Умножение и деление корней: Умножение числа на выражение с корнем. Деление корней: правила, методы, примеры

√a + √b = √ab как ни сажай редисочку, урожай будет такой же 😃)

Можно хитрить и разбирать редиски: √15 = √5+√3 √12 = √4√3 = 2√3

Деление корней

Ничего особенно нового тут нет:

Конечно же не забудем что a не может быть больше нуля или равна нулю, потому что спряталась под корнем. 2 = 15 + 17√2 + 4 x 2 = 23 + 17√2

Смотри √2 х √2 встретились две редисочки и перестали ими быть, а первратились в обычную двоечку.

его функции, алгоритм нахождения, вычисление квадратного корня

Что такое арифметический квадратный корень

Корень n-ой степени натурального числа a представляет собой такое число, n-я степень которого равна a (подкоренное число).

Обозначают корень в алгебре таким образом: an. Знак корня называют радикалом.

Для любого арифметического действия предусмотрено обратное ему действие, к примеру, сложение и вычитание, умножение и деление. Обратными действиями также являются возведение в степень и извлечение корня.

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа а — это неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Исходя из определения квадратного корня, можно сделать вывод о способе его вычисления. То есть, чтобы высчитать корень, требуется выполнить подбор числа, которое при возведении во вторую степень станет равным подкоренному значению.

Рассмотрим в качестве примера записи:

22

2

Данные выражения равнозначны, так как 2 над знаком корня не принято записывать. Это объясняется тем, что 2 является самой маленькой степенью. Когда над корнем число отсутствует, подразумевается показатель 2.

Вычислим квадратный корень из 16. Для этого нужно подобрать число, которое при возведении во вторую степень даст в результате 16:

4×4=42=16→16=4

Свойства квадратных корней

Арифметические квадратные корни обладают тремя свойствами. Запомнить их полезно, чтобы упростить решение многих задач.

1. Корень произведения равен произведению корней:

ab=a×b

81×16=81×16=9×4=36

2. Извлечение корня из дроби означает извлечение корня из числителя и из знаменателя:

ab=ab

a≥0

b>0

8116=8116=94=214

3. Возведение корня в степень выполняют путем возведения в степень подкоренного значения:

(a)n=(an)

a≥0

(4)4=(44)=256=16

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Распространенным способом вычисления квадратного корня является метод разложения на простые множители. В этом случае можно пойти двумя путями, исходя из типа подкоренного числа. Рассмотрим первый алгоритм, предусмотренный для целого числа, которое можно разложить на квадратные множители.

Квадратными числами называют числа, из которых можно извлечь корень без остатка.

Множители являются числами, результат произведения которых представляет собой исходное число.

Квадратными числами являются: 25, 36, 49.

25=5,36=6,49=7

Квадратные множители являются множителями в виде квадратных чисел.

В качестве примера применения метода разложения на простые множители, извлечем корень из числа 784.

В первую очередь следует разложить число на квадратные множители. Зная, что 784 кратно 4, запишем первый квадратный множитель:

4×4=16

Разделим 784 на 16:

78416=49

Известно, что 49 также является квадратным числом, так как:

7×7=49

Запишем равенство:

784=16×49

Воспользуемся правилом, запишем формулу:

ab=a×b

Таким образом, требуется:

• извлечь корень из каждого квадратного множителя;
• перемножить полученные результаты;
• записать ответ.

784=16×49=16×49=4×7=28

Ответ: 784=28

Во втором случае возьмем неделимое число, которое не может быть разложено на множители. Это наиболее часто встречающийся случай при решении задач в средних классах школы. В результате ответ получится не целый, а дробный и приблизительный.

Упростить работу по вычислению можно с помощью разложения подкоренного числа, чтобы получить в итоге квадратный множитель и число, из которого нельзя извлечь квадратный корень. Корни сложных чисел целесообразно посмотреть в таблице.

Возьмем некое число 252. Попробуем выполнить разложение для получения квадратного и обычного множителя.

252=36×7=36×7=67

Нужно узнать значение корня путем подбора пары квадратных чисел, которые расположены впереди и сзади подкоренного числа в числовом ряду. Подкоренным числом является 7. Таким образом, ближайшее большее квадратное число равно 9, а меньшее — 4.

4=2

Можно сделать вывод, что 7 расположен между 2 и 3. Скорее всего, 7 ближе к 3. Выполним подбор значения так, чтобы при умножении этого числа на себя в результате получилось 7.

2,7×2,7=7,29

Это значение не подойдет, так как 7,29>7. Нужно взять меньшее:

2,6×2,6=6,76

Данное значение можно оставить, так как 6,76\sim 7.

Вычислим корень:

252=6×2,6=15,6

Примеры вычисления выражений с корнями

Требуется извлечь квадратный корень 36.

Решение

Квадратный корень является числом, которое в квадрате дает 36. Это число — 6, так как 62=36.

Ответ: 36=6.

Нужно извлечь квадратный корень 49.

Решение

В этом случае квадратный корень соответствует числу, которое в квадрате дает 49. Этим числом является 7, так как 72=49.

Ответ: 49=7

Определить значение выражения 216.

Решение

Здесь записано произведение числа 2 и выражения с корнем. В первую очередь следует вычислить корень 16. Далее необходимо умножить результат на 2.

216=2×4=8

Ответ: 8

Дано выражение, которое требуется решить, 3+5x=7

Решение

Согласно определению квадратного корня:

a=b

b2=a

Переменная b в этом случае является числом 7. Переменная а соответствует подкоренному выражению (3 + 5x).  Возведем 7 в квадрат и приравняем его к (3 + 5x).

3+5x=7

72=3+5x

В выражении 72=3+5x следует решить левую часть. В результате:

49 = 3 + 5х

В итоге получилось стандартное линейное уравнение, корни которого можно определить:

49 = 3 + 5х

49 – 3 = 5х

46 = 5х

465=x

x=465

Корень уравнения 3+5x=7 равен 465. Можно выполнить контрольную проверку путем подстановки корня в начальное выражение:

3+5x=7

3+5×465=7

3+46=7

49=7

7 = 7

Ответ: 465

Необходимо определить значение выражения 249 и написать ответ.

Решение

Здесь записано произведение 2 и квадратного корня из числа 49. В первую очередь следует извлечь квадратный корень. Далее нужно умножить полученный результат на 2.

249=2×7=14

Ответ: 14

Дано два выражения, которые требуется сравнить:

50

95

Решение

Выполним преобразование выражения 95:

95=81×5=81×5=405

Сравним подкоренные выражения:

50<405

Таким образом:

50<95

Ответ: 50<95

Требуется вынести множитель из-под знака корня в выражении 24.

Решение

Такая задача решается путем разложения подкоренного выражения на множители:

24=6×4

24=6×4=6×4=26

Ответ: 26

Найти значение выражения 3116

Решение

Следует выполнить преобразование смешанной дроби, чтобы получить неправильную дробь:

(16×3)+1=49

Далее вычислим:

3116=4916=4916=74=134

Ответ: 134

Требуется решить выражение 16×900

Решение

16×900=16×900=4×30=120

Ответ: 120

Как умножать квадратные корни

Все математические ресурсы GRE

13 диагностических тестов 452 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

GRE Math Help » Арифметика » Базовое возведение в квадрат / квадратные корни » Квадратные корни и операции » Как умножать квадратные корни

Найдите:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Вы можете "разбить" дробный квадратный корень:

на:

Таким образом, вы можете переписать уравнение как:

Теперь умножьте обе части на :

Теперь умножьте обе части на :

Сообщить об ошибке

Длина квадратного двора – футы.

Какова площадь двора?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Площадь квадрата равна квадрату длины. В данном случае это будет  что эквивалентно . На этом этапе вы умножаете значения под квадратным корнем, а затем упрощаете:

 .

Квадратный корень из основания в квадрате - это просто основание:

Наконец, мы применяем соответствующие единицы, поэтому площадь двора равна .

Сообщить об ошибке

Правильный ответ:

Пояснение:

Начните с умножения того, что находится под квадратными корнями. Запомните:

Следовательно:

Теперь мы должны попытаться извлечь квадратный корень. Ищите множители, которые можно удалить, из которых можно легко извлечь квадратный корень. Это хорошая идея, чтобы начать с маленьких квадратных корней. В этом случае мы можем выделить 9с 135:

Теперь возьмите квадратный корень из 9, и у нас останется наш ответ:

Отчет о ошибке

Решение:

Возможные ответы:

44

Пояснение:

Чтобы решить эту задачу, мы должны знать, как умножать/делить квадратные корни. Используемые правила довольно просты. При умножении квадратных корней умножьте коэффициенты двух чисел вместе, а затем умножьте два подкоренных числа вместе. Произведение подкоренного становится новым подкоренным, а произведение коэффициентов становится новым коэффициентом. Подкоренное число — это просто число в пределах квадратного корня.

Деление квадратных корней выполняется по тем же правилам, что и умножение квадратных корней, разделите коэффициенты вместе, результатом будет коэффициент для окончательного ответа. Сделайте то же самое для подкоренных.

Сообщить об ошибке

Уведомление об авторских правах

Все математические ресурсы GRE

Умножение и деление... Пошаговое решение математических задач 93*3)=2root(3,3)

Примечание     Последний радикал должен иметь стандартную форму.

  Чтобы умножить один радикал на подкоренное выражение, состоящее из более чем одного члена, мы используем распределительный закон: a(b+c)=ab+ac.

ПРИМЕР   Умножьте 3корень(2)(5корень(6)-2корень(10)) и упростите.

Раствор 3ROOT (2) (5ROOT (6) -2ROOT (10))

= 3ROOT (2)*5ROOT (6) -3ROT (2)*2ROOT (10)

= корень (12) )-6корень(20)

      =30корень(3)-12корень(5) 92)

      =8xroot(3y)-6yroot(3x)

  Чтобы умножить два подкоренных выражения, каждое из которых содержит более одного члена, следуйте той же схеме, что и при умножении многочленов.

ПРИМЕР   Умножьте (2корень(3)–4корень(2)) на (3корень(3)+корень(2)) и упростите.

Решение

Отсюда (2ROOT (3) -4ROOT (2)) (3ROOT (3)+Корень (2))

= 6ROOT (9) -10ROT (6) -4ROT (4). )

      =18-10корень(6)-8 92root(x)

   Иногда числитель подкоренного числа не является точным кратным знаменателю, например, root(3/2). сделать знаменатель совершенным корнем.

Примечание     Знаменатель является полным корнем, если показатель степени каждого множителя является целым кратным подкоренного индекса.

  Чтобы упростить корень (3/2), умножьте числитель и знаменатель подкоренной на 2.

      root(3/2)=root((3*2)/(2*2)=root(6)/2 или 1/2root(6)

  Легче манипулировать 1/2root(6), чем root(3/2).

Примечание   Когда подкоренное выражение имеет вид a/(b√c), умножьте числитель и знаменатель на root(c)

      2/root(3)=2 /root(3)=root(3)/root(3)=(2root(3))/3

      4/root(50)=4/(5root(2))=4/(5root(2)) =корень(2)/корень(2)=(корень(2))/10=(2корень(2))/5

ПРИМЕР   Разделить корень(15) на корень(21) и представить в стандартной форме. 92)

  Определение сложения дробей (a+b)/c=a/c+b/c используется для деления подкоренного выражения с более чем одним членом на одночленный подкорень.

ПРИМЕР   Раздели и упрости (3корень(6)-6корень(10))/(3корень(2)).

Решение   (3корень(6)-6корень(10))/(3корень(2))

       =(3корень(6))/(3корень(2))-(6корень(10))/( 3root(2))

      =root(6)/root(2)-(2root(10))/root(2)

      =root(6/2)-2/1root(10/2)

      =1/(2y)корень(2y)-1/(7x)корень(7x)

  При умножении подкоренных выражений (корень(а)+корень(b)) и (корень(а) -root(b)), мы получили рациональное выражение (a-b). Каждое из выражений (корень(а)+корень(b)) и (корень(а)-корень(b)) называется рационализирующим фактором другого.

ПРИМЕРЫ   1. корень(2)-корень(3) ​​является рационализирующим фактором корня(2) + корня(3).

         2. 2+3root(2) – это рационализирующий множитель 2-3root(2).