Умножение векторов на число – Умножение вектора на число

Содержание

Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач

На данном уроке мы рассмотрим новую операцию над векторами – умножение вектора на число. Кроме того, мы сформулируем законы умножения и научимся применять знания о векторах к решению различных задач.

На предыдущих уроках мы рассмотрели понятие вектора, ввели определения коллинеарных, сонаправленных, противонаправленных и равных векторов. Научились складывать и вычитать векторы, ввели законы сложения. Теперь нам нужно научиться умножать вектор на число. Особенность данной операции состоит в том, что число – это просто численная величина, не имеющая направления, а вектор – это направленный отрезок, имеющий численное измерение и направление.

Рассмотрим такую ситуацию: по дороге едут два автомобиля, скорость одного – 30 км/ч, а второго – 60 км/ч. Очевидно, что скорость второго автомобиля в два раза больше скорости первого, и скорость второго можно выразить через скорость первого, умножив скорость первого на два.

Определение

Произведение ненулевого вектора на число k – такой вектор , длина которого равна , причем векторы и сонаправлены при и противонаправлены при . Произведение нулевого вектора на любое число – это нулевой вектор.

Пусть задан вектор (см. Рис. 1). Вектор – это вектор, направленный в ту же сторону, но длина его в два раза больше.

Вектор имеет длину, в два раза большую, чем вектор и ему противонаправлен.

Рис. 1

Законы, которым подчиняется операция умножения вектора на число:

– сочетательный закон;

– первый распределительный закон;

– второй распределительный закон.

Анализ данных законов показывает, что действия с векторами аналогичны действиям с алгебраическими выражениями.

Пример 1 – упростить выражение:

Раскроем скобки:

Приведем подобные:

Пример 2: Дан отрезок АВ (см. Рис. 2). Точка С – середина отрезка, точка О – произвольная точка плоскости. , . Доказать, что вектор .

Решение:

1 способ: применим правило треугольника и выразим вектор как сумму двух векторов:

С другой стороны:

Получили систему двух уравнений:

Рис. 2

Сложим уравнения системы:

, так как С – середина АВ, значит, модули данных векторов равны, но они противонаправлены, значит, их сумма – это нулевой вектор.

Получаем:

Поделим обе части на два:

Что и требовалось доказать.

2 способ:

Раскроем скобки и приведем подобные:

Пример 3: Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Мы знаем, что средняя линия трапеции соединяет середины ее боковых сторон, кроме того, мы знаем, что основания трапеции параллельны.

Воспользуемся правилом многоугольника и выразим вектор как сумму векторов:

Рис. 3

С другой стороны,

Получаем систему уравнений:

Выполним сложение уравнений системы, получаем:

Векторы противоположны и дают в сумме нулевой вектор, так как М – середина АВ, то есть модули данных векторов равны, кроме того, очевидно, что они противонаправлены. Аналогично векторы дают в сумме нулевой вектор. Таким образом, получаем:

Поделим обе части на два:

Таким образом, мы доказали, что средняя линия равна полусумме оснований. Кроме того, равенство вектора сумме говорит о том, что прямая MN параллельна основаниям трапеции.

Итак, в данном уроке мы изучили операцию умножения вектора на число и сформулировали законы умножения. Кроме того, мы научились применять факты о векторах к решению различных задач.

Список литературы

Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Terver.ru (Источник).
Cleverstudents.ru (Источник).
Khd2.narod.ru (Источник).

Домашнее задание

Задание 1: для произвольного четырехугольника MNPQ докажите, что: ; .
Задание 2: сторона равностороннего треугольника равна а. Найдите: ; ;;;.
Задание 3: точки M и N – середины сторон АВ и ВС треугольника . Выразите векторы , , , через векторы , .

interneturok.ru

Умножение векторов на число — методическая рекомендация. Геометрия, 9 класс.

1.	Умножение вектора на число	2 вид — интерпретация	среднее	1 Б.	Умножение вектора на число.
2.	Понятие об умножении вектора на число и коллинеарности векторов	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Укрепление знаний об умножении вектора на число и коллинеарности векторов.
3.	Сонаправленные и противоположно направленные векторы	2 вид — интерпретация	среднее	6 Б.	Понимает, как умножать вектор на число, чтобы получились сонаправленные или противоположно направленные векторы.
4.	Соотношение отрезков	3 вид — анализ	среднее	3 Б.	Использует соотношение отрезков для определения коэффициента при умножении векторов.
5.	Умножение и разложение векторов	3 вид — анализ	среднее	4 Б.	Разлагает вектор на данные векторы, использует знания о умножении вектора на число.
6.	Умножение и вычитание векторов	3 вид — анализ	сложное	3 Б.	Проверка знаний о вычитании и умножении векторов, выражение вектора через данные векторы.

www.yaklass.ru

Умножение вектора на число.

Геометрическая интерпретация.

Произведение ненулевого вектора на число — это вектор, коллинеарный данному (сонаправленный данному, если число положительное, имеющий противоположное направление, если число отрицательное), а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.

Алгебраическая интерпретация. Произведение ненулевого вектора на число — это вектор, координаты которого равны соответствующим координатам данного вектора, умноженным на число.

Формулы умножения вектора на число

Формула умножения вектора на число для плоских задач

В случае плоской задачи произведение вектора a = {a_x ; a_y} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · a_x; k · a_y}

Формула умножения вектора на число для пространственных задач

В случае пространственной задачи произведение вектора a = {a_x ; a_y ; a_z} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · a_x ; k · a_y ; k · a_z}

Формула умножения n -мерного вектора

В случае n-мерного пространства произведение вектора a = {a₁ ; a₂; … ; a_n} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · a₁; k · a₂; … ; k · a_n}

Свойства вектора умноженного на число

Если вектор b равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора a, то есть b = k · a, тогда:

b || a — вектора b и a параллельны
a↑↑b, если k > 0 — вектора b и a сонаправленные, если число k > 0
a↑↓b, если k < 0 — вектора b и a противоположно направленные, если число k < 0
|b| = |k| · |a| — модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль числа k

Примеры задач на умножение вектора и числа

Пример умножения вектора на число для плоских задачи

Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2} на 3.

Решение: 3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}.

Пример умножения вектора на число для пространственных задачи

Пример 2. Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} на -2.

Решение: (-2) · a = {(-2) · 1; (-2) · 2; (-2) · (-5)} = {-2; -4; 10}.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0oq.ru

Умножение вектора на число » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.9. Умножение вектора на число.

Определение. Произведением вектора на действительное число называется вектор , удовлетворяющий следующим двум условиям:

1) ;

2) , если и , если ;

и обозначается .

Теорема. (Свойства умножения вектора на число.)

1. Свойство ассоциативности: верно

равенство .

2. Свойство дистрибутивности умножения относительно

сложения чисел: верно равенство

3. Свойство дистрибутивности умножения относительно

сложения векторов: верно равенство

4. верно равенство .

Доказательство. Свойство 4 вытекает из определения умножения вектора на число. Докажем свойство 1.

Умножение вектора на число можно интерпретировать как гомотетию какой-нибудь плоскости Р, в которой лежит данный вектор, с центром гомотетии в начале вектора и коэффициентом .

Такая гомотетия плоскости Р оставляет точку А на месте, , а конец вектора – точку В переводит (отображает) в точку С, , причем

и точка С лежит на луче АВ, если и на

противоположном луче, если . См. рис. 10 и 11.

А В С

рис. 10.

С А В

рис.11.

Теперь свойство 1 следует из того что композиция гомотетий (т.е. последовательное их выполнение) есть гомотетия, причем и верно равенство: .

Пусть .

D А В С

рис. 12.

Тогда , и , т.е. .

Таким образом, и ,

следовательно, , ч.т.д.

Доказательство свойства 2 оставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения. Заметим, что если оба числа и имеют одинаковый знак, то свойство 2 очевидно. Осталось рассмотреть случай разных знаков чисел и .

И, наконец, свойство 3 очевидно из следующего

рисунка, построенного для случая :

рис. 13.

Заметим, что такая картинка возникает, если мы применим к плоскости, в которой лежат оба вектора, отложенные от одной точки О, преобразование гомотетии с центром гомотетии в точке О и коэффициентом .

Теорема доказана.

Теорема. Множество всех векторов как направленных отрезков в пространстве точек S является векторным пространством над полем действительных чисел.

Доказательство следует из свойств сложения векторов и их умножения на действительные числа.

Определение. Векторное пространство над полем действительных чисел называется вещественным векторным пространством.

Пусть L произвольная прямая в пространстве S. Тогда ясно, что , т.е. множество векторов коллинеарных прямой L является подмножеством всех векторов .

Далее, сумма любых двух векторов коллинеарных прямой L также является вектором коллинеарным прямой L:

. В этом случае говорят, что множество векторов замкнуто относительно сложения векторов. Аналогично, , т.е. множество замкнуто относительно операции умножения вектора на действительное число. Отсюда сразу же следует, что для векторов из множества справедливы все свойства сложения и умножения на действительные числа, т.е. справедливы все аксиомы вещественного векторного пространства.

Таким образом, множество также является вещественным векторным пространством.

Говорят, что векторное пространство является векторным подпространством векторного пространства .

Аналогично и для множества всех векторов лежащих на некоторой плоскости Р или на параллельной ей плоскости. Множества также является векторным пространством и векторным подпространством векторного пространства .

Если прямая L лежит в плоскости Р или параллельна ей, то и – подпространство векторного пространства и одновременно векторного пространства .

Векторное пространство мы будем называть пространством векторов на прямой L, а –пространством векторов на плоскости Р.

п.10. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.

Определение. Пусть и два произвольных вектора. Если верно равенство , где , то говорят, что вектор линейно выражается через вектор .

Теорема. (О коллинеарности двух векторов.)

Для того, чтобы два вектора были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы либо один из них был нулевым, либо один из них линейно выражался через другой.

Другими словами, .

Доказательство. Если , то по определению. Пусть и . Тогда из определения умножения вектора на число следует, что либо , либо , в зависимости от знака числа , т.е. , ч.т.д.

Пусть теперь и и . (Если или , то доказывать нечего.) Рассмотрим два возможных случая.

а) Пусть . Т.к. , то .

Обозначим буквой отношение длин этих векторов: . Отсюда следует равенство и, применяя определение умножения вектора на число, получаем, что .

б) Пусть . Положим по определению . Отсюда следует равенство и, применяя определение умножения вектора на число, получаем, что .

Теорема доказана.

Возможно найдутся ответы здесь:

fxdx.ru

Свойства операции умножения вектора на число — КиберПедия

1. 1× = , -1× = — .

2. a×(b× ) = (a×b)× .

3. a×( + ) = a× + a× .

4. (a + b)× = a× + b× .

Для доказательства свойств воспользуемся простым фактом: два вектора равны, если равны их длины и они сонаправлены.

Доказательство свойства1. 1). Если = , то по определению операции умножения вектора на число получим, что правый вектор и левый вектор нулевые. Следовательно, равенство верно.

2). Покажем, что 1× = . Рассмотрим вектор 1× . Его длина, согласно определению 1, равна |1× | = |1| ×| | = | |. С другой стороны, длина вектора так же равна | |. Следовательно, длины рассматриваемых векторов равны. Так как мы умножаем вектор на положительное число 1, то 1× . Рассматриваемые вектора 1× и имеют одинаковую длину и одно направление. Следовательно, они равны. Вторая часть свойства 1 также верна, так как длины рассматриваемых векторов равны |-1× | = |-1| ×| | = | | и |- |= | |, и их направления одинаковы: -1× ¯ , — ¯ — то есть, они противоположно направлены одному и тому же вектору.

Свойство 1 доказано.

Доказательство свойства 2. Покажем, что a×(b× ) = (a×b)× . (1)

Для этого рассмотрим несколько случаев. 1). Пусть одно из чисел a или b равно нулю. Тогда по определению операции умножения вектора на число получаем, что и левый вектор и правый вектор равны нулевому вектору, то есть равенство (1) верно. Аналогично, если = , то равенство (1) также верно.

2). Пусть числа a и b — одного знака. Например, они отрицательные. Тогда b× ¯ , a×(b× ) ¯ b× . Следовательно, a×(b× ) .

С другой стороны, (a×b)× , так как a×b > 0.

Таким образом, a×(b× ) (a×b)× .

Для длин рассматриваемых векторов, независимо от знаков рассматриваемых чисел a и b, в силу определения операции умножения вектора на число, имеем:

|a×(b× )| = |a|×|(b× )| = |a|×|b|×| |,

|(a×b)× | = |a×b|×| | = |a|×|b|×| |.

Таким образом, рассматриваемые векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следовательно, равенство (1) верно.

Аналогично рассмотреть случай, когда числа a и b — положительные.

3). Пусть числа a и b — разного знака. Например, a > 0 , b < 0. Тогда

b× ¯ , a×(b× ) b× . Следовательно, a×(b× )¯ .

С другой стороны, (a×b)× ¯ , так как a×b < 0.

Таким образом, a×(b× ) (a×b)× .

Аналогично рассмотреть случай, когда числа a < 0 и b > 0.

Таким образом, рассматриваемые векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следовательно, равенство (1) верно и в этом случае. Свойство 2 доказано.

Доказательство свойства 3: a×( + ) = a× + a× . Если a = 0 или хотя бы один из векторов нулевой, то свойство (3), очевидно, выполняется. Поэтому рассматриваем ненулевые варианты. Выберем произвольно точку О и от нее откладываем вектор = , а от точки А откладываем вектор = . При этом получили + = . Итак, = + . Рассмотрим гомотетию с центром О и коэффициентом a. Пока считаем, что a > 0.

Пусть при рассматриваемой гомотетии:

Тогда треугольники ОАВ и ОА`В` имеют попарно параллельные стороны.

При этом = a , = a , = a = a ( + ) и + = . Отсюда получаем равенство

a×( + ) = a× + a× .

Если a < 0, то сначала рассмотрим равенство

|a|×( + ) = |a|× +| a|× ,

а затем умножив обе части этого равенства на ( — 1), получим:

-|a|×( + ) = -|a|× -| a|×

или

a×( + ) = a× + a× .

Свойство 3 доказано.

Доказательство свойства 4: (a + b)× = a× + b× .

Доказательство распадается на несколько отдельных случаев. 1) a > 0 и b > 0. В этом случае a× b× и равенство (a + b)× = a× + b× — верно.

2) Если a < 0 и b < 0, то, в силу первого случая, будет верным следующее равенство

(|a| + |b|)× =|a|× + |b|× .

Умножая это равенство на (-1) получим равенство

(-|a|- |b|)× = — |a|× — |b|× ,

а, следовательно, и равенство

(a + b)× =a× + b× .

3) Здесь мы должны рассмотреть случай, когда a и b разных знаков. При этом можно считать, что a > 0, а b < 0. Но мы должны учесть два различных случая: a > |b| и a < |b| .

Рассмотрим, например, случай a > |b|. Тогда a + b > 0. Очевидно числовое равенство a + b + |b| = a. Согласно первому случаю, выполняется равенство

((a + b)+|b|) × = (a + b)× + |b|×

или

a × = (a + b)× + |b|× .

Отсюда получим

(a + b)× = a× − |b|× ,

а, следовательно, и равенство

(a + b)× = a× + b× .

Аналогично рассматривается случай a < |b|.

Свойство 4 доказано.

Пример 1. Дан треугольник АВС и произвольная точка О пространства. М – точка пересечения медиан треугольника АВС (ее называют центром тяжести треугольника). Доказать, что .

Доказательство. Рассмотрим медиану АК треугольника АВС.

Тогда, в силу свойств медианы имеем: . С другой стороны,

, , .

Следовательно, .

Находим: ( .

Пример 2.В трапеции АВСD с основаниями ВС и AD точки M и N являются серединами оснований, точка О – точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны. Доказать, что точки О, М, N лежат на одной прямой.

Решение. Рассмотрим векторы и . Для того , чтобы доказать, что точки О, М, N лежат на одной прямой достаточно доказать, что || .

Так как точки M и N – середины оснований, то справедливы следующие равенства: (1),

(2).

Из подобия треугольников и с коэффициентом подобия k следует, что

(3) и (4).

Из равенств (2), (3) и (4) получаем следующее равенство:

. Следовательно, , откуда , а это означает, что точки O, M, N лежат на одной прямой.

cyberpedia.su