$L1:3x+4y-6=0$
$L2:3x+4y-31=0$
$L3:3x+4y-60=0$
$L4: 2x+y+25=0$
Прислать задачу
Правильный:
Неверный:
Неразрешенные задачи:
Уравнение окружности 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Определение окружности
Начнем с определения, что такое окружность. Вот одно из неверных определений.
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, от центра.
В чем ошибочность?
Давайте рассмотрим множество из четырех вершин квадрата. Все вершины квадрата равноудалены от одной точки, от центра квадрата. Но ведь это не окружность, а совсем небольшая часть окружности.
Дадим правильное определение окружности.
Окружностью называется множество ВСЕХ точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра. Ключевое слово здесь «всех», это важно, так как мы хотим вывести уравнение окружности.
Формула расстояния между двумя точками (напоминание)
В определении окружности фигурирует расстояние между точкой окружности и центром.
Формула расстояния между двумя точками и
или
Рис. 1. Расстояние между двумя точками
Опираясь на формулу и определение окружности, можно вывести уравнение окружности с центром в точке радиуса .
Рис. 2. Уравнение окружности
Выбираем произвольную точку на этой окружности.
Если точка принадлежит окружности с центром и радиусом , то .
Тогда и координаты точки удовлетворяют уравнению окружности
.
Если же точка не лежит на окружности, то и координаты точки не удовлетворяют уравнению окружности.
Таким образом, уравнение окружности с центром в точке радиуса имеет вид:
.
Частный случай уравнения окружности с центром в точке :
.
Решение задач
Рассмотрим задачи на уравнение окружности.
Задача 1.
Начертить окружность, заданную уравнением , указать ее центр и радиус. Найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.
Решение:
Центр этой окружности, исходя из уравнения, точка , радиус .
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Длина окружности и площадь круга вычисляются по формулам:
.
Общие точки с осью х:; с осью у: ;
Задача 2.
Дано уравнение окружности: .
Указать центр и радиус, найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.
Решение:
Центр этой окружности точка , радиус .
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Если известен радиус, то по формулам можно вычислить длину окружности и площадь круга:
Точки пересечения с осями:
С осью х: точка это точка касания, ее координаты
Найдем точки пересечения с осью
Ось имеет уравнение , подставив в уравнение окружности, получим уравнение относительно :
Итак, точки пересечения с осью у: ; .
Задача 3.
Дано уравнение окружности: .
Указать центр и радиус, найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.
Решение: центр этой окружности точка радиус
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
; .
Точки пересечения с осями:
С осью у: точка касания .
С осью : ось имеет уравнение , подставляем в уравнение окружности :
Итак, точки пересечения с осью y: ; .
Задача 4.
Начертить окружность, заданную уравнением , указать ее центр, радиус. Найти точки пересечения с осями.
Решение:
Центр этой окружности точка адиус .
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Точки пересечения с осями:
С осью у: уравнение оси подставляем в уравнение окружности:
и
Точки пересечения с осью у:
С осью х: уравнение оси подставляем в уравнение окружности:
и
Точки пересечения с осью х:
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Найти длину хорды .
Решение (рис. 8):
Рис.
8. Иллюстрация к задаче
Зная координаты точек и , по формуле расстояния между точками находим длину хорды:
Найти координаты точки – середины отрезка .
Решение (рис. 9):
Рис. 9. Иллюстрация к задаче
Координаты концов отрезка известны, координаты середины отрезка определяем по формулам:
Найти площадь треугольника .
Решение (рис. 10):
Рис. 10. Иллюстрация к задаче
Треугольник равносторонний,
;
Задача 5.
Окружность задана уравнением .
Не пользуясь чертежом, укажите какие из точек лежат:
а) внутри круга, ограниченного данной окружностью;
б) на окружности;
в) вне круга, ограниченного данной окружностью.
Решение:
Центр окружности – точка радиус
Для того чтобы проверить, где расположена точка относительно окружности, будем вычислять расстояние от точки до центра окружности и сравнивать его с радиусом.
Точка :
т. лежит вне круга.
Точка :
т. лежит на окружности.
Точка
т. лежит внутри круга.
Точка :
т. лежит вне круга.
Задача 6.
Составить уравнение окружности с диаметром , если
Решение: найдем координаты центра окружности , это координаты середины отрезка
Найдем радиус, это половина диаметра:
– уравнение окружности.
Заключение
Итак, мы вывели уравнение окружности и использовали его для решения простейших задач. На следующем уроке мы продолжим изучать уравнение окружности и будем использовать его для решения более сложных задач.
Список литературы
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
- Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
- Погорелов А. В. Геометрия, уч.
для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.
для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- E-science.ru (Источник).
- E-science.ru (Источник).
- Mathematics.ru (Источник).
Домашнее задание
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010., №№ 959, 960, 962.
Как найти уравнение окружности
Все математические ресурсы SAT
16 диагностических тестов 660 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 4 Следующая →
SAT Math Help » Геометрия » Координатная геометрия » Круги » Как найти уравнение окружности
Если центр окружности находится в точке (0,4) и диаметр окружности равен 6, каково уравнение этой окружности?
Возможные ответы:
(x-4) 2 + Y 2 = 9
(x-4) 2 + Y 2 = 36 x 2 + Y .
2 = 9
x 2 + (Y-4) 2 = 36
x 2 + (Y-4) 2 = Правильный ответ: x 2 . Пояснение: Формула уравнения окружности: (x-h) 2 + (y-k) 2 = r 2 Где (h,k) — центр окружности. h = 0 и k = 4 и диаметр = 6, поэтому радиус = 3 (x-0) 2 + (y-4) 2 = 3 2
Сообщить об ошибке
Круг A задается уравнением (x – 4) 2 + (y + 3)
Возможные ответы:
(x + 2) 2 + (y — 2) 2 = 116
(x + 2) 2 + (Y — 2) 2 = 58
(х – 10) 2 + (у + 8) 2 = 116
(х – 2) 2 + (у + 2) 2 = 58
х 9 0104) (2 х 9 0104) + (y + 8) 2 = 58Правильный ответ:
(x + 2) 2 + (y – 2) 2 = 116
5 Объяснение:
Общее уравнение окружности: (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 , где (h, k) представляет собой положение центра окружности, а r представляет собой длина его радиуса.
Окружность A сначала имеет уравнение (x – 4) 2 + (y + 3) 2 = 29. Это означает, что ее центр должен находиться в точке (4, –3), а ее радиус равен √ 29.
Затем нам сообщают, что окружность А сдвинулась вверх на пять единиц, а затем влево на шесть единиц. Это означает, что координата y центра увеличится на пять, а координата x центра уменьшится на 6. Таким образом, новый центр будет расположен в точке (4 – 6, –3 + 5), или ( –2, 2).
Затем нам сообщают, что радиус круга A удвоился, что означает, что его новый радиус равен 2√29.
Теперь, когда у нас есть новый центр и радиус окружности A, мы можем написать ее общее уравнение, используя (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 . 11 .
(x + 2) 2 + (y – 2) 2 = 116.
Ответ: (x + 2) 2 + (y – 2) 2 = 116.
Сообщить об ошибке
Какое из следующих уравнений описывает все точки (x, y) на координатной плоскости, которые находятся на расстоянии пяти единиц от точки (– 3, 6)?
Возможные ответы:
у + 6 = 5 – (х – 3) 2
(х – 3) 2 + (у + 6) 2 0 = 3 0 4 0 9 0 0 0 ) 2 – (y + 6) 2 = 25
(x + 3) 2 + (y – 6) 2 = 25
(x — 3) 2 + (Y + 6) 2 = 25
Правильный ответ:
(x + 3) 2 + (Y — 6) 2 = 25
Объяснение:
Мы пытаемся найти уравнение для всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии (5 единиц) от (–3, 6).
Геометрическое место всех точек, равноудаленных от одной точки, представляет собой окружность. Другими словами, нам нужно найти уравнение окружности. Центр круга будет (–3, 6), а радиус, который является расстоянием от (–3,6), будет равен 5.
Стандартная форма окружности приведена ниже:
(x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 , где центр расположен в точках (h, k) и r это длина радиуса.
В этом случае h будет равно –3, k будет равно 6, а r будет равно 5.
(x + 3) 2 + (y – 6) 2 = 25
Ответ: (x + 3) 2 + (y – 6) 2 = 25.
Сообщить об ошибке
Каково уравнение для окружности радиусом 12 с центром на пересечении двух прямых:
y 1 = 4 x у 2 = 5 х + 44? Возможные ответы: Ни один из других ответов (x + 41) 2 + (y + 161) (x — 22) 2 + (y — 3 (x — 22) 2 + (y — 3. (x — 41) 2 + (Y — 161) 2 = 144 (x — 3) 2 + (Y — 44) 2 = 144 Правильный ответ: (x + 41) 2 + (y + 161) 2 = 144 Объяснение: Для начала определим точку пересечения этих двух линий, установив равенства между собой: 4 x + 3 = 5 x + 44; 3 = х + 44; –41 = x Чтобы найти координату y , подставьте в одно из уравнений. Возьмем y 1 : y = 4 * –41 + 3 = –164 + 3 = –161 Таким образом, центр нашей окружности: (–41, –161). Теперь вспомните, что общая форма для круга с центром в ( x 0 , y 0 ) такова:0284) 2 + ( Y — Y 0 ) 2 = R 2 Для наших данных, это означает, что наше уравнение: ( x 9000 + 41) 41) 41). . Сообщение о ошибке 44. Диаметр окружности имеет концы в точках (2, 10) и (–8, –14). Какая из следующих точек НЕ лежит на окружности? Возможные ответы: (–8, 10) (2, –14) (–15, –7) (–8,–12) (9,3) Правильный ответ: (–8,–12)8 + 5 3
4 и 5 3
4
) 2 = 12
2 + ( y + 161) 2 = 12 2 или ( x + 41) 2 + ( y + 161) 2 = 144
Сообщить об ошибке
Окружность целиком находится в первом квадранте и пересекает -ось в точке . Если окружность пересекает ось хотя бы в одной точке, какова площадь окружности?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Нам дали две очень важные части информации.
Во-первых, окружность целиком находится в первом квадранте, во-вторых, она пересекает как -, так и -оси.
Тот факт, что он полностью находится в первом квадранте, означает, что он не может пройти дальше двух осей. Чтобы окружность пересекала -ось более чем в одной точке, она обязательно переместилась бы в другой квадрант. Следовательно, мы можем заключить, что она пересекается ровно в одной точке.
Пересечение окружности с также должно быть касательным, поскольку оно может пересекаться только в одной точке. Таким образом, мы можем заключить, что окружность должна иметь и-и-перехваты, равные 6, и иметь центр .
Это оставляет нас с радиусом 6 и площадью:
Сообщить об ошибке
У нас есть квадрат длины 2, расположенный в первом квадранте с одним углом, касающимся начала координат. Найдите уравнение окружности, если квадрат вписан в окружность.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Если квадрат вписан в круг, in означает, что центр круга находится в точке (1,1).
Нам также нужно найти радиус круга, который равен длине от угла квадрата до его центра.
Теперь используем уравнение окружности с центром и .
Получаем
Сообщить об ошибке
Каков радиус круга с уравнением ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Нам нужно расширить это уравнение до и затем завершить квадрат.
Это подводит нас к .
Мы упрощаем это до .
Таким образом, радиус равен 7.
Сообщить об ошибке
Окружность начинается в точке . Точка находится на краю круга. Каков радиус окружности?
Возможные ответы:
Недостаточно информации для ответа на этот вопрос.
Правильный ответ:
Пояснение:
Радиус окружности равен гипотенузе прямоугольного треугольника со сторонами 5 и 7.
Этот радикал нельзя уменьшить дальше.
Сообщить об ошибке
Концы диаметра окружности A расположены в точках и . Какова площадь круга?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Формула площади круга: A =πr 2 . Задача дает нам конечные точки диаметра окружности. Используя формулу расстояния, мы можем найти длину диаметра. Затем, поскольку мы знаем, что радиус (r) составляет половину длины диаметра, мы можем найти длину r. Наконец, мы можем использовать формулу A =πr 2 , чтобы найти площадь.
Формула расстояния:
Расстояние между конечными точками диаметра окружности:
Чтобы найти радиус, мы делим d (длину диаметра) на два.
Затем подставляем значение r в формулу площади круга.
Сообщить об ошибке
← Предыдущая 1 2 3 4 Следующая →
Уведомление об авторских правах 9{2}}???
центр называется ???(h,k)??? а радиус ???r???. Из уравнения видно, что круг представляет собой совокупность всех ???(x,y)??? точки, которые находятся на расстоянии ???r??? от центра, ???(h,k)???.
Коллекция ???(x,y)??? значения — это точки на окружности окружности.
Как найти уравнение окружности при различной информации о окружности
92???, а значит нам нужно найти центральную точку и длину радиуса.Центр находится в точке ???(2,3)???, поэтому ???h=2??? и ???k=3???.
Теперь посчитаем от центра до точки на окружности, чтобы найти длину радиуса.
Радиус ???3??? поэтому ???r=3???.