Умножение векторов на число – Умножение вектора на число

Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач

На данном уроке мы рассмотрим новую операцию над векторами – умножение вектора на число. Кроме того, мы сформулируем законы умножения и научимся применять знания о векторах к решению различных задач.

На предыдущих уроках мы рассмотрели понятие вектора, ввели определения коллинеарных, сонаправленных, противонаправленных и равных векторов. Научились складывать и вычитать векторы, ввели законы сложения. Теперь нам нужно научиться умножать вектор на число. Особенность данной операции состоит в том, что число – это просто численная величина, не имеющая направления, а вектор – это направленный отрезок, имеющий численное измерение и направление.

Рассмотрим такую ситуацию: по дороге едут два автомобиля, скорость одного – 30 км/ч, а второго – 60 км/ч. Очевидно, что скорость второго автомобиля в два раза больше скорости первого, и скорость второго можно выразить через скорость первого, умножив скорость первого на два.

Определение

Произведение ненулевого вектора  на число k – такой вектор , длина которого равна , причем векторы  и  сонаправлены при  и противонаправлены при . Произведение нулевого вектора на любое число – это нулевой вектор.

Пусть задан вектор  (см. Рис. 1). Вектор  – это вектор, направленный в ту же сторону, но длина его в два раза больше.

Вектор  имеет длину, в два раза большую, чем вектор  и ему противонаправлен.

Рис. 1

Законы, которым подчиняется операция умножения вектора на число:

 – сочетательный закон;

 – первый распределительный закон;

 – второй распределительный закон.

Анализ данных законов показывает, что действия с векторами аналогичны действиям с алгебраическими выражениями.

Пример 1 – упростить выражение:

Раскроем скобки:

Приведем подобные:

Пример 2: Дан отрезок АВ (см. Рис. 2). Точка С – середина отрезка, точка О – произвольная точка плоскости. , . Доказать, что вектор .

Решение:

1 способ: применим правило треугольника и выразим вектор  как сумму двух векторов:

С другой стороны:  

Получили систему двух уравнений:

Рис. 2

Сложим уравнения системы:

, так как С – середина АВ, значит, модули данных векторов равны, но они противонаправлены, значит, их сумма – это нулевой вектор.

Получаем:

Поделим обе части на два:

Что и требовалось доказать.

2 способ:

Раскроем скобки и приведем подобные:

Пример 3: Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Мы знаем, что средняя линия трапеции соединяет середины ее боковых сторон, кроме того, мы знаем, что основания трапеции параллельны.

Воспользуемся правилом многоугольника и выразим вектор  как сумму векторов:

Рис. 3

С другой стороны,

Получаем систему уравнений:

Выполним сложение уравнений системы, получаем:

Векторы  противоположны и дают в сумме нулевой вектор, так как М – середина АВ, то есть модули данных векторов равны, кроме того, очевидно, что они противонаправлены. Аналогично векторы  дают в сумме нулевой вектор. Таким образом, получаем:

Поделим обе части на два:

Таким образом, мы доказали, что средняя линия равна полусумме оснований. Кроме того, равенство вектора  сумме  говорит о том, что прямая MN параллельна основаниям трапеции.

Итак, в данном уроке мы изучили операцию умножения вектора на число и сформулировали законы умножения. Кроме того, мы научились применять факты о векторах к решению различных задач.

 

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Terver.ru (Источник).
  2. Cleverstudents.ru (Источник).
  3. Khd2.narod.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Задание 1: для произвольного четырехугольника MNPQ докажите, что: ; .
  2. Задание 2: сторона равностороннего треугольника  равна а. Найдите: ; ;;;.
  3. Задание 3: точки M и N – середины сторон АВ и ВС треугольника . Выразите векторы , , ,  через векторы , .

interneturok.ru

Умножение векторов на число — методическая рекомендация. Геометрия, 9 класс.

1.
Умножение вектора на число
2 вид — интерпретация среднее 1 Б. Умножение вектора на число.
2. Понятие об умножении вектора на число и коллинеарности векторов 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Укрепление знаний об умножении вектора на число и коллинеарности векторов.
3. Сонаправленные и противоположно направленные векторы 2 вид — интерпретация среднее 6 Б. Понимает, как умножать вектор на число, чтобы получились сонаправленные или противоположно направленные векторы.
4. Соотношение отрезков 3 вид — анализ среднее 3 Б. Использует соотношение отрезков для определения коэффициента при умножении векторов.
5.
Умножение и разложение векторов
3 вид — анализ среднее 4 Б. Разлагает вектор на данные векторы, использует знания о умножении вектора на число.
6. Умножение и вычитание векторов 3 вид — анализ сложное 3 Б. Проверка знаний о вычитании и умножении векторов, выражение вектора через данные векторы.

www.yaklass.ru

Умножение вектора на число.

Геометрическая интерпретация.

Произведение ненулевого вектора на число — это вектор, коллинеарный данному (сонаправленный данному, если число положительное, имеющий противоположное направление, если число отрицательное), а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.

Алгебраическая интерпретация. Произведение ненулевого вектора на число — это вектор, координаты которого равны соответствующим координатам данного вектора, умноженным на число.


Формулы умножения вектора на число

Формула умножения вектора на число для плоских задач

В случае плоской задачи произведение вектора a = {ax ; ay} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · ax; k · ay}


Формула умножения вектора на число для пространственных задач

В случае пространственной задачи произведение вектора a = {ax ; ay ; az} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · ax ; k · ay ; k · az}


Формула умножения n -мерного вектора

В случае n-мерного пространства произведение вектора a = {a1 ; a2; … ; an} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · a1; k · a2; … ; k · an}


Свойства вектора умноженного на число

Если вектор b равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора a, то есть b = k · a, тогда:

  • b || a — вектора b и a параллельны

  • a↑↑b, если k > 0 — вектора b и a сонаправленные, если число k > 0

  • a↑↓b, если k < 0 — вектора b и a противоположно направленные, если число k < 0

  • |b| = |k| · |a| — модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль числа k

Примеры задач на умножение вектора и числа

Пример умножения вектора на число для плоских задачи

Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2} на 3.

Решение: 3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}.

Пример умножения вектора на число для пространственных задачи

Пример 2. Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} на -2.

Решение: (-2) · a = {(-2) · 1; (-2) · 2; (-2) · (-5)} = {-2; -4; 10}.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0oq.ru

Умножение вектора на число » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.9. Умножение вектора на число.

Определение. Произведением вектора  на действительное число  называется вектор , удовлетворяющий следующим двум условиям:

1) ;

2) , если  и , если ;

и обозначается .

Теорема. (Свойства умножения вектора на число.)

1. Свойство ассоциативности:  верно

    равенство .

2. Свойство дистрибутивности умножения относительно

   сложения чисел:  верно равенство

                           .

3. Свойство дистрибутивности умножения относительно

   сложения векторов:  верно равенство

                           .

4.  верно равенство .

Доказательство. Свойство 4 вытекает из определения умножения вектора на число. Докажем свойство 1.

   Умножение вектора  на число  можно интерпретировать как гомотетию какой-нибудь плоскости Р, в которой лежит данный вектор, с центром гомотетии в начале вектора и коэффициентом .

   Такая гомотетия плоскости Р оставляет точку А на месте, , а конец вектора – точку В переводит (отображает) в точку С, , причем

и точка С лежит на луче АВ, если  и на

противоположном луче, если . См. рис. 10 и 11.

                      А                  В                            С 

                 

                                      рис. 10.

                С                            А                      В

                                         

                                       рис.11.

Теперь свойство 1 следует из того что композиция гомотетий (т.е. последовательное их выполнение) есть гомотетия, причем  и  верно равенство: .

Пусть .

        D           А                  В                            С 

                     |

                                                       

                                      рис. 12.

Тогда ,  и , т.е. .

   Таким образом,  и ,

следовательно, , ч.т.д.

   Доказательство свойства 2 оставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения. Заметим, что если оба числа  и  имеют одинаковый знак, то свойство 2 очевидно. Осталось рассмотреть случай разных знаков чисел  и .

   И, наконец, свойство 3 очевидно из следующего

рисунка, построенного для случая :

                                      рис. 13.

Заметим, что такая картинка возникает, если мы применим к плоскости, в которой лежат оба вектора, отложенные от одной точки О, преобразование гомотетии с центром гомотетии в точке О и коэффициентом .

Теорема доказана.

Теорема. Множество всех векторов  как направленных отрезков в пространстве точек S является векторным пространством над полем действительных чисел.

   Доказательство следует из свойств сложения векторов и их умножения на действительные числа.

Определение. Векторное пространство над полем действительных чисел называется вещественным векторным пространством.

   Пусть L произвольная прямая в пространстве S. Тогда ясно, что , т.е. множество векторов коллинеарных прямой L является подмножеством всех векторов .

  Далее, сумма любых двух векторов коллинеарных прямой L также является вектором коллинеарным прямой L:

 . В этом случае говорят, что множество векторов  замкнуто относительно сложения векторов. Аналогично, , т.е. множество  замкнуто относительно операции умножения вектора на действительное число. Отсюда сразу же следует, что для векторов из множества  справедливы все свойства сложения и умножения на действительные числа, т.е. справедливы все аксиомы вещественного векторного пространства.

   Таким образом, множество  также является вещественным векторным пространством.

   Говорят, что векторное пространство  является векторным подпространством векторного пространства .

   Аналогично и для множества  всех векторов лежащих на некоторой плоскости Р или на параллельной ей плоскости. Множества  также является векторным пространством и векторным подпространством векторного пространства .

   Если прямая L лежит в плоскости Р или параллельна ей, то  и  – подпространство векторного пространства  и одновременно векторного пространства .

   Векторное пространство  мы будем называть пространством векторов на прямой L, а  –пространством векторов на плоскости Р.

п.10. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.

Определение. Пусть  и  два произвольных вектора. Если верно равенство , где , то говорят, что вектор  линейно выражается через вектор .

Теорема. (О коллинеарности двух векторов.)

Для того, чтобы два вектора были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы либо один из них был нулевым, либо один из них линейно выражался через другой.

   Другими словами, .

   Доказательство. Если , то  по определению. Пусть  и . Тогда из определения умножения вектора на число следует, что либо , либо , в зависимости от знака числа , т.е. , ч.т.д.

   Пусть теперь  и  и . (Если  или , то доказывать нечего.) Рассмотрим два возможных случая.

а) Пусть . Т.к. , то .

   Обозначим буквой  отношение длин этих векторов: . Отсюда следует равенство  и, применяя определение умножения вектора на число, получаем, что .

б) Пусть . Положим по определению . Отсюда следует равенство  и, применяя определение умножения вектора на число, получаем, что .

Теорема доказана.

Возможно найдутся ответы здесь:

fxdx.ru

Свойства операции умножения вектора на число — КиберПедия

 

1. 1× = , -1× = — .

2. a×(b× ) = (a×b)× .

3. a×( + ) = a× + a× .

4. (a + b)× = a× + b× .

Для доказательства свойств воспользуемся простым фактом: два вектора равны, если равны их длины и они сонаправлены.

Доказательство свойства1. 1). Если = , то по определению операции умножения вектора на число получим, что правый вектор и левый вектор нулевые. Следовательно, равенство верно.

2). Покажем, что 1× = . Рассмотрим вектор 1× . Его длина, согласно определению 1, равна |1× | = |1| ×| | = | |. С другой стороны, длина вектора так же равна | |. Следовательно, длины рассматриваемых векторов равны. Так как мы умножаем вектор на положительное число 1, то 1× ­­ . Рассматриваемые вектора 1× и имеют одинаковую длину и одно направление. Следовательно, они равны. Вторая часть свойства 1 также верна, так как длины рассматриваемых векторов равны |-1× | = |-1| ×| | = | | и |- |= | |, и их направления одинаковы: -1× ­¯ , — ­¯ — то есть, они противоположно направлены одному и тому же вектору.

Свойство 1 доказано.

Доказательство свойства 2. Покажем, что a×(b× ) = (a×b)× . (1)

Для этого рассмотрим несколько случаев. 1). Пусть одно из чисел a или b равно нулю. Тогда по определению операции умножения вектора на число получаем, что и левый вектор и правый вектор равны нулевому вектору, то есть равенство (1) верно. Аналогично, если = , то равенство (1) также верно.

2). Пусть числа a и b — одного знака. Например, они отрицательные. Тогда b× ­¯ , a×(b× ) ­¯ b× . Следовательно, a×(b× )­­ .

С другой стороны, (a×b)× ­­ , так как a×b > 0.

Таким образом, a×(b× ) ­­ (a×b)× .

Для длин рассматриваемых векторов, независимо от знаков рассматриваемых чисел a и b, в силу определения операции умножения вектора на число, имеем:

|a×(b× )| = |a|×|(b× )| = |a|×|b|×| |,

|(a×b)× | = |a×b|×| | = |a|×|b|×| |.

Таким образом, рассматриваемые векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следовательно, равенство (1) верно.

Аналогично рассмотреть случай, когда числа a и b — положительные.

3). Пусть числа a и b — разного знака. Например, a > 0 , b < 0. Тогда

b× ­¯ , a×(b× ) ­­ b× . Следовательно, a×(b× )­¯ .

С другой стороны, (a×b)× ­¯ , так как a×b < 0.

Таким образом, a×(b× ) ­­ (a×b)× .

Аналогично рассмотреть случай, когда числа a < 0 и b > 0.

Таким образом, рассматриваемые векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следовательно, равенство (1) верно и в этом случае. Свойство 2 доказано.



Доказательство свойства 3: a×( + ) = a× + a× . Если a = 0 или хотя бы один из векторов нулевой, то свойство (3), очевидно, выполняется. Поэтому рассматриваем ненулевые варианты. Выберем произвольно точку О и от нее откладываем вектор = , а от точки А откладываем вектор = . При этом получили + = . Итак, = + . Рассмотрим гомотетию с центром О и коэффициентом a. Пока считаем, что a > 0.

Пусть при рассматриваемой гомотетии:

Тогда треугольники ОАВ и ОА`В` имеют попарно параллельные стороны.

 

При этом = a , = a , = a = a ( + ) и + = . Отсюда получаем равенство

a×( + ) = a× + a× .

Если a < 0, то сначала рассмотрим равенство

|a|×( + ) = |a|× +| a|× ,

а затем умножив обе части этого равенства на ( — 1), получим:

-|a|×( + ) = -|a|× -| a|×

или

a×( + ) = a× + a× .

Свойство 3 доказано.

Доказательство свойства 4: (a + b)× = a× + b× .

Доказательство распадается на несколько отдельных случаев. 1) a > 0 и b > 0. В этом случае a× ­­ b× и равенство (a + b)× = a× + b× — верно.

2) Если a < 0 и b < 0, то, в силу первого случая, будет верным следующее равенство

(|a| + |b|)× =|a|× + |b|× .

Умножая это равенство на (-1) получим равенство

(-|a|- |b|)× = — |a|× — |b|× ,

а, следовательно, и равенство

(a + b)× =a× + b× .

3) Здесь мы должны рассмотреть случай, когда a и b разных знаков. При этом можно считать, что a > 0, а b < 0. Но мы должны учесть два различных случая: a > |b| и a < |b| .

 

Рассмотрим, например, случай a > |b|. Тогда a + b > 0. Очевидно числовое равенство a + b + |b| = a. Согласно первому случаю, выполняется равенство

((a + b)+|b|) × = (a + b)× + |b|×

или

a × = (a + b)× + |b|× .

Отсюда получим

(a + b)× = a× − |b|× ,

а, следовательно, и равенство

(a + b)× = a× + b× .

Аналогично рассматривается случай a < |b|.

Свойство 4 доказано.

Пример 1. Дан треугольник АВС и произвольная точка О пространства. М – точка пересечения медиан треугольника АВС (ее называют центром тяжести треугольника). Доказать, что .



Доказательство. Рассмотрим медиану АК треугольника АВС.

Тогда, в силу свойств медианы имеем: . С другой стороны,

,

, , .

Следовательно, .

Находим: ( .

.

 

Пример 2.В трапеции АВСD с основаниями ВС и AD точки M и N являются серединами оснований, точка О – точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны. Доказать, что точки О, М, N лежат на одной прямой.

Решение. Рассмотрим векторы и . Для того , чтобы доказать, что точки О, М, N лежат на одной прямой достаточно доказать, что || .

Так как точки M и N – середины оснований, то справедливы следующие равенства: (1),
(2).
Из подобия треугольников и с коэффициентом подобия k следует, что

(3) и (4).

Из равенств (2), (3) и (4) получаем следующее равенство:

. Следовательно, , откуда , а это означает, что точки O, M, N лежат на одной прямой.

 

cyberpedia.su

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *