Умножение степеней с одинаковым показателем: Умножение и деление степеней с одинаковыми натуральными показателями. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

Презентация «Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями» | Презентация к уроку по алгебре (7 класс):

Опубликовано 09.12.2019 — 21:49 — Якушева Светлана Владимировна

Презентация «Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Слайд 1

« Свойства степени с натуральным показателем»

Слайд 2

Вспомним действия со степенями с одинаковыми основаниями: Как умножить степени с одинаковыми основаниями? Как разделить степени с одинаковыми основаниями? Какое условие должно выполняться в данном свойстве? Как возвести степень в степень?

Слайд 3

Предостережение –не сочиняйте новых правил. Проверьте, верны ли равенства?

Слайд 4

Вычислите:

Слайд 5

1 способ: 2 способ:

Слайд 6

Прокомментируйте доказательство:

Слайд 7

Откройте закономерность Сформулируйте Докажите

Слайд 8

Делаем выводы: Как умножить степени с одинаковыми показателями? Как разделить степени с одинаковыми показателями?

Слайд 9

Свойство любой формулы- можно применять как слева направо , так и справа налево

Слайд 10

Как возвести в степень произведение? Как возвести в степень частное?

Слайд 11

Закрепляем знания: № 18. 1 (а,б) № 18.2 (а,б) № 18.13 (а,б) № 18.14 (а,б) № 18.19 (а,б) № 18.24 (а)

Слайд 12

Подведём итоги нашего урока: Как называется тема урока? Как умножить степени с одинаковыми показателями? Как разделить степени с одинаковыми показателями? Как возвести в степень произведение? Как возвести в степень частное?

Слайд 13

Домашнее задание § 18 №18.5 № 18.15 № 18.18

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект урока 7 класс «Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями»

Урок открытия нового знания в 7б классе по теме «Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями»…

Умножение и деление степеней с натуральным показателем

Обобщить и систиматизировать материал по теме «Умножение и деление степеней с натуральным показателем&quot…

Конспект урока с презентацией по теме: «Умножение и деление степеней с одинаковым основанием».

Тема: «Умножение и деление степеней с одинаковым основанием».  Цели: Формирование знаний о правилах умножения и деления степеней с одинаковым основанием и умений применять их на практике; развитие…

Технологическая карта урока на тему: «Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями»

поурочный план по теме: «Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями&quot…

Презентация «Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями»

Цель урока: вывести  правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями; дать определение нулевой степени числа, не равного нулю; формировать умение выполнять указанные действия …

Презентация к уроку «Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями»

Презентация к уроку формирования первичных предметных навыков, овладения предметными умениями по теме   «Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями&raquo…

Конспект урока по математике в 7 классе по теме «Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями»

Урок первичного предъявления новых знаний в  7 классе по теме «Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями&raquo. ..

Поделиться:

 

Степень с натуральным показателем (Г.Г. Гаицгори) 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Сокращения в повседневной жизни

 

В повседневной жизни мы часто используем различные сокращения. Например, в школе говорим «физра» вместо «физкультура», «физкультура» вместо «физическая культура». Или используем различные аббревиатуры: например, мы говорим «дэзэ» вместо «домашнее задание».

 

Понятно, что так намного быстрее и удобнее, когда все знают, о чём идёт речь. Это общая идея, которая часто встречается: если приходится работать с какими-то объектами очень часто, то рано или поздно возникает идея их удобно обозначить.

В математике также используются удобные обозначения, то есть те, для работы с которыми придуманы эффективные алгоритмы. Например, позиционная система записи чисел: мы записываем числа с помощью цифр – число 754 пишем цифрами 7, 5, 4.

Почему мы записываем их именно так, а не палочками, не римскими цифрами или словами? Ответ понятен: потому что позиционная система записи чисел позволяет быстро и удобно выполнять арифметические действия – для этого есть удобный алгоритм.

Например, можно попробовать умножить 754 на 368 – удобно сделать это умножением в столбик (Рис.1).

Рис. 1. Умножение в столбик чисел 754 и 368

 

Квадрат числа, куб числа

 

 

Вспомним, что такое умножение – это удобная запись нескольких операций сложения одинаковых чисел, например: .

 

Когда для этого обозначения были получены и доказаны свойства, оно превратилось в полноценную арифметическую операцию, которую удобно использовать для вычислений.

А что если нужно умножить одно и то же число несколько раз? Например, чтобы найти площадь квадрата, умножаем его сторону на себя два раза (Рис. 2), т.е. , а чтобы найти объём куба – три раза (Рис. 2), т.е. .

Рис. 2. Квадрат и куб со стороной (ребром)

Вы уже знакомы с короткой записью этих выражений:  – это выражение называется квадратом числа  (площадь квадрата со стороной ), а выражение  – кубом числа  (объём куба с ребром ).

 

Степень числа  с натуральным показателем

 

 

А что если число умножается само на себя не 2 или 3 раза, а 4, 5, 6 раз?

 

Обобщим короткую запись квадрата числа и куба числа: если нам нужно будет умножить число на себя много раз, например,  раз, то запишем такое умножение следующим образом:

Определение: степенью числа  с натуральным показателем  называют произведение  множителей, каждый из которых равен : , где  – основание степени (может принимать любые значения),  – показатель степени ().

Обратите внимание, что степень – это не что-то новое, а просто короткая запись умножения одинаковых множителей.

 

Вычисление плотности Земли

 

 

А насколько удобно такое обозначение, пригодится ли оно нам? Рассмотрим пример.

 

Масса Земли равна  кг. Можно переписать в тоннах:  т – получилось не намного более удобно. Особенно, если нужно определить, например, среднюю плотность Земли. Вспомним, что плотность вычисляется по формуле .

Масса нам известна, осталось посчитать объём Земли. Будем считать Землю её шаром с радиусом  км. Объём шара, как мы знаем, вычисляется по формуле: .

Получится .

Если делить полученные значения массы и объёма в столбик, это займёт много времени

---

 

Вычисление объёма Земли

Объём шара рассчитывается по формуле  где  – радиус шара.

В нашем случае  км, тогда

---

Попробуем использовать введённые обозначения степени.

Масса Земли может быть записана в виде: , где второй множитель – это , умноженное на себя  раза, то есть . Получаем:

 кг

Такая запись гораздо компактнее (в частности, чтобы передать такую информацию, нужно всего  знака: первый множитель и степень ). А объём можно переписать в виде:

Кроме компактности записи, использование степеней позволяет сократить и вычисления. Найдём среднюю плотность Земли:

В числителе стоит произведение  множителей , а в знаменателе –  таких множителей. Значит, после сокращения в знаменателе все множители  исчезнут, а в числителе их останется , т.е. получим:

Обратите внимание, что мы всего лишь по-другому записали числа (ввели новый объект – степень), и это помогло упростить и сократить вычисления.

---

 

Стандартный вид числа

Мы упростили вычисления с помощью новой записи числа. Массу Земли мы представили в виде  кг. Для такой записи есть отдельное название, ее называют стандартным видом числа.

Определение: стандартным видом числа называют его запись в виде: , где  и  – целое число.

Обратите внимание, что объём Земли был записан в похожем виде, но не в стандартном:

В стандартном виде это число было бы записано так:

---

 

 

Деление степеней с одинаковым основанием

 

 

Вычисляя среднюю плотность Земли, мы вывели одно из свойств степени – деление степеней с одинаковым основанием.

 

Действительно, пусть нам необходимо поделить две степени с одинаковым основанием:

 

То же самое можно выполнить для любых степеней:   при ().

Если , то мы получим: .

Итак, по определению: .

 

Умножение степеней с одинаковым основанием

 

 

А что будет, если мы захотим умножить две степени с одинаковым основанием? Например, чему равно выражение: ? Найдем:

 

Теперь найдем :

А теперь то же самое можно сделать для любых степеней с одинаковым основанием:

Рассмотрим пример с использованием полученных свойств степеней.

Задание 1. Представить в виде степени с основанием :

Решение:

Ответ: .

 

Возведение степени в степень

 

 

Теперь попробуем возвести степень в степень:

 

Такие же действия мы можем проделывать для любых степеней:

Рассмотрим такой пример.

Задание 2. Вычислить:

Решение:

Ответ: .

 

Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

 

 

До этого мы рассматривали свойства степеней  одинаковыми основаниями. А что можно сказать про степени с одинаковыми показателями?

 

Рассмотрим выражение:

Запишем в общем виде:

Аналогично поступим с делением:

Запишем в общем виде:

Рассмотрим несколько примеров.

Задание 3. Представить в виде степени с основанием 2:

Решение:

Ответ: .

 

Задание 4

. Вычислить:

Решение:

Ответ: .

Задание 5. Вычислить:

Решение:

Мы знаем свойства степеней с одинаковым основанием, а в данном примере все они разные. Поэтому упростим основания степеней, разложив их на простые множители:

Перепишем исходное выражение следующим образом:

Вспомним, что деление – это действие, обратное умножению, поэтому если мы хотим поделить на какое-то число, то это то же самое, что умножить на число, обратное ему:

А теперь сгруппируем степени с одинаковым основанием:

Ответ: .

Итак, упрощать выражения со степенями несложно: нужно разложить основания степеней на множители, затем, используя свойства степеней, сгруппировать степени с одинаковыми основаниями и упростить полученные группы степеней.

Заключение

На этом уроке мы ввели короткое обозначение произведения одинаковых чисел – степень с натуральным показателем: , а также получили некоторые свойства степеней и потренировались преобразовывать различные выражения со степенями.

 

Список рекомендованной литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, издательство «Просвещение», 2017.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2014.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2013

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «yaklass. ru» (Источник)
2. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «mathematics-repetition.com» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Запишите произведение в виде степени: .
2. Вычислите: .
3. Упростите выражение: .

 

показателей: свойства показателей | SparkNotes

Величина с показателем степени имеет три компонента: база, экспонента, и коэффициент.

1. В количестве 3 х ⁵ коэффициент 3, основание х , и показатель степени равен 5.
   
2. В количестве 3(16) ^7х , коэффициент 3, основание 16, а показатель степени равен 7 x .
   
3. В количестве 26(2 и ) ^xy , коэффициент 26, основание 2 y , а показатель степени равен xy .
   
4. В количестве р ² коэффициент (подразумеваемый) равен 1, основание равно
   r , а показатель степени равен 2.

Сложение и вычитание величин с показателями степени

Мы не можем упростить, сгруппировав два термина вместе, если они не имеют то же основание и тот же показатель. Например, мы не может объединять термины в такие выражения, как 5 ² +12 ² или 5 ³ +5 ⁴ . Однако мы можем упростить 4 ⁵ +4 ⁵ и 2 x ² +5 x ² . К сгруппировать два термина с одинаковым основанием и одним и тем же показателем, сложить их коэффициенты. Таким образом, 4 ⁵ +4 ⁵ = 1 (4) ⁵ + 1 (4) ⁵ = (1 + 1)(4) ⁵ = 20(48) 9 0(48) и 2 x ² +5 x ² = (2 + 5) х ² = 7 х

² .

Умножение величин с показателями

Мы можем умножать две величины на степени, если они имеют одинаковые база. Чтобы умножить две величины с одним и тем же основанием, умножьте их коэффициенты и сложить их степени. Например, 4(5) ⁵ × 3(5) ² = (3×4)(5) ⁵⁺² = 12(5) ⁷ и 5(2 x ) ² × 6(2 х ) ^y = (5×6)(2 x ) ^2+y = 30(2 x ) ^2+y .

Деление величин с помощью показателей

Мы можем разделить две величины с показателями степени, если они имеют одинаковые база. Чтобы разделить две величины с одним и тем же основанием, разделите их коэффициенты и вычесть их степени. Например, = (2) ^11-6 = 3(2) ⁵ и = х ^7-8 = х ^-1

.

Распределительное свойство показателей

Если показатель степени действует на один член в скобках, мы можем распределить показатель степени по члену. Например, (2×5) ² = (2 ² )(5 ² ), (3 х ) ⁶ = 3 ⁶ х 6 ,

3

xy ) ⁵ = 3(4 ⁵ ) x ⁵ y ⁵ .
Будьте осторожны! Если показатель степени действует на несколько членов в скобки (т.е. если в скобках стоит знак «+» или «-«), это не может быть распределен : (5 + 3) ² ≠ 5 ² +3 ² и (4 A + B ) ² ≠ A ² + B гать A ² + B ↓ A ² + B . 2 .

Принятие силы силы

Иногда основание будет включать показатель степени, как в выражении (2 ² ) ³ . В этом случае умножьте показатель степени в основании на показатель степени, действующий на основание: (2 ² ) ³ = 2 ^2×3 = 2 ⁶ и ( x ⁵ ) ^y = x ^5×y = x ^5y .

Умножение показателей степени с разными основаниями и одинаковыми степенями

• Математические сомнения
• Индексы
• Операции
• Умножение
• Различные основания

В математике в умножении участвуют два или более экспоненциальных члена, которые содержат разные основания и одинаковые степени.