Умножение матриц друг на друга – умножение, сложение, вычитание. Как решать, с чего начать

Умножение матриц «на пальцах», примеры, правила и пошаговая схема перемножения матриц

Назад (Математика).

Умножение матриц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения называется произведением матриц.

Какие матрицы можно умножать?

Умножать матрицы друг на друга можно, когда число столбцов первой равно числу строк второй. Результатом умножения матриц является матрица, у которой число строк равно числу строк первой, а число столбцов совпадает с числом столбцов второй.

Как умножать матрицы?

Внимание! A*B не равно(!) B*A (Большими латинскими буквами обозначены умножаемые матрицы).

Пусть дана матрица размерностью 2*3:

которую необходимо умножить на матрицу 3*2:

При этом (по правилу умножения матриц) должна получиться матрица размерностью 2*2:

Перемножим элементы первой строки матрицы 2*3 на соответствующие элементы первого столбца матрицы 3*2. Делается это следующим образом: мысленно поворачиваем матрицу 2*3, перемножаем элементы: 1*7, 2*9, 3*11. Складываем полученные произведения и записываем результат в «красную ячейку»:

Далее — по аналогии:

Ответ — матрица 2*2:

Пример: выполнить умножение матриц:

Решение:

  1. 0*1+1*(-1)+(-1)*0 = -1
  2. 0*2+1*0+(-1)*1 = -1
  3. 0*1+2*(-1)+1*0 = -2
  4. 0*2+2*0+1*1 = 1

Ответ:


akak-ich.ru

Как умножать матрицы друг на друга — манекены 2019

Множественные матрицы очень полезны при решении систем уравнений. Это связано с тем, что вы можете умножить матрицу на ее обратную по обе стороны от знака равенства, чтобы в конечном итоге получить переменную матрицу с одной стороны и решение системы с другой.

К сожалению, умножение двух матриц вместе не так просто, как умножение соответствующих членов. Каждый элемент каждой матрицы умножается на каждый член другого в некоторой точке.

Для матричного умножения матрицы записываются рядом друг с другом без символа между ними. Если вы хотите умножить матрицы A и B, чтобы получить их произведение AB, количество столбцов в A должно соответствовать количеству строк в B. Каждый элемент в первой строке A умножается на каждый соответствующий элемент из первого столбца B , а затем все эти продукты добавляются вместе, чтобы дать вам элемент в первой строке, первый столбец AB. Это известно как взятие точечного произведения первой строки A с первым столбцом B. Чтобы найти значение в первой строке, в позиции второго столбца, возьмите точечный продукт первой строки A со вторым столбцом B путем умножения каждого элемента в первой строке A на каждый элемент во втором столбце B, а затем добавить все эти продукты вместе. В конце концов, после того, как все возможные точечные продукты будут вычислены, ваша новая матрица должна иметь такое же количество строк, что и A, и такое же количество столбцов, что и B.

Например, чтобы умножить матрицу A на 3 строки и 2 столбца на матрицу B с 2 строками и 4 столбцами, вы берете точечный продукт первой строки A с каждым из столбцов из B, производя 4 члена в первом ряду продукта AB. Взятие точечного произведения второй строки A с каждым из столбцов B дает вторую строку произведения AB, которая содержит еще 4 члена. То же самое касается выпуска последней строки AB. Вы получаете матрицу из 3 строк и 4 столбца.

Если матрица A имеет размеры m x n , а матрица B имеет размеры n x p, AB представляет собой матрицу m- x -p . Эта цифра дает вам визуальное представление матричного умножения.

Умножение двух матриц, которые совпадают.

Когда вы умножаете матрицы, вы не умножаете соответствующие части, например, когда вы добавляете или вычитаете. Кроме того, при умножении матрицы AB не равно BA. Фактически, только потому, что вы можете умножить A на B, это не значит, что вы можете умножить B на A. Число столбцов в A может быть равно числу строк в B, но количество столбцов в B может не равняться количество строк в A.Например, вы можете умножить матрицу на 3 строки и 2 столбца на матрицу с 2 строками и 4 столбцами. Тем не менее, вы не можете сделать умножение другим способом, потому что вы не можете умножить матрицу на 2 строки и 4 столбца на матрицу с 3 строками и 2 столбцами. Если вы попытались взять продукт с точкой, умножив правильные термины вместе, а затем добавив свои продукты, где-то по пути у вас не будет условий!

Вот пример матричного умножения. Скажем, проблема требует, чтобы вы умножали следующие две матрицы:

Сначала проверьте, чтобы вы могли умножить две матрицы. Матрица A равна 3 x 2, а B — 2 x 4, поэтому вы можете умножить их на получение матрицы 3-x-4 в качестве ответа. Теперь вы можете перейти к точечному произведению каждой строки первой матрицы с каждым столбцом второго.

Процесс умножения AB.

Эта цифра описывает процесс для вас. Вы можете начать с умножения каждого члена в первой строке A на последовательные термины в столбцах матрицы B. Обратите внимание, что умножение каждой записи в строке первой на соответствующую запись в столбце 1 и добавление этих продуктов вместе дает вам строку 1, столбец вступление. Аналогичным образом, умножая каждую запись в строке два на соответствующую запись в столбце 3, вы получаете строку 2, запись в столбце три.

Извлекая весь пух, матрица продукта

ru.no-dummy.com

определение, свойства и примеры решения задач

Задание. Вычислить $AB$ и $BA$, если $ A=\left( \begin{array}{rr}{1} & {-1} \\ {2} & {0} \\ {3} & {0}\end{array}\right) $ , $ B=\left( \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {2} & {0}\end{array}\right) $

Решение. Так как $ A=A_{3 \times 2} $ , а $ B=B_{2 \times 2} $ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица $ C=C_{3 \times 2} $ , а это матрица вида $ C=\left( \begin{array}{ll}{c_{11}} & {c_{12}} \\ {c_{21}} & {c_{22}} \\ {c_{31}} & {c_{32}}\end{array}\right) $ .

Вычислим элементы матрицы $C$ :

$ c_{11}=a_{11} \cdot b_{11}+a_{12} \cdot b_{21}=1 \cdot 1+(-1) \cdot 2=-1 $

$ c_{12}=a_{11} \cdot b_{12}+a_{12} \cdot b_{22}=1 \cdot 1+(-1) \cdot 0=1 $

$ c_{21}=a_{21} \cdot b_{11}+a_{22} \cdot b_{21}=2 \cdot 1+0 \cdot 2=2 $

$ c_{22}=a_{21} \cdot b_{12}+a_{22} \cdot b_{22}=2 \cdot 1+0 \cdot 0=2 $

$ c_{31}=a_{31} \cdot b_{11}+a_{32} \cdot b_{21}=3 \cdot 1+0 \cdot 2=3 $

$ c_{32}=a_{31} \cdot b_{12}+a_{32} \cdot b_{22}=3 \cdot 1+0 \cdot 0=3 $

Итак, $ C=A B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right) $ .

Выполним произведения в более компактном виде:

$ C=A B=\left( \begin{array}{rr}{1} & {-1} \\ {2} & {0} \\ {3} & {0}\end{array}\right)_{3 \times 2} \cdot \left( \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {2} & {0}\end{array}\right)_{2 \times 2}= $

$ =\left( \begin{array}{ccc}{1 \cdot 1+(-1) \cdot 2} & {1 \cdot 1+(-1) \cdot 0} \\ {2 \cdot 1+0 \cdot 2} & {2 \cdot 1+0 \cdot 0} \\ {3 \cdot 1+0 \cdot 2} & {3 \cdot 1+0 \cdot 0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right) $

Найдем теперь произведение $ D=B A=B_{2 \times 2} \cdot A_{3 \times 2} $. Так как количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Ответ. $ A B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right) $ . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы $B$ не совпадает с количеством строк матрицы $A$ .

www.webmath.ru

Умножение матриц друг на друга. Правило умножен..

В курсе линейной алгебры по математике студенты выполняют различные действия над матрицами, в том числе и умножение матриц. Алгоритм умножения заключается в следующем: строки первой матрицы умножаем на столбцы второй. Перемножение матриц возможно не всегда, для этого нужно знать правило умножения: произведение можно найти, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй, то есть, умножая матрицу размерности m x p на таблицу размерности p x n, получим произведение размерности m x n.

Умножать друг на друга можно только те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. Результатом умножения является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов совпадает с числом столбцов второго сомножителя.

Пример.

Иными словами, перемножать можно те матрицы, у которых совпадают средние индексы. Крайние индексы определяют размерность получаемого результата

Элемент ci,j матрицы – ответа принадлежащий i-ой строке и j-му столбцу, вычисляется как произведение i-ой строки первого сомножителя An,m на j-ый столбец второго сомножителя Bm,k. Так, например, при вычислении элемента умножается первая строка на третий столбец, а при вычислении элемента умножается третья строка на первый столбец.

Можно перемножать только те строки и столбцы, у которых одинаковое число элементов (смотри условие возможности умножения матриц). В результате получается число, равное сумме произведений соответствующих элементов (первый элемент строки на первый элемент столбца плюс второй элемент строки на второй элемент столбца и т. д. и, наконец, плюс произведение последних элементов).

Рассмотрим умножение матриц на примере :

где

Пример.

Отметим основные свойства операции произведения матриц.

1) В общем случае . Если то матрицы А и В называются перестановочными по отношению друг к другу.

2)

3)

4) При умножении любой квадратной матрицы на единичную первоначальная матрица не меняется

Рекомендуем проверить справедливость свойств на примере конкретных матриц.

freedocs.xyz

Операции над матрицами и их свойства

Суммой двух матриц и одинакового порядка называют матрицу такого же порядка, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц и то есть .

Аналогично, разностью двух матриц и одинакового порядка называют матрицу такого же порядка, элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц и то есть .

ru.solverbook.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *