Упростите выражение дроби: Практика. Виды чисел. Упрощение рациональных выражений. Видеоурок. Алгебра 8 Класс

Содержание

Преобразование выражений. Подробная теория.

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Привет!

Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:

 

«Да куда уж проще» – говорим мы, но такой ответ обычно не прокатывает.

Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач.

Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа   (да-да, к черту эти буквы).

Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители.

Поэтому, если ты этого не сделал раньше, обязательно освой темы «Дроби, рациональные числа» и «Разложение на множители».

Прочитал? Если да, то теперь ты готов.

Let's go! (Поехали!)

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ


 

Базовые операции упрощения выражений

Сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.

Самый простой из них – это

 

1. Приведение подобных

Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел.

Подобные – это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью.

Например, в сумме   подобные слагаемые – это   и  .

Вспомнил?

Привести подобные – значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.

А как же нам сложить друг с другом буквы? – спросишь ты.

Это очень легко понять, если представить, что буквы – это какие-то предметы.

Например, буква   – это стул. Тогда чему равно выражение  ?

Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно,   стульев:  .

А теперь попробуй такое выражение:  .

Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы.

Например,   – это (как обычно) стул, а   – это стол.

Тогда:

 стула стола стул столов стульев стульев столов 

Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами.

Например, в одночлене   коэффициент равен  .

А в   он равен  .

Итак, правило приведения подобных: 

Чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.

Примеры:

Приведите подобные:

1.  

2.  

3.  

Ответы:

1.  .

2.   (  и   подобны, так как  , следовательно у этих слагаемых одинаковая буквенная часть).

3.  .

 

2. Разложение на множители

Это обычно самая важная часть в упрощении выражений.

После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители, то есть представить в виде произведения.

Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.

Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме «Разложение на множители», поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное.

Для этого реши несколько примеров (нужно разложить на множители)

Примеры:

1.  

2.  

3.  

4.  

Решения:

1.  

2.  

3.  

4.  .

3. Сокращение дроби.

Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя и забыть о них навсегда?

В этом вся прелесть сокращения.

Все просто:

 

 

Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.

Это правило вытекает из основного свойства дроби:

Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.

То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим на одно и то же число (или на одно и то же выражение).

Чтобы сократить дробь, нужно:

1) числитель и знаменатель разложить на множители

2) если в числителе и знаменателе есть общие множители, их можно вычеркнуть.

Примеры:

 .

 

 

Принцип, я думаю, понятен?

Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении.

Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить – это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Сокращать можно только множители.

Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.

Например: надо упростить  .

Некоторые делают так:  , что абсолютно неверно.

Еще пример: сократить  .

«Самые умные» сделают так:

 .

Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы:   – это множитель, значит можно сокращать.

Но нет:   – это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.

Вот другой пример:

 .

  – это выражение разложено на множители, значит, можно сократить, то есть поделить числитель и знаменатель на  , а потом и на  :

  – верно.

Можно и сразу поделить на  :

 .

Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни...

Легкий способ как определить, разложено ли выражение на множители

 

Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».

То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение – значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).

Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров:

Примеры:

1.  

2.  

3.  

4.  

Решения:

1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать   и  ? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:

 

Первым действием должно быть разложение на множители:

 .

2.  

3.  

4.  .

 

4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание обычных дробей – операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.

Давай вспомним:

1.  

2.  

3.  

Ответы:

1. Знаменатели   и   – взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:

 

2. Здесь общий знаменатель равен  :

 .

3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше – по привычной схеме:

 .

Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

  или  .

Начнем с простого:

a) Знаменатели не содержат букв

Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

 

теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

 .

Попробуй сам:

1.  

2.  

3.  

Ответы:

 

1.  

2.  .

3.  .

 

b) Знаменатели содержат буквы

Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

· в первую очередь мы определяем общие множители;

· затем выписываем все общие множители по одному разу;

· и домножаем их на все остальные множители, не общие.

Пример:  .

Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

 ;

 .

 ;

 .

Подчеркнем общие множители:

Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

  – это и есть общий знаменатель.

Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

· раскладываем знаменатели на множители;

· определяем общие (одинаковые) множители;

· выписываем все общие множители по одному разу;

· домножаем их на все остальные множители, не общие.

Пример:  .

Итак, по порядку:

1) раскладываем знаменатели на множители:

 

 

2) определяем общие (одинаковые) множители:

 

 

3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

 .

Значит, общий знаменатель здесь  . Первую дробь нужно домножить на  , вторую – на  :

 

Кстати, есть одна хитрость:

Если в разных знаменателях есть один и тот же множитель в разной степени, то в общем знаменателе такой множитель будет в максимальной из этих степеней.

Например:  .

Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

  в степени  

  в степени  

  в степени  

  в степени  .

Получим:

 .

Усложним задание:

 .

Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

Если ты сейчас бросился вычитать в первой дроби из   единицу, то ты очень и очень неправ!

Давай вспомним основное свойство дроби:

Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.

Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

Убедись сам: возьми любую дробь, например,   , и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например,  . Что поучилось?

 .

Итак, очередное незыблемое правило:

Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

Но на что же надо домножить  , чтобы получить  ?

Вот на   и домножай. А   домножай на  :

 .

Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».

Например,   – это элементарный множитель.   – тоже. А вот   – нет: он раскладывается на множители  .

Это как в физике: элементарная частица – это неделимая частица, то есть она не состоит ни из каких других частиц. Например, молекула – это не элементарная частица, так как она состоит из нескольких атомов. Атом – тоже не элементарная, так как состоит из протонов, нейтронов и электронов. А вот эти протоны, нейтроны и электроны поделить нельзя. Значит, они – элементарные частицы.

Что скажешь насчет выражения

С1 ГИА по математике - упрощение выражений. Сокращение дробей

В этой статье рассмотрим упрощение выражений, а также и сокращение дробей, числители и знаменатели которых состоят из буквенных выражений. Как правило, в таких выражениях нужно поискать формулы сокращенного умножения – они сильно облегчают жизнь. Тем не менее, встречаются и такие задания, где подстановка значения неизвестной без предварительного упрощения делает решение даже проще. Рассмотрим несколько примеров.

1. Найдите значение выражения при a=1/3:

1/a-{a^2-25}/{5a}+a/5

Имеем сумму дробей, и очевидно, что необходимо все привести к общему знаменателю, который равен 5a:

5/{5a}-{a^2-25}/{5a}+{a^2}/{5a}={30}/{5a}=6/a

Можем произвести подстановку:

6/a=6*3=18

Ответ: 18

2. Найдите значение выражения при  a=5, b=sqrt{3}:

{2a}/{4a^2-10ab}-{5b}/{4a^2-25b^2}

В знаменателе второй дроби – разность квадратов, а в знаменателе первой можно вынести за скобки общий множитель:

{2a}/{2a(2a-5b)}-{5b}/{(2a-5b)(2a+5b)}=1/{2a-5b}-{5b}/{(2a-5b)(2a+5b)}

Приводим к общему знаменателю:

1/{2a-5b}-{5b}/{(2a-5b)(2a+5b)}=(2a+5b)/{(2a-5b)(2a+5b)}-{5b}/{(2a-5b)(2a+5b)}={2a}/{4a^2-25b^2}

Теперь пришло время сделать подстановку:

{2a}/{4a^2-25b^2}=10/{4*25-25*3}=10/25=40/100=0.4

Ответ: 0,4

3. Найдите значение выражения при  c=-1:

(4/{5c}+{5c}/4+2)*{4c}/{5c+4}

Здесь как раз тот случай, когда вычислительные затраты меньше при непосредственной подстановке без предварительного упрощения выражения:

(4/{5(-1)}+{5(-1)}/4+2)*{4(-1)}/{5(-1)+4}=(-0.8-1.25+2)*4=-0.05*4=-0.2

Ответ: -0,2

4. Найдите значение выражения при  a=sqrt{5}, b=sqrt{180}:

{(a+b)^2/{a^3-a^2b-ab^2+b^3}}:{1/{a-b}}

Упростим выражение:

{(a+b)^2/{a^3+b^3-a^2b-ab^2}}*(a-b)={{(a+b)^2}/{(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)}}*(a-b)=

={(a+b)/{(a^2-ab+b^2)-ab}}*(a-b)={(a+b)/{(a-b)^2}}*(a-b)={a+b}/{a-b}

Сделаем подстановку:

{a+b}/{a-b}={sqrt{5}+sqrt{180}}/{sqrt{5}-sqrt{180}}={sqrt{5}+sqrt{9*4*5}}/{sqrt{5}-sqrt{9*4*5}}={sqrt{5}+6sqrt{5}}/{sqrt{5}-6sqrt{5}}={7sqrt{5}}/(-5sqrt{5})=-1.4

Ответ: -1,4

5. Сократите дробь:

{(t-1)^2(t^2-4)}/{(t^3-8)(t^2-1)}

В числителе присутствуют как разность квадратов, так и квадрат разности. В знаменателе – разность кубов и разность квадратов. Разложим на “простые кирпичики” каждую из “сборок”:

{(t-1)^2(t^2-4)}/{(t^3-8)(t^2-1)}={(t-1)^2(t-2)(t+2)}/{(t-2)(t^2+2t+4)(t+1)(t-1)}={(t-1)(t+2)}/{(t^2+2t+4)(t+1)}={(t-1)(t+2)}/{(t^2+2t+4)(t+1)}

6. Выполните умножение:

({81u}/v+{4v}/{u}+36)*{{uv}/{2v+9u}}

Приведем к общему знаменателю (uv) выражение в первой скобке:

({81u^2}/{uv}+{4v^2}/{uv}+{36uv}/{uv})*{{uv}/{2v+9u}}=

({81u^2+4v^2+36uv}/{uv})*{{uv}/{2v+9u}}={81u^2+4v^2+36uv}/{2v+9u}={(9u+2v)^2}/{2v+9u}=2v+9u

7. Найдите значение выражения:

(4u-12v+{9v^2}/u):(2-{3v}/u) при u=1+3sqrt{7};v=2+2sqrt{7}

Приведем к общему знаменателю каждую из скобок:

({4u^2}/u-{12vu}/u+{9v^2}/u):({2u}/u-{3v}/u)=({4u^2-12vu+9v^2}/u):({2u-3v}/u)={{(2u-3v)^2}/u}*{u/{2u-3v}}=2u-3v

Сделаем подстановку:

2u-3v=2(1+3sqrt{7})-3(2+2sqrt{7})=2+6sqrt{7}-6-6sqrt{7}=-4

Ответ: -4

Упростить выражение. Онлайн калькулятор с примерами

Что значит упростить выражение

Когда говорят упростить выражение, подразумевают конкретные математические действия с этим выражением, в результате чего оно примет иной вид.

Такими действиями могут быть раскрытие скобок, внесение и вынесение множителя за скобку, деление (сокращение), умножение, возведение в степень, приведение дробей к общему знаменателю и много других операций.

При этом часто используют формулы сокращенного умножения и теоремы, а в тригонометрии от простых формул приведения до самых сложных тригонометрических выражений.

Чем старше школьник, тем больше формул он знает и обладает богатым арсеналом математических действий.

В чем смысл таких действий

Задачи на упрощение выражений встречаются с самых младших классов. Дети сами того не осознавая, учатся шевелить мозгами в нужном направлении, чтобы преобразовать одно выражение в другое.

Разумеется, все задания составляются таким образом, что в любом случае они приводятся к более простому виду или подходящему для дальнейших операций.

Однако, при таком подходе теряется общий смысл поставленной задачи.

Когда ученик слышит, что надо что-то упростить, то машинально начинает перебирать всевозможные математические действия в голове, не задаваясь вопросом, а для чего упрощать?

Приведем наглядный пример

Допустим, сказано упростить выражение (a+b)2. В этом случае абсолютно каждый нормальный школьник раскроет скобки и будет доволен самим собой. Без сарказма это действительно так и это нормально.

Но вот другая постановка задачи: упростите выражение (a+b)2, затем подставьте следующие числовые значения a=⅔, b=⅓ и запишите получившееся число.

Кто теперь скажет, что раскрыть скобки, затем подставить a=⅔ и b=⅓, а затем вычислить ответ, это легче, чем сразу найти a+b=⅔+⅓=1? После этого возводи единицу хоть в сотую степень!

Заключение

Итак, главная цель задач на упрощение выражений в том, чтобы научить вас применять те или иные математические действия над выражениями.

Это обязательно нужно уметь делать. Но более важная проблема в том, чтобы научиться применять необходимые действия в нужный момент и воспользоваться результатом преобразования.

Благо есть онлайн калькуляторы упрощения выражений, например, такой как наш, с помощью которого можно проверить свои вычислительные результаты.

Желаем успехов!

1 упростите выражение

Вы искали 1 упростите выражение? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2 упростите выражение, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «1 упростите выражение».

1 упростите выражение

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 1 упростите выражение,2 упростите выражение,2 упростить выражение 1 2,3 4x 2 5 упростить,3 упростить выражение,4 упростите выражение,4 упростить выражение,7 класс алгебра упростить выражение онлайн калькулятор,x y x упростить,алгебра как упростить выражение,алгебра упрощение выражений,алгебраическое выражение упростить,вы упростите,выражение онлайн,выражение решить онлайн,выражения решение онлайн,выразить из формулы онлайн,выразить онлайн,выразить онлайн переменную,выразить формулу онлайн,дроби упростить выражение,дробное выражение как упростить,как правильно упрощать выражения,как решать упростите выражение,как решать упростить выражение,как упростить,как упростить выражение,как упростить выражение алгебра,как упростить выражение дробное,как упростить выражения,как упростить дробное выражение,как упростить пример,как упростить уравнение,как упрощать,как упрощать выражение,как упрощать выражения,как упрощать уравнения,калькулятор алгебраических выражений,калькулятор алгебраических выражений онлайн калькулятор,калькулятор алгебраических выражений с буквами,калькулятор буквенных выражений,калькулятор буквенных выражений онлайн,калькулятор выражений,калькулятор выражений с буквами,калькулятор для упрощения выражений,калькулятор для упрощения выражений с дробями,калькулятор дробей упрощение выражений,калькулятор онлайн буквенных выражений,калькулятор онлайн подобные слагаемые,калькулятор онлайн упростить выражение,калькулятор онлайн упрощение выражений,калькулятор онлайн упрощение дробных выражений,калькулятор онлайн упрощения выражений,калькулятор подобных слагаемых,калькулятор преобразования выражений,калькулятор раскрытие скобок,калькулятор раскрытие скобок онлайн,калькулятор раскрытия скобок онлайн,калькулятор рациональных выражений с решением онлайн,калькулятор тождественных выражений,калькулятор упростите выражение,калькулятор упростите выражение с дробями,калькулятор упростите выражение с корнями,калькулятор упростить,калькулятор упростить выражение,калькулятор упростить выражение онлайн с дробями,калькулятор упростить выражение онлайн с дробями с буквами,калькулятор упрощение выражений,калькулятор упрощение выражений дробей,калькулятор упрощение выражений онлайн,калькулятор упрощение выражений с дробями,калькулятор упрощение выражений со степенями онлайн,калькулятор упрощение многочлена онлайн,калькулятор упрощения,калькулятор упрощения выражений,калькулятор упрощения выражений онлайн,калькулятор упрощения выражений онлайн калькулятор,калькулятор упрощения выражений с буквами,калькулятор упрощения выражений с буквами и степенями и дробями,калькулятор упрощения выражений с дробями,калькулятор упрощения выражений с дробями и степенями и буквами,калькулятор упрощения выражений с дробями и степенями и с буквами,калькулятор упрощения выражения,калькулятор упрощения дробей с буквами и степенями,математика выражение упростить,онлайн выражение,онлайн выражение формул,онлайн выразить,онлайн калькулятор буквенных выражений,онлайн калькулятор преобразование рациональных выражений,онлайн калькулятор раскрытие скобок,онлайн калькулятор раскрытия скобок,онлайн калькулятор спростить вираз,онлайн калькулятор упростите выражение,онлайн калькулятор упростить выражение,онлайн калькулятор упрощение выражений,онлайн калькулятор упрощение выражений с дробями,онлайн калькулятор упрощение выражений со степенями,онлайн калькулятор упрощение дробных выражений,онлайн калькулятор упрощение многочлена,онлайн калькулятор упрощения выражений,онлайн преобразование выражений,онлайн преобразование тригонометрических выражений,онлайн преобразователь в многочлен,онлайн преобразователь формул,онлайн раскройте скобки,онлайн раскрытие скобок,онлайн решение алгебраических выражений,онлайн решение выражений,онлайн решение выражения,онлайн решение рациональных выражений,онлайн решения выражений,онлайн сокращение выражений,онлайн сокращение многочленов,онлайн упроститель выражений,онлайн упростить,онлайн упростить выражение со степенями,онлайн упростить дробное выражение,онлайн упрощение выражений с дробями,онлайн упрощение выражений с корнями,онлайн упрощение выражений со степенями,онлайн упрощение дробных выражений,онлайн упрощение многочленов,онлайн упрощения выражений,подобные слагаемые калькулятор онлайн,подобные слагаемые онлайн калькулятор,преобразование выражений онлайн,преобразование иррациональных выражений онлайн калькулятор,преобразование рациональных выражений калькулятор онлайн,преобразование рациональных выражений онлайн калькулятор,преобразование формул онлайн,преобразования выражений калькулятор,преобразовать в многочлен выражение онлайн,преобразовать выражение в многочлен онлайн,преобразовать выражение онлайн,преобразовать многочлен в выражение онлайн,преобразуйте в дробь выражение онлайн,преобразуйте в многочлен выражение онлайн калькулятор,преобразуйте дробь в выражение онлайн,приведи подобные слагаемые онлайн калькулятор,пример упростить,пример упростить выражение,примеры упростите выражение,примеры упрощение выражений,примеры упрощения,раскрытие скобок калькулятор,раскрытие скобок калькулятор онлайн,раскрытие скобок онлайн,раскрытие скобок онлайн калькулятор,раскрытия скобок онлайн калькулятор,раскрыть скобки онлайн,раскрыть скобки онлайн калькулятор,рациональных выражений онлайн калькулятор с решением,решение алгебраических выражений онлайн,решение выражений,решение выражений онлайн,решение выражения,решение выражения онлайн,решение онлайн алгебраических выражений,решение онлайн выражения,решение примеров на упрощение выражений,решение упростите выражение,решения выражений онлайн,решите выражение,решить выражение,решить выражение онлайн,решить выражение онлайн со степенями,решить онлайн выражение,сократить выражение,сократить выражение онлайн,сократить выражение онлайн с подробным решением,сократить многочлен онлайн,сократить онлайн выражение,сократить уравнение онлайн,сокращение выражений,сокращение выражений онлайн,сокращение многочленов онлайн,сокращение уравнений онлайн,способы упрощения выражений,спростити вираз,спростити вираз онлайн,спростити вираз онлайн калькулятор,спростити вираз приклади,спростить вираз,спростить вираз онлайн калькулятор,спростіть вираз,спрощення виразів,упрости,упрости выражение,упрости выражения,упростите,упростите 3 4х 2 5,упростите алгебраическое выражение,упростите вы,упростите выражение,упростите выражение 1,упростите выражение 2,упростите выражение 2 3x 2,упростите выражение 3,упростите выражение a,упростите выражение x,упростите выражение x 2 x 8 x,упростите выражение x 3 x 4,упростите выражение а,упростите выражение дроби,упростите выражение дробное,упростите выражение дробь,упростите выражение и,упростите выражение калькулятор,упростите выражение калькулятор онлайн,упростите выражение калькулятор онлайн с решением,упростите выражение калькулятор с дробями,упростите выражение калькулятор с дробями и степенями,упростите выражение калькулятор с степенями,упростите выражение калькулятор с степенями и дробями,упростите выражение онлайн,упростите выражение онлайн калькулятор,упростите выражение онлайн калькулятор с решением,упростите выражение онлайн с дробями,упростите выражение онлайн с дробями и степенями,упростите выражение онлайн с дробями и степенями с решением,упростите выражение онлайн с корнями,упростите выражение примеры,упростите выражение решение,упростите выражение с дробями,упростите выражение с дробями онлайн,упростите выражение с корнями калькулятор,упростите выражение с корнями онлайн,упростите выражения,упростите выражения а,упростите выражения калькулятор,упростите выражения калькулятор онлайн,упростите выражения онлайн,упростите дробное выражение,упростите уравнение,упростите уравнение онлайн,упроститель выражений,упроститель выражений онлайн,упростить 2x 4 6x 6,упростить x 2 x,упростить алгебраическое выражение,упростить векторное выражение онлайн,упростить выражение,упростить выражение 3,упростить выражение алгебра как,упростить выражение алгебраическое,упростить выражение дроби,упростить выражение дробное,упростить выражение дробное онлайн,упростить выражение дробное онлайн калькулятор с решением,упростить выражение как решать,упростить выражение калькулятор,упростить выражение калькулятор онлайн,упростить выражение онлайн,упростить выражение онлайн калькулятор,упростить выражение онлайн калькулятор с дробями,упростить выражение онлайн калькулятор с дробями и буквами,упростить выражение онлайн калькулятор с корнями,упростить выражение онлайн калькулятор с решением,упростить выражение онлайн калькулятор с решением с дробями,упростить выражение онлайн калькулятор с решением с дробями и буквами,упростить выражение онлайн калькулятор с решением с дробями и корнями,упростить выражение онлайн калькулятор с решением с корнями,упростить выражение онлайн калькулятор с решением со степенями,упростить выражение онлайн калькулятор со степенями,упростить выражение онлайн калькулятор со степенями с решением,упростить выражение онлайн с дробями,упростить выражение онлайн с дробями буквами и степенями онлайн,упростить выражение онлайн с дробями и буквами,упростить выражение онлайн с дробями и буквами 8 класс,упростить выражение онлайн с дробями и буквами калькулятор,упростить выражение онлайн с дробями и степенями,упростить выражение онлайн с дробями калькулятор,упростить выражение онлайн с корнями,упростить выражение онлайн с корнями и степенями,упростить выражение онлайн с корнями калькулятор,упростить выражение онлайн с решением,упростить выражение онлайн со степенями,упростить выражение примеры,упростить выражение с дробями,упростить выражение с дробями и буквами,упростить выражение с дробями и буквами 8 класс онлайн,упростить выражение с дробями и буквами онлайн калькулятор,упростить выражение с дробями и с степенями онлайн,упростить выражение с дробями и степенями онлайн,упростить выражение с дробями онлайн,упростить выражение с дробями онлайн калькулятор,упростить выражение с дробями онлайн калькулятор с решением,упростить выражение с корнями онлайн,упростить выражение с корнями онлайн калькулятор,упростить выражение с корнями онлайн калькулятор с решением,упростить выражение с корнями онлайн калькулятор с решением с дробями,упростить выражение со степенями онлайн,упростить выражение со степенями онлайн калькулятор,упростить выражение со степенями онлайн калькулятор с решением,упростить выражение что такое,упростить выражения,упростить выражения онлайн,упростить дробное выражение,упростить дробное выражение онлайн,упростить дробное выражение онлайн калькулятор с решением,упростить дробь онлайн с буквами,упростить дробь онлайн с буквами и степенями,упростить дробь с буквами онлайн,упростить как,упростить калькулятор,упростить многочлен онлайн,упростить онлайн,упростить онлайн выражение с корнями,упростить онлайн выражение со степенями,упростить тригонометрическое выражение онлайн,упростить тригонометрическое выражение онлайн калькулятор с решением,упростить уравнение,упростить уравнение онлайн,упростить уравнение онлайн с решением,упрощать как,упрощение алгебраические выражения,упрощение алгебраических выражений,упрощение выражений,упрощение выражений алгебра,упрощение выражений дробей,упрощение выражений дробей калькулятор,упрощение выражений дробных,упрощение выражений дробных онлайн,упрощение выражений калькулятор,упрощение выражений калькулятор онлайн,упрощение выражений калькулятор онлайн с корнями,упрощение выражений онлайн,упрощение выражений онлайн калькулятор,упрощение выражений онлайн калькулятор с дробями,упрощение выражений онлайн калькулятор с решением,упрощение выражений онлайн калькулятор со степенями,упрощение выражений онлайн с дробями,упрощение выражений онлайн с корнями,упрощение выражений онлайн с решением,упрощение выражений примеры,упрощение выражений с дробями,упрощение выражений с дробями калькулятор,упрощение выражений с дробями онлайн,упрощение выражений с дробями онлайн калькулятор,упрощение выражений с корнями онлайн,упрощение выражений с решением онлайн,упрощение выражений со степенями калькулятор онлайн,упрощение выражений со степенями онлайн калькулятор,упрощение дробей онлайн с буквами,упрощение дробей онлайн со степенями и буквами,упрощение дробей с буквами онлайн,упрощение дробных выражений,упрощение дробных выражений калькулятор онлайн,упрощение дробных выражений онлайн,упрощение дробных выражений онлайн калькулятор,упрощение корней онлайн,упрощение многочленов онлайн,упрощение онлайн,упрощение тригонометрических выражений онлайн,упрощение уравнений,упрощение уравнений онлайн,упрощение уравнения,упрощения,упрощения выражений,упрощения выражений онлайн калькулятор,упрощения выражений примеры,упрощения выражения калькулятор,формула упрощения выражения,формулы для упрощения выражений,формулы упрощения,формулы упрощения выражений,формулы упрощения выражения,что такое упростить выражение. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 упростите выражение. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 2 упростить выражение 1 2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 упростите выражение Онлайн?

Решить задачу 1 упростите выражение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Сократите дробь (c+(9*c)/1/2)/((c)/1/2+9) ((c плюс (9 умножить на c) делить на 1 делить на 2) делить на ((c) делить на 1 делить на 2 плюс 9))

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

    /9*c\
    |---|
    \ 1 /
c + -----
      2  
---------
 /c\     
 |-|     
 \1/     
 --- + 9 
  2      

/9*c\ |---| \ 1 / c + ----- 2 --------- /c\ |-| \1/ --- + 9 2

Степени

[TeX]

[pretty]

[text]

   11*c  
---------
  /    c\
2*|9 + -|
  \    2/

$$\frac{11 c}{c + 18}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

Рациональный знаменатель

[TeX]

[pretty]

[text]

$$\frac{22 c}{2 c + 36}$$

Объединение рациональных выражений

[TeX]

[pretty]

[text]

$$\frac{11 c}{c + 18}$$

Общее упрощение

[TeX]

[pretty]

[text]

$$\frac{11 c}{c + 18}$$

Собрать выражение

[TeX]

[pretty]

[text]

    /9*c\
    |---|
    \ 1 /
c + -----
      2  
---------
     /c\ 
     |-| 
     \1/ 
 9 + --- 
      2  

/9*c\ |---| \ 1 / c + ----- 2 --------- /c\ |-| \1/ 9 + --- 2

Комбинаторика

[TeX]

[pretty]

[text]

$$\frac{11 c}{c + 18}$$

Общий знаменатель

[TeX]

[pretty]

[text]

$$11 - \frac{198}{c + 18}$$

2 + 12z} \\ & = \ frac {(z + 6) (z + 11)} {3 (z-11) (z + 11)} \ раз \ Гидроразрыва {24z (г-11)} {2z (г + 6)} \\ & = \ frac {1} {3} \ times \ frac {24} {2} \\ & = 4 \ end {align *}

\ (\ dfrac {3a + 9} {14} \ div \ dfrac {7a + 21} {a + 3} \)

\ Начать {*} Align \ frac {3a + 9} {14} \ div \ frac {7a + 21} {a + 3} & = \ frac {3 (a + 3)} {14} \ div \ frac {7 (a + 3) } {а + 3} \\ & = \ frac {3 (a + 3)} {14} \ div 7 \\ & = \ frac {3 (a + 3)} {14} \ times \ frac {1} {7} \\ & = \ frac {3 (a + 3)} {98} \ Конец {*} выравнивание

\ (\ dfrac {a ^ {2} - 5a} {2a + 10} \ times \ dfrac {4a} {3a + 15} \)

\ Начать {*} Align \ frac {{a} ^ {2} - 5a} {2a + 10} \ times \ frac {4a} {3a + 15} & = \ frac {a (a - 5)} {2 (a + 5)} \ times \ frac {4a} {3 (a + 5)} \\ & = \ frac {[a (a - 5)] [4a]} {[2 (a + 5)] [3 (a + 5)]} \\ & = \ frac {4a ^ 2 (a - 5)} {6 (a + 5) ^ 2} \ Конец {*} выравнивание

Обратите внимание на ограничение: \ (a \ ne -5 \).2} \ Конец {*} выравнивание

Обратите внимание на ограничение: \ (p \ ne 0 \).

\ (\ dfrac {24a - 8} {12} \ div \ dfrac {9a - 3} {6} \)

\ Начать {*} Align \ frac {24a - 8} {12} \ div \ frac {9a - 3} {6} & = \ frac {8 (3a - 1)} {12} \ div \ frac {3 (a - 1)} { 6} \\ & = \ frac {2 (3a - 1)} {3} \ times \ frac {2} {a - 1} \\ & = \ frac {[2 (3x - 1)] [2]} {[3] [a - 1]} \\ & = \ frac {4 (3a - 1)} {3 (a - 1)} \ Конец {*} выравнивание

Обратите внимание на ограничение: \ (a \ ne 1 \).{2} + 2a} {5} \ div \ frac {2a + 4} {20} & = \ frac {a (a + 2)} {5} \ div \ frac {2 (a + 2)} {20 } \\ & = \ frac {a (a + 2)} {5} \ times \ frac {10} {a + 2} \\ & = \ frac {[a (a + 2)] [10]} {[5] [a + 2]} \\ & = \ frac {10a} {5} \\ & = 2a \ Конец {*} выравнивание

\ (\ dfrac {p ^ {2} + pq} {7p} \ times \ dfrac {21q} {8p + 8q} \)

\ Начать {*} Align \ frac {p ^ {2} + pq} {7p} \ times \ frac {21q} {8p + 8q} & = \ frac {p (p + q)} {7p} \ times \ frac {21q} {8 (р + д)} \\ & = \ frac {[p (p + q)] [21q]} {[7p] [8 (p + q)]} \\ & = \ frac {21pq} {56p} \\ & = \ frac {3q} {8} \ Конец {*} выравнивание

\ (\ dfrac {5ab - 15b} {4a - 12} \ div \ dfrac {6b ^ {2}} {a + b} \)

\ Начать {*} Align \ frac {5ab - 15b} {4a - 12} \ div \ frac {6b ^ {2}} {a + b} & = \ frac {5b (a - 3)} {4 (a - 3)} \ div \ frac {6b ^ {2}} {a + b} \\ & = \ frac {5b} {4} \ times \ frac {a + b} {6b ^ {2}} \\ & = \ frac {[5b] [a + b]} {[4] [6b ^ {2}]} \\ & = \ frac {30b ^ {3}} {4 (a + b)} \ Конец {*} выравнивание

Обратите внимание на ограничение: \ (a \ ne -b \).2} {(2x-1) (4x-1)} \\ & = 1 \ Конец {*} выравнивание

\ (\ dfrac {x + 4} {3} - \ dfrac {x-2} {2} \)

\ begin {align *} \ frac {x + 4} {3} - \ frac {x-2} {2} & = \ frac {2 (x + 4) - 3 (x-2)} {6} \ \ & = \ frac {2x + 8 - 3x +6} {6} \\ & = \ frac {14 - x} {6} \ Конец {*} выравнивание

\ (\ dfrac {p ^ {3} + q ^ {3}} {p ^ {2}} \ times \ dfrac {3p - 3q} {p ^ {2} - q ^ {2}} \)

\ Начать {*} Align \ frac {p ^ {3} + q ^ {3}} {p ^ {2}} \ times \ frac {3p - 3q} {p ^ {2} - q ^ {2}} & = \ frac {(p + q) (p ^ 2 - pq + q ^ 2)} {p ^ 2} \ times \ frac {3 (p - q)} {(p - q) (p + q) } \\ & = \ frac {(p + q) (p ^ 2 - pq + q ^ 2)} {p ^ 2} \ times \ frac {3} {p + q} \\ & = \ гидроразрыва {3 (p ^ 2 - pq + q ^ 2)} {p ^ 2} \ Конец {*} выравнивание

Обратите внимание на ограничение: \ (p \ ne 0 \).

,

Упростите дроби перед их умножением

На этом уроке 5-го класса я объясняю, как упростить дроби перед их умножением. Это чрезвычайно полезный метод. Это значительно упрощает умножение дробей, потому что умножаемые числа меньше после упрощения.

Новое обозначение

Мы начнем используя новый способ обозначения упрощающих дробей.Когда числитель или знаменатель
упростится, мы зачеркнем его знаком. косой чертой и напишите новый числитель
или знаменатель рядом с ним (либо над ним, либо под этим).

Число вы делите на (4), не указывается ли , а не путь! Вы только
думаете об этом в уме: «Я делю 12 на 4 и получаю 3. I разделите 20 на 4 и получите 5. "

Вы можете не видеть преимущества по «старому» методу пока нет, но этот ярлык
скоро пригодится.

1. Упростите дроби. Напишите упрощенный числитель и знаменатель над и под старыми.

а.

14

16

б.

33

27

г.

12

26

г.

9

33

Перед тем, как умножить, вы можете написать другой эквивалент,
более простая дробь вместо дроби.

В первый пример на справа, 3/6 упрощается до 1/2
перед умножением. Мы напишите крошечную «1» над «3»

1
3

6
2

×

5

8

=

5

16

3

7

×

2
4

10
5

=

6

.Упрощение

- документация SymPy 1.6.2

Чтобы сделать этот документ более легким для чтения, мы собираемся включить красивую печать.

упростить

А теперь займемся интересной математикой. Один из самых полезных особенностями системы символических манипуляций является способность упрощать математические выражения. SymPy имеет множество функций для выполнения различных виды упрощения. Также существует одна общая функция, называемая simpleify () , который пытается применить все эти функции в интеллектуальном способ прийти к простейшей форме выражения.Вот несколько примеров

 >>> упростить (sin (x) ** 2 + cos (x) ** 2)
1
>>> Упростить ((x ** 3 + x ** 2 - x - 1) / (x ** 2 + 2 * x + 1))
х - 1
>>> Упростить (гамма (x) / гамма (x - 2))
(х - 2) ⋅ (х - 1)
 

Здесь gamma (x) - это \ (\ Gamma (x) \), гамма-функция. Мы видим, что simpleify () способен обрабатывать большой класс выражений.

Но simpleify () имеет подводный камень. Он просто применяет все основные операций упрощения в SymPy и использует эвристику для определения простейший результат.2 \):

 >>> упрощать (x ** 2 + 2 * x + 1)
 2
х + 2⋅x + 1
 

Мы не получили то, что хотели. Для этого есть функция упрощение, называемое фактором () , о котором будет сказано ниже.

Еще одна ловушка для simpleify () заключается в том, что он может быть излишне медленным, поскольку он пробует множество видов упрощений, прежде чем выбрать лучшее. если ты уже точно знаете, какое упрощение вам нужно, лучше для применения конкретных функций упрощения, которые применяют эти упрощения.

Применение конкретных функций упрощения вместо simpleify () также имеет преимущество в том, что определенные функции имеют определенные гарантии в отношении формы их продукции. Это будет обсуждаться с каждой функцией ниже. Для например, factor () , при вызове полинома с рациональными коэффициентами, гарантированно разлагает многочлен на неприводимые множители. simpleify () не дает никаких гарантий. Это полностью эвристический характер, и, как мы видели, выше, он может даже пропустить возможное упрощение, которое SymPy способен делать.

simpleify () лучше всего использовать в интерактивном режиме, когда вы просто хотите сточить вниз выражение до более простой формы. Затем вы можете выбрать применение конкретных функции, как только вы увидите, что возвращает simpleify () , чтобы получить более точное результат. Это также полезно, когда вы не знаете, в какой форме будет выглядеть выражение. take, и вам нужна функция перебора, чтобы упростить ее.

Упрощение полиномиальных / рациональных функций

развернуть

expand () - одна из наиболее распространенных функций упрощения в SymPy.Хотя у него много возможностей, пока мы рассмотрим его функции в расширяющиеся полиномиальные выражения. Например:

 >>> развернуть ((x + 1) ** 2)
 2
х + 2⋅x + 1
>>> развернуть ((x + 2) * (x - 3))
 2
х - х - 6
 

Для заданного полинома expand () преобразует его в каноническую форму суммы одночленов.

expand () может не звучать как функция упрощения. Ведь по его само имя, оно делает выражения больше, а не меньше.Обычно это случае, но часто выражение становится меньше после вызова expand () на это из-за отмены.

 >>> развернуть ((x + 1) * (x - 2) - (x - 1) * x)
-2
 

фактор

factor () принимает многочлен и разлагает его на неприводимые множители над рациональные числа. Например:

 >>> фактор (x ** 3 - x ** 2 + x - 1)
        ⎛ 2 ⎞
(х - 1) ⋅⎝x + 1⎠
>>> фактор (x ** 2 * z + 4 * x * y * z + 4 * y ** 2 * z)
           2
z⋅ (x + 2⋅y)
 

Для полиномов factor () является противоположностью expand () .Коэффициент () использует полный алгоритм многомерной факторизации по рациональному числа, что означает, что каждый из факторов, возвращаемых функцией factor () , равен гарантированно несократим.

Если вас интересуют сами факторы, factor_list возвращает более структурированный вывод.

 >>> список_факторов (x ** 2 * z + 4 * x * y * z + 4 * y ** 2 * z)
(1, [(z, 1), (x + 2⋅y, 2)])
 

Обратите внимание, что входные данные для коэффициента и расширения не обязательно должны быть полиномами от в строгом смысле.Они будут разумно учитывать или расширять любой вид выражение (однако обратите внимание, что факторы не могут быть несократимыми, если вход больше не является полиномом над рациональными числами).

 >>> развернуть ((cos (x) + sin (x)) ** 2)
   2 2
sin (x) + 2⋅sin (x) ⋅cos (x) + cos (x)
>>> фактор (cos (x) ** 2 + 2 * cos (x) * sin (x) + sin (x) ** 2)
                 2
(грех (х) + соз (х))
 

собрать

collect () собирает общие степени терминов в выражении.Например

 >>> expr = x * y + x - 3 + 2 * x ** 2 - z * x ** 2 + x ** 3
>>> expr
 3 2 2
х - х ⋅z + 2 
.

Отмена общеупотребительных терминов в алгебраических дробях Учебное пособие

В этом руководстве рассказывается, как отменить общие термины в алгебраических дробях, путем определения и обсуждения:
  1. рациональных выражений
  2. Упрощение дробей
  3. Наибольший общий множитель в многочленах
  4. Упрощение рациональных выражений

1. Рациональные выражения

Рациональное выражение - это дробь, числитель и знаменатель которой являются полиномами.Иногда их называют алгебраическими дробями. Сокращение рациональных выражений похоже на сокращение числовых дробей. Коэффициенты могут быть аннулированы только , если они представлены как множители числителя и знаменателя; они отменяются, потому что уменьшаются до 1.

ПРИМЕР

Вы можете увидеть, как дробь ниже упрощается до 1.

Однако члены, разделенные сложением или вычитанием в числителе или знаменателе, не могут быть отменены.

ПРИМЕР

Рассмотрим выражение ниже.
Вы можете проверить это, потому что если вы подставили значение 3 в оба xs, у вас будет следующее: , а не -2 больше 5.

2. Упрощение дробей

В обзоре вы можете упростить дроби, отбросив общие множители в числителе и знаменателе.

Предположим, вы хотите упростить следующую дробь.
Шаг 1: Запишите числитель и знаменатель как произведение простых множителей:

Шаг 2: Удалите множители, которые присутствуют как в числителе, так и в знаменателе. Вы можете вычеркнуть единицу 2 и одну 3 как в числителе, так и в знаменателе.

Шаг 3: Умножьте оставшиеся множители в числителе и знаменателе. В числителе у вас осталось три двойки, а в знаменателе - одна тройка и одна пятерка, поэтому умножайте соответственно и упрощайте.

Упрощение рациональных выражений похоже на сокращение числовых дробей, поскольку вы определяете общие факторы, которые нужно отменить.

3. Наибольший общий множитель в многочленах.

Нахождение наибольшего общего делителя многочлена - полезная стратегия при упрощении алгебраических дробей, в которых общие множители присутствуют как в числителе, так и в знаменателе.

Предположим, вы хотите разложить выражение на множители:

Вы можете начать с написания каждого термина как произведения факторов.2, а во втором семестре у вас отрицательный результат и 2, другими словами, -2. Это приводит к факторизованной форме вашего выражения.

4. Упрощение рациональных выражений

При упрощении рациональных выражений вы хотите начать с записи числителя и знаменателя как произведения их простых множителей и переменных множителей.

Предположим, вы хотите упростить следующее выражение. Начните с переписывания числителя и знаменателя как произведения их простых множителей и переменных множителей:

Вы можете видеть, что и числитель, и знаменатель имеют две двойки и четыре как общие множители.Вы можете исключить все эти факторы.

В результате у вас останется одна 3 и два, умноженные вместе в числителе, и одна 2 в знаменателе. Умножение оставшихся факторов дает:

Упростите следующее выражение, начав с факторизации числителя и знаменателя:
Взглянув на числитель, вы увидите, что у вас есть общий множитель 7.Следовательно, вы можете вынести 7 и переписать свое выражение с оставшимися множителями x и плюс 3. Затем, глядя на свой знаменатель, вы можете увидеть, что у вас есть общий множитель 2 в обоих членах, так что, опять же, вы можете вычлените 2, написав его снаружи скобок и оставив оставшиеся множители x и плюс 3 внутри скобок.

Теперь вы можете видеть, что у вас есть общий множитель x плюс 3 как в числителе, так и в знаменателе, который можно сократить, оставив вам окончательное выражение:

Сегодня вы узнали определение рационального выражения , , или алгебраической дроби, которая представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой являются полиномами.Вы также узнали, как упростить дроби и найти наибольший общий делитель в полиномах . Наконец, вы узнали, как упростить рациональные выражения : 1) записав числитель и знаменатель как произведение простых множителей, 2) уменьшив множители, которые появляются как в числителе, так и в знаменателе, и 3) умножив оставшиеся множители в числителе и знаменатель.

,

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *