Упростите выражение и найдите его значение
Упростите выражение и найдите его значение — алгебра, задачник. 7 класс, Мордкович – Рамблер/классИнтересные вопросы
Школа
Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?
Новости
Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?
Школа
Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?
Школа
Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?
Новости
Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?
Вузы
Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?
1.24. а) -6а + 7b + 3а — 4b, если а = 3,2, b = 4,2;
б) 1,5x — 9у — (у + 1,5x), если х = 0,781, у = 0,9;
ответы
Мое решение:
ваш ответ
Можно ввести 4000 cимволов
отправить
дежурный
Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения
похожие темы
ЕГЭ
10 класс
9 класс
11 класс
похожие вопросы 5
Домашняя контрольная работа № 3 Вариант 2 10.
При каких значениях р уравнение… Мордкович 8 класс алгебра
10. При каких значениях р уравнение -х 2 + 6х — 2 = р:
а) не имеет корней;
б) имеет один корень; (Подробнее…)
ГДЗМордкович А.Г.Алгебра8 класс
Когда скорость изменения функции будет наибольшей или наименьшей? Алгебра 10-11 класс Колмогоров Упр 308
Совсем я в точных науках не сильна) Кто поможет?) Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при которых скорость изменения (Подробнее…)
ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.Алгебра
ГДЗ Тема 21 Физика 7-9 класс А.В.Перышкин Задание №476 Изобразите силы, действующие на тело.
Привет всем! Нужен ваш совет, как отвечать…
Изобразите силы, действующие на тело, когда оно плавает на поверхности жидкости. (Подробнее…)
ГДЗФизикаПерышкин А.В.Школа7 класс
16. Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых).
2-a(4-7a),найдите его значение при a= -1/2
Пример 7-ого класса)
Помогите,пожалуйста — вопрос №1908272
Ответы
| ||||||||||||
04.16
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука
| Похожие вопросы |
помогите решит задачу Длина прямоугольника 8 см периметр 24 см Начерти такойже прямоугольник раздели его на 2 равных треугольника Найди площадь каждого треугольника
площадь первого участка 120кв.
Пользуйтесь нашим приложением
Упрощение рациональных выражений
7.1 Упрощение рациональных выражений
Цели обучения
- Определить ограничения области рационального выражения.
- Упрощать рациональные выражения.
- Упростите выражения с противоположными биномиальными множителями.
- Упростите и оцените рациональные функции.
Рациональные выражения, оценка и ограничения
Рациональное число или дробь ab — это действительное число, определяемое как частное двух целых чисел a и b , где b≠0. Точно так же мы определяем рациональное выражение, частное PQ двух многочленов P и Q , где Q ≠ 0.
, или термин алгебраической дроби, используемый при обращении к рациональному выражению. PQ, как частное двух многочленов P и Q , где Q≠0. Вот несколько примеров рациональных выражений:
Пример x+3x−5 состоит из линейных выражений как в числителе, так и в знаменателе. Поскольку знаменатель содержит переменную, это выражение определено не для всех значений числа 9.0019 х .
Пример 1: Вычислить x+3x−5 для набора x -значений {−3, 4, 5}.
Решение: Подставьте значения x .
Ответ: Когда x=−3, значение рационального выражения равно 0; когда x=4, значение рационального выражения равно −7; и когда x=5, значение рационального выражения не определено.
Этот пример показывает, что переменные ограничены значениями, которые не делают знаменатель равным 0. Область определения рационального выраженияНабор действительных чисел, для которых определено рациональное выражение.
множество действительных чисел, для которых оно определено, и ограничения множество действительных чисел, для которых рациональное выражение не определено. — действительные числа, для которых выражение не определено. Мы часто выражаем область рационального выражения через его ограничения.
Пример 2: Найдите домен следующего: x+72×2+x−6.
Решение: В этом примере числитель x+7 представляет собой линейное выражение, а знаменатель 2×2+x−6 представляет собой квадратное выражение. Если мы разложим знаменатель, то получим эквивалентное выражение.
Поскольку рациональные выражения не определены, когда знаменатель равен 0, мы хотим найти значения для x , которые делают его равным 0. Для этого примените свойство нулевого произведения. Приравняйте каждый множитель в знаменателе к 0 и решите.
Мы заключаем, что исходное выражение определено для любого действительного числа, кроме 3/2 и −2. Эти два значения являются ограничениями для домена.
Важно отметить, что -7 — это , а не ограничение домена, потому что выражение определяется как 0, когда числитель равен 0.
Ответ: домен состоит из любого действительного числа x , где x≠ 32 и х≠−2.
Мы можем выразить домен предыдущего примера, используя следующие обозначения:
Ограничения области значений рационального выражения определяются знаменателем. Игнорируйте числитель при нахождении этих ограничений.
Пример 3: Определите домен: x4+x3-2×2-xx2-1.
Решение: Чтобы найти ограничения для домена, установите знаменатель равным 0 и решите:
Эти два значения приводят к тому, что знаменатель равен 0. Следовательно, они ограничены доменом.
Ответ: Домен состоит из любого действительного числа x , где x≠±1.
Пример 4: Определите домен: x2−254.
Решение: В знаменателе нет переменной и, следовательно, нет ограничений на домен.
Ответ: Домен состоит из всех действительных чисел, R .
Упрощение рациональных выражений
При упрощении дробей ищите общие множители, которые сокращаются. Например,
Мы говорим, что дробь 12/60 эквивалентна 1/5. Дроби имеют простейшую форму, если числитель и знаменатель не имеют общего множителя, кроме 1. Точно так же при работе с рациональными выражениями ищите множители, которые нужно исключить. Например,
Полученное рациональное выражение эквивалентно, если оно находится в одном и том же домене. Следовательно, мы должны принять к сведению ограничения и написать
Прописью x+4(x−3)(x+4) эквивалентно 1x−3, если x≠3 и x≠−4. Мы можем проверить это, выбрав несколько значений для оценки обоих выражений, чтобы увидеть, совпадают ли результаты. Здесь мы выбираем x=7 и оцениваем следующим образом:
Важно сформулировать ограничения перед упрощением рациональных выражений, потому что упрощенное выражение может быть определено для ограничений оригинала.
В этом случае выражения не эквивалентны. Здесь −4 определено для упрощенного эквивалента, но не для оригинала, как показано ниже:
Пример 5: Упростите и укажите ограничение: 25x215x3.
Решение: В этом примере выражение не определено, когда x равно 0.
Следовательно, домен состоит из всех действительных чисел x , где x≠0. При таком понимании мы можем отменить общие факторы.
Ответ: 53x, где x≠0
Пример 6: Укажите ограничения и упростите: 3x(x−5)(2x+1)(x−5).
Решение: Чтобы определить ограничения, приравняйте знаменатель к 0 и решите.
Область определения состоит из всех действительных чисел, кроме −1/2 и 5. Далее мы находим эквивалентное выражение, сокращая общие множители.
Ответ: 3x2x+1, где x≠−12 и x≠5
Обычно рациональные выражения не представляются в факторизованной форме. Если это так, сначала факторизируйте, а затем отмените.
Шаги описаны в следующем примере.
Пример 7: Укажите ограничения и упростите: 3x+6×2+x−2.
Решение:
Шаг 1: Полностью разложите числитель и знаменатель.
Шаг 2: Определите ограничения для домена. Для этого приравняйте знаменатель к 0 и решите.
Домен состоит из всех действительных чисел, кроме −2 и 1.
Шаг 3: Отменить общие множители, если они есть.
Ответ: 3x−1, где x≠1 и x≠−2
Пример 8: Укажите ограничения и упростите: x2+7x−30×2−7x+12.
Решение: Сначала разложите числитель и знаменатель на множители.
Любое значение x , которое приводит к значению 0 в знаменателе, является ограничением. Проверкой определяем, что домен состоит из всех действительных чисел, кроме 4 и 3. Далее отменяем общие множители.
Ответ: x+10x−4, где x≠3 и x≠4
Важно помнить, что мы можем сокращать только множители произведения.
Распространенной ошибкой является отмена сроков. Например,
Попробуйте! Укажите ограничения и упростите: x2-165×2-20x.
Ответ: x+45x, где x≠0 и x≠4
Решение для видео
(нажмите, чтобы посмотреть видео)В некоторых примерах мы будем делать широкое предположение, что знаменатель не равен нулю. Когда мы делаем это предположение, нам не нужно определять ограничения.
Пример 9: Упрощение: xy+y2−3x−3yx2−y2. ( Предположим, что все знаменатели отличны от нуля
Решение: Фактор числителя по группировке. Разложите знаменатель по формуле разности квадратов.
Далее отмените общие множители.
Ответ: y−3x−y
Противоположные биномиальные множители
Напомним, что противоположным действительному числу a является − a . Точно так же мы можем определить противоположность многочлена P как − P .
Рассмотрим сначала бином, противоположный биному a−b:
Это приводит нас к противоположному биномиальному свойству. Если дано биномиальное число a−b, то обратное выражение равно −(a−b)=b−a.:
Это эквивалентно вынесению на множитель a –1.
Если a≠b, то мы можем разделить обе части на (a−b) и получить следующее:
Пример 10: Укажите ограничения и упростите: 3−xx−3.
Решение: При осмотре мы видим, что знаменатель равен 0, если x=3. Следовательно, 3 — это ограничение на домен. Примените противоположное биномиальное свойство к числителю, а затем отмените.
Ответ: 3−xx−3=−1, где x≠3
Поскольку сложение коммутативно, мы имеем
или
. Будьте осторожны, чтобы не спутать это с противоположным биномиальным свойством. Кроме того, важно помнить, что
Другими словами, покажите отрицательную дробь, поставив отрицательный знак в числителе, перед чертой дроби или в знаменателе.
Как правило, отрицательных знаменателей избегают.
Пример 11: Упростите и укажите ограничения: 4−x2x2+3x−10.
Решение: Начните с факторизации числителя и знаменателя.
Ответ: −x+2x+5, где x≠2 и x≠−5
Попробуйте! Упростите и укажите ограничения: 2×2-7x-1525-x2.
Ответ: −2x+3x+5, где x≠±5
Видеорешение
(щелкните, чтобы посмотреть видео)Рациональные функции
Рациональные функции имеют вид
, где p(x) и q(x) — многочлены, а q(x)≠0. Область определения рациональной функции состоит из всех действительных чисел x , так что знаменатель q(x)≠0.
Пример 12:
а. Упростите: r(x)=2×2+5x−36×2+18x.
б. Укажите домен.
в. Вычислите r(−2).
Решение:
а. Чтобы упростить рациональную функцию, сначала умножьте, а затем сократите.
б. Чтобы определить ограничения, приравняйте знаменатель исходной функции к 0 и решите.
Домен состоит из всех действительных чисел x , где x≠0 и x≠−3.
в. Поскольку −2 не является ограничением, замените его на переменную x , используя упрощенную форму.
Ответы:
а. r(x)=2x−16x
б. Областью определения являются все действительные числа, кроме 0 и −3.
в. r(−2)=512
Если функция стоимости Функция, представляющая стоимость производства определенного количества единиц. C(x) представляет стоимость производства x единиц, тогда средняя стоимость Общая стоимость делится на количество произведенных единиц, что может быть представлено как c(x)=C(x)x, где C(x) равно функция стоимости. c(x) — это стоимость, деленная на количество произведенных единиц.
Пример 13: Стоимость производства футболок с логотипом компании в долларах определяется как C(x)=7x+200, где x представляет собой количество произведенных футболок.
Определить средние затраты на производство
а. 40 футболок
б. 250 футболок
c. 1000 футболок
Решение: Настройте функцию, представляющую среднюю стоимость.
Затем вычислите c(40), c(250) и c(1000).
Ответы:
а. Если произведено 40 футболок, то средняя стоимость одной футболки составит 12 долларов.
б. Если будет произведено 250 футболок, то средняя стоимость одной футболки составит 7,80 долларов.
в. Если произведено 1000 футболок, то средняя стоимость одной футболки составит 7,20 доллара.
Ключевые выводы
- Рациональные выражения обычно не определены для всех действительных чисел. Действительные числа, которые дают значение 0 в знаменателе, не являются частью домена. Эти значения называются ограничениями.
- Упрощение рациональных выражений аналогично упрощению дробей. Сначала разложите числитель и знаменатель, а затем сократите общие множители. Рациональные выражения упрощаются, если в числителе и знаменателе нет общих множителей, кроме 1.
- Упрощенные рациональные выражения эквивалентны для значений в домене исходного выражения. Обязательно укажите ограничения, если знаменатели не предполагаются ненулевыми.
- Используйте противоположное биномиальное свойство, чтобы исключить биномиальные множители, включающие вычитание. Используйте -(a-b)=b-a, чтобы заменить множители, которые затем аннулируются. Не путайте это с факторами, включающими сложение, такими как (a+b)=(b+a).
Упражнения по теме
Часть A: Рациональные выражения
Вычисление заданного набора x -значений.
1. 5x; {−1, 0, 1}
2. 4x3x2; {−1, 0, 1}
3. 1x+9; {−10, −9, 0}
4. х+6х−5; {−6, 0, 5}
5. 3x(x−2)2x−1; {0, 1/2, 2}
6. 9×2-1x-7; {0, 1/3, 7}
7. 5×2−9; {−3, 0, 3}
8. x2−25×2−3x−10; {−5, −4, 5}
9. Заполните следующую таблицу:
10. Заполните следующую таблицу:
11.
12. Заполните следующую таблицу:
Вес объекта зависит от его высоты над поверхностью земли. Если объект весит 120 фунтов на поверхности земли, то его вес в фунтах равен 9.0020 W, x миль над поверхностью аппроксимируется формулой W=120⋅40002(4000+x)2
Для каждой приведенной ниже задачи аппроксимируйте вес 120-фунтового объекта на заданной высоте над поверхностью земли. (1 миля = 5 280 футов)
13. 100 миль
14. 1000 миль
15. 44 350 футов
16. 90 000 футов
16. 90 000 футов
900 сравните оценки аналогичных публичных компаний. Коэффициент P/E рассчитывается с использованием цены акции и прибыли на акцию (EPS) за предыдущий 12-месячный период следующим образом: P/E = цена на акцию, прибыль на акцию
Если цена каждой акции компании составляет 22,40 доллара, рассчитайте коэффициент P/E, учитывая следующие значения прибыли на акцию.
17.
1,40 долл.
18. 1,21 долл.
19. Что происходит с коэффициентом P/E, когда прибыль уменьшается?
20. Что происходит с коэффициентом P/E при увеличении прибыли?
Укажите ограничения для домена.
21. 13x
22. 3x27x5
23. 3x(x+1)x+4
24. 2×2(x−3)x−1
25. 15x−1
26. x−23x−2
27. x−95x( x−2)
28. 1(x−3)(x+6)
29. x1−x2
30. x2−9×2−36
31. 12x(x+3)(2x−1)
32. x−3(3x−1)(2x+3)
33. 4x(2x+1)12×2+x−1
34. x−53×2−15x
Часть B: Упрощение рациональных выражений
Укажите ограничения, а затем упростите.
35. 5x220x3
36. 12x660x
37. 3×2(x−2)9x(x−2)
38. 20(x−3)(x−5)6(x−3)(x+1)
39. 6×2(x− 8)36x(x+9)(x−8)
40. 16×2−1(4x+1)2
41. 9×2−6x+1(3x−1)2
42. x−7×2−49
43. x2−64×2+8x
44. x+10×2−100
45. 2×3−12x25x2−30x
46. 30×5+60x42x3−8x
47.
2x−12×2+x−6
48 х2-х-63х2-8х-3
49. 6х2-25х+253х2+16х-35
50. 3х2+4х-15х2-9
51. х2-10х+21х2-4х-21
20018 .x3−1×2−153. x3+8×2−4
54. x4−16×2−4
Часть C: Упрощение рациональных выражений с противоположными биномиальными множителями
Укажите ограничения, а затем упростите.
55. x−99−x
56. 3x−22−3x
57. x+66+x
58. 3x+11+3x
59. (2x−5)(x−7 )(7−x)(2x−1)
60. (3x+2)(x+5)(x−5)(2+3x)
61. x2−4(2−x)2
62. 16−9×2(3x+4)2
63. 4×2(10−x)3×3−300x
64. −2x+14×3−49х
65. 2х2-7х-41-4х2
66. 9х2-44х-6х2
67. х2-5х-147-15х+2х2
68. 2х3+х2-2х-11+х03х2
69. x3+2x−3×2−62+x2
70. 27+x3x2+6x+9
71. 64−x3x2−8x+16
72. x2+44−x2
Упростить. ( Предположим, что все знаменатели отличны от нуля .)
73. −15x3y25xy2(x+y)
74. 14x7y2(x−2y)47x8y(x−2y)2 2x
90.
8376. у-хх2-у2
77. х2-у2(х-у)2
78. a2−ab−6b2a2−6ab+9b2
79. 2a2−11a+12−32+2a2
80. a2b−3a23a2−3ab
81. xy2−x+y3−yx−038
81. xy2−x+y3−yx−038
82. x3−xy2−x2y+y3x2−2xy+y2
83. x3−27×2+3x+9
84. x2−x+1×3+1
Часть D. Рациональные функции
Вычислите следующее.
85. f(x)=5xx−3; f(0), f(2), f(4)
86. f(x)=x+7×2+1; f(−1), f(0), f(1)
87. g(x)=x3(x−2)2; g(0), g(2), g(−2)
88. g(x)=x2−99−x2; г(−2), г(0), г(2)
89. г(х)=х3х2+1; g(−1), g(0), g(1)
90. g(x)=5x+1×2−25; g(−1/5), g(−1), g(−5)
Укажите ограничения для домена, а затем упростите.
91. f(x)=−3×2−6xx2+4x+4
92. f(x)=x2+6x+92×2+5x−3
93. g(x)=9−xx2−81
94. g(x)=x3−273−x
95. g(x)=3x−1510−2x
96. g(x)=25−5x4x−20
97. Стоимость в долларах производства кофейных кружек с логотипом компании определяется выражением C(x)=x+40, где x представляет собой количество произведенных кружек.
Рассчитайте средние затраты на производство 100 кружек и средние затраты на производство 500 кружек.
98. Стоимость аренды движущегося грузовика в течение дня определяется как C(x)=0,45x+90, где x представляет собой количество пройденных миль. Рассчитайте средние затраты на милю, если грузовик проедет 250 миль за один день.
99. Стоимость производства толстовок с индивидуальным дизайном на спине в долларах определяется как C(x)=1200+(12−0,05x)x, где x представляет собой количество произведенных толстовок. Рассчитайте среднюю стоимость изготовления 150 толстовки на заказ.
100. Стоимость изготовления литой детали по индивидуальному заказу определяется как C(x)=500+(3−0,001x)x, где x представляет количество изготовленных деталей. Рассчитайте среднюю стоимость производства 1000 нестандартных деталей.
Часть E: Дискуссионная доска
101. Объясните, почему b-aa-b=-1, и проиллюстрируйте этот факт, подставив некоторые числа вместо переменных.
102. Объясните, почему b+aa+b=1, и проиллюстрируйте этот факт, подставив некоторые числа вместо переменных.
103. Объясните, почему мы не можем отменить x в выражении xx+1.
Ответы
1: −5, не определено, 5
3: −1, не определено, 1/9
5: 0, не определено, 0
7: Не определено, −5/9, не определено
9:
11:
13: 114 фунтов
15: 119,5 фунтов
17: 16
19: Коэффициент P/E увеличивается.
21: х≠0
23: х≠−4
25: х≠15
27: х≠0 и х≠2
29: х≠±1
, х≠3 91:018 ≠−3 и x≠1233: x≠−13 и x≠14
35: 14x; х≠0
37: х3; х≠0, 2
39: х6(х+9); х≠0,−9,8
41:1; х≠13
43: х-8х; х≠0,−8
45: 2х5; x≠0, 6
47: 2x−12×2+x−6; х≠−2,32
49: 2x−5x+7; х≠−7,53
51: х−3х+3; х≠−3, 7
53: х2-2х+4х-2; х≠±2
55: −1; х≠9
57:1; х≠−6
59: −2x−52x−1; х≠12,7
61: х+2х-2; х≠2
63: −4×3(x+10); х≠±10, 0
65: х-41-2х; х≠±12
67: х+22х-1; х≠12,7
69: х-3; нет
71: −16+4x+x2x−4; x≠4
73: −3x2x+y
75: 1x−y
77: x+yx−y
79: 2a−32(4+a)
81: −x+yx
3
85: f(0)=0, f(2)=−10, f(4)=20
87: g(0)=0, g(2) не определено, g(−2)=−1/2
89: g(−1)=−1/2, g(0)=0, g( 1)=1/2
91: f(x)=−3xx+2; х≠−2
93: g(x)=−1x+9; х≠±9
95: g(x)=-32; x≠5
97: Средняя стоимость производства 100 кружек составляет 1,40 доллара за кружку.
Средняя стоимость производства 500 кружек составляет 1,08 доллара за кружку.
99: $12,50
Q23. Найдите значение каждого выражения… [БЕСПЛАТНОЕ РЕШЕНИЕ]
Выберите язык
Предлагаемые языки:
Немецкий (DE)
Дойч (Великобритания)
Европа
- английский (DE)
- английский (Великобритания)
В23.
Проверено экспертами
Найдено на: Страница 9
Перейти к главе
Самые популярные вопросы для учебников по математике
Используйте следующую информацию.
Простые проценты рассчитываются по формуле I=prt, где p представляет собой основную сумму долга в долларах, r представляет собой годовую процентную ставку, а t представляет время в годах. Найдите простые проценты, которые я дал каждому из следующих значений.
p=5000 долларов, r=3,75%, t=10 лет
В 1950 году средняя цена автомобиля составляла около 2000 долларов. Это может показаться недорогим, но средний доход в 1950 году был намного меньше, чем сейчас. Чтобы сравнить суммы в долларах с течением времени, используйте формулу V=ASC, где A — старая сумма в долларах, S — индекс потребительских цен (ИПЦ) начального года, C — ИПЦ конвертируемого года, а V — текущая стоимость старой суммы.