Функции для работы с матрицами в Excel
В программе Excel с матрицей можно работать как с диапазоном. То есть совокупностью смежных ячеек, занимающих прямоугольную область.
Адрес матрицы – левая верхняя и правая нижняя ячейка диапазона, указанные черед двоеточие.
Формулы массива
Построение матрицы средствами Excel в большинстве случаев требует использование формулы массива. Основное их отличие – результатом становится не одно значение, а массив данных (диапазон чисел).
Порядок применения формулы массива:
- Выделить диапазон, где должен появиться результат действия формулы.
- Ввести формулу (как и положено, со знака «=»).
- Нажать сочетание кнопок Ctrl + Shift + Ввод.
В строке формул отобразится формула массива в фигурных скобках.
Чтобы изменить или удалить формулу массива, нужно выделить весь диапазон и выполнить соответствующие действия. Для введения изменений применяется та же комбинация (Ctrl + Shift + Enter).
Часть массива изменить невозможно.
Решение матриц в Excel
С матрицами в Excel выполняются такие операции, как: транспонирование, сложение, умножение на число / матрицу; нахождение обратной матрицы и ее определителя.
Транспонирование
Транспонировать матрицу – поменять строки и столбцы местами.
Сначала отметим пустой диапазон, куда будем транспонировать матрицу. В исходной матрице 4 строки – в диапазоне для транспонирования должно быть 4 столбца. 5 колонок – это пять строк в пустой области.
- 1 способ. Выделить исходную матрицу. Нажать «копировать». Выделить пустой диапазон. «Развернуть» клавишу «Вставить». Открыть меню «Специальной вставки». Отметить операцию «Транспонировать». Закрыть диалоговое окно нажатием кнопки ОК.
- 2 способ. Выделить ячейку в левом верхнем углу пустого диапазона. Вызвать «Мастер функций». Функция ТРАНСП. Аргумент – диапазон с исходной матрицей.
Нажимаем ОК. Пока функция выдает ошибку.
Выделяем весь диапазон, куда нужно транспонировать матрицу. Нажимаем кнопку F2 (переходим в режим редактирования формулы). Нажимаем сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
Преимущество второго способа: при внесении изменений в исходную матрицу автоматически меняется транспонированная матрица.
Сложение
Складывать можно матрицы с одинаковым количеством элементов. Число строк и столбцов первого диапазона должно равняться числу строк и столбцов второго диапазона.
В первой ячейке результирующей матрицы нужно ввести формулу вида: = первый элемент первой матрицы + первый элемент второй: (=B2+h3). Нажать Enter и растянуть формулу на весь диапазон.
Умножение матриц в Excel
Условие задачи:
Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число. Формула в Excel: =A1*$E$3 (ссылка на ячейку с числом должна быть абсолютной).
Умножим матрицу на матрицу разных диапазонов. Найти произведение матриц можно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равняется числу строк второй.
В результирующей матрице количество строк равняется числу строк первой матрицы, а количество колонок – числу столбцов второй.
Для удобства выделяем диапазон, куда будут помещены результаты умножения. Делаем активной первую ячейку результирующего поля. Вводим формулу: =МУМНОЖ(A9:C13;E9:h21). Вводим как формулу массива.
Обратная матрица в Excel
Ее имеет смысл находить, если мы имеем дело с квадратной матрицей (количество строк и столбцов одинаковое).
Размерность обратной матрицы соответствует размеру исходной. Функция Excel – МОБР.
Выделяем первую ячейку пока пустого диапазона для обратной матрицы. Вводим формулу «=МОБР(A1:D4)» как функцию массива. Единственный аргумент – диапазон с исходной матрицей. Мы получили обратную матрицу в Excel:
Нахождение определителя матрицы
Это одно единственное число, которое находится для квадратной матрицы. Используемая функция – МОПРЕД.
Ставим курсор в любой ячейке открытого листа. Вводим формулу: =МОПРЕД(A1:D4).
Таким образом, мы произвели действия с матрицами с помощью встроенных возможностей Excel.
Определители и обратные величины
Определители:
Рассмотрим сокращение строки стандартной матрицы 2×2. Предположим, что а не равно нулю.
|
| 1/а Р 1 -> R 1 | R 2 — cR 1 -> R 2 | ||||||||
|
|
Теперь обратите внимание, что мы не можем сделать нижний правый угол равным 1, если
г — сб/а = 0
или
объявление — до н.
э. = 0
Определение определителя Мы называем ad-bc определителем числа 2 на 2. матрица |
|
он говорит нам, когда можно сократить матрицу и найти решение
к линейной системе.
Пример:
Определитель матрицы
|
равно
3(2) — 1(5) = 6 — 5 = 1
Определители матриц три на три
Определим определитель треугольной матрицы
|
by
det = abc
Обратите внимание, что если мы умножаем строку на константу k, то новый определитель
в k раз больше старого.
Перечислим эффект всех трех строковых операций
ниже.
Теорема . Влияние трех основных операций над строками на
определитель следующий
|
Чтобы найти определитель матрицы, мы используем операции, чтобы сделать матрицу
треугольной, а затем работать в обратном порядке.
Пример:
Найдите определитель
|
Мы используем операции со строками, пока матрица не станет треугольной.
1/2 R 1 <-> R 1 (Умножает определитель на 1/2)
|
Р 2 — 2Р 1 -> Р 2 (Нет эффекта
на определителе)
|
Обратите внимание, что нам не нужно обнулять верхний средний номер. Нам нужно только обнулить нижние левые числа.
R 3 + 2R 2 -> R 3 (Не влияет на определитель)
|
Обратите внимание, что нам не нужно делать среднее число
1.
Определитель этой матрицы равен 48. Поскольку эта матрица имеет 1/2, определитель исходной матрицы определитель исходной матрицы имеет
определитель = 48(2) = 96.
Инверсия
Мы называем квадратную матрицу I со всеми единицами по диагонали и нулями. везде матрица тождественная
. Обладает уникальным свойством что если A — квадратная матрица с теми же размерами, то АИ = ИА = А
Определение
Если A — квадратная матрица, то обратная A -1 А является единственная матрица такая, что
АА -1 = А -1 А = I |
Пример:
Позволять
| А = |
|
затем
| А -1 = |
|
Проверьте это!
Теорема |
Чтобы найти обратную матрицу, мы пишем новую расширенную матрицу с тождество справа. Затем полностью убавляем ряд, получившийся матрица справа будет обратной матрицей.
Пример:
|
Во-первых, обратите внимание, что определитель этой матрицы равен
-2 + 1 = -1
, следовательно, инверсия существует. Теперь мы устанавливаем расширенную матрицу как
|
| Р 1 <-> Р 2 | Р 2 — 2Р 1 -> Р 2 | Р 1 + Р 2 -> Р 1 | |||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Обратите внимание, что левая часть теперь является идентификатором.
Правая рука
сторона обратная. Следовательно
| А -1 = |
|
Решение уравнений с использованием матриц
Пример:
Предположим, у нас есть система
2х — у = 3
х — у = 4
Тогда мы можем записать это в матричной форме
Ах = б
где
| А = |
| х = | и b = |
Мы можем умножить обе части на A -1 :
А -1 А х = А -1 б
или
х = А -1 б
Раньше,
| А -1 = |
|
Следовательно, наше решение
или
x = -1 и у = 5
Легкий путь
Графический калькулятор можно использовать для решения всех вышеперечисленных задач.
Умножение двух определителей
Детерминанты также могут быть определены как коэффициенты масштабирования для матриц. Матрица может быть определена как массив/расположение чисел в строках и столбцах. Однако существуют определенные правила умножения определителей. Многие математические операции выполняются над матрицами. Определитель — это скалярное число, связанное с каждой матрицей. Многие важные свойства определителей будут обсуждаться впоследствии в следующих темах. Детерминанты используются и в других целях, поскольку они помогают вычислять обратную и сопряженную матрицы, что имеет первостепенное значение в сложных физических расчетах. Поэтому жизненно важно понять смысл умножения на определитель.
Определение определителей
Определитель можно определить как скалярное значение, связанное с квадратной матрицей. Это всего лишь цифра. Это помогает найти решения линейных уравнений. Определитель может быть действительным или комплексным числом для каждой матрицы N x N.
Символ для определителей — это где A — любая квадратная матрица. Таким образом, для каждой матрицы A с элементами [aij] можно найти определитель матрицы. Детерминанты полезны как в математических, так и в физических расчетах, поскольку они облегчают нашу работу. Вопросы на умножение определителя имеют решающее значение с точки зрения экзамена, поэтому крайне важно понять правила его умножения.
Умножение определителей
В этом разделе мы узнаем, как определить определитель для квадратной матрицы 2 x 2 и 3 x 3. После этого мы увидим, как выбрать умножение двух определителей с вопросами умножения определителей. Порядок двух определителей должен быть одинаковым.
Чтобы найти определитель матрицы, рассмотрим матрицу A порядка 2 x 2, записанную как
3. Определитель A можно записать как det A= ad – bc. Решение ad-bc дает скалярную величину, известную как определитель матрицы.
4. Возьмем пример, рассмотрим матрицу A1=
Определитель матрицы A1 будет, (2)(3)- (1)(-9) = (6) – (-9) = 6 + 9 = 15, что является скалярным числом.
5. Давайте теперь научимся определять определители для матрицы 3 x 3.
Рассмотрим матрицу A2 =
Определитель этой матрицы 3 x 3 будет равен
Det (A2) = ((2) х (10 х 1 – 6 х 1)) – ((5) х (-1 х 1 – 3 х 1)) + ((8) х (-1 х 6 – 3 x 10))
Отсюда следует, ((2) x (10-6)) – ((5) x (-1-3)) + ((8)) x (-6-30)
Итак , (2 x 4) – (5 x -4) + (8 x -36)
Следовательно, (8 + 20 – 288) = -260
6. Теперь, если мы имеем два определителя второго порядка, выраженные как
D1 =
и D2 =
Умножение определителей D1 и D2 будет выполняться как
Правила работы
При расчете умножения определителя следует учитывать определенные правила.
Они следующие:
Порядок двух определителей должен быть одинаковым.
Если задаться вопросом, что произойдет со значением определителя, если мы поменяем местами строки и столбцы, то ответ таков: окончательный ответ не изменится при условии, что вычисления выполнены правильно.
Основная концепция заключается в том, что мы следуем правилу умножения определителей по столбцам. Каждый элемент каждой строки определителя умножается на каждый элемент каждого столбца другого определителя. Это правило такое же, как и при перемножении двух матриц.
Поскольку мы уже установили, что окончательный ответ не меняется при перестановке, таким образом, можно также следовать правилу столбца за строкой, правилу строки за строкой или правилу столбца за столбцом для умножения.
Смысл умножения определителей состоит в том, что для двух определителей матриц A и B мы можем сказать, что AB = AB.
