Линейная алгебра на Python. [Урок 3]. Действия над матрицами
Тема третьего урока: действия над матрицами. В рамках нее будут рассмотрены следующие вопросы: умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.
- Действия над матрицами
- Умножение матрицы на число
- Сложение матриц
- Умножение матриц
При умножении матрицы на число, все элементы матрицы умножаются на это число:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2 3; 4 5 6')
>>> C = 3 * A
>>> print(C)
[[ 3 6 9]
[12 15 18]]
Рассмотрим свойства операции умножения матрицы на число.
Свойство 1. Произведение единицы и любой заданной матрицы равно заданной матрице:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4') >>> L = 1 * A >>> R = A >>> print(L) [[1 2] [3 4]] >>> print(R) [[1 2] [3 4]]
Свойство 2. Произведение нуля и любой матрицы равно нулевой матрице, размерность которой равна исходной матрицы:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> Z = np.matrix('0 0; 0 0')
>>> L = 0 * A
>>> R = Z
>>> print(L)
[[0 0]
[0 0]]
>>> print(R)
[[0 0]
[0 0]]
Свойство 3. Произведение матрицы на сумму чисел равно сумме произведений матрицы на каждое из этих чисел:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> p = 2
>>> q = 3
>>> L = (p + q) * A
>>> R = p * A + q * A
>>> print(L)
[[ 5 10]
[15 20]]
>>> print(R)
[[ 5 10]
[15 20]]
Свойство 4.
Произведение матрицы на произведение двух чисел равно произведению второго числа и заданной матрицы, умноженному на первое число:
➣ Численный пример
➤Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> p = 2
>>> q = 3
>>> L = (p * q) * A
>>> R = p * (q * A)
>>> print(L)
[[ 6 12]
[18 24]]
>>> print(R)
[[ 6 12]
[18 24]]
Свойство 5. Произведение суммы матриц на число равно сумме произведений этих матриц на заданное число:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> k = 3
>>> L = k * (A + B)
>>> R = k * A + k * B
>>> print(L)
[[18 24]
[30 36]]
>>> print(R)
[[18 24]
[30 36]]Сложение матриц
Складывать можно только матрицы одинаковой размерности — то есть матрицы, у которых совпадает количество столбцов и строк.
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 6 3; 8 2 7')
>>> B = np.matrix('8 1 5; 6 9 12')
>>> C = A + B
>>> print(C)
[[ 9 7 8]
[14 11 19]]
Рассмотрим свойства сложения матриц.
Свойство 1. Коммутативность сложения. От перестановки матриц их сумма не изменяется:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> L = A + B
>>> R = B + A
>>> print(L)
[[ 6 8]
[10 12]]
>>> print(R)
[[ 6 8]
[10 12]]
Свойство 2. Ассоциативность сложения. Результат сложения трех и более матриц не зависит от порядка, в котором эта операция будет выполняться:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4') >>> B = np.matrix('5 6; 7 8') >>> C = np.matrix('1 7; 9 3') >>> L = A + (B + C) >>> R = (A + B) + C >>> print(L) [[ 7 15] [19 15]] >>> print(R) [[ 7 15] [19 15]]
matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> C = np.matrix('1 7; 9 3')
>>> L = A + (B + C)
>>> R = (A + B) + C
>>> print(L)
[[ 7 15]
[19 15]]
>>> print(R)
[[ 7 15]
[19 15]]
Свойство 3. Для любой матрицы существует противоположная ей , такая, что их сумма является нулевой матрицей :
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> Z = np.matrix('0 0; 0 0')
>>> L = A + (-1)*A
>>> print(L)
[[0 0]
[0 0]]
>>> print(Z)
[[0 0]
[0 0]]Умножение матриц
Умножение матриц это уже более сложная операция, по сравнению с рассмотренными выше. Умножать можно только матрицы, отвечающие следующему требованию: количество столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй матрицы
.
Для простоты запоминания этого правила можно использовать диаграмму умножения, представленную на рисунке 1.
Рисунок 1 — Диаграмма матричного умножения
Рассмотрим умножение матриц на примере.
➣ Численный пример
Каждый элемент cij новой матрицы является суммой произведений элементов i-ой строки первой матрицы и j-го столбца второй матрицы. Математически это записывается так:
➤Пример на Python
Решим задачу умножения матриц на языке Python. Для этого будем использовать функцию dot() из библиотеки Numpy:
>>> A = np.matrix('1 2 3; 4 5 6')
>>> B = np.matrix('7 8; 9 1; 2 3')
>>> C = A.dot(B)
>>> print(C)
[[31 19]
[85 55]]
Ниже представлены свойства произведения матриц. Примеры свойств будут показаны для квадратной матрицы.
Свойство 1. Ассоциативность умножения. Результат умножения матриц не зависит от порядка, в котором будет выполняться эта операция:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> C = np.matrix('2 4; 7 8')
>>> L = A.dot(B.dot(C))
>>> R = (A.dot(B)).dot(C)
>>> print(L)
[[192 252]
[436 572]]
>>> print(R)
[[192 252]
[436 572]]
Свойство 2. Дистрибутивность умножения. Произведение матрицы на сумму матриц равно сумме произведений матриц:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> C = np.matrix('2 4; 7 8')
>>> L = A. dot(B + C)
>>> R = A.dot(B) + A.dot(C)
>>> print(L)
[[35 42]
[77 94]]
>>> print(R)
[[35 42]
[77 94]]
dot(B + C)
>>> R = A.dot(B) + A.dot(C)
>>> print(L)
[[35 42]
[77 94]]
>>> print(R)
[[35 42]
[77 94]]
Свойство 3. Умножение матриц в общем виде не коммутативно. Это означает, что для матриц не выполняется правило независимости произведения от перестановки множителей:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> L = A.dot(B)
>>> R = B.dot(A)
>>> print(L)
[[19 22]
[43 50]]
>>> print(R)
[[23 34]
[31 46]]
Свойство 4. Произведение заданной матрицы на единичную равно исходной матрице:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> E = np. matrix('1 0; 0 1')
>>> L = E.dot(A)
>>> R = A.dot(E)
>>> print(L)
[[1 2]
[3 4]]
>>> print(R)
[[1 2]
[3 4]]
>>> print(A)
[[1 2]
[3 4]]
matrix('1 0; 0 1')
>>> L = E.dot(A)
>>> R = A.dot(E)
>>> print(L)
[[1 2]
[3 4]]
>>> print(R)
[[1 2]
[3 4]]
>>> print(A)
[[1 2]
[3 4]]
Свойство 5. Произведение заданной матрицы на нулевую матрицу равно нулевой матрице:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> Z = np.matrix('0 0; 0 0')
>>> L = Z.dot(A)
>>> R = A.dot(Z)
>>> print(L)
[[0 0]
[0 0]]
>>> print(R)
[[0 0]
[0 0]]
>>> print(Z)
[[0 0]
[0 0]]P.S.
Вводные уроки по “Линейной алгебре на Python” вы можете найти соответствующей странице нашего сайта. Все уроки по этой теме собраны в книге “Линейная алгебра на Python”.
Если вам интересна тема анализа данных, то мы рекомендуем ознакомиться с библиотекой Pandas. Для начала вы можете познакомиться с вводными уроками. Все уроки по библиотеке Pandas собраны в книге “Pandas. Работа с данными”.
двух матриц умножение
Вы искали двух матриц умножение? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и двух умножение матриц, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «двух матриц умножение».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте.
На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и двух матриц умножение. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, единичную матрицу умножить на матрицу).Решить задачу двух матриц умножение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Матрицы умножения — примеры
М. Борн
На этой странице вы можете увидеть множество примеров умножения матриц.
Вы можете перезагружать эту страницу сколько угодно раз и каждый раз получать новый набор чисел и матриц.
Вы также можете выбрать матрицы разного размера (внизу страницы).
(Если вам сначала нужна справочная информация о матрицах, вернитесь к разделу «Введение в матрицы» и «4. Умножение матриц»).
Умножение матриц А и В .
|
|
Ответить
Чтобы сэкономить работу, мы сначала проверяем, можно ли их умножить.
У нас есть (2×2) × (2×2) и поскольку количество столбцов в A такое же, как количество строк в B (в данном случае два средних числа равны 2), мы можем продолжить и умножить эти матрицы. Нашим результатом будет матрица (2×2).
Первым шагом является запись двух матриц рядом следующим образом:
|
|
Мы умножаем отдельные элементы в первой строке матрицы A на соответствующие элементы в первом столбце матрицы B и складываем результаты. Это дает нам число, которое нам нужно поместить в первую строку, позицию первого столбца в матрице ответов.
|
|
6×5 + 0×0 = 30
После этого умножаем элементы по первой строке матрицы A на соответствующие элементы вниз по второй столбец матрицы B затем добавьте результаты.
Это дает нам ответ, который нам нужно поместить в первую строку, второй столбец матрицы ответов.
|
|
6×-2 + 0×-3 = -12
Продолжаем по строкам и столбцам следующим образом:
|
|
| = | 6×5 + 0×0 | 6×-2 + 0×-3 | ||
| 7×5 + 4×0 | 7×-2 + 4×-3 |
| = | 30 | -12 | ||
| 35 | -26 |
См.
другой пример?Вы можете обновить эту страницу, чтобы увидеть другой пример с матрицами другого размера и другими числами; ИЛИ
Выберите интересующие вас размеры матрицы и нажмите кнопку .
Матрица 3×3, умноженная на матрицу 3×3, матрица 2×3, умноженная на матрицу 3×4,
матрица 1×4, умноженная на матрицу 4×1,
матрица 4×2, умноженная на матрицу 2×3,
Умножение матриц 3×3 — Примеры
Эта статья будет о умножении матриц порядка 3×3, примерах и процедуре получения произведения.
Быстрый доступ
!Нажмите на кнопки ниже, чтобы перейти прямо к разделу статьи, которую вы ищете!
Как умножать матрицы 3×3
В этой статье мы собираемся разработать различные примеры того, как умножать матрицу 3×3. Когда мы умножаем 2 матрицы, важно проверить, что одна из матриц имеет такое же количество строк, как и столбцы другой матрицы, это означает, что если одна из матриц имеет 3 строки, другая матрица должна иметь 3 столбца, иначе , мы не можем умножать матрицы.
Основываясь на предыдущем объяснении, мы всегда можем перемножить две матрицы 3×3, потому что предыдущее правило всегда выполняется. Результатом умножения двух матриц 3×3 будет другая матрица того же порядка.
| А 11 | А 12 | А 13 |
| А 21 | А 22 | А 23 |
| А 31 | А 32 | А 33 |
| Б 11 | Б 12 | Б 13 |
| Б 21 | Б 22 | Б 23 |
| Б 31 | Б 32 | Б 33 |
Умножение между матрицами выполняется путем умножения каждой строки первой матрицы на каждый столбец второй матрицы, а затем сложения результатов, как в следующем примере.
- Ряд 1
- С 11 = (А 11 * В 11 ) + (А 12 * В 21 ) + (А 13 * В 31 )
- С 12 = (А 11 * В 12 ) + (А 12 * В 22 ) + (А 13 * В 32 )
- С 12 = (А 11 * В 13 ) + (А 12 * В 23 ) + (А 13 * В 33 )
- Ряд 2
- С 21 = (А 21 * В 11 ) + (А 22 * В 21 ) + (А 23 * В 31 )
- С 22 = (А 21 * В 12 ) + (А 22 * В 22 ) + (А 23 * В 32 )
- С 22 = (А 21 * В 13 ) + (А 22 * В 23 ) + (А 23 * В 33 )
- Ряд 3
- С 31 = (А 31 * В 11 ) + (А 32 * В 21 ) + (А 33 * В 31 )
- С 32 = (А 31 * В 12 ) + (А 32 * В 22 ) + (А 33 * В 32 )
- С 32 = (А 31 * В 13 ) + (А 32 * В 23 ) + (А 33 * Б 33 )
Теперь, увидев это, мы собираемся сделать пример того, как умножить две матрицы 3×3
Матрица A
| 2 | 3 | 1 |
| 7 | 4 | 1 |
| 9 | -2 | 1 |
Матрица B
| 9 | -2 | -1 |
| 5 | 7 | 3 |
| 8 | 1 | 0 |
- Теперь находим результирующую матрицу
- Ряд 1
- С 11 = (2*9) + (3*5) + (1*8)
- С 11 = 18 + 15 + 8
- С 11 = 41
- С 12 = (2*-2) + (3*7) + (1*1)
- С 12 = -4 + 21 + 1
- С 12 = 18
- С 13 = (2*-1) + (3*3) + (1*0)
- С 13 = -2 + 9 + 0
- С 13 = 7
- Ряд 2
- С 21 = (7*9) + (4*5) + (1*8)
- С 21 = 63 + 20 + 8
- С 21 = 91
- С 22 = (7*-2) + (4*7) + (1*1)
- С 22 = -14 + 28 + 1
- С 22 = 15
- С 23 = (7*-1) + (4*3) + (1*0)
- С 23 = -7 + 12 + 0
- С 23 = 5
- Ряд 3
- С 31 = (9*9) + (-2*5) + (1*8)
- С 31 = 81 -10 + 8
- С 31 = 79
- С 32 = (9*-2) + (-2*7) + (1*1)
- С 32 = -18 -14 + 1
- С 32 = -31
- С 33 = (9*-1) + (-2*3) + (1*0)
- С 33 = -9 -6 + 0
- С 33 = -15
Результирующая матрица
| 41 | 18 | 7 |
| 91 | 15 | 5 |
| 79 | -31 | -15 |
Примеры умножения матриц 3×3
Пример 1: Умножьте следующие матрицы 3×3.
Матрица А
| 5 | 5 | 0 |
| 2 | 2 | 1 |
| 3 | 3 | 2 |
Матрица В
| 0 | -1 | -1 |
| -1 | 0 | -1 |
| 0 | 0 | -1 |
Теперь с матрицей, которую мы собираемся умножить, мы собираемся умножить каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы, и таким образом мы найдем каждую позицию в результирующей матрице (C)
- Сначала решаем первую строку
- С 11 = (5*0) + (5*-1) + (0*0)
- С 11 = 0 — 5 + 0
- С 11 = -5
- С 12 = (5*-1) + (5*0) + (0*0)
- С 12 = -2 + 0 + 0
- С 12 = -2
- С 13 = (5*-1) + (5*-1) + (0*-1)
- С 13 = -2 — 5 + 0
- С 13 = -7
- Теперь второй ряд
- С 21 = (2*0)+(2*-1)+(1*0)
- С 21 = 0 -2 0
- С 21 = -2
- С 22 = (2*-1)+(2*0)+(1*0)
- С 22 = -2 + 0 + 0
- С 22 = -2
- С 23 = (2*-1)+(2*-1)+(1*-1)
- С 23 = -2 — 2 -1
- С 23 = -5
- А теперь третий ряд
- С 31 = (3*0)+(3*-1)+(2*0)
- С 31 = 0 -3 + 0
- С 31 = -3
- С 32 = (3*-1)+(3*0)+(2*0)
- С 32 = -3 + 0 + 0
- С 32 = -3
- С 33 = (3*-1)+(3*-1)+(2*-1)
- С 33 = -3 — 3 -2
- С 33 = -8
Результирующая матрица (C)
| -5 | -2 | -7 |
| -2 | -2 | -5 |
| -3 | -3 | -8 |
Иисус любит тебя
Иисус — сын Божий, который был послан на смерть, чтобы каждый, кто верит в него, имел жизнь вечную.