Умножения степеней формулы: Свойства степеней, действия со степенями

alexxlab / / Разное

Содержание

Презентация по алгебре на тему Формулы сокращенного умножения для старших степеней (10 класс) доклад, проект

  • Главная
  • Разное
  • Образование
  • Спорт
  • Естествознание
  • Природоведение
  • Религиоведение
  • Французский язык
  • Черчение
  • Английский язык
  • Астрономия
  • Алгебра
  • Биология
  • География
  • Геометрия
  • Детские презентации
  • Информатика
  • История
  • Литература
  • Математика
  • Музыка
  • МХК
  • Немецкий язык
  • ОБЖ
  • Обществознание
  • Окружающий мир
  • Педагогика
  • Русский язык
  • Технология
  • Физика
  • Философия
  • Химия
  • Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
  • Экология
  • Экономика

Презентация на тему Презентация по алгебре на тему Формулы сокращенного умножения для старших степеней (10 класс), предмет презентации: Алгебра.  Этот материал в формате pptx (PowerPoint) содержит 14 слайдов, для просмотра воспользуйтесь проигрывателем. Презентацию на заданную тему можно скачать внизу страницы, поделившись ссылкой в социальных сетях! Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них, все права принадлежат авторам презентаций и могут быть удалены по их требованию.

Слайд 1
Текст слайда:

Формулы сокращенного умножения для старших степеней

Бином Ньютона

Учитель математики
ГБОУ Школа № 1592
Крайнюк А.Л.

Слайд 2
Текст слайда:

Формулы сокращенного умножения:

(а + в)2 = а2+ 2ав + в2 (а – в)2 = а2 – 2ав + в2 (а + в)3= а3 + 3а2в + 3ав2 + в3  (а – в)3= а3 – 3а2в + 3ав2 – в3

Слайд 3
Текст слайда:

и для 5-ой степени:
(а + в)5=

Попробуйте записать формулу для 4-ой степени:
(а + в)4=

Слайд 4
Текст слайда:

Внимание!

n = 0 (а +в)0 = 1
n = 1 (а +в )1 = 1·а+1·в
n = 2 (а + в)2 = 1· а2+ 2·ав +1· в2
n = 3 ( а + в)3 = 1· а3 + 3·а2в + 3·ав2+1· в3
n = 4 ( а + в)4 = 1·а4 + 4·а3в + 6·а2в2+4·а в3 +1·в4
n = 5 (а + в)5 = 1·а5+ 5·а4в+ 10·а3в2+ 10·а2в3+ 5·ав4+ 1·в5

Слайд 5
Текст слайда:

1. число членов получаемого многочлена на единицу больше показателя степени бинома;
2. показатель степени первого слагаемого убывает от n до 0, показатель степени второго слагаемого возрастает от 0 до n;

3. степени всех одночленов равны степени двучлена в условии;
4. каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа; числа– биноминальные коэффициенты;
5. биноминальные коэффициенты, равноотстоящие от начала и конца разложения, равны.

Слайд 6
Текст слайда:

Попробуем, используя полученные выводы, записать бином для шестой степени.

«Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике. »
Мартин Гарднер

Слайд 7
Слайд 8
Слайд 9
Текст слайда:

Биноминальные коэффициенты можно вычислять по формуле.

Бином Ньютона

Слайд 10
Текст слайда:

Факториал натурального числа — произведение всех чисел от единицы до этого числа включительно, обозначается с помощью восклицательного знака: n!=1·2·3·4·…·n . Слово «факториал» латинское, переводится примерно как «производящий действие». Факториал очень быстро растёт с ростом числа. Так, 3!=6 , 7!=5040 , а 10!=3628800. Формулы, позволяющей быстро вычислить факториал без утомительного перемножения ряда чисел, не известно. Существует приближённая формула, найденная английским математиком XIX века Стирлингом: n!≈(n/e)n , где e≈2,7128K— основание натуральных логарифмов. Факториалы широко используются в комбинаторике и теории вероятностей.

Принято считать:
1! = 1
0! = 1

Слайд 11
Текст слайда:

Формула нахождения биноминальных коэффициентов

Слайд 12
Текст слайда:

=14 + 4·13·2а + 6·12·(2а)2 + 4· 11·(2а)3 + (2а)4 =
1 + 8а + 24а2 + 32а3 + 16а4

Слайд 13
Слайд 14

Скачать презентацию

Что такое shareslide.
ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Урок по теме «Формулы сокращенного умножения для высших степеней. Бином Ньютона». 10-й класс

Цели урока:

Образовательные:
– научить учащихся возводить двучлен в натуральную степень;
– находить биноминальные коэффициенты, используя треугольник Паскаля;

Развивающие:
– развивать логическое мышление, такие мыслительные операции, как синтез и анализ, обобщение и сравнение;
– развивать умение выдвигать гипотезы при решении учебной задачи и понимать необходимость их проверки;
– развивать интерес к предмету.

Воспитательные:
– создание условий для формирования информационной культуры учащихся.

Методы: проблемный, объяснительно – иллюстративный, частично-поисковый.

Оборудование: школьная доска, компьютер, проектор.

Раздаточный материал: “Треугольник Паскаля”, карточки для самостоятельной работы

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.

2. Актуализация опорных знаний и постановка проблемы.

На экране фрагмент фильма “Мастер и Маргарита”)

Комментарий к фрагменту.

О биноме Ньютона речь идет в романе “Последнее дело Холмса”Конан Дойля Позже это же выражение упомянуто в фильме “Сталкер” А.А.Тарковского. Бином Ньютона упоминается в фильме “Расписание на послезавтра”, в повести Льва Толстого “Юность” в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым и в романе Замятина “Мы”.

Когда хотят подчеркнуть, что собеседник преувеличивает сложность задач, с которыми он столкнулся, говорят: “Тоже мне бином Ньютона!” Дескать, вот бином Ньютона, это сложно, а у тебя какие проблемы! Что же это за формула такая и почему о ней слышали даже те люди, чьи интересы никак не связаны с математикой?

Так что же такое бином Ньютона?

3. Повторим формулы сокращенного умножения, которые мы с вами знаем.

У доски учащиеся записывают формулы квадрата суммы и разности, формулы куба суммы и куба разности двух выражений.

(а + в)2 = а2+ 2ав + в2
(а – в)2 = а2 – 2ав + в2
(а + в)3= а3 + 3а2в + 3ав2 + в3
(а – в)3= а

3 – 3а2в + 3ав2 – в3

Попробуйте записать формулу для 4-ой степени

(а+в)4=(а+в)3(а+в)=(а3+3а2в+3ав2+в3)(а+в)=

а4 + 3а3в + 3а2в2 + ав3 + а3в + 3а2в2 + 3ав3 + в4 =

а4 + 4а3в + 6а2в2 + 4ав3 + в4 .

и для 5-ой степени:

(а + в)5= (а + в)4(а + в) = (а4 + 4а3в + 6а2в2 + 4ав3 + в4)(а + в) =

а5 + 4а4в + 6а3в2 + 4а2в3 + в4а + а4в + 4а3в2 + 6а2в3 + 4ав4 + в5 =

а

5 + 5а4в + 10а3в2 + 10а2в3 + 5ав4 + в5

Внимательно рассмотрим полученные формулы: на экране таблица “Смотри!”

n = 0 (а +в)0 = 1

n = 1 (а +в )1 = 1·а+1·в

n = 2 (а + в)2 = 1· а2+ 2·ав +1· в2

n = 3 ( а + в)3 = 1· а3 + 3·а2в + 3·ав2+1· в3

n = 4 ( а + в)4 = 1·а4 + 4·а3в + 6·а2в2+4·а в3 +1·в4

n = 5 (а + в)5 = 1·а5+ 5·а4в+ 10·а3в2+ 10·а2в3+ 5·ав4+ 1·в5

Заметим следующее (обсуждаем вместе с учащимися увиденные закономерности):

1.

число членов получаемого многочлена на единицу больше показателя степени бинома;

2. показатель степени первого слагаемого убывает от n до 0, показатель степени второго слагаемого возрастает от 0 до n;

3. степени всех одночленов равны степени двучлена в условии;

4. каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа; числа– биноминальные коэффициенты;

5. биноминальные коэффициенты, равноотстоящие от начала и конца разложения, равны.

Слово “бином” означает всего-навсего двучлен, т.е. сумму двух слагаемых.

Происходит оно от латинских корней: два и слово.

Попробуем, используя полученные выводы, записать бином для шестой степени.

У доски ученик записывает формулу.

Коэффициенты разложения степени бинома легко найти по следующей схеме, которая называется “треугольник Паскаля”, по имени французского математика Блез Паскаля (1623–1662) (

презентация, сделанная учащимися)

 

Каждый крайний элемент равен 1, а каждый не крайний элемент равен сумме двух своих верхних соседей .

Комментарий к презентации:

Блез Паскаль умер в 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, он вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем благодарными потомками названы единица давления(паскаль) и получивший чрезвычайно широкое распространение язык программирования. Но, наверное, самой известной математической работой Блеза Паскаля является “Трактат об арифметическом треугольнике”, образованном биноминальными коэффициентами, который имеет применение в теории вероятностей, комбинаторики, математическом анализе, теории чисел и обладает удивительными и занимательными свойствами. Кстати, одну из первых теорем в проективной геометрии Паскаль доказал в возрасте 16 лет.

Именно И.Ньютон в 1664–1665 гг. вывел формулу, выражающую степень двучлена для произвольных дробных и отрицательных показателей.

Найти разложение бинома (у каждого на парте треугольник Паскаля).

1. У доски вместе с учителем

№ 1. ( х +у)5 = х5 + 5х4у + 10х3у2 + 10х2у 3+ 5ху4 + у5

№ 2 (1 + 2а)4 = 14 + 4·13·2а + 6·12·(2а)2 + 4· 11·(2а)3 + (2а)4 =

1 + 8а + 24а2 + 32а3 + 16а4

№3 (х – у)6 = (х + (-у))6 = х6 + 6х5(-у) + 15х4(-у)2 + 20х3(-у)3 +

15х2(-у)4 + 6х(-у)5 + у6= х6– 6х5у +15х4у2– 20х3у3 + 15х2у4 – 6ху5+ у6.

2. Биноминальные коэффициенты можно вычислять по формуле.

Записывается формула бинома Ньютона. Формула для нахождения коэффициентов.

В более общем виде формула коэффициентов в биноме записывается так:

где k – порядковый номер слагаемого в многочлене.

Напомним, что факториал – произведение натуральных чисел от 1 до n, то есть 1·2·З…·n – обозначается n! Например: 4! = 1·2·3·4 = 24.

3. Работа с учебником (с. 116–118,задача №1, задача № 2).

4. Самостоятельная работа по карточкам:

1. ( 1 + 3а)4
2. (2а – в)5
3. (3в + 1)4
4. (х – 2у)5

Домашнее задание:

стр.116–118, № 62, 63, 67,
для желающих стр.118– 119( свойства биноминальных коэффициентов + № 64.

Итог урока. Оценки за урок.

Формулы сокращённого умножения 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Квадрат суммы

 

Как мы уже знаем, числа – это знаки, с помощью которых записываются количества. Причем для записи одного и того же количества можно использовать разные обозначения, например .

 

В зависимости от задачи удобным может быть то или иное представление.

Точно так же удобной может быть запись выражения  (используя определение степени), или в виде: .

Чтобы получить такой вид, раскроем скобки, используя распределительный закон
:

Получили две эквивалентные записи одного и того же:

Тождество  называется формулой сокращенного умножения (ФСУ), а именно квадратом суммы.

 

Тождество, равенство, уравнение

Равенство – это запись, в которой между двумя выражениями стоит знак «=».

Например, 

При этом равенство может быть как верным, так и неверным.

Тождество – равенство, которое верно при всех допустимых значениях переменных.

Например, 

Уравнение – равенство, которое содержит буквы (переменные):

Например, 

При этом нас интересуют те значения переменных, при которых равенство выполняется, т. е. является верным.

 

 

Основные формулы сокращенного умножения

 

 

Такое название неслучайно: если использовать эту формулу для вычислений, то необходимо будет выполнить меньше действий. Чтобы найти значение выражения , нужно выполнить 6 операций, а для выражения  – всего 2.

 

Таких формул можно получить очень много (любое число тоже можно записать большим количеством способов:  и т. д.). Но нужны далеко не все.

Выпишем самые основные (те, которые встречаются и используются чаще всего):

В школе часто предлагают запомнить все эти формулы, хотя их легко можно получить: достаточно просто раскрыть скобки, используя распределительный закон. Поэтому помнить их в таком виде нам не нужно, мы всегда сможем их вывести. Полезнее помнить эти формулы справа налево.

Вообще, эти формулы при решении различных заданий будут встречаться так часто, что рано или поздно вы их запомните. Если не помните формулу точно, то всегда можете себя проверить и вывести ее, помня приблизительно внешний вид.

 

Вывод ФСУ

Раскроем скобки, используя распределительный закон :

 

Коэффициенты из треугольника Паскаля

Коэффициенты при возведении выражения  в натуральную степень можно записать в виде, который называется треугольником Паскаля (ученого, который первым об этом догадался):

Рис. 1. Треугольник Паскаля

В верхней строчке треугольника стоит единица. В остальных строках каждое число является суммой двух своих соседей этажом выше – слева и справа. Если какой-то из соседей отсутствует, он считается равным нулю:

Рис. 2. Схема образования треугольника Паскаля

Почему это так? Рассмотрим на примере выражения .

Зная разложение , получим коэффициенты для разложения :

Также мы знаем, что  и эти выражения можно получить единственным способом, поэтому у них будут коэффициенты .

 можно получить двумя способами: , поэтому коэффициент будет равен . Аналогично с .

 также можно получить двумя способами: , поэтому коэффициент будет .

Мы рассмотрели идею доказательства, строго этот факт мы докажем в старших классах.

 

Связь коэфициентов с комбинаторикой

Рассмотрим выражение  – по определению степени оно равно:

Чтобы раскрыть скобки, необходимо перемножить слагаемые в каждой из скобок – все со всеми. Поскольку скобок 6, то в каждом слагаемом, которое получится после раскрытия скобок, будет 6 множителей. Выпишем все полученные выражения.

При перемножении из каждой скобки мы можем взять либо , либо . Если из всех скобок мы возьмем слагаемое , то получим , а если , то . Поскольку оба этих выбора можно сделать единственным способом, то и слагаемых такого вида будет по одному.

А вот для того чтобы получить выражение  надо взять из пяти скобок слагаемое , а из одной – слагаемое . Это можно сделать шестью способами (т. к. слагаемое  можно брать из любой из 6 скобок, а из остальных 5 – слагаемое ). Поэтому в разложении получится сумма 6 слагаемых : .

Для выражения  существует 15 способов выбрать две скобки со слагаемым  из 6 скобок (первую скобку можно выбрать 6 способами, вторую – 5 способами, всего получаем  способов, но каждую пару выбранных скобок мы считали 2 раза, поэтому получаем  способов).

Получается, что коэффициент при слагаемом , которое получается при раскрытии скобок в выражении , равен количеству способов выбрать  предметов (скобок) из  возможных:

Такое количество обозначается .

Тогда получается, что .

Несложно убедиться, что количество способов выбрать 0 предметов из , как и количество способов выбрать  предметов из  (т. е. все предметы), равно .

Таким образом, числа в треугольнике Паскаля являются не только коэффициентами при разложении выражения , но и значениями выражений . Подробнее о них и их свойствах мы поговорим в старших классах.

 

 

Использование ФСУ для облегчения вычислений

 

 

Пример 1.

 

Вычислить:

 

Решение:

Умножать четырехзначные числа в столбик – задача не из легких. А вот использование ФСУ решение значительно упростит:

Используем следующую формулу сокращенного умножения :

Можете попробовать выполнить умножение в столбик, чтобы убедиться, что результат получился правильный, а заодно и в том, что использование ФСУ в данном случае существенно упрощает решение задачи.

Ответ: .

 

Пример 2.

Вычислить:

Решение:

Вместо того чтобы возводить в квадрат каждое число, воспользуемся формулой

:

Без использования формулы наши вычисления были бы такими:

Ответ: .

 

Практика

Пример 1.

Вычислить:

Решение:

Представим  так:

Воспользуемся формулой:

Тогда:

Без использования формулы наши вычисления были бы такими:

Ответ: .

 

Пример 2.

Представить в виде многочлена выражения:

 

 

Использование ФСУ для упрощения выражений

 

 

Использование ФСУ позволяет не только облегчить вычисления, но и упростить различные выражения.

 

Если посмотреть на правые части всех ФСУ, то можно увидеть, что в них во всех встречаются либо квадраты (), либо кубы переменных ().

Они могут встречаться в простом виде, например как  или , или в более сложном виде, например . Т. к. , то .

Еще один пример : , тогда .

Рассмотрим примеры использования ФСУ в таких случаях.

 

Пример 3.

Разложить на множители:

Решение:

Видим квадраты:

Тогда:

Введем обозначение :

Получили левую часть формулы .

Используем ее:

Ответ: .

Основная идея решения заданий с помощью ФСУ: сначала находим квадраты и кубы, определяем , а затем раскладываем оставшиеся слагаемые на множители, чтобы проверить, действительно ли можно использовать ФСУ.

 

Пример 4.

Разложить на множители:

Решение:

Сначала найдем квадраты выражений. Один из квадратов видно сразу: , а  – это второй квадрат.

Поэтому можно переписать изначальное выражение так:

Значит, предположительно, . Похоже на формулу квадрата суммы:

Осталось проверить:

В результате получаем:

Ответ: .

 

Пример 5.

Разложить на множители:

Решение:

1. Мы видим, что в выражении есть кубы:  – это первый куб, а  – это второй куб.

Значит, можно предположить, что: .

Напрашивается применение формулы:

Осталось проверить, являются ли оставшиеся слагаемые для предполагаемых  и  выражениями :

В результате получаем:

Ответ: .

2. Выражение содержит кубы, в нем всего два слагаемых, между которыми стоит знак минус.

Напрашивается применение формулы:

 – это первый куб.

 – это второй куб.

Значит, .

Получаем:

Ответ: .

 

Выделение полного квадрата

ФСУ применимы не ко всем выражениям.

Например,

Мы уже знаем, что

Видно, что части выражений, содержащие переменную, одинаковы: .

Перепишем:

Выделение полного квадрата – это такое тождественное преобразование, при котором выражение представляется в виде квадрата суммы или разности и некоторого числового или буквенного выражения.

Рассмотрим алгоритм выделения полного квадрата на примере.

 

Пример 1.

Выделить полный квадрат:

Решение:

Для выделения полного квадрата мы используем ФСУ:

Будем выделять полный квадрат на основе слагаемых, содержащих переменную:

Воспользуемся формулой , которая в нашем случае принимает вид:

Обозначим: .

Теперь вычтем из одного равенства другое:

Откуда:

Можно получить этот же результат и по-другому.

Определим , добавим и вычтем его квадрат (вычитать необходимо для того, чтобы выражение не изменилось):

Чтобы получилось , неизвестное должно быть равно: .

Ответ: .

 

Пример 2.

Выделить полный квадрат:

Решение:

Для выделения полного квадрата мы используем ФСУ:

Ответ: .

 

Заключение

На этом уроке мы вывели и научились использовать ФСУ:

Их применение позволяет нам сократить количество выполняемых операций и упростить некоторые вычисления. Также они понадобятся нам для разложения многочленов на множители.

 

Список литературы

  1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. – ФГОС, издательство «Просвещение», 2017.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник. – Издательство «Просвещение», 2014.
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. – Издательство «Просвещение», 2013.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал yaklass. ru (Источник)
  2. Интернет-портал calcs.su (Источник)
  3. Интернет-портал youclever.org (Источник)

 

Домашнее задание

1. Представить в виде многочлена:

2. Разложить на множители:

3. Выделить полный квадрат:

 

Законы экспоненты и логарифмические свойства

Перейти к основному содержанию

Домашняя страница Технологического института Онтарио

nool

Существует несколько правил, полезных при работе с экспоненциальными функциями.

Закон показателей:



Первый закон гласит, что для умножения двух экспоненциальных функций с одним и тем же основанием мы просто складываем показатели степени. Второй закон гласит, что для деления двух экспоненциальных функций с одним и тем же основанием необходимо вычесть показатели степени. Третий закон гласит, что для возведения степени в новую степень мы умножаем показатели степени. Четвертый и пятый законы гласят, что для того, чтобы возвести произведение или частное в степень, мы возводим в эту степень каждый множитель.

Пример:  Упростите выражение:

Пример:  Упростите выражение:

Примечание. Дальнейшее упрощение невозможно, так как члены в числителе и знаменателе имеют разные основания.

Log Laws

Есть три свойства, которые полезны при работе с логарифмическими функциями.

Свойства логарифмов

Если x, y > 0 и r — любое действительное число, то

log a (xy) = log a x + log a y

log a (x/y) = log a x — log a y

log a R ) = RLOG A x

Пример: Упростить журнал выражения 2 5 + log 2 3

Решение:

2 5 + 2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

= журнал 2 (5 x 3)

= журнал 2 (15)

Пример: Упростите выражение.

Как рассчитать мощность (и n-ю степень) матрицы

В этом посте мы объясним, как рассчитать мощность матрицы. Здесь вы найдете примеры и упражнения, решенные шаг за шагом по степеням матрицы, которые помогут вам понять ее в совершенстве. Вы также узнаете, что такое n-я степень матрицы и как ее найти.

Содержание

Как найти мощность матрицы?

Чтобы найти степень матрицы, умножьте матрицу на саму себя столько раз, сколько указывает показатель степени.

Следовательно, чтобы вычислить степень матрицы, вы должны сначала знать, как перемножать матрицы. В противном случае вы не сможете вычислить мощность матрицы. Тогда, прежде чем читать дальше, мы рекомендуем вам сначала увидеть алгоритм умножения матриц.

Пример мощности матрицы

Пусть A — квадратная матрица 2×2, 4-я степень матрицы A вычисляется следующим образом:

Существует важное свойство мощности матрицы, которое вы должны знать: вы можете только вычислить мощность матрицы, если это квадратная матрица.

Мощность матрицы также можно вычислить с использованием собственных значений, то есть путем диагонализации матрицы. Однако вы должны знать, как выполнить диагонализацию матрицы. По этой ссылке вы узнаете, как провести диагонализацию матрицы, а также как вычислить мощность матрицы путем диагонализации.

Что такое энная степень матрицы?

n-я степень матрицы — это выражение, которое позволяет нам легко вычислить любую степень матрицы.

Много раз степени матриц следуют шаблону. Следовательно, если мы найдем последовательность, которой следуют степени матрицы, мы сможем вычислить любую степень без необходимости выполнять все умножения.

Это означает, что мы можем найти формулу , которая дает нам n-ю степень матрицы без вычисления всех степеней.

Формулу некоторых степеней матрицы можно найти следующим образом:

  • Четность показателя степени . Может случиться так, что четные степени — это одно, а нечетные — другое.
  • Изменение знаков. Например, может быть так, что элементы четных степеней положительны, а элементы нечетных степеней отрицательны, или наоборот.
  • Повторение: независимо от того, повторяется ли одна и та же матрица через определенное количество степеней или нет.
  • Существует математическая связь между показателем степени и элементами матрицы.

Пример матрицы n-й степени матрицы A, чтобы попытаться угадать закономерность, по которой следуют степени. Итак, мы вычисляем пять первых степеней матрицы:

При вычислении до A 5 мы видим, что степени матрицы A следуют закономерности: с каждым увеличением мощности результат умножается на 2. Следовательно, все элементы матриц являются степенями 2:

Таким образом, по индукции мы можем вывести, что формула для n-й степени матрицы А выглядит следующим образом:

Задача 1

Дана следующая матрица размера 2×2:

Возведите матрицу в четвертую степень.

См. решение

Чтобы вычислить степень матрицы, мы должны умножить матрицу одну на одну. Поэтому сначала вычисляем квадрат матрицы А:

Теперь вычисляем куб матрицы А:

И окончательно определяем А 4 :

 

Задача 2

Дана следующая матрица порядка 2:

Вычислить:

См. решение

следовать образцу. Итак, мы собираемся вычислить до A 5 , чтобы попытаться вычислить последовательность:

Теперь мы можем видеть закономерность, по которой следуют степени: в каждой степени все числа остаются одинаковыми. , за исключением элемента во втором столбце второй строки, который умножается на 3. Следовательно, все числа всегда остаются одинаковыми и последний элемент равен степени 3:

Таким образом, формула для n-й степени матрицы A:

4

4 Формула Мы можем рассчитать 35 :

Задача 3

Учитывая следующую матрицу размеров 3 × 3:

Рассчитайте:

. Следите0003

A 100 — сила слишком велика, чтобы ее можно было вычислить вручную, а это значит, что силы должны следовать шаблону. Итак, мы собираемся вычислить до A 5 , чтобы попытаться вычислить последовательность:

. одна единица в числителе:

Таким образом, формула, определяющая n-ю степень матрицы A:

, и из этой формулы мы можем найти 100 :

Задача 4

Учитывая следующую матрицу размера 2 × 2:

Найти:

.

A 201 — слишком большая степень, чтобы ее можно было вычислить вручную, поэтому степени матрицы должны следовать шаблону. В этом случае мы должны вычислить до A 8 , чтобы узнать их последовательность:

С этими вычислениями мы видим, что каждые 4 степени мы получаем единичную матрицу. То есть степени A 4 , A 8 , A 12 , A 16 , … приведут к единичной матрице. Итак, чтобы вычислить A 201 , мы должны разложить 201 на кратные 4:

Таким образом, A 201 будет 50 раз A 4 и один раз A 1 :

Поскольку мы знаем, что A 4 является единичной матрицей:

Кроме того, единичная матрица, возведенная в произвольное число, дает единичную матрицу. Итак:

И, наконец, любая матрица, умноженная на единичную матрицу, дает одну и ту же матрицу. Таким образом:

Итак, A 201 равно A:

 

Задача 5

Дана следующая квадратная матрица порядка 3:

Вычислить:

См. решение

Очевидно, A 62 — это слишком большой расчет, чтобы его можно было делать вручную, поэтому мощности матрицы должны следовать шаблону. В этом случае мы должны вычислить до A 6 , чтобы узнать последовательность, которой они следуют:

С этими вычислениями мы можем видеть, что каждые 3 степени мы получаем единичную матрицу . Другими словами, степени A 3 , A 6 , A 9 , A 12 , … приводят к единичной матрице. Таким образом, чтобы вычислить A 62 , мы должны разложить 62 на кратные 3:

. Таким образом, A 62 равно 20, умноженному на A 3 , и один раз A 2 :

9000 мы знаем, что

9000 3 — единичная матрица:

Кроме того, единичная матрица, возведенная в произвольное число, дает единичную матрицу. Итак:

Наконец, любая матрица, умноженная на единичную матрицу, дает одну и ту же матрицу. Итак:

Таким образом, A 62 будет равно A 2 :

 

сообщить об этом объявлении

10.

2: Свойства Power Series

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    2570
    • Гилберт Странг и Эдвин «Джед» Герман
    • OpenStax
    Цели обучения
    • Объединение степенных рядов путем сложения или вычитания.
    • Создайте новый ряд степеней путем умножения на степень переменной или константы или путем подстановки.
    • Умножьте два степенных ряда вместе.
    • Дифференцировать и интегрировать ряды мощности почленно.

    В предыдущем разделе о степенных рядах и функциях мы показали, как представлять определенные функции с помощью степенных рядов. В этом разделе мы обсудим, как ряды мощности можно комбинировать, дифференцировать или интегрировать для создания новых рядов мощности. n\) сходятся к функциям \(f\) и \(g\) соответственно на общем отрезке \(I\). 9н\).

    Подсказка

    Найдите значения \(x\) такие, что \(\dfrac{x}{2}\) находится в интервале \((−1,1).\)

    Ответить

    Интервал сходимости равен \((−2,2).\)

    В следующем примере мы покажем, как использовать Note и степенной ряд для функции f для построения степенного ряда для функций, связанных с \(f\). В частности, мы рассматриваем функции, связанные с функцией \(f(x)=\dfrac{1}{1−x}\), и используем тот факт, что 9n \nonumber \]

    , где интервал сходимости равен \((−1,1)\).

    Упражнение \(\PageIndex{}2\)

    Используйте ряд для \(f(x)=\dfrac{1}{1−x}\) на \(|x|<1\), чтобы построить ряд для \(\dfrac{1}{(1−x)(x−2)}.\) Определите интервал сходимости.

    Подсказка

    Используйте частичные дроби, чтобы переписать \(\dfrac{1}{(1−x)(x−2)}\) как разность двух дробей.

    Ответить 9н\).

    Ответить

    \(f(x)=\dfrac{3}{3−x}.\) Интервал сходимости равен \((−3,3)\).

    Вспомните вопросы, заданные во вступительной части главы, о том, как лучше всего получать выплаты от лотерейных выигрышей. Теперь мы вернемся к этим вопросам и покажем, как использовать ряды для сравнения стоимости платежей во времени с единовременным платежом сегодня. Мы подсчитаем, сколько будут стоить будущие платежи в пересчете на сегодняшние доллары, предполагая, что у нас есть возможность инвестировать выигрыши и получать проценты. Стоимость будущих платежей в сегодняшних долларах известна как 9.0743 текущая стоимость этих платежей.

    Пример \(\PageIndex{4}\): Текущая стоимость будущих выигрышей

    Предположим, вы выиграли в лотерею и получили следующие три варианта:

    • Получите 20 миллионов долларов сегодня;
    • Получать 1,5 миллиона долларов в год в течение следующих 20 лет; или
    • Получать 1 миллион долларов в год на неопределенный срок (передается вашим наследникам).

    Какое предложение лучше, если годовая процентная ставка составляет 5%? Мы ответим на это, проработав следующую последовательность вопросов.

    1. Сколько стоят 1,5 миллиона долларов, получаемых ежегодно в течение 20 лет, в пересчете на сегодняшние доллары при годовой процентной ставке 5%?
    2. Используйте ответ на часть а. найти общую формулу для приведенной стоимости платежей в размере \(С\) долларов, получаемых каждый год в течение следующих n лет, при условии среднегодовой процентной ставки \(r\).
    3. Найдите формулу для приведенной стоимости, если ежегодные выплаты в размере \(C\) долларов продолжаются неопределенно долго, при условии среднегодовой процентной ставки \(r\).
    4. Используйте ответ на часть c. определить текущую стоимость 1 миллиона долларов, выплачиваемых ежегодно на неопределенный срок.
    5. Используйте свои ответы на части a. и д. определить, какой из трех вариантов лучше.
    Рисунок \(\PageIndex{1}\): (кредит: модификация работы Роберта Хаффстаттера, Flickr)

    Решение

    a. Рассмотрим платеж в размере 1,5 миллиона долларов, сделанный в конце первого года. Если бы вы могли получить этот платеж сегодня, а не через год, вы могли бы инвестировать эти деньги и заработать 5% годовых. Следовательно, текущая стоимость этих денег \(P_1\) удовлетворяет \(P_1(1+0,05)=1,5\) 9n,\nonumber \]

    мы распознаем этот ряд как степенной ряд для

    \(f(r)=\dfrac{1}{1−\left(\dfrac{1}{1+r}\right) }=\dfrac{1}{\left(\dfrac{r}{1+r}\right)}=\dfrac{1+r}{r}\).

    Мы заключаем, что текущая стоимость этого аннуитета составляет

    \(P=\dfrac{C}{1+r}⋅\dfrac{1+r}{r}=\dfrac{C}{r}.\ )

    д. От результата к части c. мы заключаем, что текущая стоимость \(P\) \(C=1\) миллионов долларов , выплачиваемых каждый год на неопределенный срок, при условии годовой процентной ставки \(r=0,05\), определяется как

    \(P=\dfrac{1}{0,05}=20\) миллионов долларов.

    эл. Из части а. мы видим, что получение 1,5 миллиона долларов в течение 20 лет стоит 18,693 миллиона долларов в сегодняшних долларах. Из части д. мы видим, что получение 1 миллиона долларов в год на неопределенный срок стоит 20 миллионов долларов в сегодняшних долларах. Следовательно, либо получение единовременной выплаты в размере 20 миллионов долларов сегодня, либо получение 1 миллиона долларов в течение неопределенного времени имеют одинаковую текущую стоимость.

    92+\ldots\), сходящейся на некотором интервале \(I\), и пусть \(f\) — функция, определяемая этим рядом. Здесь мы обращаемся к двум вопросам о \(f\).

    • Является ли \(f\) дифференцируемой, и если да, то как определить производную \(f′\)?
    • Как вычислить неопределенный интеграл \(∫f(x)\,dx\)?

    Мы знаем, что для многочлена с конечным числом членов мы можем вычислить производную путем дифференцирования каждого члена в отдельности. Точно так же мы можем вычислить неопределенный интеграл, интегрируя каждый член отдельно. 2}\). Точно так же, используя степенной ряд для \(g(x)=\dfrac{1}{1+x}\), мы можем интегрировать почленно, чтобы найти степенной ряд для \(G(x)=\ln (1+x)\), первообразная 93}{3}+\ldots \nonumber \]

    for \(|x−a|

    Доказательство этого результата выходит за рамки текста и опускается. Обратите внимание, что, хотя Note гарантирует одинаковый радиус сходимости, когда степенной ряд дифференцируется или интегрируется почленно, он ничего не говорит о том, что происходит в конечных точках. Возможно, дифференцированный и интегрированный степенные ряды ведут себя в конечных точках иначе, чем исходный ряд. Мы видим это поведение в следующих примерах. 9n}{n} \text{ for } |x|<1.\nonumber \]

    Примечание \(\PageIndex{1}\) ничего не гарантирует относительно поведения этого степенного ряда в конечных точках. Однако, проверив концы, мы находим, что при \(x=1\) ряд является знакопеременным гармоническим рядом, который сходится. Кроме того, при \ (x = −1 \) ряд является гармоническим рядом, который расходится. Важно отметить, что, хотя этот ряд сходится в \(x=1\), Note не гарантирует, что ряд действительно сходится к \(\ln(2)\). На самом деле ряд сходится к \(\ln(2)\), но для демонстрации этого факта требуются более сложные методы. (Теорема Абеля, описанная в более сложных текстах, имеет дело с этим более техническим моментом.) Интервал сходимости равен \((−1,1]\).9n}{n(n−1)}\)

    До этого момента мы показали несколько методов нахождения представлений степенных рядов для функций. Однако откуда мы знаем, что эти степенные ряды уникальны? То есть, учитывая функцию \(f\) и степенной ряд для \(f\) в точке \(a\), возможно ли, что существует другой степенной ряд для \(f\) в точке a, который мы могли бы иметь нашли, если бы мы использовали другую технику? Ответ на этот вопрос — нет. Этот факт не должен казаться удивительным, если мы представим степенные ряды как многочлены с бесконечным числом членов. Интуитивно, если 9{(n)} (a)=n!c_n=n!d_n,\) и, следовательно, \(c_n=d_n\) для всех \(n≥0. \)

    □

    В этом разделе мы показали как найти представление степенного ряда для определенных функций, используя различные алгебраические операции, дифференцирование или интегрирование. Однако на данный момент мы все еще ограничены в отношении функций, для которых мы можем найти представления степенных рядов. Далее мы покажем, как найти представления степенных рядов для многих других функций, введя ряды Тейлора.

    Ключевые понятия 9m\) находится в интервале \(I\).

  • Для двух степенных рядов, сходящихся на интервале \((−R,R),\), произведение Коши двух степенных рядов сходится на интервале \((−R,R)\).
  • Дан степенной ряд, который сходится к функции \(f\) на интервале \((−R,R)\), этот ряд можно дифференцировать почленно, и результирующий ряд сходится к \(f′\ ) на \((−R,R)\). Ряд также можно интегрировать почленно, и полученный ряд сходится к \(∫f(x)\,dx\) на \((−R,R)\). 9{n+1}}{n+1}\)

    Эта страница под названием 10. 2: Свойства серии Power распространяется в соответствии с лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Странгом и Эдвином «Джедом» Херманом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактировано в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или Страница
        Автор
        ОпенСтакс
        Лицензия
        CC BY-NC-SA
        Версия лицензии
        4,0
        Программа OER или Publisher
        ОпенСтакс
        Показать страницу Содержание
        нет
      2. Теги
        1. автор @ Эдвин «Джед» Герман
        2. автор@Гилберт Странг
        3. источник@https://openstax.

          No related posts.

      3. Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *