Упростите выражение векторы: Помогите упростить выражение( векторы) а) ( векторы) FK + MQ + KP + AM + QK + PF б) (

Содержание

Пользуясь правилами сложения векторов упростите выражение мс

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Сложение двух векторов

Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки undefined отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → .

Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

Геометрически сложение векторов выглядит так:

– для неколлинеарных векторов:

– для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также

правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и – b → .

Умножение вектора на число

Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила:
– если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
– если 0 k 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз;
– если k 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
– если k = 1 , то вектор остается прежним;
– если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

Исходные данные:
1) вектор a → и число k = 2 ;
2) вектор b → и число k = – 1 3 .

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .

  1. Свойство коммутативности: a ⇀ + b → = b → + a → .
  2. Свойство ассоциативности: ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) .
  3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 → ⃗). Это очевидное свойство: a → + 0 → = a →
  4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1 · a → = a → . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
  5. Любой ненулевой вектор a → имеет противоположный вектор – a → и верным является равенство: a → + ( – a → ) = 0 → . Указанное свойство – очевидное.
  6. Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a → = λ · ( µ · a → ) . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
  7. Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a → = λ · a → + µ · a → .
  8. Второе распределительное свойство: λ · ( a → + b → ) = λ · a → + λ · b → .
    Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Задача: упростить выражение a → – 2 · ( b → + 3 · a → )
Решение
– используя второе распределительное свойство, получим: a → – 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → – 2 · b → – 2 · ( 3 · a → )
– задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → – 2 · b → – 2 · ( 3 · a → ) = a → – 2 · b → – ( 2 · 3 ) · a → = a → – 2 · b → – 6 · a →
– используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → – 2 · b → – 6 · a → = a → – 6 · a → – 2 · b →
– затем по первому распределительному свойству получаем: a → – 6 · a → – 2 · b → = ( 1 – 6 ) · a → – 2 · b → = – 5 · a → – 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → – 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → – 2 · b → – 2 · 3 · a → = 5 · a → – 2 · b →

Ответ: a → – 2 · ( b → + 3 · a → ) = – 5 · a → – 2 · b →

Reshak.ru – сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте – сделанный для людей. Все решебники выполнены качественно, с приятной навигацией. Вы сможете скачать гдз, решебник английского, улучшить ваши школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал гдз совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Информация

© adminreshak.ru

Ответ оставил Гость

Если твой вопрос не раскрыт полностью, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти другие ответы по предмету Геометрия.

Векторное и смешанное произведение векторов.

Векторное произведение векторов. 

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов $e_1, e_2, e_3$ называется правой, если наблюдателю, находящемуся внутри угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от $e_1$ к $e_2$ и от $e_2$ к $e_3$ кажутся происходящими против часовой стрелки. В противном случае тройка $(e_1, e_2, e_3)$ называется левой. 

Векторным произведением вектора $a_1$ на вектор $a_2$ называется вектор, обозначаемый символом $[a_1, a_2]$ (или $a_1\times a_2$) определяемый следующими тремя условиями:

1) длина вектора $[a_1, a_2]$ равна площади параллелограмма построенного на векторах $a_1$ и $a_2$ т.е. $|[a_1, a_2]|=|a_1||a_2|\sin(\widehat{a_1, a_2})$

2) вектор $[a_1, a_2]$ перпендикулярен плоскости векторов $a_1$ и $a_2;$ 

3) упорядоченная тройка $a_1, a_2, [a_1, a_2]$ правая.

Из определения векторного произведения следует, что $(\widehat{a_1,a_2})=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow [a_1, a_2]=0.$ 

Алгебраические свойства векторного произведения.

1) $[a_1, a_2]=-[a_2, a_1];$

2) $[\lambda a_1,a_2]=\lambda[a_1, a_2];$

3) $[a_1+a_2, b]=[a_1, b]+[a_2, b].$

Если $a_1(X_1, Y_1, Z_1) $ и $a_2(X_2, Y_2, Z_2) -$ векторы, заданные своими координатами в правом прямоугольном базисе, то разложение векторного произведения $[a_1, a_2]$ в том же базисе имеет вид $$[a_1, a_2]=(Y_1Z_2-Z_1Y_2)i-(X_1Z_2-Z_1X_2)j+(X_1Y_2-Y_1X_2)k,$$ или, в символической записи (с использованием понятия определителя 3-го порядка) $$[a_1, a_2]=\begin{vmatrix}i& j& k\\X_1& Y_1&Z_1\\X_2&Y_2&Z_2\end{vmatrix}.$$

Примеры.

2.98. $|a_1|=1, |a_2|=2, (\widehat{a_1, a_2})=2\pi/3.$ Вычислить:

а) $|[a_1, a_2]|$

б) $|[2a_1+a_2, a_1+2a_2]|$

в) $|[a_1+3a_2, 3a_1-a_2]|.$

Решение.

а) $|[a_1, a_2]|=|a_1||a_2|\sin(\widehat{a_1, a_2})=2\sin({2\pi/3})=2\frac{\sqrt {3}}{2}=\sqrt 3.$

б) $[2a_1+a_2, a_1+2a_2]=[2a_1, a_1+2a_2]+[a_2, a_1+2a_2]=$

$=2[a_1, a_1+2a_2]+[a_2, a_1+2a_2]=-2[a_1+2a_2, a_1]-[a_1+2a_2, a_2]=$ 

$=-2[a_1, a_1]-2[2a_2, a_1]-[a_1, a_2]-[2a_2, a_2]=-4[a_2, a_1]-[a_1,a_2]=$

$=4[a_1, a_2]-[a_1, a_2]=3[a_1, a_2].$

$|[2a_1+a_2, a_1+2a_2]|=3|[a_1, a_2]|=3\sqrt 3.$

в) $[a_1+3a_2, 3a_1-a_2]=[a_1, 3a_1-a_2]+3[a_2, 3a_1-a_2]=$

$=-[3a_1-a_2, a_1]-3[3a_1-a_2, a_2]=$

$=-[3a_1, a_1]+[a_2, a_1]-9[a_1, a_2]+3[a_2, a_2]=-10[a_1, a_2].$

$|[a_1+3a_2, 3a_1-a_2]|=|10[a_1, a_2]|=10\sqrt 3.$

Ответ: а) $\sqrt 3;$              б) $3\sqrt 3;$               в) $10\sqrt 3.$

 

2.100. Упростить выражения:

Задачи для самостоятельного решения. 1.Упростить выражение — Мегаобучалка

1.Упростить выражение

2. Найти углы треугольника с вершинами , , .

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах `a=(2;1;0) и `b=(0;-2;1).

4. При каком значении m векторы и перпендикулярны?

5. Найти , если , , .

6. Даны точки , , . Найти

7. Найти длину вектора , если , , .

8. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

9. Даны векторы , , .

Найти вектор , если известно, что , и .

10. Найти проекцию вектора на вектор , если , , .

Ответы: 1. 2. 2

. .3.90°. 4. 3. 5. 336. 6.6. 7. .

8. . 9. (3;-1;2) . 10. .

2.7. Векторное произведение векторов и его свойства

Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.

правая тройка
левая тройка тройка

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

1) перпендикулярен векторам и , то есть , ;

2) имеет длину , где ;

3) векторы , и образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается , то есть

Из условия (2) следует, что длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах:

. (49)

Из определения векторного произведения вытекают следующие соотношения между ортами , и : , , .

Свойства векторного произведения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) тогда и только тогда, когда , или , или ;

5) .

Из определения и свойств второго произведения следует: , , , .

Можно использовать таблицу векторного произведения векторов , и

Пусть заданы два вектора и . Тогда векторное произведение этих векторов может быть найдено с помощью определителя третьего порядка

. (50)

Пример 15. Упростить выражение .

Решение. Используя свойства векторного произведения, получим

Пример 16. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах.



Решение. Найдем векторное произведение векторов и с помощью формулы (50):

Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади построенного на них параллелограмма, то Пример 17. Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах , если ,

Решение. Найдем векторное произведение данных векторов:

Площадь параллелограмма по формуле (49) равна , тогда получим .

Пример 18. Даны два вектора и . Вектор , . Найти .

Решение. Так как вектор и , тогда . Координаты вектора , вектора . Найдем вектор , пользуясь формулой (50)

Таким образом вектор .

Найдем модуль вектора

Пример 19. Найти , если известно, что , .

Решение. Координаты вектора , вектора . По формуле (48) найдем скалярное произведение векторов и

Найдем векторное произведение , используя формулу (50)

. Тогда искомое выражение .

что это? Операции над векторами

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Тот факт, что вектор - это направленный отрезок, будет проще понять, остановившись на различиях между скалярными и векторными величинами.

В приведенной ниже таблице "Не векторы" - это скалярные величины или просто скаляры, а "Векторы" - векторные величины.

Не векторыВекторы
МассаСила тяжести
ДлинаПуть
ВремяУскорение
ПлотностьДавление
ТемператураСкорость
Объем
Площадь
Модуль вектора

Не векторы (скаляры) не имеют направления, а векторы имеют направление.

Вектор обязательно идёт от некоторой точки A по прямой к некоторой точке B. Числовое значение вектора - длина, а физическое и геометрическое - направление. Из этого и выводится первое, самое простое определение вектора. Итак, вектор - это направленный отрезок, идущий от точки A к точке B. Обозначается он так: .

А чтобы приступить к различным операциям с векторами, нам нужно познакомиться с ещё одним определением вектора.

Вектор - это вид представления точки, до которой требуется добраться из некоторой начальной точки. Например, трёхмерный вектор, как правило, записывается в виде (х, y, z). Говоря совсем просто, эти числа означают, как далеко требуется пройти в трёх различных направлениях, чтобы добраться до точки.

Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1 (левая рука указывает вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку, проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении, указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец, окажетесь в конечной точке.

Все остальные термины - это уточнения представленного выше объяснения, необходимые для различных операций над векторами, то есть, решения практических задач. Пройдёмся по этим более строгим определениям, останавливаясь на типичных задачах на векторы.


Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.


Геометрический вектор представлен в двумерном и трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка. Это отрезок, у которого различают начало и конец.

Если A - начало вектора, а B - его конец, то вектор обозначается символом или одной строчной буквой . На рисунке конец вектора указывается стрелкой (рис. 1)


Длиной (или модулем) геометрического вектора называется длина порождающего его отрезка


Два вектора называются равными, если они могут быть совмещены (при совпадении направлений) путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.


В физике часто рассматриваются закреплённые векторы, заданные точкой приложения, длиной и направлением. Если точка приложения вектора не имеет значения, то его можно переносить, сохраняя длину и направление в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным. В курсе высшей математики векторы изучаются в разделе аналитической геометрии, где рассматриваются свободные векторы. Итак, если свободный вектор - это вектор, начало которого может быть в любой точке пространства, то все векторы одинакового направления и длины считаются равными.

Прежде чем Вы узнаете всё об операциях над векторами, настройтесь на решение несложной задачи. Есть вектор Вашей предприимчивости и вектор Ваших инновационных способностей. Вектор предприимчивости ведёт Вас к Цели 1, а вектор инновационных способностей - к Цели 2. Правила игры таковы, что Вы не можете двигаться сразу по направлениям двух этих векторов и достигнуть сразу двух целей. Векторы взаимодействуют, или, если говорить математическим языком, над векторами производится некоторая операция. Результатом этой операции становится вектор "Результат", который приводит Вас к Цели 3.

А теперь скажите: результатом какой операции над векторами "Предприимчивость" и "Инновационные способности" является вектор "Результат"? Если не можете сказать сразу, не унывайте. По мере изучения этого урока Вы сможете ответить на этот вопрос.

Умножение вектора на число


Сложение и вычитание векторов

Слагаемые называются составляющими вектора , а сформулированное правило - правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.

Пример 1. Упростить выражение:

.

Решение:

,

то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности, также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед вычислением произведений векторов.

Пример 2. Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а). Выразить через и векторы , , и , являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам. Длины требуемых в условии задачи векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Результат - требуемые в условии задачи векторы:

Есть все основания полагать, что теперь Вы правильно ответили на вопрос о векторах "Предприимчивость" и "Инновационные способности" в начале этого урока. Правильный ответ: над этими векторами производится операция сложения.

Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решения

Как найти длину суммы векторов?

Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача вроде следующей:

Даны длины векторов и длина суммы этих векторов . Найти длину разности этих векторов .

Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать - в уроке "Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов".

А проверить решение таких задач можно на Калькуляторе онлайн "Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теорема косинусов)".

А где произведения векторов?

Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки "Скалярное произведение векторов" и "Векторное и смешанное произведения векторов".

Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую (плоскость).

Пусть - произвольный вектор (Рис. 5), а и - проекции его начала (точки A) и конца (точки B) на ось l. (Для построения проекции точки A) на прямую проводим через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит требуемую проекцию.

Составляющей вектора на оси l называется такой вектор , лежащий на этой оси, начало которого совпадает с проекцией начала, а конец - с проекцией конца вектора .

Проекцией вектора на ось l называется число

,

равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление составляюшей совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если эти направления противоположны.

Основные свойства проекций вектора на ось:

1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.

3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.

4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Пример 5. Рассчитать проекцию суммы векторов на ось l, если , а углы -

.

Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше. Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:

Находим окончательную проекцию суммы векторов:

.

Знакомство с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве состоялось в соответствующем уроке, желательно открыть его в новом окне.

В упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс, ось 0yосью ординат, и ось 0zосью аппликат.

С произвольной точкой М  пространства свяжем вектор

,

называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:

Числа x, y, z называются координатами точки М , соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой, и записываются в виде упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).

Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором(или ортом) оси. Обозначим через



Соответственно орты координатных осей Ox, Oy, Oz


Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей:

        (2)

Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.

После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в форме

              (3)

Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.

Как мы уже отмечали, векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением

.

Пусть даны векторы . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением

,

то есть, координаты векторов пропорциональны.

Пример 6. Даны векторы . Коллинеарны ли эти векторы?

Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:

.

Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.

Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора

равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах

и выражается равенством

                       (4)

Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.

Пусть в заданной системе координат начало вектора находится в точке

а конец – в точке

(рис.8).

Тогда

Из равенства


следует, что

Отсюда

или в координатной форме

          (5)

Следовательно, координаты вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора. Формула (4) в этом случае примет вид

          (6)

Направление вектора определяют направляющие косинусы. Это косинусы углов, которые вектор образует с осями Ox, Oy и Oz. Обозначим эти углы соответственно α, β и γ. Тогда косинусы этих углов можно найти по формулам

,

,

.

Направляющие косинусы вектора являются также координатами орта этого вектора и, таким образом, орт вектора

или

.

Учитывая, что длина орта вектора равна одной единице, то есть

,

получаем следующее равенство для направляющих косинусов:

.

Пример 7. Найти длину вектора x = (3; 0; 4).

Решение. Длина вектора равна

Пример 8. Даны точки:

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:

Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник является равнобедренным.

Пример 9. Найти длину вектора и его направляющие косинусы, если .

Решение. Координаты вектора даны:

.

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат вектора:

.

Находим направляющие косинусы:

Решить задачу на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пусть даны два вектора и , заданные своими проекциями:

или

или 

Укажем действия над этими векторами.

1.Сложение:

или, что то же

(при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются).

2.Вычитание:

или, что то же

,

(при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются).

3.Умножение вектора на число:

или, что то же

,

(при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число).

Пример 11. Даны два вектора, заданные координатами:

.

Найти заданный координатами вектор, являющийся суммой этих векторов: .

Решение:

.

Решить задачи на координаты векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

При изучении многих вопросов, в частности, экономических, оказалось удобным обобщить рассмотренные приёмы установления соответствия между числами и точками двумерного и трёхмерного пространства и рассматривать последовательности n действительных чисел как "точки" некоторого абстрактного "n-мерного пространства", а сами числа - как "координаты" этих точек. За составляющие n-мерного вектора можно принимать такие данные, как урожайность различных культур, объёмы продаж товаров, технические коэффициенты, номенклатура товаров на складах и т.д.

n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде

,

где  - i – й элемент (или i – я координата) вектора x.

Возможна и другая запись вектора – в виде столбца координат:

Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Например, (2; 5) – двухмерный вектор, (2; -3; 0) – трёхмерный, (1; 3; -2; -4; 7) – пятимерный,

-

n – мерный вектор.

Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю:

0 = (0; 0; …; 0).

Введём операции над n-мерными векторами.

Произведением вектора


на действительное число  называется вектор

(при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число).

Зная вектор

можно получить противоположный вектор

Суммой векторов

и

называется вектор

,

(при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются).

Если в плане продаж сети торговых предприятий продажи товаров определить как положительные уровни товаров, а затраты на продажи – как отрицательные, то получим вектор затрат-продаж

,

где

-

продажи (затраты) k – м предприятием товара i, а k = 1, 2, 3,…, m .

Суммарный вектор затрат-продаж y определяется суммированием векторов затрат-продаж всех m предприятий сети:

Сумма противоположных векторов даёт нулевой вектор:

При вычитании двух векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются:

Операции над n-мерными векторами удовлетворяют следующим свойствам.

Свойство 1.


Свойство 2.

Свойство 3.

Свойство 4.

Свойство 5.

Свойство 6.

Поделиться с друзьями

Весь блок "Аналитическая геометрия"

  • Векторы
  • Плоскость
  • Прямая на плоскости

Упростите выражение bc1 ac ab – 4apple – взгляд на Apple глазами Гика

Вопрос по геометрии:

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ проведена медиана СС1 упростите выражение (ВЕКТОРА):
а) BC1 – AC + AB
б) |BC1 – AC + AB|

Ответы и объяснения 1

Знаете ответ? Поделитесь им!
Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат – это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи – смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Ответ или решение 1

1) Приведем дроби делимого к общему знаменателю abc. Дополнительный множитель для дроби 1/а равен bc. Дополнительный множитель для дроби 1/b равен ас. Дополнительный множитель для дроби 1/с равен ab.

bc/abc + ac/abc + ab/abc = (bc + ac + ab)/abc.

2) Приведем дроби делителя к общему знаменателю abc. Дополнительный множитель для дроби 1/ab равен с. Дополнительный множитель для дроби 1/bc равен а. Дополнительный множитель для дроби 1/ас равен b.

c/abc + a/abc + b/abc = (c + a + b)/abc.

3) Выполним деление. Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю.

В равнобедренном треугольнике abc с основанием ab проведена медиана cc1 А)упростите выражения векторов BC1-AC+AB Б)найдите |BC1-AC+AB|,если AC=5см,AB=6см

Оцените статью: Поделитесь с друзьями!

Образовательный портал EduContest.Net — библиотека учебно-методических материалов


Карточка 1.
Вектор – это ______________________ отрезок. Векторы обозначают так _______ или так _______.
Если два вектора a и b коллинеарны, то они могут быть направлены в одну сторону, либо в противоположные. В первом случае векторы a и b называют _______________________, и записывают так _______, а во втором случае векторы a и b называют ________________________ и записывают так _______.
Несколько векторов можно сложить, пользуясь правилом ______________. При этом начало следующего вектора должно совпадать с ______________ предыдущего вектора.
Произведением ненулевого вектора a на число k называется такой вектор b, длина которого равна ___________.
Упростите выражение: AC+ HK+CH. ______________________________________________________________________
Найдите среднюю линию трапеции, если основания трапеции равны 8 см и 12 см. ___________________________________
Карточка 2.
В
А
С
М
К
N
На рисунке изображены векторы ______, ______, ______. Точки ___, ___, ___ начала данных векторов; точки ___, ___, ___ их концы.
Векторы называют равными, если они _________________ и их длины ________________.
Назовите законы сложения для векторов: a+b= b+a ________________ закон;
a+b+с = a+(b+ c) ____________________ закон.
Произведение любого вектора на число нуль есть _______________ вектор.
Упростите выражение: AM-KM-AP+KP. ________________________________________________
Средняя линия трапеции равна 15 см, а большее основание 17 см. Найдите меньшее основание _______________________________________________________________.
Карточка 3.
Любая точка плоскости является вектором. В этом случае вектор называется __________________.
От любой точки М можно отложить вектор, __________________ данному вектору a, и притом только _________.
Вектор, противоположный вектору a, обозначается _____.
Для любого числа k и любого вектора a векторы a и ka _________________________.
Упростите выражение: AB+ CM+BC. _____________________________________________________
Длина вектора a равна 5,5 см. Найдите длину вектора -3a. ________________________
Карточка 4.
Длина вектора (или модуль вектора) – это ___________________________, изображающего вектор. Длина вектора АВ обозначается ________.
. ез вектор икулярны равна 15 см, а большее основание 17 см. Найдите меньшее основание _________________________.ямых.Правило треугольника можно сформулировать следующим образом: если A, B, C – произвольные точки, то AB+ BC=_________.
Разностью векторов a и b называют такой вектор, который в сумме с вектором _____, даёт вектор _____.
Векторы b и 3b _________________________, векторы b и -12b ____________________________.
Упростите выражение, если возможно: AM- NM-AP. _____________________________________________
АB=3, BC=4. Найдите длину вектора AC, если векторы AB и BC взаимно перпендикулярны. __________________________________________________________
Карточка 5.
Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на ___________ прямой, или на ________________________ прямых.
Правило параллелограмма заключается в следующем, если два вектора выходят из одной точки, то вектор суммы – это есть ___________________ параллелограмма, построенного на ___________ векторах.
Для любых векторов a и b справедливо равенство a- b=a+________.
Средняя линия трапеции – это ___________________, соединяющий _________________ боковых сторон.
Упростите выражение, если возможно: AM- HM-AK. ___________________________________________
Выразите векторы a, 3a, 13a через вектор n=2a. ___________________________________________________________________________

Приложенные файлы

  • vektory
    Размер файла: 18 kB Загрузок: 4

Векторы

Всем здравствуйте! Сегодня разбираемся с векторами: научимся складывать вектора, определять их координаты, длины, выражать один вектор через другие, и пользоваться координатным методом на плоскости для решения задач. Начнем с умения выражать один вектор через другие.

Чтобы выразить нужный вектор через другие, нужно сначала найти любой путь от начала нужного нам вектора к концу, потом записать «кусочки» этого пути в виде векторов, и, наконец, выразить эти векторы через требуемые.

Задача 1. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причем . Выразите векторы и через векторы и .

Найдем путь от точки А к точке М: для этого из точки А идем к В, а затем из В – к М. Часть работы сделана: путь мы нашли. Теперь представляем отрезки этого пути векторами: . Так как  – это дано, то полдела сделано, осталось выразить вектор  . Так как ABCD – параллелограмм, и BC=AD, то . А вектор – часть . Какая часть? Так как соотношение , то, значит, отрезок BC разделили на 4 части: 3x+1x, и тогда вектор – это три части из четырех, то есть . Теперь объединяем весь путь от А к М: .

Теперь так же поступим с вектором : пройдем от точки М к D: . Вектор . А что такое вектор CD? По длине он равен вектору и параллелен ему, но вектор направлен вверх, а вектор – вниз. То есть данные вектора коллинеарны, и получить один из другого можно умножением на (-1): , тогда . Теперь записываем весь путь: .

 

Задача 2. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О, а М – точка на стороне АD, такая, что . Выразите через векторы , следующие векторы: .

Рассмотрим рисунок. Так как AC – диагональ параллелограмма, то понятно, что, по правилу параллелограмма сложения векторов вектор является суммой векторов и : , ну а – его половина, поэтому .

Выразим вектор : по длине он равен вектору , но направлен противоположно, поэтому получим его, умножив вектор на (-1): . Тогда , или , и аналогично

Теперь нам нужно получить вектор , значит, нужно пройти от точки D к точке O любым маршрутом, я выбрала тот, что выделен зеленым. Тогда . , а вектор мы уже нашли ранее. Получим:

Векторы и получим из чисто арифметических соображений: ;

Получим векторы . Так как отношение , то получается, что отрезок разделили на три части, и длина равна длине одной из этих трех частей: .

Чтобы получить вектор , пройдем от точки М к С: . , , получаем:

Чтобы получить вектор , пройдем от точки B к М: . , , получаем:

Остался последний: вектор . От точки О к точке М можно пройти зеленым или красным маршрутом, тогда или , в обоих случаях результат будет одним и тем же, выбираем красный маршрут:

 

 

Задача 3. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка так, что . Выразите вектор через и .

, тогда

 

Задача 4. Пусть – медианы треугольника ABC, О – произвольная точка. Докажите, что .

, , .

Теперь сложим все три выражения:

, или, вынося за скобки дробь ,

Но , так как, обходя такой маршрут, мы возвращаемся в точку старта. Поэтому

, ч.т.д.

 

 

Задача 5. Точки А и С – середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, а точки B и D – середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство: .

.

.

.

.

.

.

Таким образом, раз правые части равны, равны и левые: .

 

Задача 6. Даны четырехугольник MNPQ и точка О. Что представляет собой данный четырехугольник, если .

Так как , а , то , следовательно, эти два вектора лежат на параллельных прямых и равны по длине, следовательно, если соединить концы таких отрезков – то получим еще пару равных отрезков, лежащих на параллельных прямых, откуда следует, что MNPQ – параллелограмм.



Задача 7. Найдите координаты вектора , если а) , ; б), ; в), ; г) , .

Когда мы складываем два вектора по правилу ломаной, то к концу первого мы пристраиваем второй. То есть от исходной координаты по оси х первого вектора мы откладываем координату по оси х второго, или, что то же самое, складываем координаты двух исходных векторов, чтобы получить координату х искомого вектора суммы. Так же поступаем и с координатой у. Тогда: а) , ; б) ; ; в) ; ; г) ; .

 

Задача 8. Найдите длины векторов: , , , , , .

Длина вектора – расстояние между точками его начала и конца. Координаты вектора – это координаты его конца, если его начало совпадает с началом координат. Таким образом, можно представить себе прямоугольный треугольник (так как система координат – прямоугольная), один из катетов которого – координата вектора по оси х, а второй – координата по оси у, тогда длина вектора – гипотенуза такого треугольника, а гипотенузу можно найти по теореме Пифагора:

Задача 9.  Найдите , если расстояние между точками а), равно 2; б) расстояние между точками , равно 7.

a)      Как вы, может быть, помните, расстояние между двумя точками выражается формулой:

. Запишем:

 

б)  . Тогда:

Дискриминант. Определяем четверть дискриминанта, так как второй коэффициент – четный:

Корни:

Ответ: а)

б) либо

 

Задача 10. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек а) и ; б) от точек ,

Искомая точка лежит на оси у, поэтому координата х у нее – нулевая:

а) Запишем расстояние от точки А до точки N: ,

.

Запишем расстояние от точки B до точки N:

Приравниваем расстояния:

Таким образом, искомая точка –

б) Запишем расстояние от точки С до точки N: ,

.

Запишем расстояние от точки D до точки N:

Приравниваем расстояния:

Таким образом, искомая точка –

 

Задача 11. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником и найдите его площадь, если , , , .

Найдем  координаты векторов сторон такого четырехугольника.  Тогда координаты вектора AB будут: , , .

Найдем координаты вектора DC: , , .

Таким образом, получили для обеих противоположных сторон четырехугольника один и тот же вектор. А это значит, что они противоположны и равны. Теперь докажем, что сторона АВ перпендикулярна стороне ВС. Найдем координаты вектора ВС: , , .Условие перпендикулярности векторов на плоскости имеет вид: , проверим, выполняется ли оно:  – да, условие выполняется. Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны – а это означает, что и две другие его стороны будут также равны и параллельны, а значит, он  – параллелограмм, после чего доказали, что смежные стороны нашего четырехугольника перпендикулярны – значит, он прямоугольник. Тогда найдем его площадь: . Найдем длины векторов  и .

Расстояние между двумя точками выражается формулой:

Таким образом, четырехугольник не только является прямоугольником, но и квадратом, и его площадь равна 17.

 

Задача 12. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80. Найдите две другие медианы этого треугольника.

Так как треугольник равнобедренный, то медиана, проведенная к основанию, является и его высотой. Введем систему координат так, чтобы ось х совпала бы с основанием треугольника, а ось у – с высотой, проведенной к основанию. В такой системе координат мы можем узнать длину любого вектора по координатам его концов.  Один из концов искомой медианы – вершина треугольника, одна из точек его основания, а  второй конец – середина противолежащей стороны. То есть, чтобы решить задачу, нам надо определить координаты вершин такого треугольника. Координаты вершин треугольника будут: , , , а координату середины стороны ВС определим так: для этого берем полусумму координат по х, и полусумму по у точек концов отрезка: , 

Длина искомой медианы:

Ответ: .

 

Задача 13. Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 и 4 см. Найдите медиану, проведенную к меньшей из двух других сторон.

Введем систему координат так, чтобы ось х совпала бы с основанием треугольника, а ось у – с высотой, проведенной к основанию. В такой системе координат мы можем узнать длину любого вектора по координатам его концов.  Координаты вершин треугольника будут: , , .

Нам нужна медиана, проведенная к меньшей стороне. Рассмотрев треугольники АВО и ОВС можем заключить, что гипотенуза первого больше, чем гипотенуза второго даже без расчета, поэтому меньшая из оставшихся сторон – ВС. Точка М – середина ВС,  а координату середины стороны ВС теперь можно легко определить: для этого берем полусумму координат по х, и полусумму по у точек концов отрезка: ,  . Таким образом, нас интересует длина отрезка AM, координаты концов которого и  .

Расстояние между двумя точками выражается формулой:

Тогда

Ответ: .

 

Задача 14. Дан прямоугольник АВСD. Докажите, что для произвольной точки М плоскости справедливо равенство:

В треугольнике АМТ  АМ – гипотенуза. Тогда

В треугольнике CМK  CМ – гипотенуза. Тогда

Рассмотрим треугольник BMS:

А гипотенуза треугольника DMT:

Сложим квадраты:

Видим, что правые части равенств равны, значит, равны и левые: , ч.т.д.

Как упростить векторное выражение?

Вот способ делать все, что вы просили автоматически, независимо от версии Mathematica . Подход основан на специальном символе для идентификации, когда мы имеем дело с вектором: вместо использования таких вещей, как x , y и т. Д. Для векторов, теперь принято, что векторы записываются как vec [x] , vec [y] и т. Д.

Для этой цели можно также определить оболочку OverVector [x] , поскольку она отображается как $ \ vec {x} $.Но в этом посте я хочу сделать его простым, и стрелки не будут легко отображаться в исходном коде ниже.

  ClearAll [scalarProduct, vec];
SetAttributes [scalarProduct, {Orderless}]
vec /: точка [vec [x_], vec [y_]]: = scalarProduct [vec [x], vec [y]]
vec /: Cross [vec [x_], HoldPattern [Plus [y__]]]: =
 Карта [Cross [vec [x], #] &, Plus [y]]
vec /: Cross [HoldPattern [Plus [y__]], vec [x_]]: =
 Карта [Cross [#, vec [x]] &, Plus [y]]
scalarProduct /: MakeBoxes [scalarProduct [x_, y_], _]: =
 RowBox [{ToBoxes [x], ".", ToBoxes [y]}]

vec [x] .vec [y]

(* ==> vec [x] .vec [y] *)

vec [x] .vec [y] == vec [y] .vec [x]

(* ==> Верно *)

Крест [vec [x], vec [a] + vec [b]]

(* ==> vec [x] \ [Cross] vec [a] + vec [x] \ [Cross] vec [b] *)

Крест [vec [a] + vec [b], vec [x]]

(* ==> vec [a] \ [Cross] vec [x] + vec [b] \ [Cross] vec [x] *)
  

Для продукта Dot я определил поведение vec таким образом, что оно оценивается как новая функция scalarProduct , единственное алгебраическое свойство которой состоит в том, что это Orderless , как вы и ожидали для скалярного произведения векторов.Конечно, это верно только для евклидовых скалярных произведений, поэтому здесь это предположение подразумевается. Для получения дополнительной информации о том, как работает это определение, найдите TagSetDelayed .

Кроме того, scalarProduct получает настраиваемый формат отображения, определяя, что он должен снова отображаться, как если бы это был скалярный продукт, когда он появляется в функции низкоуровневого форматирования MakeBoxes .

Для свойства распределения перекрестного произведения я даю vec дополнительное свойство: когда оно появляется в Cross вместе с выражением head Plus , сумма увеличивается.Здесь определения TagSetDelayed выполняются для обоих заказов и содержат HoldPattern , чтобы предотвратить слишком раннюю оценку Plus в определении.

Теперь вы можете вернуться со многими другими пожеланиями: например, как насчет мультипликативных скаляров в скалярном произведении или перекрестном произведении и как насчет матриц. Тем не менее, это обширное поле, которое открывает банку червей, поэтому я бы сказал, просто реализуйте минимум функций, которые вы можете избежать символически, а затем переходите к конкретной рабочей основе, чтобы вы могли вместо этого писать векторы в виде списков.

Другой подход - определить новый символ для пользовательского скалярного произведения. Это сделано в этом вопросе.

Использование OverVector

Как упоминалось выше, вы можете заменить vec на Overvector везде в приведенном выше исходном коде, чтобы получить лучший форматированный результат. Предполагая, что вы это сделали (я не буду повторять определения с этим изменением), вот несколько примеров:

Чтобы ввести эти векторные выражения, обратитесь к палитре Помощника по основам математики.Перекрестное произведение можно ввести как Esc cross Esc .

Еще вы просили использовать антисимметрию перекрестного произведения в упрощениях. На самом деле это уже сделано, если вы вызываете FullSimplify :

symbolic - Можно ли упростить выражение в векторной форме, которое включает кросс-произведение и скалярное произведение?

Мне часто нужно упростить выражения, включающие перекрестное произведение и скалярное произведение, например:

  f = точка [Крест [Крест [p1 - p, e1], Крест [p2 - p, e2]]], Крест [p3 - p, e3]]
  

, где все символы в правой части являются трехмерными векторами, но ссылаться на их компоненты нежелательно, потому что довольно сложно найти полезную информацию из результатов.Это упрощение очень часто требуется в таких областях, как кинематика и динамика, и я считаю, что многие люди сталкивались с этой проблемой, но мой поиск не дал очень релевантных результатов.

Есть ли способ справиться с таким упрощением? Возможное решение, которое, я думаю, может сработать, состоит в том, что мы можем определить некоторые настраиваемые операторы или функции для представления кросс-произведения и скалярного произведения, а затем определить набор правил для этих операторов (или для Simplify commend), чтобы отразить возможные упрощения. такие как расширение смешанного продукта и т. д.Но я новичок в Mathematica и не знаю, как это сделать, и не знаю, лучший ли это способ.

Может кто-нибудь помочь? Любой ответ с благодарностью! Спасибо!

Продолжение 1

Благодаря маршу я нашел команду $ предположений = {p1 [Element] Vectors [3, Reals]} , которая превращает задачу в тензорную. Я пробовал эту команду для всех векторов, и функция f показывает правильное выражение, но после этого Expand , Simplification , Collect , похоже, не работают, только TensorExpand и TensorReduce Для этих тензоров работает .Выражение кажется сложным, поскольку Simplify сейчас работать не будет. Пока я не нашел способа справиться с этим.

Тем не менее, я думаю, что может помочь способ определения настраиваемых операторов (или функций) или правил (в Simplify ), которые могут определять такие операции, как смешанное произведение или двойное перекрестное произведение. Есть ли у кого-нибудь опыт работы с подобными вещами? Спасибо!

Продолжение 2

Спасибо за все ответы! Было бы здорово, если бы некоторые из вас могли помочь мне реализовать небольшой фрагмент кода для реализации некоторых из приведенных ниже отношений, а я буду следовать вашей стратегии, чтобы закончить остальную часть кода.

В основном я думаю, что есть две ключевые операции, которые имеют значение:

  1. смешанное произведение, точка [крест [a, b], c] = точка [крест [b, c], a] = точка [крест [c, a], b]
  2. двойное перекрестное произведение: Крест [Крест [a, b], c] = Точка [a, c] b - Точка [b, c] a

Кроме того, есть несколько основных отношений, в том числе:

  1. Крест [a, b] = -Крест [b, a]
  2. Точка [a, b] = Точка [b, a]
  3. Крест [(a + b), c] = Крест [a, c] + Крест [b, c]
  4. Точка [(a + b), c] = точка [a, c] + точка [b, c]

И критерии состоят в том, что одночленов должно быть как можно меньше, и каждый одночлен должен быть простым, точно так же, как то, что я получу после серии Expand , Collect и Simplify .Я перечисляю эти отношения, которые, как мне кажется, должны использоваться в качестве правил для команды Simplify ?

Еще раз спасибо за любую помощь!

Закрытие прикладной математики - Закрытие прикладной математики

Кафедра прикладной математики закрыта с 1 июля 2021 г. .

Программы и факультет прикладной математики (за исключением инженерной математики) переведены на кафедру математики.Программы и факультет, специализирующийся на теоретической физике и научных вычислениях, переместились на факультет физики и астрономии. Запросы по инженерной математике следует направлять в Департамент физики и астрономии.

Веб-сайт математического факультета

Веб-сайт физико-астрономического факультета


Контактная информация администрации

Мы предлагаем следующие замены студентам, которые начинают свой 3-й или 4-й год обучения по основному модулю прикладной математики [Описание в формате PDF для печати здесь]

Вместо:

  • 0.5 курсов AM 4613A / B, 4617A / B
  • 0,5 Курсы из AM 4815A / B, AM 4817A / B

Заменим:

  • 1.0 Курсы AM 3615A (математическая биология), Phys 3151A (ранее AM 3151A, классическая механика), Math 3152 A (комбинаторная математика), Math 3157 B (теория игр), AM 4615 A ​​(компьютерная алгебра), математика 4958 B (Специальные темы в прикладной математике, эволюционная динамика, требуется AM 3815A и SS 2857A), Phys 3926F (компьютерное моделирование в физике, 2 -й год -й год Преподаватель может отказаться от предварительных требований по физике; только для студентов, имеющих * не * взят AM 3911F / G).

Обратите внимание, что вы уже не можете учитывать замененный курс как часть других требований вашего модуля. Вы должны это проверить.

Возможны другие замены; Перечисленные выше курсы были выбраны потому, что студенты AM часто имеют соответствующие предварительные условия.


Мы предлагаем следующие замены студентам, которые начинают свой 3-й или 4-й год обучения со специализацией с отличием по прикладной математике [Версия для печати PDF Описание здесь] :

Вместо:

  • 0.5 курсов AM 4613A / B, 4617A / B
  • 1.0 дополнительный курс от AM 3151A / B, AM 3615A / B, AM 3611F / G, AM 4613A / B, AM 4615A / B, AM 4617A / B, FM 3613A / B, FM 3817A / B

Заменим:

  • 1.5 Курсы AM 3615A (математическая биология), Phys 3151A (ранее AM 3151A, классическая механика), Math 3152 A (комбинаторная математика), Math 3157 B (теория игр), AM 4615 A ​​(компьютерная алгебра), математика 4958 B (Специальные темы в прикладной математике, эволюционная динамика, требуется AM 3815A и SS 2857A), Phys 3926F (Компьютерное моделирование в физике, 2 -й год -й год Преподаватель может отказаться от предварительных требований к физике; только для студентов, имеющих * не * взято AM 3911F / G), SS 3859A / B (регрессионный анализ), AM 4264B (введение в нейронные сети; не предлагается в 21-22, но актуально здесь, если вы его приняли), FM 3613A / B, FM 3817А / Б.

Обратите внимание, что вы уже не можете учитывать замененный курс как часть других требований вашего модуля. Вы должны проверить это

Возможны другие замены; Перечисленные выше курсы были выбраны потому, что студенты AM часто имеют соответствующие предварительные условия.

Если ваш модуль не указан выше, вы можете найти соответствующую информацию здесь

ЕСЛИ ВЫ ХОТИТЕ ПРЕДЛОЖИТЬ ЗАМЕНУ КУРСОВ, И ВЫ НАЧИТАЕТЕ ЛИБО НА 3 ИЛИ 4 ГОД ОБУЧЕНИЯ В ПРИКЛАДНОМ МОДУЛЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ, ТО ПОДАЙТЕ ВАШЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ ЧЕРЕЗ ДОСТУПНУЮ ЗДЕСЬ ВЕБФОРМУ.

Упрощение выражений - хитрости и примеры

Умение упрощать выражения - самый важный шаг в понимании и овладении алгеброй. Упрощение выражений - удобный математический навык, потому что он позволяет нам преобразовывать сложные или неудобные выражения в более простые и компактные формы. Но перед этим мы должны знать, что такое алгебраическое выражение.

Алгебраическое выражение - это математическая фраза, в которой переменные и константы объединяются с помощью рабочих символов (+, -, × & ÷). Например, 10x + 63 и 5x - 3 являются примерами алгебраических выражений.

В этой статье мы узнаем несколько уловок на , как упростить любое алгебраическое выражение.

Как упростить выражения?

Упрощение алгебраического выражения можно определить как процесс записи выражения в наиболее эффективной и компактной форме без изменения значения исходного выражения.

Процесс влечет за собой сбор одинаковых терминов, что подразумевает добавление или вычитание терминов в выражении.

Напомним некоторые важные термины, используемые при упрощении выражения:

  • Переменная - это буква, значение которой неизвестно в алгебраическом выражении.
  • Коэффициент - это числовое значение, используемое вместе с переменной.
  • Константа - это член, имеющий определенное значение.
  • Подобные термины - это переменные с одинаковой буквой и мощностью.Подобные термины могут иногда содержать разные коэффициенты. Например, 6x 2 и 5x 2 похожи на термы, потому что у них есть переменная с аналогичным показателем степени. Точно так же термины 7yx и 5xz отличаются, потому что каждый член имеет разные переменные.

Чтобы упростить любое алгебраическое выражение, следующие основные правила и шаги:

  • Удалите любой символ группировки, такой как скобки и круглые скобки, умножая множители.
  • Используйте правило экспоненты, чтобы удалить группировку, если термины содержат экспоненты.
  • Объедините одинаковые члены путем сложения или вычитания
  • Объедините константы

Пример 1

Simplify 3 x 2 + 5 x Решение 2

с оба члена в выражении имеют одинаковые показатели степени, мы их объединяем;

3 x 2 + 5 x 2 = (3 + 5) x 2 = 8 x 2

Пример 2

Упростите выражение : 2 + 2x [2 (3x + 2) +2)]

Решение

Сначала вычислите любые термины в скобках, умножив их;

= 2 + 2x [6x + 4 +2] = 2 + 2x [6x + 6]

Теперь удалите круглые скобки, умножив любое число вне его;

2 + 2x [6x + 6] = 2 + 12x 2 + 12x

Это выражение можно упростить, разделив каждый член на 2 как;

12x 2 /2 + 12x / 2 + 2/2 = 6 x 2 + 6x + 1

Пример 3

Simplify 3 x + 2 ( x - 4)

Решение

В этом случае невозможно объединить термины, если они все еще заключены в круглые скобки или какой-либо знак группировки.Поэтому удалите скобку, умножив любой множитель вне группы на все члены внутри нее.

Следовательно, 3 x + 2 ( x - 4) = 3 x + 2 x - 8

= 5 x - 8

Когда знак минус стоит перед группой , это обычно влияет на все операторы в круглых скобках. Это означает, что знак минус перед группой изменит операцию сложения на вычитание и наоборот.

Пример 4

Упростить 3 x - (2 - x )

Решение

3 x - (2 - x ) = 3 x + (- 1) [2 + (- x )]

= 3 x + (–1) (2) + (–1) (- x )

= 3 x - 2 + x

= 4 x - 2

Однако, если перед группировкой стоит только знак «плюс», скобки просто стираются.

Например, , чтобы упростить 3 x + (2 - x ), скобки удаляются, как показано ниже:

3x + (2 - x) = 3x + 2 - x

Пример 5

Упростить 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x

Решение

15x - 5 + x (x) + 8 - 3x

15x - 5 + x 2 + 8 - 3x.

Теперь объедините одинаковые термины, добавляя и вычитая их;

x 2 + (15x - 3x) + (8-5)

x 2 + 12x + 3

Пример 6

Упростить x (4 - x) - x (3 - x)

Решение

x (4 - x) - x (3 - x)

4x - x 2 - x (3 - x)

4x - x 2 - (3x - x 2 )

4x - x 2 - 3x + x 2 = x

Практические вопросы

Упростите каждое из следующих выражений:

  1. 2st + 3t - s + 5t + 4s
  2. 2a - 4b + 3ab -5a + 2b
  3. x (2x + 3y -4) - x 2 + 4xy - 12
  4. 4 (2x + 1) - 3x
  5. 4 (p - 5) +3 (p +1)
  6. [2x 3 y 2 ] 3
  7. 6 (p + 3q) - (7 + 4q)
  8. 4rs -2s - 3 (rs +1) - 2s
  9. [( 3 - x) (x + 2) + (-x + 4) (7x + 2) - (x - y) (2x - y)] - 3x 2 - 7x + 5
Предыдущее меньше на | Главная страница | Следующий урок

Как упростить векторное выражение?

Если у вас Mathematica Version 9, вы можете использовать Vectors и TensorReduce :

  Предполагая [(x | y) \ [Element] Vectors [n], TensorReduce [Dot [x, y] - Dot [y, x]]]
(* 0 *)
TensorReduce [Dot [x, y] - Dot [y, x], Допущения -> (x | y) \ [Element] Vectors [n]]
(* 0 *)
TensorReduce [Cross [x + y, z], Допущения -> (x | y | z) \ [Element] Vectors [n]]
(* x \ [крест] z + y \ [крест] z *)
Распространить [Cross [x + y, z]] (* это должно работать во всех предыдущих версиях *)
(* x \ [крест] z + y \ [крест] z *)
  

Вот способ делать все, что вы просили автоматически, независимо от версии Mathematica .Подход основан на специальном символе для идентификации, когда мы имеем дело с вектором: вместо использования таких вещей, как x , y и т. Д. Для векторов, теперь принято, что векторы записываются как vec [x] , vec [y] и т. Д.

Для этой цели можно также определить оболочку OverVector [x] , поскольку она отображается как $ \ vec {x} $. Но в этом посте я хочу сделать его простым, и стрелки не будут легко отображаться в исходном коде ниже.

  ClearAll [scalarProduct, vec];
SetAttributes [scalarProduct, {Orderless}]
vec /: точка [vec [x_], vec [y_]]: = scalarProduct [vec [x], vec [y]]
vec /: Cross [vec [x_], HoldPattern [Plus [y__]]]: =
 Карта [Cross [vec [x], #] &, Plus [y]]
vec /: Cross [HoldPattern [Plus [y__]], vec [x_]]: =
 Карта [Cross [#, vec [x]] &, Plus [y]]
scalarProduct /: MakeBoxes [scalarProduct [x_, y_], _]: =
 RowBox [{ToBoxes [x], ".", ToBoxes [y]}]

vec [x] .vec [y]

(* ==> vec [x] .vec [y] *)

vec [x] .vec [y] == vec [y] .vec [x]

(* ==> Верно *)

Крест [vec [x], vec [a] + vec [b]]

(* ==> vec [x] \ [Cross] vec [a] + vec [x] \ [Cross] vec [b] *)

Крест [vec [a] + vec [b], vec [x]]

(* ==> vec [a] \ [Cross] vec [x] + vec [b] \ [Cross] vec [x] *)
  

Для продукта Dot я определил поведение vec таким образом, что оно оценивается как новая функция scalarProduct , единственное алгебраическое свойство которой состоит в том, что это Orderless , как вы и ожидали для скалярного произведения векторов.Конечно, это верно только для евклидовых скалярных произведений, поэтому здесь это предположение подразумевается. Для получения дополнительной информации о том, как работает это определение, найдите TagSetDelayed .

Кроме того, scalarProduct получает настраиваемый формат отображения, определяя, что он должен снова отображаться, как если бы это был скалярный продукт, когда он появляется в функции низкоуровневого форматирования MakeBoxes .

Для свойства распределения перекрестного произведения я даю vec дополнительное свойство: когда оно появляется в Cross вместе с выражением head Plus , сумма увеличивается.Здесь определения TagSetDelayed выполняются для обоих заказов и содержат HoldPattern , чтобы предотвратить слишком раннюю оценку Plus в определении.

Теперь вы можете вернуться со многими другими пожеланиями: например, как насчет мультипликативных скаляров в скалярном произведении или перекрестном произведении и как насчет матриц. Тем не менее, это обширное поле, которое открывает банку червей, поэтому я бы сказал, просто реализуйте минимум функций, которые вы можете избежать символически, а затем переходите к конкретной рабочей основе, чтобы вы могли вместо этого писать векторы в виде списков.

Другой подход - определить новый символ для пользовательского скалярного произведения. Это сделано в этом вопросе.

Использование OverVector

Как упоминалось выше, вы можете заменить vec на Overvector везде в приведенном выше исходном коде, чтобы получить лучший форматированный результат. Предполагая, что вы это сделали (я не буду повторять определения с этим изменением), вот несколько примеров:

Чтобы ввести эти векторные выражения, обратитесь к палитре Помощника по основам математики.Перекрестное произведение можно ввести как Esc cross Esc .

Еще вы просили использовать антисимметрию перекрестного произведения в упрощениях. На самом деле это уже сделано, если вы вызываете FullSimplify :

python - как упростить симпозиумные векторы?

Я делаю некоторые символьные векторные вычисления, используя sympy , но я не могу упростить аргументы векторного класса должным образом.Рассмотрим этот код:

  из sympy.physics.mechanics import ReferenceFrame, dot, cross
из символов импорта sympy, sin, cos, упрощать

альфа, тета, l = символы ('альфа тета l')

def Родригес (v, k, угол):
    return cos (угол) * v + крест (k, v) * sin (угол) + k * точка (k, v) * (1- cos (угол))

N = опорный кадр ('N')
P0 = -l * N.y

P2 = Родригес (
    Родригес (P0, -N.z, альфа),
    Родригес (N.x, -N.z, альфа),
    тета)
  

, который возвращает:

          

, пытаясь упростить (P2) , я получаю сообщение об ошибке:

AttributeError: объект "функция" не имеет атрибута "x"

, что, как мне кажется, связано с тем, что для simpleify требуется объект выражения sympy .пробуя dir (P2) , есть метод simpleify , который возвращает:

  <связанный метод Vector.simplify of - l * sin (alpha) * cos (theta) * Nx - l * cos (alpha) * cos (theta) * Ny + (-l * sin (alpha) ** 2 - l * cos (альфа) ** 2) * sin (тета) * Nz>
  

, я понятия не имею, что это такое! пробуя P2.args , я получаю:

  [(Матрица ([
  [-l * sin (альфа) * ​​cos (тета)],
  [-l * cos (альфа) * ​​cos (тета)],
  [(-l * sin (альфа) ** 2 - l * cos (альфа) ** 2) * sin (тета)]]), N)]
  

, который является одномерным списком двухмерного кортежа с вложенной 3x1 матрицей sympy ! Я не знаю, чей выбор заключался в том, чтобы сделать векторный класс таким непонятным, но теперь я могу упростить последний элемент с помощью simpleify (P2.args [0] [0] [2]) и измените функцию на:

  деф Родригес (v, k, угол):
    tmpVec = cos (угол) * v + крест (k, v) * sin (угол) + k * точка (k, v) * (1- cos (угол))
    tmpFrame = tmpVec.args [0] [1]
    return simpleify (tmpVec.args [0] [0] [0]) * tmpFrame.x + simpleify (tmpVec.args [0] [0] [1]) * tmpFrame.y + simpleify (tmpVec.args [0] [ 0] [2]) * tmpFrame.z
  

, что мне кажется очень плохим решением.

Мне было интересно, не могли бы вы помочь мне узнать, есть ли более питонический способ сделать это.Например, заставьте sympy упростить все выражения по умолчанию. А может я неправильно использую метод vector.simplify ? Заранее благодарим за вашу поддержку.

П.С. Формула вращения Родригеса

упрощающих выражений | нет

Алгебраические выражения иногда могут выглядеть беспорядочно, поскольку они содержат не только числа, но и буквенные символы.Давайте подробнее рассмотрим, как мы можем упростить эти выражения.

Чтобы упростить алгебраическое выражение, мы должны собрать одинаковые термины. Когда алгебраическое выражение упрощается, эквивалентное выражение оказывается проще исходного. Обычно это означает, что упрощенное выражение меньше исходного. Существует много различных видов алгебраических выражений, поэтому стандартной процедуры для их упрощения не существует. Вот список шагов, которые нужно выполнить.

  • Подготовьте алгебраическое выражение для упрощения (например, путем раскрытия).
  • Определите и сгруппируйте похожие термины.
  • Объедините похожие термины.

Пример: Упростим выражение 5x + 3y -9z -8x + 6y.

Решение:

Выражение не нужно подготавливать, поэтому сначала определите и сгруппируйте похожие термины:

(5x - 8x) + (3y + 6y) - 9z

Далее объедините похожие термины:

-3x + 9y - 9z

Пример: Упростим выражение 4 (5a - 4b) -7 (6a + 2b).

Решение:

Сначала подготовьте выражение для упрощения (расширения): 20a - 16b - 42a- 14b

Затем определите и сгруппируйте похожие термины: (20a - 42a) + (-16b - 14b)

Наконец, объедините похожие термины: -22a - 20b

Важно понимать, что не все алгебраические выражения можно упростить. Например, выражение 56a - 8b + 7c -5 не может быть далее упрощено, поскольку в выражении нет похожих членов.

Давайте закончим еще одним примером выражения, которое содержит произведения и частные простых множителей, включающих степени с одинаковым основанием.Их можно легко упростить, добавляя и вычитая индексы степеней (используя законы экспоненты).

Пример: Упростим выражение 24w 4 x 5 z ÷ 2wyz 2

Решение:

Выражение не нужно подготавливать, поэтому объедините похожие термины: 12w 3 x 5 / yz

Пример - комбинирование рациональных выражений:

Как избежать распространенных математических ошибок при упрощении:

Упрощение с экспонентами:

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *