Уравнение прямой в отрезках на плоскости
Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида
,
где из общего уравнения прямой, из общего уравнения прямой.
Числа a и b имеют весьма простой геометрический смысл. Это величины отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях, считая каждый от начала координат (рисунок внизу).
Как получить уравнение прямой в отрезках из общего уравнения прямой? Пусть дано общее уравнение прямой на плоскости
при условии, что ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.
Перенесём свободный член C в правую часть уравнения и получим:
.
Поделим обе части уравнения на -C и имеем:
или
.
Вводя обозначения
,
получим
,
то есть уравнение прямой в отрезках.
Пример 1. Прямая на плоскости задана общим уравнением . Составить для этой прямой уравнение в отрезках и построить прямую.
Решение. Находим A и B:
.
Следовательно, для данной прямой уравнение в отрезках будет следующим:
.
Мы получим эту прямую на чертеже, если отложим на координатных осях Ox и Oy отрезки, величины которых соответственно равны и и соединим их концы.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Пример 2. Прямая на плоскости задана общим уравнением . Составить для этой прямой уравнение в отрезках и построить прямую.
Решение. Находим A и B:
.
Следовательно, для данной прямой уравнение в отрезках будет следующим:
.
Мы получим эту прямую на чертеже, если отложим на координатных осях Ox и Oy отрезки, величины которых соответственно равны
и и соединим их концы.
Самые наблюдательные, возможно, уже начали устанавливать закономерность, по которой отрезки имеют положительный либо отрицательный знак в зависимости от знаков коэффициентов.
Пример 3. Прямая на плоскости задана уравнением в отрезках . Установить, принадлежит ли этой прямой точка .
Решение. Как и в другие виды уравнения прямой, в уравнение прямой в отрезках подставляем координаты точки. Получаем верное равенство:
.
Следовательно, заданная точка принадлежит прямой.
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
К началу страницы
Пройти тест по теме Прямая и плоскость
Всё по теме «Прямая на плоскости
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Общее уравнение прямой на плоскости
Уравнение прямой в отрезках
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Параметрические уравнения прямой на плоскости
Нормальное уравнение прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой
теория, примеры, решение задач, угол наклона прямой к оси х
Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры.
Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.
Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой
Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси Ох с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат Ох на плоскости.
Определение 1Угол наклона прямой к оси Ох, расположенный в декартовой системе координат Оху на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления Ох к прямой против часовой стрелки.
Когда прямая параллельна Ох или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 0. Тогда угол наклона заданной прямой α определен на промежутке [0, π).
Определение 2Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.
Стандартное обозначение буквой k. Из определения получим, что k=tg α.
Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.
Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.
Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.
Пример 1Посчитать угловой коэффициент прямой при угле наклона равном 120°.
Решение
Из условия имеем, что α=120°. По определению необходимо вычислить угловой коэффициент. Найдем его из формулы k=tg α=120=-3.
Ответ: k=-3.
Если известен угловой коэффициент, а необходимо найти угол наклона к оси абсцисс, тогда следует учитывать значение углового коэффициента. Если k>0, тогда угол прямой острый и находится по формуле α=arctg k. Если k<0, тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α=π-arctgk.
Определить угол наклона заданной прямой к Ох при угловом коэффициенте равном 3.
Решение
Из условия имеем, что угловой коэффициент положительный, а это значит, что угол наклона к Ох меньше 90 градусов. Вычисления производятся по формуле α=arctg k=arctg 3.
Ответ: α=arctg 3.
Пример 3Найти угол наклона прямой к оси Ох, если угловой коэффициент = -13.
Решение
Если принять за обозначение углового коэффициента букву k, тогда α является углом наклона к заданной прямой по положительному направлению Ох. Отсюда k=-13<0, тогда необходимо применить формулу α=π-arctgkПри подстановке получим выражение:
α=π-arctg-13=π-arctg 13=π-π6=5π6.
Ответ: 5π6.
Уравнение с угловым коэффициентом
Уравнение вида y=k·x+b, где k является угловым коэффициентом, а b некоторым действительным числом, называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение характерно для любой прямой, непараллельной оси Оу.
Если подробно рассмотреть прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задана уравнением с угловым коэффициентом, который имеет вид y=k·x+b. В данном случае значит, что уравнению соответствуют координаты любой точки прямой. Если подставить координаты точки М, M1(x1, y1), в уравнениеy=k·x+b, тогда в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.
Задана прямая с угловым коэффициентом y=13x-1. Вычислить, принадлежат ли точки M1(3, 0) и M2(2, -2) заданной прямой.
Решение
Необходимо подставить координаты точки M1(3, 0) в заданное уравнение, тогда получим 0=13·3-1⇔0=0. Равенство верно, значит точка принадлежит прямой.
Если подставим координаты точки M2(2, -2), тогда получим неверное равенство вида -2=13·2-1⇔-2=-13. Можно сделать вывод, что точка М2 не принадлежит прямой.
Ответ: М1 принадлежит прямой, а М2 нет.
Известно, что прямая определена уравнением y=k·x+b, проходящим через M1(0, b), при подстановке получили равенство вида b=k·0+b⇔b=b.
Отсюда можно сделать вывод, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y=k·x+b на плоскости определяет прямую, которая проходит через точку 0, b. Она образует угол αс положительным направлением оси Ох, где k=tg α.
Рассмотрим на примере прямую, определенную при помощи углового коэффициента, заданного по виду y=3·x-1. Получим, что прямая пройдет через точку с координатой 0, -1 с наклоном в α=arctg3=π3 радиан по положительному направлению оси Ох. Отсюда видно, что коэффициент равен 3.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку
Необходимо решить задачу, где необходимо получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящим через точку M1(x1, y1).
Равенство y1=k·x+b можно считать справедливым, так как прямая проходит через точку M1(x1, y1). Чтобы убрать число b, необходимо из левой и правой частей вычесть уравнение с угловым коэффициентом. Из этого следует, что y-y1=k·(x-x1). Данное равенство называют уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящая через координаты точки M1(x1, y1).
Решение
По условию имеем, что x1=4, y1=-1, k=-2. Отсюда уравнение прямой запишется таким образом y-y1=k·(x-x1)⇔y-(-1)=-2·(x-4)⇔y=-2x+7.
Ответ: y=-2x+7.
Пример 6Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, которое проходит через точку М1 с координатами (3,5), параллельную прямой y=2x-2.
Решение
По условию имеем, что параллельные прямые имеют совпадающие углы наклона, отсюда значит, что угловые коэффициенты являются равными. Чтобы найти угловой коэффициент из данного уравнения, необходимо вспомнить его основную формулу y=2x-2, отсюда следует, что k=2. Составляем уравнение с угловым коэффициентом и получаем:
y-y1=k·(x-x1)⇔y-5=2·(x-3)⇔y=2x-1
Ответ: y=2x-1.
Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно
Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись.
Можем получить каноническое уравнение прямой на плоскости, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом. Получаем x-x1ax=y-y1ay. Необходимо слагаемое b перенести в левую часть и поделить на выражение полученного неравенства. Тогда получим уравнение вида y=k·x+b⇔y-b=k·x⇔k·xk=y-bk⇔x1=y-bk.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.
Пример 7Привести уравнение прямой с угловым коэффициентом y=-3x+12к каноническому виду.
Решение
Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:
y=-3x+12⇔-3x=y-12⇔-3x-3=y-12-3⇔x1=y-12-3
Ответ: x1=y-12-3.
Общее уравнение прямой проще всего получить из y=k·x+b, но для этого необходимо произвести преобразования: y=k·x+b⇔k·x-y+b=0.
Производится переход из общего уравнения прямой к уравнениям другого вида.
Дано уравнение прямой видаy=17x-2. Выяснить, является ли вектор с координатами a→=(-1, 7) нормальным вектором прямой?
Решение
Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:
y=17x-2⇔17x-y-2=0
Коэффициенты перед переменными являются координатами нормального вектора прямой. Запишем это так n→=17, -1, отсюда 17x-y-2=0. Понятно, что вектор a→=(-1, 7) коллинеарен вектору n→=17, -1, так как имеем справедливое соотношение a→=-7·n→. Отсюда следует, что исходный вектор a→=-1, 7 — нормальный вектор прямой 17x-y-2=0, значит, считается нормальным вектором для прямой y=17x-2.
Ответ: Является
Решим задачу обратную данной.
Необходимо перейти от общего вида уравнения Ax+By+C=0, где B≠0, к уравнению с угловым коэффициентом. для этого решаем уравнение относительно у. Получим Ax+By+C=0⇔-AB·x-CB.
Результат и является уравннием с угловым коэффициентом, который равняется -AB.
Задано уравнение прямой вида 23x-4y+1=0 . Получить уравнение данной прямой с угловым коэффициентом.
Решение
Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:
23x-4y+1=0⇔4y=23x+1⇔y=14·23x+1⇔y=16x+14.
Ответ: y=16x+14.
Аналогичным образом решается уравнение вида xa+yb=1, которое называют уравнение прямой в отрезках, или каноническое вида x-x1ax=y-y1ay. Нужно решить его относительно у, только тогда получим уравнение с угловым коэффициентом:
xa+yb=1⇔yb=1-xa⇔y=-ba·x+b.
Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:
x-x1ax=y-y1ay⇔ay·(x-x1)=ax·(y-y1)⇔⇔ax·y=ay·x-ay·x1+ax·y1⇔y=ayax·x-ayax·x1+y1
Пример 10Имеется прямая, заданная уравнением x2+y-3=1. Привести к виду уравнения с угловым коэффициентом.
Решение.
Исходя из условия, необходимо преобразовать, тогда получим уравнение вида _formula_. Обе части уравнения следует умножить на -3 для того, чтобы получить необходимо уравнение с угловым коэффициентом.
Преобразуя, получим:
y-3=1-x2⇔-3·y-3=-3·1-x2⇔y=32x-3.
Ответ: y=32x-3.
Пример 11Уравнение прямой вида x-22=y+15 привести к виду с угловым коэффициентом.
Решение
Необходимо выражение x-22=y+15 вычислить как пропорцию. Получим, что 5·(x-2)=2·(y+1). Теперь необходимо полностью его разрешить, для этого:
5·(x-2)=2·(y+1)⇔5x-10=2y+2⇔2y=5x-12⇔y=52x
Ответ: y=52x-6.
Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.
Пример 12Найти угловой коэффициент прямой, если она задана параметрическими уравнениями x=λy=-1+2·λ.
Решение
Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:
x=λy=-1+2·λ⇔λ=xλ=y+12⇔x1=y+12.
Теперь необходимо разрешить данное равенство относительно y, чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом.
для этого запишем таким образом:
x1=y+12⇔2·x=1·(y+1)⇔y=2x-1
Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой равен 2. Это записывается как k=2.
Ответ: k=2.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
| 1 | Найти точное значение | грех(30) | |
| 2 | Найти точное значение | грех(45) | |
| 3 | Найти точное значение | грех(30 градусов) | |
| 4 | Найти точное значение | грех(60 градусов) | |
| 5 | Найти точное значение | загар (30 градусов) | |
| 6 | Найти точное значение | угловой синус(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | грех(пи/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | грех(45 градусов) | |
| 10 | Найти точное значение | грех(пи/3) | |
| 11 | Найти точное значение | арктан(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 градусов) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 градусов) | |
| 14 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 градусов) | |
| 16 | Найти точное значение | загар (60 градусов) | |
| 17 | Найти точное значение | сек(30 градусов) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 градусов) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | грех(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | загар (45 градусов) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 градусов) | |
| 25 | Найти точное значение | сек(45 градусов) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 градусов) | |
| 27 | Найти точное значение | грех(0) | |
| 28 | Найти точное значение | грех(120) | |
| 29 | Найти точное значение | соз(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/3 | |
| 31 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(30) | |
| 32 | 92|||
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/6 | |
| 36 | Найти точное значение | детская кроватка(30 градусов) | |
| 37 | Найти точное значение | арккос(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | арктан(0) | |
| 39 | Найти точное значение | детская кроватка(60 градусов) | |
| 40 | Преобразование градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2 шт. |