Алгебра | математические ясли
Перемещайся по оглавлению слева или тыкай в меню ниже 😃
- Что это за «Алгебра»?
- Корни или корнеплоды — редиска?
- А что под квадратным корнем?
- Сложение квадратных корней
- Умножение квадратных корней
- Деление корней
- Редисочку нужно из подвала доставать
- Сложим огороды вместе
Что это за «Алгебра»?
И вот зазвучала начальная песня из Алладина:
Мухаммад ибн Мусса аль-Хорезми персидский ученый в Доме мудрости в Багдаде при Аббасидском халифате.
В то время многие европеские ученые только познавали основы математической науки и путешествовали на восток за знаниями. В частности чтение на английский манер имени самого Аль-Хорезми подарило процессу последовательности операций имя Al Horethmi — Algorithm.
Слово Алгебра тоже результат преобразований на латинский язык названия работы Аль Хорезми «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» — «Краткая книга о восполнении и противопоставлении». Например, в турецком языке, как наследнике и хранителе исламской культуры слово «Алгебра» звучит и пишется как «Cebir».
Алгебра — это восполнение. Что восполняем и зачем?
В любом верном уравнении можно выполнить одинаковые действия в обеих частях, и полученное уравнение по-прежнему будет верным.
Нам кажется сейчас это очень странным, но сам Аль-Хорезми не использовал буквы и даже цифры — он все записывал словами полностью.
Вместо представьте «что-то в квадрате плюс два дает это же что-то трижды»
Он считал уранения «уравновешенными»: выражения в правой и левой части выглядят по-разному, но выражают одно и то же число.
Если мы прибавим одно и то же число или выражение к обеим частям, они останутся в равновесии и по-прежнему будут равны друг другу.
Обе части можно умножить на одно и то же число, и равновесие сохранится.
С помощью этих двух действий, которые Аль-Хорезми называл «восстановлением равновесия», можно решить множество уравнений.
Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала
Математика исламского Средневековья
Корни или корнеплоды — редиска?
Если вместо x поставим тройку, то будет 9, а если четверку то уже 16 — оба мимо. Ну вот и где найти такой x чтобы, его квадрат был равен 10-ти. Неизвестно где, никто точно не знает чему это равно. И вот тут-то и начинаются редиски. Точнее корни, потому что редиска — это корень.
Редис — съедобное растение и выращивается как овощ во многих странах мира. Его название происходит от лат. radix — корень.
Радикал (от лат. radix — корень) — знак извлечения арифметического корня (√ — изменённая латинская буква r), а также число или выражение, являющееся результатом извлечения корня.
√ — его называют знаком радикала или корнем числа. Квадратный корень — SQuare RooT. Сократим — sqrt. Вот и вышла функция в Питоне, которая позволит его вычислить.
Возьмем библиотеку math
и поехали:
Получим 3. 2 = 4 или (-2)x(-2)=4
Как не крути, а получается положительное число. То есть под корнем не может быть отрицательного числа, только либо положительное число либо ноль.
Сложение квадратных корней
Ничего особенного не выйдет: √7 + √3 - получится непонятно что )) √3 + 23 - тоже что-то непонятное √x + √y - да и так ничего не выйдет
√5 + √5 = 2√5 - вот ту немного повезло, но ничего особенного. a√3 + b√3 = (a+b)√3 - вот и тут особо погода не изменилась - обычный дистрибутивный закон (можно распределить между корнями числа, а можно сначала сложить)
Умножение квадратных корней
А вот тут очень удобно, если решили умножить урожай, то можно посадить их по разным грядкам: √a + √b А можно в одну грядку: √ab
√a + √b = √ab как ни сажай редисочку, урожай будет такой же 😃)
Можно хитрить и разбирать редиски: √15 = √5+√3 √12 = √4√3 = 2√3
Деление корней
Ничего особенно нового тут нет:
Конечно же не забудем что a
не может быть больше нуля или равна нулю, потому что спряталась под корнем. 2 = 15 + 17√2 + 4 x 2 = 23 + 17√2
Смотри √2 х √2 встретились две редисочки и перестали ими быть, а первратились в обычную двоечку.
его функции, алгоритм нахождения, вычисление квадратного корня
Что такое арифметический квадратный корень
Определение 1Корень n-ой степени натурального числа a представляет собой такое число, n-я степень которого равна a (подкоренное число).
Обозначают корень в алгебре таким образом: an. Знак корня называют радикалом.
Для любого арифметического действия предусмотрено обратное ему действие, к примеру, сложение и вычитание, умножение и деление. Обратными действиями также являются возведение в степень и извлечение корня.
Определение 2Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа а — это неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Исходя из определения квадратного корня, можно сделать вывод о способе его вычисления. То есть, чтобы высчитать корень, требуется выполнить подбор числа, которое при возведении во вторую степень станет равным подкоренному значению.
Рассмотрим в качестве примера записи:
22
2
Данные выражения равнозначны, так как 2 над знаком корня не принято записывать. Это объясняется тем, что 2 является самой маленькой степенью. Когда над корнем число отсутствует, подразумевается показатель 2.
Пример 1Вычислим квадратный корень из 16. Для этого нужно подобрать число, которое при возведении во вторую степень даст в результате 16:
4×4=42=16→16=4
Свойства квадратных корней
Арифметические квадратные корни обладают тремя свойствами. Запомнить их полезно, чтобы упростить решение многих задач.
1. Корень произведения равен произведению корней:
ab=a×b
Пример 281×16=81×16=9×4=36
2. Извлечение корня из дроби означает извлечение корня из числителя и из знаменателя:
ab=ab
a≥0
b>0
Пример 38116=8116=94=214
3. Возведение корня в степень выполняют путем возведения в степень подкоренного значения:
(a)n=(an)
a≥0
Пример 4(4)4=(44)=256=16
Алгоритмы нахождения квадратного корня
Распространенным способом вычисления квадратного корня является метод разложения на простые множители. В этом случае можно пойти двумя путями, исходя из типа подкоренного числа. Рассмотрим первый алгоритм, предусмотренный для целого числа, которое можно разложить на квадратные множители.
Определение 3Квадратными числами называют числа, из которых можно извлечь корень без остатка.
Определение 4Множители являются числами, результат произведения которых представляет собой исходное число.
Пример 5Квадратными числами являются: 25, 36, 49.
25=5,36=6,49=7
Определение 5Квадратные множители являются множителями в виде квадратных чисел.
В качестве примера применения метода разложения на простые множители, извлечем корень из числа 784.
В первую очередь следует разложить число на квадратные множители. Зная, что 784 кратно 4, запишем первый квадратный множитель:
4×4=16
Разделим 784 на 16:
78416=49
Известно, что 49 также является квадратным числом, так как:
7×7=49
Запишем равенство:
784=16×49
Воспользуемся правилом, запишем формулу:
ab=a×b
Таким образом, требуется:
- извлечь корень из каждого квадратного множителя;
- перемножить полученные результаты;
- записать ответ.
784=16×49=16×49=4×7=28
Ответ: 784=28
Во втором случае возьмем неделимое число, которое не может быть разложено на множители. Это наиболее часто встречающийся случай при решении задач в средних классах школы. В результате ответ получится не целый, а дробный и приблизительный.
Упростить работу по вычислению можно с помощью разложения подкоренного числа, чтобы получить в итоге квадратный множитель и число, из которого нельзя извлечь квадратный корень. Корни сложных чисел целесообразно посмотреть в таблице.
Возьмем некое число 252. Попробуем выполнить разложение для получения квадратного и обычного множителя.
252=36×7=36×7=67
Нужно узнать значение корня путем подбора пары квадратных чисел, которые расположены впереди и сзади подкоренного числа в числовом ряду. Подкоренным числом является 7. Таким образом, ближайшее большее квадратное число равно 9, а меньшее — 4.
4=2
Можно сделать вывод, что 7 расположен между 2 и 3. Скорее всего, 7 ближе к 3. Выполним подбор значения так, чтобы при умножении этого числа на себя в результате получилось 7.
2,7×2,7=7,29
Это значение не подойдет, так как 7,29>7. Нужно взять меньшее:
2,6×2,6=6,76
Данное значение можно оставить, так как 6,76\sim 7.
Вычислим корень:
252=6×2,6=15,6
Примеры вычисления выражений с корнями
Задача 1Требуется извлечь квадратный корень 36.
Решение
Квадратный корень является числом, которое в квадрате дает 36. Это число — 6, так как 62=36.
Ответ: 36=6.
Задача 2Нужно извлечь квадратный корень 49.
Решение
В этом случае квадратный корень соответствует числу, которое в квадрате дает 49. Этим числом является 7, так как 72=49.
Ответ: 49=7
Задача 3Определить значение выражения 216.
Решение
Здесь записано произведение числа 2 и выражения с корнем. В первую очередь следует вычислить корень 16. Далее необходимо умножить результат на 2.
216=2×4=8
Ответ: 8
Задача 4Дано выражение, которое требуется решить, 3+5x=7
Решение
Согласно определению квадратного корня:
a=b
b2=a
Переменная b в этом случае является числом 7. Переменная а соответствует подкоренному выражению (3 + 5x). Возведем 7 в квадрат и приравняем его к (3 + 5x).
3+5x=7
72=3+5x
В выражении 72=3+5x следует решить левую часть. В результате:
49 = 3 + 5х
В итоге получилось стандартное линейное уравнение, корни которого можно определить:
49 = 3 + 5х
49 – 3 = 5х
46 = 5х
465=x
x=465
Корень уравнения 3+5x=7 равен 465. Можно выполнить контрольную проверку путем подстановки корня в начальное выражение:
3+5x=7
3+5×465=7
3+46=7
49=7
7 = 7
Ответ: 465
Задача 5Необходимо определить значение выражения 249 и написать ответ.
Решение
Здесь записано произведение 2 и квадратного корня из числа 49. В первую очередь следует извлечь квадратный корень. Далее нужно умножить полученный результат на 2.
249=2×7=14
Ответ: 14
Задача 6Дано два выражения, которые требуется сравнить:
50
95
Решение
Выполним преобразование выражения 95:
95=81×5=81×5=405
Сравним подкоренные выражения:
50<405
Таким образом:
50<95
Ответ: 50<95
Задача 7Требуется вынести множитель из-под знака корня в выражении 24.
Решение
Такая задача решается путем разложения подкоренного выражения на множители:
24=6×4
24=6×4=6×4=26
Ответ: 26
Задача 8Найти значение выражения 3116
Решение
Следует выполнить преобразование смешанной дроби, чтобы получить неправильную дробь:
(16×3)+1=49
Далее вычислим:
3116=4916=4916=74=134
Ответ: 134
Задача 9Требуется решить выражение 16×900
Решение
16×900=16×900=4×30=120
Ответ: 120
Как умножать квадратные корни
Все математические ресурсы GRE
13 диагностических тестов 452 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept
GRE Math Help » Арифметика » Базовое возведение в квадрат / квадратные корни » Квадратные корни и операции » Как умножать квадратные корни
Найдите:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Вы можете "разбить" дробный квадратный корень:
на:
Таким образом, вы можете переписать уравнение как:
Теперь умножьте обе части на :
Теперь умножьте обе части на :
, вы можете возвести обе части уравнения в квадрат и получить:Сообщить об ошибке
Длина квадратного двора – футы.
Какова площадь двора?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Площадь квадрата равна квадрату длины. В данном случае это будет что эквивалентно . На этом этапе вы умножаете значения под квадратным корнем, а затем упрощаете:
.
Квадратный корень из основания в квадрате - это просто основание:
Наконец, мы применяем соответствующие единицы, поэтому площадь двора равна .
Сообщить об ошибке
Возможные ответы:Правильный ответ:
Пояснение:
Начните с умножения того, что находится под квадратными корнями. Запомните:
Следовательно:
Теперь мы должны попытаться извлечь квадратный корень. Ищите множители, которые можно удалить, из которых можно легко извлечь квадратный корень. Это хорошая идея, чтобы начать с маленьких квадратных корней. В этом случае мы можем выделить 9с 135:
Теперь возьмите квадратный корень из 9, и у нас останется наш ответ:
Отчет о ошибке
Решение:
Возможные ответы:
44
Пояснение:
Чтобы решить эту задачу, мы должны знать, как умножать/делить квадратные корни. Используемые правила довольно просты. При умножении квадратных корней умножьте коэффициенты двух чисел вместе, а затем умножьте два подкоренных числа вместе. Произведение подкоренного становится новым подкоренным, а произведение коэффициентов становится новым коэффициентом. Подкоренное число — это просто число в пределах квадратного корня.
Деление квадратных корней выполняется по тем же правилам, что и умножение квадратных корней, разделите коэффициенты вместе, результатом будет коэффициент для окончательного ответа. Сделайте то же самое для подкоренных.
Сообщить об ошибке
Уведомление об авторских правах
Все математические ресурсы GRE
13 Диагностические тесты 452 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by ConceptУмножение и деление... Пошаговое решение математических задач 93*3)=2root(3,3)
Примечание Последний радикал должен иметь стандартную форму.
Чтобы умножить один радикал на подкоренное выражение, состоящее из более чем одного члена, мы используем распределительный закон: a(b+c)=ab+ac.
ПРИМЕР Умножьте 3корень(2)(5корень(6)-2корень(10)) и упростите.
Раствор 3ROOT (2) (5ROOT (6) -2ROOT (10))
= 3ROOT (2)*5ROOT (6) -3ROT (2)*2ROOT (10)
= корень (12) )-6корень(20)
=30корень(3)-12корень(5) 92)
=8xroot(3y)-6yroot(3x)
Чтобы умножить два подкоренных выражения, каждое из которых содержит более одного члена, следуйте той же схеме, что и при умножении многочленов.
ПРИМЕР Умножьте (2корень(3)–4корень(2)) на (3корень(3)+корень(2)) и упростите.
Решение
Отсюда (2ROOT (3) -4ROOT (2)) (3ROOT (3)+Корень (2))
= 6ROOT (9) -10ROT (6) -4ROT (4). )
=18-10корень(6)-8 92root(x)
Иногда числитель подкоренного числа не является точным кратным знаменателю, например, root(3/2). сделать знаменатель совершенным корнем.
Примечание Знаменатель является полным корнем, если показатель степени каждого множителя является целым кратным подкоренного индекса.
Чтобы упростить корень (3/2), умножьте числитель и знаменатель подкоренной на 2.
root(3/2)=root((3*2)/(2*2)=root(6)/2 или 1/2root(6)
Легче манипулировать 1/2root(6), чем root(3/2).
Примечание Когда подкоренное выражение имеет вид a/(b√c), умножьте числитель и знаменатель на root(c)
2/root(3)=2 /root(3)=root(3)/root(3)=(2root(3))/3
4/root(50)=4/(5root(2))=4/(5root(2)) =корень(2)/корень(2)=(корень(2))/10=(2корень(2))/5
ПРИМЕР Разделить корень(15) на корень(21) и представить в стандартной форме. 92)
Определение сложения дробей (a+b)/c=a/c+b/c используется для деления подкоренного выражения с более чем одним членом на одночленный подкорень.
ПРИМЕР Раздели и упрости (3корень(6)-6корень(10))/(3корень(2)).
Решение (3корень(6)-6корень(10))/(3корень(2))
=(3корень(6))/(3корень(2))-(6корень(10))/( 3root(2))
=root(6)/root(2)-(2root(10))/root(2)
=root(6/2)-2/1root(10/2)
92))=1/(2y)корень(2y)-1/(7x)корень(7x)
При умножении подкоренных выражений (корень(а)+корень(b)) и (корень(а) -root(b)), мы получили рациональное выражение (a-b). Каждое из выражений (корень(а)+корень(b)) и (корень(а)-корень(b)) называется рационализирующим фактором другого.
ПРИМЕРЫ 1. корень(2)-корень(3) является рационализирующим фактором корня(2) + корня(3).
2. 2+3root(2) – это рационализирующий множитель 2-3root(2).