Умножение и деление чисел со степенями: Свойства степеней, действия со степенями

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Пусть надо a⁹ ÷ a³; здесь, согласно смыслу деления, дано произведение = a⁹ и дан один множитель = a³. Надо найти другой множитель. Напишем данное произведение (a⁹) подробнее

a · a · a · a · a · a · a · a · a

и отделим, например, подчеркивая, данный множитель, т. е. a³ или a · a · a. Тогда мы увидим, каков другой множитель, а именно осталось неподчеркнутым

a · a · a · a · a · a,

что = a⁶. Итак,

a⁹ ÷ a³ = a⁶.

Пусть надо b⁴⁷ ÷ b¹⁸. Данное произведение есть b⁴⁷ или такое произведение, где b повторяется множителем 47 раз; отделим один данный множитель, b¹⁸, или произведение, где b повторяется 18 раз множителем. Тогда мы сообразим, что искомым множителем является произведение, где b повторяется 29 раз множителем, т. е. b²⁹. Итак, b⁴⁷ ÷ b¹⁸ = b²⁹.

Также

x¹⁵ ÷ x⁵ = x¹⁰
(a + b)⁷ ÷ (a + b) = (a + b)⁶
3²³ ÷ 3²⁰ = 3³ = 27 и т. д.

Вообще

a^m ÷ aⁿ = a^m-n (если m > n)

или словами: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается без изменения, а показатель делителя вычитается из показателя делимого (если показатель делимого больше показателя делителя).

Пусть теперь надо

20a⁵b⁴c²d ÷ 5a³b³c².

Здесь дано произведение (20a⁵b⁴c²d) и один множитель 5a³b³c²; надо найти другой множитель. У произведения коэффициент (+20), он получился от умножения коэффициента данного множителя (+5) на коэффициент искомого множителя. Чтобы найти этот коэффициент, надо (+20) ÷ (+5), получим +4. В данном произведении a взято множителем 5 раз, в данном множителе a входит множителем 3 раза.

Поэтому в искомом множителе a должно входить множителем 2 раза, т. е. в искомом множителе должно быть a². В данном произведении b берется множителем 4 раза, а в данном множителе – 3 раза; следовательно, в искомом множителе b должно входить множителем лишь 1 раз. В данном произведении имеем c² (c берется множителем 2 раза) и в данном множителе имеем c². Поэтому в искомом множителе c не должно вовсе входить. В данном произведении имеется множитель d, а в данном множителе d вовсе нет; поэтому d должно иметься в искомом множителе. Итак,

20a⁵b⁴c²d ÷ 5a³b³c² = 4a²bd.

Еще примеры:

В предыдущем встречались деления, вроде c² ÷ c²; a ÷ a; b

3 ÷ b³; и т. д. Здесь уместно заметить, что частное от деления какого-либо числа на самое себя всегда равно 1.

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Похожие презентации:

Умножение и деление степеней с одинаковым основанием

Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

Степень числа. Тайны степени

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Сложнние и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Умножение и деление степеней. Основное свойство степени

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. 8 класс

Больше, меньше, одинаковые

1. деление степеней

Проверка дополнительного
задания
Работа в парах
Вычислите:
10 6
( 3)
4
1
555
23
1000000
2 2 256
5
— 81
2
5
3
-1
25 : 23
32
3 3
5
4
4 :4
?
а а
?
35
15
8
32
5
4
19683
Тема урока:
Деление степеней с одинаковыми
основаниями.
Цели урока:
вывести правила деления степеней с
одинаковыми основаниями;
научиться применять правила деления степеней
с одинаковыми основаниями;
научиться возводить число в степень с нулевым
показателем.

5. Основное свойство степени

Для любого числа a и
произвольных натуральных
чисел m и n
m
a
n
a
=
m+n
a

6. Выбираем правильный ответ

33 · 3 6
0,057 · 0,0512
65 ·
64
52 ·54
(-3,1)5 · (-3,1)10
4,37
4,34 ·
4,33
19
9
0,05
6
56
(-3,1)15
413
26 ·
27
9
9
36
242(-3,1)5
3
7
18
43
3
13
15
2
(3,1)
10
6
0,112 4,39 0,0512 256
Молодцы!

7. Найдем частное двух степеней a7 и a3

a≠0
a7 = a3 ∙ a4
a7 : a3
a4 = a7 : a3
= a 7- 3
a7 : a3 = a 7-3 = a4

8. свойство степени

am : an = am-n
Для любого числа a ≠ 0
и произвольных
натуральных чисел m и
n, таких, что m > n,
m
a
:
n
a
=
m-n
a

9. Правило деления степеней

При делении степеней с одинаковыми
основаниями основание оставляют прежним, а
из показателя степени делимого вычитают
показатель степени делителя.
Примеры:

10. Выбираем правильный ответ

331 : 36
a5 :a
h22 : h6
0.29 :
0.25
x16 :x4
(-3)15 : (3)6
3523 :
3510
Молодцы!
7
4
37
18 9
x
3h
a
33
(-3)
7
35
0,2
3h
20
25
621
a
x
3
(-3)
13
14
35
0,2
12
331
a
h
x
23
35
0,2
394

11. Проверочная работа

Представить в виде степени:
Вариант I
Вариант II

12. Подведем итог:

Какую
цель мы с вами ставили сегодня на
уроке?
Смогли мы его достичь?
Что мы умеем?
Что было трудно?
Кому что не понятно?

13. Рефлексия:

Выскажите
свое мнение одним
предложением , взяв за начало следующие
фразы.
1 Сегодня я узнал…
2 Было трудно…
3 Я понял , что…
4 У меня получилось…
5 Мне захотелось…

14. Домашнее задание:

English     Русский Правила

Свойства умножения и деления показателей степени — Понятие

Существуют разные правила, которым необходимо следовать при умножении показателей степени и при делении показателей степени. Если мы умножаем одинаковые основания, мы просто добавляем показатели степени. Если мы делим, мы просто вычитаем показатели степени. Если показатель степени находится вне круглых скобок, он распределяется на внутренние члены. Важно понимать правила умножения показателей степени , чтобы мы могли упростить выражения с показателями степени.

база сила экспонента property

Когда вы дойдете до главы об экспонентах, ваш учитель будет задавать много-много домашних заданий с задачами. В основном потому, что они, вероятно, будут короткими. Ну, вы должны быть очень осторожны, потому что много раз, когда я задаю много задач на экспоненты, студенты делают большинство из них неправильно, потому что они пытаются спешить. Пожалуйста, будьте осторожны, когда вы решаете эти задачи на экспоненты, есть много мест, где можно сделать ошибки.

Одно место, где студенты делают ошибки, это то, что они запоминают все эти свойства показателей степени, которые мы рассмотрим через секунду, а затем они в конечном итоге путают их в своем мозгу. Итак, я собираюсь пройтись по ним, но я попрошу вас не запоминать их, если только вы не считаете себя отличником. Ничего страшного, если вы хорошо запоминаете и вы отличник или троечник, вы также можете попытаться запомнить их. Но будьте очень осторожны, многие ошибки случаются, когда студенты просто небрежно выполняют задание, и они делают глупые ошибки, потому что думают, что запомнили свойства.
И еще кое-что, прежде чем мы перейдем к ним, это просто свойства умножения и деления с показателями степени, есть и другие свойства, связанные с показателями степени, которые равны нулю и отрицательным показателям, мы вернемся к ним в другом видео. Но сейчас давайте просто проверим это. Я собираюсь сделать это как с использованием переменных, так и с использованием чисел, вы, ребята, можете понять, что я имею в виду. x в n, в степени m равен x в n, умноженному на m. Вот что это означает, если вы используете числа, 3 в квадрате в четвертой степени будет равно 3 в восьмой степени. Вот как это будет выглядеть с точки зрения чисел, и мы поймем, почему это так, когда начнем решать все больше и больше практических задач.
Вот еще одно свойство: если у меня есть 3 умножить на 2 в четвертой степени, как xy на m, это равно x на m, умноженному на y на m. Таким образом, это будет 3 в четвертом, умноженном на 2 в четвертом, это почти похоже на то, как этот маленький показатель степени распределяет каждую из этих частей в основании, пока они находятся в скобках. Вот еще одно свойство, если вы еще не устали пытаться их запомнить, не беспокойтесь о запоминании. Вы можете поработать над этим, и я покажу вам это, когда мы будем решать задачи. х в п раз х в м равно х в п плюс м. Что это значит? Это означает, что если у вас есть одно и то же основание, например, 3 в 1, умноженное на 3 во второй степени, посмотрите, как все это одно и то же основание, но разные показатели, которые можно упростить, добавив этих парней 1 плюс 2.
Опять же, если вы плохо запоминаете, не запоминайте их, мы пройдемся по ним и сделаем их более понятными всего за секунду. Следующий один х до n, деленный на х до m, равен разности показателей. Итак, если бы у меня было 3 в четвертой степени поверх 3 в квадрате, это было бы равносильно тому же, что и 3 в 4 за вычетом 2 или 3 в квадрате.
И последнее, но не менее важное: если у вас есть дробь, возведенная в степень, это как бы распределяет эту степень по обеим частям этой базы. Как 3 половинки на четвертую — это то же самое, что 3 на четвертую вместо 2 на четвертую. Итак, я просто собираюсь сказать это в последний раз, я знаю, что уже говорил это много раз, если вы не тот, у кого хорошая память, даже не пытайтесь запомнить это, потому что вы получите они смешались в твоей голове. Всегда лучше выписать каждое число и получить его правильно, чем сделать это простым методом быстрого запоминания, но вы ошибетесь.

Переменные с показателями степени. Как их умножать и делить

Как их умножать и делить

Что такое переменная с показателем степени?

A Переменная — это символ числа, которое мы еще не знаем. Обычно это буква типа x или y.

Показатель степени (например, 2 в x ² ) указывает, сколько раз использовать переменную в умножении.

Пример:

y ² = yy

( yy means y multiplied by y , because in Algebra putting two letters next to each other means to multiply them)

Likewise z ³ = zzz and x ⁵ = xxxxx

Показатель степени 1 и 0

Показатель степени 1

Когда показатель степени равен 1, у нас просто есть сама переменная (пример x ¹ = x )

6 Обычно мы не пишем

5 «1», но иногда полезно помнить, что x также равно x ¹

Показатель степени 0

Когда показатель степени равен 0, мы ни на что не умножаем, и ответ равен «1»
(пример y ⁰ 0 9 )

Умножающие переменные с показателями

Итак, как мы умножаем это:

(Y ² ) (Y ³ )

Мы знаем, что Y ² = YY и Y ^{9 299 2} = YY и Y ^{9999299 2} = YY и Y ^{9 299. 3} = yyy поэтому выпишем все умножения:

y ² y ³ = yy yyy

, который составляет 5 «y» S, умноженная, поэтому новый показатель должен быть 5:

y ² y ³ = Y ⁵

3 Но почему считают «y», когда показатели степени уже говорят нам, сколько?

Показатель степени говорит нам, что есть два «y», умноженные на 3 «y», всего 5 «y»:

y ² y ³ = y ²⁺³ = y ⁵

Итак, самый простой способ — всего добавьте показатели степени !

(Примечание: это один из законов экспоненты)

Смешанные переменные

Когда у нас есть смесь переменных, просто сложите показатели степени для каждой, например (нажмите кнопку воспроизведения):

(Помните: переменная без экспоненты действительно имеет экспоненту 1, например: y is y ¹ )

С константами

Часто также будут смешаны константы (такие числа, как 3, 2,9, ½ и т. д.).

Никогда не бойся! Просто перемножьте константы по отдельности и подставьте результат в ответ:

(Примечание: «·» означает умножение, которое мы используем, когда «×» можно спутать с буквой «x»)

Вот более сложный пример с константами и показателями степени:

Отрицательные показатели степени

Отрицательные показатели означают деление!

х -1 = 1 х

х -2 = 1 х 2

х -3 = 1 х 3

и т.д…

Ознакомьтесь с этой идеей, это очень важно и полезно!

Разделение

Итак, как мы это делаем? y ³ y ²

Давайте выпишем все умножения: yyy yy

Теперь удалим любые

0181 y y = 1)

И у нас осталось: y

Таким образом, 3 «y» над линией уменьшаются на 2 «y» под линией, оставляя только 1 «y»:

Y ³ Y ² = YYY YY = Y ^3-2 = Y ¹ = Y

OR, мы могли сделать это, как:

или, мы могли бы сделать это:

9

или, мы могли сделать это: у ³ у ² = у ³ у ^-2 = у ^3-2 = y ¹ = y

Итак.

No related posts.