить на простые множители и выделить целую часть:

41·4518=41·3·3·52·3·3=41·52=2052=10212

Ответ: 2518·45=10212.

Умножение смешенного и натурального числа рассматривается, как решение с распределительным свойством умножения относительно сложения. Получаем, что произведение смешанного  и натурального числа равно сумме произведений целой части на натурально число и дробной части на данное натуральное число, тогда получаем, что abc·n=a+bc·n=a·n+bc·n.

Пример 4

Вычислить 1038·8.

Решение

Необходимо заменить смешанное число суммой целой или дробной его части. Далее используем свойство распределительного умножения:

1038·8=10+38·8=10·8+38·8=80+3=83

Ответ: 1038·8=83.

Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби

Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби лучше представить в виде произведения обыкновенных дробей, умноженное на смешенное число неправильной дробью.

Пример 5

Умножить 323 на 415.

Решение

Заменим данное смешанное число 323 при помощи дроби 113, тогда получим, что 323·415=113·415=4·113·15=4445.

Ответ: 323·415=4445.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Умножение смешанных дробей – правило как умножать

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 293.

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 293.

Смешанные дроби пугают учеников своей громоздкостью. В таких числах две части, их не всегда получается удачно записать, что уж говорить о расчетах. Разберемся подробнее в умножении смешанных дробей, чтобы допускать ошибки при вычислении.

Что такое смешанная дробь?

Смешанной дробью называют дробь, у которой выделили, целую часть. Часто преобразование неправильной дроби в смешанную выполняют после решения примера. Это считается правилом хорошего тона: не оставлять неправильную дробь в результатах.

Однако встречаются примеры, где приходится складывать, вычитать и даже умножать смешанные дроби. В результатах таких примеров может оказаться, что угодно, поэтому не нужно бояться собственных вычислений. После вычитания или умножения смешанных дробей могут получится как целые числа, так и дроби или смешанные числа.

Сложение и вычитание смешанных дробей

Складывать и вычитать смешанные дроби достаточно просто:

• Выполняется действие над целой частью.
• Выполняется действие над дробной частью.
• Если при вычитании дробной части числа оказалось недостаточно, разрешается взять единицу у целой части.
• Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, следует выделить целую часть и прибавить ее к сумме целых частей начальных дробей.

Cледует строго следить за числами при переводе из смешанных чисел в дробные и обратно. Помните, потеря части числа может существенно сказаться на результате.

Умножение смешанных дробей

Умножение смешанных дробей процесс более сложный. Начнем с того, что умножать отдельно целые и дробные части нельзя. Так же нельзя умножать числитель на целую часть другого числа. Не забывайте, что целая и дробная часть представляют собой единое число, которое нельзя использовать в вычислениях по частям.

Поэтому перед тем как умножать смешанные дроби, прибегают к хитрости: смешанные числа превращают в неправильные дроби и перемножают. Потом, если результатом является неправильная дробь, то у числа выделяют целую часть.

Чтобы выделить целую часть неправильной дроби, нужно целую часть умножить на числитель, к получившемуся числу прибавляют знаменатель

Поэтому правило умножения смешанных чисел можно сформулировать так: Чтобы перемножить два смешанных числа, требуется перевести числа в неправильные дроби. После этого числитель первого множителя умножается на числитель второго множителя, а знаменатель первого множителя умножается на знаменатель второго множителя.

Что мы узнали?

Мы вспомнили, что такое смешанные числа. Поговорили о том, как складывать и вычитать смешанные числа. Отдельно выделили правило умножения смешанных чисел. Сказали, что смешанные числа без преобразований умножать нельзя.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 293.

---

А какая ваша оценка?

Умножение дроби на целые числа

Для умножение дробей на целые числа, целое число записывается в виде дроби, а затем умножается на данную дробь по правилам умножения дробей. При умножении дробей на целые числа следует также помнить, что данные дроби должны быть в виде правильной дроби или неправильной дроби. Давайте узнаем больше об умножении дробей на целые числа вместе с некоторыми примерами.

1.	Что такое умножение дробей на целые числа?
2.	Как умножать дроби на целые числа?
3.	Как умножать смешанные дроби на целые числа?
4.	Часто задаваемые вопросы об умножении дробей на целые числа

Что такое умножение дробей на целые числа?

Умножение дробей на целые числа аналогично многократному сложению, когда дробь прибавляется столько же раз, сколько и целое число. Для умножения дробей мы сначала умножаем числители, затем умножаем знаменатели и, наконец, приводим полученную дробь к наименьшему порядку. Однако, когда нам нужно умножить дроби на целые числа, мы записываем целое число в виде дроби, записывая 1 в качестве ее знаменателя. После этого шага мы можем умножить его, используя те же правила. Например, когда мы умножаем дробь a/b × c/d, мы получаем (a × c)/(b × d). Это правило применимо и при умножении дробей на целые числа.

Как умножать дроби на целые числа?

Умножение дробей на целые числа — простая идея. Нам просто нужно преобразовать целое число в дробь, написав 1 в качестве знаменателя и написав целое число в качестве числителя. Затем оно умножается на заданную дробь. После их умножения окончательный результат должен быть в виде правильной дроби или смешанной дроби. Если в результате получается неправильная дробь, преобразуем ее в смешанную дробь. Давайте разберемся с шагами на примере.

Пример: Умножить 1/8 × 5

Решение: Здесь 1/8 — дробь, а 5 — целое число.

• Шаг 1: Преобразуйте целое число в дробь, написав 1 в качестве знаменателя. Это означает, что 5 записывается как 5/1
.
• Шаг 2: Умножьте числители. Здесь 1 × 5 = 5
• Шаг 3: Умножьте знаменатели. Здесь 8 × 1 = 8
• Шаг 4: При необходимости упростите и сократите продукт. Если в результате получится неправильная дробь, мы преобразуем ее в смешанную дробь. Итак, произведение 5/8

Давайте посмотрим на другой пример, чтобы лучше понять это.

Пример 2: Умножьте 5 × 3/10.

Решение: Здесь 5 — целое число, а 3/10 — правильная дробь.

• Шаг 1: Преобразуем целое число 5 в дробь, написав 1 в знаменателе. Это означает, что 5 записывается как 5/1.
• Шаг 2: Умножьте числители обеих дробей. 5/1 × 3/10 = 5 × 3 = 15,
• Шаг 3: Умножьте знаменатели обеих дробей. 5/1 × 3/10 = 1 × 10 = 10,
• Шаг 4. Упростите дроби. 5/1 × 3/10 = 15/10. Мы можем еще упростить это, так как и 15, и 10 можно разделить на 5. Это означает, что (15 ÷ 5) / (10 ÷ 5) = 3/2. Следовательно, 5 × 3/10 = 3/2 = \(1\dfrac{1}{2}\)

Как умножать смешанные дроби на целые числа?

Чтобы умножать смешанные дроби на целые числа, мы преобразуем смешанную дробь в неправильную дробь, а затем умножаем ее на целое число.

Пример: Умножьте \(1\dfrac{2}{5}\) на 10.

Решение: Посмотрим, как умножить заданную смешанную дробь на целое число.

• Шаг 1: Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную. Это означает, что \(1\dfrac{2}{5}\) = 7/5.
• Шаг 2: Затем преобразуйте целое число 10 в дробь. Это означает, что 10 = 10/1. Это составляет 7/5 × 10/1
.
• Шаг 3: Умножьте числители обеих дробей. 7 × 10 = 70. Перемножьте знаменатели обеих дробей. Это означает, что 5 × 1 = 5,
.
• Шаг 4: Упростите и сократите дробь, то есть 70/5 = (70 ÷ 5) / (5 ÷ 5) = 14/1. Следовательно, \(1\dfrac{2}{5}\) × 10 = 14,

☛ Статьи по теме

• Умножение смешанных дробей
• Деление дробей
• Сокращение дробей
• Сложение и вычитание дробей
• Формула фракций

 

Примеры умножения дробей на целые числа

1. Пример 1: Умножьте дробь на целое число: 1/3 × 15

   Решение:

   Умножим дробь на целое число,

   1/3 × 15 = 1/3 × 15/1 = (1 × 15) / (3 × 1) = 15/3 = 5.

   Следовательно, 1/3 × 15 = 5

2. Пример 2: Найдите произведение после умножения дроби на целое число: 3/4 × 4

   Решение:

   Для умножения дробей на целые числа нам нужно преобразовать целое число в дробь, написав 1 в качестве ее знаменателя.

   3/4 × 4 = 3/4 × 4/1 = (3 × 4) / (4 × 1) = 12/4 = 3.

   Следовательно, 3/4 × 4 = 3

3. Пример 3: Найдите произведение целого числа 6 и смешанной дроби \(3\dfrac{4}{7}\)

   Решение:

   Сначала преобразуем смешанную дробь в правильную дробь .

   \(3\dfrac{4}{7}\) = [(7 × 3) + 4] / 7 = 25/7

   Преобразуем целое число в дробь,

   6 = 6/1

   Теперь давайте умножим дробь на целое число,

   6/1 × 25/7 = (6 × 25) / (1 × 7) = 150/7 смешанная фракция.

   150/7 = \(21\dfrac{3}{7}\).

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по умножению дробей на целые числа

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы об умножении дробей на целые числа

Что означает умножение дробей на целые числа?

Умножение дробей на целые числа считается повторным сложением, когда дробь прибавляется столько же раз, сколько и целое число. Умножение дробей с целыми числами выполняется по тем же правилам умножения, где числители умножаются вместе, затем знаменатели умножаются вместе, а затем они уменьшаются, чтобы получить произведение.

Как умножать дроби на целые числа?

Чтобы умножать дроби на целые числа, мы используем следующие шаги.

• Шаг 1: Преобразуйте целое число в дробь, написав 1 в качестве знаменателя.
• Шаг 2: После этого нам нужно умножить две дроби. Итак, мы используем правило умножения дробей, чтобы умножить дроби.
• Шаг 3: Это означает, что сначала перемножаются числители, а затем перемножаются знаменатели.
• Шаг 4: Наконец, продукт упрощается или сокращается, если это необходимо.

Как умножать смешанные дроби на целые числа?

Следующие шаги показывают, как умножать смешанные дроби на целые числа:

• Шаг 1: Преобразуйте смешанную дробь в неправильную дробь.
• Шаг 2. Преобразуйте целое число в дробь со знаменателем 1.
• Шаг 3: Умножьте числители.
• Шаг 4: Умножьте знаменатели.
• Шаг 5: Упростите окончательный результат до минимума.

Как умножать неправильные дроби на целые числа?

Для умножения неправильных дробей на целые числа используются те же правила умножения. Это означает, что целое число записывается в виде дроби, а затем умножается на неправильную дробь. Числители перемножаются, затем знаменатели перемножаются, а затем при необходимости упрощаются.

Как умножить 3 дроби на целые числа?

Чтобы умножить 3 дроби на целые числа, мы используем следующие шаги. Давайте умножим 4/5 × 10/6 × 1/4 × 25.

• Шаг 1: Здесь 25 — это целое число, а остальные дроби, поэтому мы преобразуем целое число в дробь, написав его знаменатель равен 1. Это означает, что 25 записывается как 25/1
.
• Шаг 2: Теперь у нас есть 4 дроби для умножения. Итак, мы используем правило умножения дробей, чтобы умножить все эти дроби. 4/5 × 10/6 × 1/4 × 25/1
• Шаг 3: Это означает, что сначала перемножаются числители, а затем перемножаются знаменатели. Здесь произведение числителей будет 4 × 10 × 1 × 25 = 1000. Произведение знаменателей будет 5 × 6 × 4 × 1 = 120.
• Шаг 4: Дробь, которую мы получаем в результате произведения, равна 1000/120. Наконец, произведение упрощается или сокращается, это означает, что 1000/120 = 25/3 = \(8\dfrac{1}{3}\)

Как умножать отрицательные дроби на целые числа?

Для умножения отрицательных дробей на целые числа используются те же правила умножения. Это означает, что целое число записывается в виде дроби, а затем умножается на отрицательную дробь. Числители перемножаются, затем знаменатели перемножаются, а затем при необходимости упрощаются. Однако следует помнить, что произведение будет иметь знак, соответствующий знаку, данному в дроби. Это означает, что если отрицательную дробь умножить на целое положительное число, произведение будет иметь отрицательный знак. Например, -6/4 × 5 = -6/4 × 5/1. Теперь мы можем перемножить числители и знаменатели, чтобы получить -30/4, что в дальнейшем будет уменьшено до -15/2.

Что такое правило умножения дробей?

Есть два простых шага для умножения дробей. Сначала умножьте числители, а затем знаменатели обеих дробей, чтобы получить результирующую дробь. Затем нам нужно упростить полученную дробь, чтобы получить произведение. При необходимости его можно еще уменьшить. Это можно понять на простом примере. 2/6 × 4/7 = (2 × 4)/(6 × 7) = 8/42 = 4/21.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Умножение дробей на целые числа

Умножение дроби на целые числа? Определение, примеры

Что такое целые числа?

Целые числа – это набор чисел, включающий все натуральные числа, а также 0. Например, 10, 18, 200 и т. д. 

Источник изображения

Рекомендуемые игры:

Что такое дробь?

Дроби часто называют числом между числами. Дроби — это числовые значения, которые представляют собой часть или часть целого. Например, посмотрите на пиццу ниже.

Эта пицца разрезана на 4 равные части. Таким образом, каждый кусок пиццы представляет собой 1 из 4 равных частей. Таким образом, математически мы можем представить каждую часть как $\frac{1}{4}$. Это число называется дробью.

В общем случае, когда целое делится на равные части, каждая часть представляет часть целого, и мы записываем дроби в виде $\frac{a}{b}$, где a и b — действительные числа, а b не может быть равно нулю .

Число под чертой, которое представляет общее количество равных частей, на которые делится целое, называется знаменателем. А число сверху, которое представляет количество рассматриваемых нами равных частей, называется числителем.

Рекомендуемые рабочие листы:

Умножение дробей с целыми числами

Умножение двух чисел аналогично многократному сложению. Например,

2 раза по 4 или $2 \times 4$ равносильно добавлению числа «4» 2 раза.

Итак, умножение дробей на целые числа — это то же самое, что многократное сложение, когда мы складываем дробь столько же раз, сколько и целое число.

Например: попробуем перемножить 3 и $\frac{1}{4}$.

3 раза $\frac{1}{4}$ означает сложение дроби $\frac{1}{4}3$ раза.

Алгебраически это означает,

Мы можем решить это выражение визуально,

Источник

И наш ответ будет:

Но теперь давайте посмотрим, как мы можем обобщить это, не создавая модель каждый раз, когда мы хотим умножить целое число и дробь.

Умножение дробей с целыми числами

Сделаем это на примере,

Умножим 5 на $\frac{3}{4}$.

Шаг 1: Преобразуйте 5 в дробную форму, применив 1 к знаменателю.

Шаг 2: Умножьте числитель на числитель и знаменатель на знаменатель.

И вуаля, у нас есть ответ.
В качестве дополнительного шага, если вы получили неправильную дробь, вы можете преобразовать ее в смешанное число.

Умножение смешанных дробей на целые числа

Умножение смешанных чисел на целые числа следует той же процедуре, только с дополнительным шагом.

Давайте сделаем это на примере.

Как умножить 3 на $2\frac{1}{5}$?

Шаг 1: Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.

Шаг 2: Преобразуйте 3 в дробную форму, применив 1 к знаменателю.

Шаг 2: Умножьте числитель на числитель и знаменатель на знаменатель.

И после преобразования в неправильную дробь, 

У нас есть ответ:

Решенные примеры

Пример 1: Кэтрин готовит торт, для которого ей нужно три четверти чашки масла. Если она решит испечь три лепешки, сколько потребуется масла?

Решение : 

Количество коржей $= 3$ 

Масло, необходимое для 1 коржа $= \frac{3}{4}$ стакана

Общее количество сливочного масла $= 3 \times { 3}{4} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$ чашек

Пример 2. Найдите произведение целого числа 10 и смешанной дроби 523.  Решение : $10\times 5\frac{2}{3} = 10\times \frac{17}{3} = \frac{170}{3} = 56\frac{2}{3} $

Практические задачи

1

На вечеринке каждый человек выпивает $\frac{3}{5}$$l$ сока. Если вы пригласите на свою вечеринку 15 человек, сколько сока вам понадобится?

$8$$l$

$10$$l$

$9$$l$

$15$$l$

Правильный ответ: $9$$l$
Необходимое количество сока $= 15 \times \ frac{3}{5} = \frac{45}{5} = $9$$l$

2

Clove ежедневно проезжает $\frac{1}{4}$ миль. Сколько она проедет за 10 дней?

$2\frac{2}{4}$ миль

$\frac{2}{5}$ миль

$2$ миль

$1\frac{1}{4}$ миль

Правильный ответ: $2\frac{2}{4}$ миль
Расстояние, пройденное за 10 дней $= 10 \times$ расстояние, пройденное за один день
$= 10 \times \frac{1}{4} = \frac{10}{4 } = 2\frac{2}{4}$ миль

3

Джейн купила в магазине 20 яблок, из которых $\frac{1}{5}$ яблок были гнилыми.