Формула решения уравнения 4 степени
Существует несколько методов нахождения корней полиномиального уравнения 4-ой степени.
Однако они не очень удобны при решении уравнений с коэффициентами, которые представляют собой выражения с параметрами.
Инстаграм
1. Формула решения уравнения 4 степени.
Рассмотрим уравнение 4-ой степени, сумма корней которого равна нулю. Коэффициенты могут быть вещественными или комплексными.
Произведение следующих двух квадратов тождественно рассматриваемому уравнению 4-ой степени.
Значение R является решением следующего кубического уравнения.
Почти такое же уравнение появляется при решении уравнения 4-ой степени путем разложения на разность полных квадратов. Будем называть данное кубическое уравнение вспомогательным.
Вычислим произведение двух квадратов new.
То же самое, но в форме коэффициентов при степенях x (в порядке убывания степеней).
Упростим выражения для коэффициентов при второй и первой степени x.
Получается выражение
В общем описанные в п.2 преобразования не являются тождественными. Но если считать интересными только значения x, которые являются корнями исходного уравнения, то данные преобразования можно считать квазитождественными. И тогда y представляется выражением, соответствующим корням исходного уравнения.
3. Для кубического уравнения операция в п.2 производится еще один раз. В итоге получается система из 3 уравнений по x, которая имеет три ненулевых решения, соответствующих корням исходного уравнения. Из коэффициентов x формируем матрицу
4. Находим определитель матрицы, который представляется кубическим выражением по y.
Вычисляем значения, обеспечивающие равенство определителя нулю.
5. В уравнении по y имеются два параметра P и Q. Вычислим их так, чтобы нулю равнялись коэффициенты при второй и первой степени y.
Любое P
, где
6. В итоге имеем уравнение c тремя кратными корнями для y
7.
Остается решить квадратное уравнение с известными y, P, Q
Одно из решений будет решением исходного уравнения.
3. Параметры решения вспомогательного кубического уравнения.
Для конкретных значений коэффициентов все выглядит не таким страшным образом.
Отметим, что для формулы решения уравнения 4-ой степени требуется только один корень R вспомогательного кубического уравнения.
Для конкретных коэффициентов вспомогательного уравнения имеем
При использовании формулы решения уравнения 4-ой степени необходимо ссылаться — «Метод ftvmetrics».
Интересные задачи присылайте в Direct Инстаграмм.
Решение алгебраического уравнения n-ой степени диплом 2010 по математике | Дипломная Математика
Скачай Решение алгебраического уравнения n-ой степени диплом 2010 по математике и еще Дипломная в формате PDF Математика только на Docsity! B.А. Будников Б 903 Решение алгебраического уравнения n-ой степени — Новосибирск: Интернет, Блоги: budnikov57@mail.
ru, 2010. — 26 с. В работе предложено аналитическое решение (в радикалах) алгебраического уравнения n — ой степени. Решены Проблемы собственных значений для нахождения Функций от Матриц и устойчивости решений линейных дифференциальных и разностных уравнений. Метод решения основан на последовательном получении алгебраического уравнения относительно квадратов независимой переменной и его Решении с последующим возвратом к корням исходного уравнения. Метод характеризуется простотой и требует только умения решать квадратные уравнения и извлекать корни n — ой степени из комплексного числа. Алгоритм решения легко поддаётся программированию. Приведены конкретные примеры решения алгебраических уравнений с третьей по восьмую степень включительно. Статья может быть полезна Специалистам, занимающимся решением задач Высшей Алгебры, а также Студентам высших учебных заведений, интересующимся сложными математическими Проблемами. Введение Проблема решения в радикалах алгебраического уравнения произвольной степени, так называемого Векового уравнения, интересовала математиков всех времён и народов.
Удача Тартальи и Феррари в решении уравнений третьей и четвёртой степеней внесла надежду на успехи в этом направлении и далее. Однако Решения долгое время найти не удавалось / 1/. Могу с уверенностью сказать, что все Великие математики, в течение последних пятисот лет, занимались решением уравнений высших степеней. Уравнение пятой степени решали Ньютон, Лейбниц, Лагранж, Эйлер, Гаусс, Тэйлор, Абель, Галуа, Пуанкаре, Клейн, Гильберт и многие другие (Список можно было бы ещё долго продолжать). В справочниках по высшей Математике сказано, что НЕ СУЩЕСТВУЕТ решения в радикалах алгебраических уравнений выше четвёртой степени / 2/. Казалось бы, не существует и решать не надо! Однако в Технике очень важно выбирать параметры Систем в соответствие с принципами Оптимальности, чтобы Объекты, описываемые системами дифференциальных или разностных уравнений, удовлетворяли заданному Критерию качества (например, минимуму потребляемой Энергии или максимальному быстродействию). Для пояснения дальнейших рассуждений введём систему условных обозначений.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ: * — знак умножения, ** — знак возведения в степень, ABS (x) — абсолютная величина комплексной переменной x, Re x, Im x — действительная и мнимая величины комплексной переменной x соответственно, Mod x, Fi x — модуль и угол комплексной переменной x соответственно, SIN (x), COS (x) — тригонометрические функции sinx и cosx, ARCTAN (Im x, Re x) — обратная тригонометрическая функция arctg ( (Im x) / (Re x)). касательной в этой точке и определяют точку пересечения касательной с осью абсцисс, которой присваивают новое значение a или b. Процесс вычислений выполняют до тех пор, пока не будет достигнута требуемая степень точности вычислений EPS (y1 = a или y1 = b в зависимости от того с какой стороны (слева или справа) решено приблизиться к корню y1). Метод всегда сходится, но НИЧЕГО не говорит об оптимальных значениях коэффициентов уравнения, которые непосредственно связаны с параметрами Систем. Следующий этап развития теории решения уравнений связан с творчеством Леонарда Эйлера (1707 — 1783), который, как и все предшественники, считал возможным решение уравнений любой степени.
Эйлер установил, что уравнения второй, третьей, четвёртой степеней сводятся к уравнениям первой, второй и третьей степеней, которые он назвал «разрешающими уравнениями», резольвентами. Резольвенту приведённого кубического уравнения (x**3) + B2* x + B3 = 0, Эйлер получил, положив x = (A** (1/ 3)) + (B** (1/ 3)). Для приведённого уравнения четвёртой степени (x**4) + B2* (x**2) + B3*x + B4 = 0, он рекомендовал подстановку x = (A** (1/ 4)) + (B** (1/ 4)) + (C** (1/ 4)). Тем самым он открыл ДРУГОЙ способ решения уравнения четвёртой степени, отличный от решения Феррари. Эйлер полагал, что приведённое уравнение n-ой степени (x**n) + B2* (x** (n — 2)) + B3* (x** (n — 3)) + … + Bn = 0, может быть решено с помощью подстановки x = (A** (1/ n)) + (B** (1/ n)) + … + (G** (1/ n)), где число слагаемых равно (n — 1). Им использовались и другие подстановки. Однако уравнение выше четвёртой степени Эйлеру решить не удалось. При доказательстве невозможности решения уравнения пятой степени Н.Х. Абель (1802 — 1829) опирался на предложенную Эйлером подстановку x = w + A* ( (v** (1/ 5)) + B* ( (v** (2/ 5)) + C* ( (v** (3/ 5)) + D* ( (v** (4/ 5)), применив опыт великого Математика в своей работе.
Феликсом Клейном (1849 — 1925) написана монография / 3/, в которой наиболее полно показана сложность нахождения точного решения уравнения пятой степени. Книга содержит 336 страниц текста, а решения — нет! Оговорюсь сразу, что я вовсе не собираюсь принижать вклад Великих математиков в Науку, напротив, преклоняюсь перед их Волей и Настойчивостью при решении столь сложной Задачи. Они, как все лучшие представители Человечества, опережали своё Время. При отсутствии средств вычислительной техники все попытки были обречены: не было не только персональных компьютеров, но даже простых калькуляторов. Точность вычислений на логарифмической линейке для этой цели оставляла желать лучшего. Очевидно, что чем мощнее Компьютер, тем больше возможностей для решения уравнений более высоких Степеней n. ЛОГИКА РАССУЖДЕНИЙ. В общем случае, корни алгебраического уравнения отличаются друг от друга по величине. Следовательно, ВСЕГДА можно выделить в Решении наибольший по модулю (доминирующий) и наименьший корни.
(Уместно оговориться сразу, что наименьший по модулю корень будет доминирующим в уравнении, обратном данному). Попробуем последовательно возводить корни в квадрат и сравнивать их по величине между собой. После нескольких таких операций легко убедиться, что все корни уравнения для квадратов относительно переменной xc = (x** (2**J)) — ничтожно малы, кроме доминирующего корня xc1. ВСЕ коэффициенты уравнения, кроме первых двух, будут стремиться к нулю и, следовательно, ими можно пренебречь. Тогда корень xc1 может быть найден из квадратного уравнения, а корень исходного алгебраического уравнения определится выражением x1 = (xc1** (1/ (2**J))). Зачастую, при обеспечении заданной степени точности EPS, раньше вычисляется доминирующий корень обратного уравнения, поэтому РЕКОМЕНДУЕТСЯ определять доминирующие корни как прямого, так и обратного, уравнений. При этом удаётся минимизировать затраты машинного времени и, следовательно, добиться максимальной скорости вычислений. Уравнение (1) является частным случаем другого алгебраического уравнения n — ой степени для переменной xc = (x** (2**J)), где J — шаг преобразования, J = 1,m, m и n — любые натуральные числа.
(xс**n) + B1* (xс** (n-1)) + B2* (xc** (n-2)) + … + B (n-1) *xc + Bn = 0, (2) где B1 = — ( (C1**2) — (2*C2)), B2 = (C2**2) — (2*C1*C3) + (2*C4), B3 = — ( (C3**2) — (2*C2*C4) + (2*C1*C5) — (2*C6)), ……………………………………………………… B (n-1) = ( (-1) ** (n-1)) * ( (C (n-1) **2) — (2*C (n-2) *Cn)), Bn = ( (-1) **n) * (Cn**2). Уравнение (2) может быть получено умножением исходного уравнения (1) на уравнение для корней, взятых с обратным знаком. Например, для случая n = 3 это выглядит следующим образом: ( (x**3) + A1* (x**2) + A2*x + A3) * ( (x**3) — A1* (x**2) + A2*x — A3) = 0. Тогда относительно переменной xc = (x**2) получают уравнение (2) при J = 1 (xc**3) — ( (A1**2) — (2*A2)) * (xc**2) + ( (A2**2) — (2*A1*A3)) *xc — (A3**2) = 0. Не вызывает сомнений, что J = 0, Bi = Ai, xc = x. J = 1, Ci = Ai, xc = (x**2). J = 2, Ci = Bi для J = 1, xc = (x**4). …………………………………………. Пусть L = (2**J) — величина степени корня xc1 на J -ом шаге преобразования, xc1 = (x1**L). Как уже отмечалось выше, на определённом шаге преобразований J все коэффициенты уравнения (2), кроме первых двух B1 и B2, становятся пренебрежительно малы и их можно отбросить.
Тогда корень xc1 может быть найден из квадратного уравнения, получаемого путём отбрасывания ничтожно малых старших коэффициентов. (Не следует забывать, что исходное уравнение (1) уже нормировано по старшему коэффициенту An). (xc1**2) + D1* (xc1) + D2 = 0, (3) D1 = B1, D2 = B2 — для прямого уравнения, D1 = (Bn-1) / Bn, D2 = (Bn-2) / Bn — для обратного уравнения. Совершенно очевидно xc1 = ( — D1/ 2) + ( ( ( — D1/2) **2) — D2) ** (1/ 2), или xc1 = ( — D1/ 2) — ( ( ( — D1/ 2) **2) — D2) ** (1/ 2), (4) Корень исходного уравнения x1 = (xc1** (1/L)). (5) Корень x3 — действительный x3 = 5,0000. Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые Re x1 = 10,000; Im x1 = 4,0000; Re x2 = 10,000; Im x2 = — 4,0000. Дано алгебраическое уравнение четвёртой степени (x**4) + 6* (x**3) — 57* (x**2) — 110*x + 600 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC4 = 4,9492. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2. I2 = 5. Порядковый номер преобразования J = 3. Корень x4 — действительный x4 = — 10,000.
Корень x3 — действительный x3 = 5,0000. Корни x1, x2 — действительные x1 = 3,0000; x2 = — 4,0000. Дано алгебраическое уравнение четвёртой степени (x**4) + 0* (x**3) + 67* (x**2) — 808*x + 1740 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC4 = 6,4586. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3, I2 = 1. Порядковый номер преобразования J = 3. Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые Re x3 = — 4,0000; Im x3 = 10,000; Re x4 = — 4,0000; Im x4 = — 10,000; Корни x1, x2 — действительные x1 = 3,0000; x2 = 5,0000. Дано алгебраическое уравнение четвёртой степени (x**4) + 4* (x**3) — 66* (x**2) + 76*x + 1360 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC4 = 6,0727. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3. I2 = 1 Порядковый номер преобразования J = 0 Корни x3, x4 — действительные x3 = — 10.000; x4 = — 4.0000. Корни x1, x2 — комплексно — сопряжённые Re x1 = 5,0000; Im x1 = 3,0000; Re x2 = 5,0000; Im x2 = — 3,0000.
Дано алгебраическое уравнение четвёртой степени (x**4) — 2* (x**3) + 70* (x**2) — 888*x + 3944 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC4 = 7,9247. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3. I2 = 15. Порядковый номер преобразования J = 4. Корни x3, x4 — комплексно — сопряжённые Re x3 = 5,0000; Im x3 = 3,0000; Re x4 = 5,0000; Im x4 = — 3,0000; Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые Re x1 = — 4,0000; Im x1 = 10,000; Re x2 = — 4,0000; Im x2 = — 10,000. Дано алгебраическое уравнение пятой степени (x**5) + 18* (x**4) — 96* (x**3) — 1198* (x**2) — 1425*x + 2700 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC5 = 4,8559. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3. I2 = 1. Порядковый номер преобразования J = 2. Корень x5 — действительный x5 = 1,0000. Корни x3, x4 — действительные x3 = 9,0000; x4 = — 20,000; Корни x1, x2 — действительные x1 = — 3,0000; x2 = — 5,0000. Дано алгебраическое уравнение пятой степени (x**5) + 24* (x**4) + 19* (x**3) — 1646* (x**2) — 9222*x — 14040 = 0.
x3 = 11,000; x4 = — 15,000; Корни x1, x2 — действительные x1 = 10,000; x2 = — 8,0000. Дано алгебраическое уравнение шестой степени (x**6) + 13* (x**5) — 29* (x**4) — 660* (x**3) — 17300* (x**2) — 79944*x + 411840 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC6 = 8,6256. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3. I2 = 1. Порядковый номер преобразования J = 2. Корни x5, x6 — действительные x5 = — 8,0000; x6 = 3,0000; Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые Re x3 = — 2,0000; Im x3 = 10,000; Re x4 = — 2,0000; Im x4 = — 10,000; Корни x1, x2 — действительные x1 = — 15,000; x2 = 11,000. 4.3 Дано алгебраическое уравнение шестой степени (x**6) + 8* (x**5) — 246* (x**4) — 2592* (x**3) + 35945* (x**2) — 15176*x — 190740 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC6 = 7,5871. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3. I2 = 5. Порядковый номер преобразования J = 3. Корни x5, x6 — действительные x5 = 3,0000; x6 = — 2,0000; Корни x3, x4 — действительные x3 = 11,000; x4 = 10,000; Корни x1, x2 — комплексно — сопряжённые Re x1 = — 15,000; Im x1 = 8,0000; Re x2 = — 15,000; Im x2 = — 8,0000.
Дано алгебраическое уравнение шестой степени (x**6) + 9* (x**5) — 44* (x**4) + 1034* (x**3) — 4800* (x**2) — 170200*x — 312000 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC6 = 8,2355. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3, I2 = 2. Порядковый номер преобразования J = 1. Корни x5, x6 — действительные x5 = — 15,000; x6 = — 2,0000; Корни x3, x4 — действительные x3 = 10,000; x4 = — 8,0000; Корни x1, x2 — комплексно — сопряжённые Re x1 = 3,0000; Im x1 = 11,000; Re x2 = 3,0000; Im x2 = — 11,000. Дано алгебраическое уравнение шестой степени (x**6) + 16* (x**5) + 27* (x**4) — 226* (x**3) + 15462* (x**2) — 343880*x — 751400 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC6 = 9,5348. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3. I2 = 2. Порядковый номер преобразования J = 1. Корни x5, x6 — действительные x5 = 10,000; x6 = — 2,0000; Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые Re x3 = — 15,000; Im x3 = 8,0000; Re x4 = — 15,000; Im x4 = — 8,0000; Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые Re x1 = 3,0000; Im x1 = 11,000; Re x2 = 3,0000; Im x2 = — 11,000.
Дано алгебраическое уравнение шестой степени (x**6) + 21* (x**5) + 284* (x**4) + 4486* (x**3) + 36328* (x**2) + 298480*x + 1622400 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC6 = 10,840. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2. I2 = 9. Порядковый номер преобразования J = 4. Корни x5, x6 — действительные x5 = — 8,0000; x6 = — 15,000; Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые x3 = 5,0000; x4 = — 12,000; Корни x1, x2 — действительные x1 = 4,0001; x2 = — 3,0000. Дано алгебраическое уравнение седьмой степени (x**7) + 2* (x**6) — 21* (x**5) — 480* (x**4) — 11794* (x**3) + 99364* (x**2) — 38400*x — 561600 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC7 = — 6,6275. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4. I2 = 1. Порядковый номер преобразования J = 2. Корень x7 — действительный x7 = — 2,0000. Корни x5, x6 — действительные x5 = 5,0000; x6 = 4,0000; Корни x3, x4 — действительные x3 = — 12,000; x4 = 9,0000; Корни x1, x2 — комплексно — сопряжённые Re x1 = — 3,0000; Im x1 = 11,000; Re x2 = — 3,0000; Im x2 = — 11,000.
Дано алгебраическое уравнение седьмой степени (x**7) + 4* (x**6) — 240* (x**5) — 930* (x**4) + 19919* (x**3) + 22286* (x**2) — 276240*x — 475200 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC7 = — 6,4712. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4. I2 = 1. Порядковый номер преобразования J = 2. Корень x7 — действительный x7 = — 2,0000. Корни x5, x6 — действительные x5 = 5,0000; x6 = — 3,0000; Корни x3, x4 — комплексно — сопряжённые Re x3 = — 12,000; Im x3 = 4,0000; Re x4 = — 12,000; Im x4 = — 4,0000; Корни x1, x2 — действительные x1 = 11,000; x2 = 9,0005. Дано алгебраическое уравнение седьмой степени (x**7) — (x**6) — 80* (x**5) — 160* (x**4) — 7961* (x**3) + 67841* (x**2) + 51960*x — 673200 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC7 = — 6,8013. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 1. I2 = 1. Порядковый номер преобразования J = 4. Корень x7 — действительный x7 = — 12,000. Корни x5, x6 — действительные x5 = 3,9999; x6 = — 3,0000; Корни x3, x4 — действительные x3 = 11,000; x4 = 5,0000; Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые Re x1 = — 2,0000; Im x1 = 9,0000; Re x2 = — 2,0000; Im x2 = — 9,0000.
Дано алгебраическое уравнение седьмой степени (x**7) + 18* (x**6) + 91* (x**5) — 528* (x**4) — 18082* (x**3) — 141180* (x**2) + 720800*x + 1872000 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC7 = 7,8712. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4. I2 = 2. Порядковый номер преобразования J = 1. Корень x7 — действительный x7 = — 2,0000. Корни x5, x6 — действительные x5 = 9,0000; x6 = 5,0000; Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые Re x3 = — 12,000; Im x3 = 4,0000; Re x4 = — 12,000; Im x4 = — 4,0000; Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые Re x1 = — 3,0000; Im x1 = 11,000; Re x2 = — 3,0000; Im x2 = — 11,000. Дано алгебраическое уравнение седьмой степени (x**7) + 13* (x**6) + 181* (x**5) + 1107* (x**4) — 4492* (x**3) — 130* (x**2) — 725200*x + 2652000 = 0. (x**8) + 1* (x**7) — 236* (x**6) + 358* (x**5) + 9757* (x**4) — 26423* (x**3) — 59346* (x**2) + 127440*x + 151200 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00003. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 4,4406.
Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3. I2 = 3. Порядковый номер преобразования J = 2. Корни x7, x8 — действительные x7 = — 2,0000; x8 = — 1,0000; Корни x5, x6 — действительные x5 = — 15,000; x6 = 3,0002; Корни x3, x4 — действительные x3 = — 7,0000; x4 = 12,000; Корни x1, x2 — действительные x1 = 5,0001; x2 = 3,9997. Дано алгебраическое уравнение восьмой степени (x**8) + 14* (x**7) + 77* (x**6) + 1046* (x**5) — 11317* (x**4) — 66934* (x**3) + 430495* (x**2) + 109650*x — 1827000 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 6,0634. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3. I2 = 5. Порядковый номер преобразования J = 3. Корни x7, x8 — действительные x7 = 3,0001; x8 = — 2,0000; Корни x5, x6 — действительные x5 = 5,0001; x6 = 3,9998; Корни x3, x4 — действительные x3 = — 15,000; x4 = — 7,0000; Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые Re x1 = — 1,0000; Im x1 = 12,000; Re x2 = — 1,0000; Im x2 = — 12,000. Дано алгебраическое уравнение восьмой степени (x**8) + 20* (x**7) — 125* (x**6) — 3906* (x**5) — 913* (x**4) + 128248* (x**3) + 33893* (x**2) — 698826*x — 607320 = 0.
Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 5,2836. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3. I2 = 3. Порядковый номер преобразования J = 2. Корни x7, x8 — действительные x7 = — 2,0000; x8 = — 1,0000; Корни x5, x6 — действительные x5 = 5,0000; x6 = 3,0000; Корни x3, x4 — действительные x3 = — 7,0001; x4 = 12,000; Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые Re x1 = — 15,000; Im x1 = 3,9999; Re x2 = — 15,000; Im x2 = — 3,9999. Дано алгебраическое уравнение восьмой степени (x**8) + 33* (x**7) + 435* (x**6) + 3925* (x**5) + 21545* (x**4) — 155853* (x**3) — 1297839* (x**2) + 1818455*x + 7338450 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 7,2144. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3. I2 = 5. Порядковый номер преобразования J = 3. Корни x7, x8 — действительные x7 = 3,0000; x8 = — 2,0000; Корни x5, x6 — комплексно-сопряжённые Re x5 = — 15,000; Im x5 = 4,0000; Re x6 = — 15,000; Im x6 = — 4,0000; Корни x3, x4 — действительные x3 = 5,0000; x4 = — 7,0000; Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые Re x1 = — 1,0000; Im x1 = 12,000; Re x2 = — 5,0004; Im x2 = — 12,000.
Дано алгебраическое уравнение восьмой степени (x**8) + 6* (x**7) — 207* (x**6) — 744* (x**5) + 6135* (x**4) + 18930* (x**3) + 17543* (x**2) — 322320*x — 327600 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 4,8912. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4. I2 = 3. Порядковый номер преобразования J = 2. Корни x7, x8 — действительные Решение: Степень точности EPS = 0,001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 7,9465. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 1. I2 = 16. Порядковый номер преобразования J = 5. Корни x7, x8 — комплексно-сопряжённые Re x7 = — 15,000; Im x7 = 4,0001; Re x8 = — 15,000; Im x8 = — 4,0001. Корни x5, x6 — комплексно-сопряжённые Re x5 = — 1,0002; Im x5 = 12,000; Re x6 = — 1,0002; Im x6 = — 12,000. Корни x3, x4 — действительные x3 = 5,0015; x4 = — 7,0057; Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые Re x1 = — 1,9978; Im x1 = 3,0071; Re x2 = — 1,9978; Im x2 = — 3,0071. Дано алгебраическое уравнение восьмой степени (x**8) + 13* (x**7) — 139* (x**6) — 2139* (x**5) — 3282* (x**4) + 68366* (x**3) + 41148* (x**2) — 348192*x — 319680 = 0.
Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 4,8763. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2. I2 = 9. Порядковый номер преобразования J = 4. Корни x7, x8 — действительные x7 = — 1,0000; x8 = — 15,000; Корни x5, x6 — действительные x5 = 3,0000; x6 = — 2,0000; Корни x3, x4 — действительные x3 = 12,000; x4 = 4,0000; Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые Re x1 = — 7,0000; Im x1 = 5,0000; Re x2 = — 7,0000; Im x2 = — 5,0000. Дано алгебраическое уравнение восьмой степени (x**8) + 26* (x**7) + 330* (x**6) + 3410* (x**5) + 13755* (x**4) — 56128* (x**3) — 750358* (x**2) + 719700*x + 3862800 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 6,6583. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3. I2 = 5. Порядковый номер преобразования J = 3. Корни x7, x8 — действительные x7 = 3,0000; x8 = — 2,0000; Корни x5, x6 — действительные x5 = — 15,000; x6 = 4,0000; Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые Re x3 = — 1,0000; Im x3 = 12,000; Re x4 = — 1,0000; Im x4 = — 12,000; Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые Re x1 = — 7,0000; Im x1 = 5,0000; Re x2 = — 7,0000; Im x2 = — 5,0000.
Дано алгебраическое уравнение восьмой степени (x**8) + 32* (x**7) + 200* (x**6) — 3456* (x**5) — 50935* (x**4) — 192668* (x**3) + 364414* (x**2) + 1793820*x + 1284048 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 5,8019. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3. I2 = 3. Порядковый номер преобразования J = 2. Корни x7, x8 — действительные x7 = — 2,0000; x8 = — 1,0000; Корень x6 — действительный x6 = 3,0000; Корни x4, x5 — комплексно-сопряжённые Re x4 = — 15,000; Im x4 = 3,9999; Re x5 = — 15,000; Im x5 = — 3,9999. Корень x3 — действительный x3 = 12,000; Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые Re x1 = — 7,0000; Im x1 = 5,0002; Re x2 = — 7,0000; Im x2 = — 5,0002. Дано алгебраическое уравнение восьмой степени (x**8) + 45* (x**7) + 916* (x**6) + 12200* (x**5) + 116345* (x**4) + 630537* (x**3) + 925550* (x**2) — 7666718*x — 15515580 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,00001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 7,9222. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.
I2 = 5. (x**8) + 50* (x**7) + 1165* (x**6) + 17914* (x**5) + 201957* (x**4) + 1563958* (x**3) + 7735883* (x**2) + 21352090*x + 33617090 = 0. Решение: Степень точности EPS = 0,001. Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 8,7261. Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 1. I2 = 16. Порядковый номер преобразования J = 5. Корни x7, x8 — комплексно-сопряжённые Re x7 = — 15,000; Im x7 = 4,0002; Re x8 = — 15,000; Im x8 = — 4,0002; Корни x5, x6 — комплексно-сопряжённые Re x5 = — 2,0026; Im x5 = 2,9975; Re x6 = — 2,0026; Im x6 = — 2,9975; Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые Re x3 = — 0,9999; Im x3 = 12,000; Re x4 = — 0,9999; Im x4 = — 12,000; Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые Re x1 = — 6,9976; Im x1 = 4,9993; Re x2 = — 6,9976; Im x2 = — 4,9993. Выводы Предложен Метод приближённого решения алгебраического уравнения n-ой степени в радикалах, характеризующийся простотой и доступностью для практического применения. Метод основан на последовательном получении общего алгебраического уравнения относительно квадратов независимой переменной и его Решении с последующим возвратом к корням исходного уравнения.
Для решения уравнений разработанным Методом не требуется знания специальных разделов Высшей Алгебры: теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и специальной математической терминологии: полей, колец, идеалов, изоморфизмов и т.д., нужно лишь умение решать квадратные уравнения и извлекать корни n — ой степени из комплексного числа. Разработанный Метод решения может быть использован при проведении оптимизационных расчётов и определении Оптимальных параметров сложных технических Систем, часть которых может быть достигнута на Границе устойчивости. На конкретных примерах доказана ПРАВИЛЬНОСТЬ разработанного Метода и приведены Примеры решения алгебраических уравнений с третьей по восьмую степень включительно. Решение может быть проверено Студентами, обладающими математическими знаниями в объеме институтского курса и имеющими навыки программирования на языках высокого уровня. Литература 1. В.А. Никифоровский. В мире уравнений — Москва, Издательство «Наука», (Серия «История науки и техники») АКАДЕМИЯ НАУК СССР, 1987.
— 176 с. 2. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ. — Москва, «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1980. — 976 с., ил. 3. Ф. Клейн. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени: Пер. с нем. / Под ред. А.Н. Тюрина. — Москва, «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1989. — 336 с. 4. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. — Москва, «Наука», Главная редакция физико- математической литературы, 1987. — 712 с. 5. В.А. Будников. Классическая Алгебра. — Новосибирск, Типография ООО «ЮГУС — ПРИНТ», 2008. — 16 с. 6. В.А. Будников. Метод решения алгебраических уравнений. Решение Векового уравнения. — СТАТЬИ ДЕПОНИРОВАНЫ в «СИБКОПИРАЙТ», № 2480 от 02.09.08., Новосибирск, 2008. — 21 с.
Степень уравнения
Степень уравнения описывает, что наивысшее
степень , до которой возводится любая переменная в уравнении. А 1 ст Уравнение степени используется для описания уравнения, в котором наивысшая степень
любая переменная равна «1».
Так что возьмите это уравнение, например:
Спонсируемые ссылки
В этом уравнении есть только один термин, который имеет переменная или прочислительное в нем – термин «х». Наличие только «х» означает, что это возводится в первую степень, так как мы знаем, что:
Таким образом, уравнение является уравнением первой степени. Но что насчет это уравнение:
В этом уравнении много членов, и два типа переменная – «а» и «б». Наивысшая степень любого «а» равна 3, а наибольшая степень любого b равна 2. Поскольку a имеет наибольшую мощность, она определяет степень уравнение такое.
Поскольку буква «а» возведена в степень «3», это означает
уравнение представляет собой уравнение 3 rd степени .Решение уравнений первой степени
Решать уравнения первой степени довольно просто, нужно просто нужно помнить, что все, что вы делаете с одной частью уравнения, вы должны делать в другую сторону тоже. Если вы умножаете одну сторону на 5, вам нужно умножить с другой стороны тоже на 5. Если вы вычтете «2x» с одной стороны, вам нужно вычтите «2x» с другой стороны. Довольно легкая вещь. Вот Основные действия, которые помогут решить уравнение:
· Умножить или разделить обе части уравнения на номер или
· Добавьте или вычтите что-нибудь из обеих частей уравнения.
· Умножьте члены в скобках.
· Сделайте так, чтобы все дроби имели общий знаменатель , чтобы вы могли сделать расчеты с ними.
·
В качестве альтернативы полностью избавьтесь от дробей, умножив оба
стороны уравнения произведением их знаменателей.
Помните, что ваша конечная цель, когда вы решаете значение конкретной переменной или pronumeral состоит в том, чтобы получить уравнение в форма:
Например, вот типичный первой степени уравнение:
Сразу заметим, что можно разделить обе стороны на «4»:
Теперь можно умножить 9 за скобки:0019
Ваша конечная цель – получить «x = нечто…». у нас есть термины с «x» в них с обеих сторон уравнения. Мы можем решить это, избавившись от «x» на L.H.S. путем вычитания «х» из обоих стороны:
Теперь у нас есть только «x» на одной стороне уравнения, но
у нас также есть надоедливая «-9».
Давайте избавимся от этого, добавив «9′ к
обе стороны:
Теперь нам осталось только сократить число до x, Мы можем сделать это, разделяя обе стороны уравнения на «2»:
| |||||
| | |||||
СТЕПЕНЬ УРАВНЕНИЯ Степень уравнения, имеющего не более , чем одна переменная в каждом члене является показателем степени наивысшая степень, в которую эта переменная возведена в уравнение. Уравнение3x — 17=0 является уравнением ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ, так как x возводится только в в первую степень. Примером уравнения ВТОРОЙ СТЕПЕНИ является Уравнение, ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ. Уравнение, 3х — 2у = 5 имеет первую степень по двум переменным, x и y. Когда в термине появляется более одной переменной, например xy = 5, необходимо сложить показатели переменных внутри термина, чтобы получить степень уравнения. Поскольку 1 + 1 = 2, уравнение xy = 5 имеет вторую степень.ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ Графики используются во многих различных формах, чтобы дать зрительные образы определенных связанных фактов. Например, они используются, чтобы показать бизнес-тенденции, производство результат, постоянное индивидуальное достижение и так далее. Мы находим гистограммы, линейные графики, круговые диаграммы и многие другие типы, каждый из которых используется для особая потребность. В алгебре графы также используются для дать визуальную картину, содержащую большое количество информация об уравнениях. Иногда много числовых значений, когда ИДЕНТИЧНОСТИ Если заявление о равенстве включает один или более переменных, это может быть либо IDENTITY (идентичный уравнение) или УСЛОВНОЕ УРАВНЕНИЕ. Тождество – это равенство, которое утверждает
факт, например, следующие примеры:Обратите внимание, что уравнение 3 просто показывает факторизованную форму 6x — 18 и выполняется Истинно, когда подставляется любое значение x. Например, если x = 5, становитсяЕсли x принимает отрицательное значение — 10, эта идентичность становится Идентичность устанавливается, когда обе стороны равенства были сведены к одному и тому же числу или такое же выражение. Если вместо х поставить 5, значение любой стороны 6(x-3) = 6x — 18 равно 12. Когда -10 заменяется на x, значение с обеих сторон равно -78. Тот факт, что это равенство является тождеством, может быть показано также факторизацией правой части так, что равенство становится6(x-3) = 6(x-3) Выражения по обе стороны равенства равны идентичный.УСЛОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оператор , такой как 2x — 1 = 0, является равенством только тогда, когда x имеет одно конкретное значение. | |||||