Три примера создания моделей на основе пользовательских уравнений в COMSOL Multiphysics®
Создание новых физических интерфейсов, которые можно сохранить, а затем отправить другим пользователям, изменение базовых уравнений в модели и расчёт более широкого диапазона устройств и процессов — это только несколько примеров использования возможностей моделирования на основе пользовательских уравнений (equation-based modeling) в программном обеспечении COMSOL Multiphysics®.
Моделирование на основе пользовательских уравнений
Моделирование на основе пользовательских уравнений входит в функционал базовой платформы COMSOL Multiphysics. С помощью него можно создавать свои модели, основанные на произвольных математических уравнениях непосредственно в графическом пользовательском интерфейсе (GUI) ПО.
Этот функционал даёт вам полный контроль над моделью. Вы можете точно настраивать модель под любые специальные требования или усложнять её по мере необходимости. Для обеспечения такой гибкости в COMSOL Multiphysics используется встроенный интерпретатор математических уравнений и выражений.
Также можно воспользоваться инструментами Physics Builder (Построитель физических интерфейсов), чтобы создать собственный физический интерфейс, или Application Builder (Среда разработки приложений), чтобы создать новый пользовательский интерфейс (UI).
Пример добавления пользовательского дифференциального уравнения в частных производных непосредственно в графическом интерфейсе COMSOL Multiphysics.
Используя указанный функционал, можно использовать и задавать:
- Дифференциальные уравненияя в частных производных (PDE)
- Обыкновенные дифференциальные уравнения (ODE)
- Алгебраические уравнения
- Алгебраические дифференциальные уравнения (DAE)
- Подвижные сетки на основе методов Лагранжа – Эйлера (Arbitrary Lagrangian-Eulerian – ALE)
- Расчеты с использованием криволинейных координат
- Анализ чувствительности
Возможности моделирования на основе пользовательских уравнений определяются лишь вашей фантазией и творческим подходом, а также доступными вычислительными и временными ресурсами.
Давайте рассмотрим три примера, которые позволят подробней узнать о данном функционале.
Пример 1. Уравнение Кортевега — де Фриза и солитоны
В 1895 году для описания нелинейных волн в воде было получено уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ). Так как в уравнении отсутствует диссипация, то волны фактически должны распространяться бесконечно. Сегодня, такие волны мы называем солитонами. Они рассматриваются как одиночные «горбы», которые могут распространяться на большие расстояния без изменения скорости и формы.
В настоящее время инженеры используют уравнение КдФ в т.ч. для анализа световых волн. Таким образом, солитоны в основном применяются в оптоволоконных системах.
Решение уравнения Кортевега — де Фриза с помощью моделирования на основе пользовательских уравнений
Для решения уравнения КдФ в COMSOL Multiphysics пользователи могут добавить уравнения в частных производных и обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) в интерфейс программы, используя математические выражения и подбирая необходимые коэффициенты.
Можно легко определить зависимые переменные и коэффициенты в физическом интерфейсе General Form PDE (Общая форма дифференциального уравнения в частных производных).
После корректной настройки пользователи смогут задать начальный импульс в оптоволокне и смоделировать результирующие волны или солитоны. Согласно уравнению КдФ, скорость импульса определяет его амплитуду и ширину. Эти параметры можно получить и проанализировать по результатам расчета. Кроме того, результаты моделирования покажут, что, как и линейные волны, солитоны могут сталкиваться, а затем восстанавливать свою форму. Это противоречивое открытие было бы сложно сделать без помощи моделирования.
Если вы хотите узнать больше об этом примере, ознакомьтесь с учебной моделью «Решение уравнения КдФ» в Галерее моделей и приложений.
По результатам расчёта видно, как солитоны сохраняют свою исходную форму после столкновения друг с другом.
Пример 2. Электрические сигналы в сердце
Теперь давайте перейдём к следующему примеру.
В нём мы увидим, как можно использовать моделирование для анализа ритмических сокращений и расслаблений сердца. Ритмические сокращения возникают, когда сердце посылает импульс ионного тока через мышцу. Во время этого процесса ионы перемещаются через небольшие поры, которые находятся в открытом (возбуждение) либо в закрытом (покой) состояниях внутри клеточной мембраны. Таким образом, чтобы лучше понять действие сердечных ритмов, нужно рассчитать электрическую активность сердечных тканей.
Моделирование электрических импульсов сердца — непростая задача, которая включает моделирование и описание свойств возбуждаемой среды. Одна из сложившихся практик решения данной задачи является использование двух наборов уравнений для описания различных аспектов распространения электрического сигнала. Давайте взглянем на модель «Распространение электрических сигналов в сердце», которую нам любезно предоставили доктор Кристиан Черубини (Christian Cherubini) и профессор Симионетта Филиппи (Simonetta Filippi) из Римского биомедицинского университета в Италии.
В данном примере используется модель ФитцХью — Нагумо и комплексная теория Гинзбурга — Ландау, которые реализованы в COMSOL Multiphysics через физические интерфейсы для задания дифференциальных уравнений в частных производных (PDE-интерфейсы).
Использование двух различных дифференциальных уравнений в частных производных для анализа распространения электрических сигналов в сердечных тканях
Используя уравнения из модели ФитцХью — Нагумо для расчёта возбуждаемых тканей учёные создали простую физиологическую модель сердца с двумя переменными — активатором (в данном случае им является электрический потенциал) и ингибитором (зависимая от напряжения переменная, которая определяет вероятность того, что поры мембраны открыты и по ним может протекать ионный ток). Используя эти уравнения и различные параметры, пользователи могут визуализировать возвратную волну (reentrant wave), которая распространяется вокруг тканей без затухания, что приводит к её характерной спиралевидной форме.
С помощью данной модели можно визуализировать эффекты, аналогичные действию аритмии, нарушающей нормальный ритм сердца.
Результаты решения уравнений ФитцХью — Нагумо в моменты времени 120 с (слева) и 500 с (справа).
С помощью комплексных уравнений Гинзбурга — Ландау учёные смоделировали переход системы от периодического колебательного состояния к хаотичному. Во время этого процесса амплитуда колебаний постепенно увеличивается, а период — уменьшается. Такие уравнения используются для изучения динамики распространения спиралевидных волн в возбуждаемой среде. Результаты демонстрируют диффузию компонентов с характерными спиралевидными паттернами, которые со временем становятся более сложными.
Результаты решения уравнений Гинзбурга — Ландау в моменты времени 45 с (слева) и 75 с (справа).
Одновременное использование двух наборов уравнений в модели позволяет визуализировать сложные явления реального мира.
Пример 3. Аттрактор Лоренца
В заключении, давайте рассмотрим уравнения Лоренца, с помощью которых можно создать простую математическую модель атмосферной конвекции.
При использовании определённых значений параметров и начальных условий, система обыкновенных дифференциальных уравнений (система Лоренца) будет иметь хаотичные решения. Одним из таких решений является аттрактор Лоренца, который выглядит, как восьмёрка или как бабочка при построении в фазовом пространстве.
Типичный аттрактор Лоренца.
Использование системы обыкновенных дифференциальных уравнений для моделирования аттрактора Лоренца
Для создания модели Аттрактора Лоренца в программное обеспечение необходимо добавить систему трёх связанных ОДУ с тремя степенями свободы. Это довольно легко сделать, используя физический интерфейс Global ODEs and DAEs для задания системы Лоренца.
Затем пользователи могут визуализировать исходное решение, которое будет похоже на аттрактор, и изучить рост очень небольшого возмущения, добавленного к этим начальным данным. Результаты (левое изображение ниже) показывают, как увеличивается с течением времени разница между решением исходной задачи и задачи с добавлением незначительного возмущения.
Также, результаты моделирования показывают, что с выбранными значениями параметров, система (в фазовом пространстве) выходит на аттрактор Лоренца в виде бабочки.
Зависимость разницы решений исходной задачи и задачи с добавлением возмущения (слева). Стандартный вид аттрактора Лоренца (справа).
Следующий шаг
Узнайте о ключевых функциях программного обеспечения COMSOL Multiphysics и запросите демонстрационную версию программы для ознакомления.
Описание возможностей COMSOL Multiphysics
Введение в уравнения с примером
В сегодняшней статье мы рассмотрим концепцию уравнений. Для начала рассмотрим такую ситуацию:
«В одной трети цветочных горшков Сесилии растут маргаритки, в половине из них — анютины глазки, а в остальных двенадцати — маки. Сколько цветочных горшков у Сесилии?
Подумай об этом и посмотри, сможешь ли ты это решить… Нет? Ну я вам скажу:
У Сесилии 72 цветочных горшка.
Теперь я объясню, как я это сделал.
Чтобы решить задачу, я преобразовал слово «проблема» в математическое выражение.
«Одна треть цветочных горшков Сесилии содержит ромашки […]»
«x» обозначает общее количество цветочных горшков, которые есть у Сесилии.
«Одна треть цветочных горшков Сесилии содержит маргаритки, половина из них полна анютиных глазок […]»
«Одна треть цветочных горшков Сесилии содержит маргаритки, половина из них заполнена анютиными глазками , а остальные двенадцать содержат маки».
Это математическое выражение равно общему количеству цветочных горшков, которые есть у Сесилии.
Этот тип математического выражения называется уравнением. Уравнение — это выражение, в котором числа и буквы (называемые переменными) связаны математическими операциями.
Чтобы математическое выражение считалось уравнением, оно должно удовлетворять следующим условиям:
- Должно быть равно
- Должен содержать одну или несколько переменных (буквы)
- Выражение может быть решено только с использованием точных значений его переменных
Теперь давайте решим наше уравнение.
Первое, что нам нужно сделать, это найти общий знаменатель для всех элементов дроби. (Вы можете напомнить себе, как складывать дроби с другим знаменателем в этой предыдущей записи в блоге).
Теперь нам нужно переместить знаменатель (6) на другую сторону знака равенства. Для этого изменим его функцию. Вместо деления в левой части теперь умножается в правой части.
Теперь мы поместим все переменные на одну сторону уравнения, а все, что не является переменной, на другую. Для этого мы перемещаем 2x и 3x в противоположную сторону и, конечно же, меняем знак.
После того, как мы решим операции с переменными, у нас останется окончательный результат.
Теперь вы видите, что у Сесилии 72 цветочных горшка.
Если вы хотите практиковать больше уравнений, помимо прочего, зайдите на Smartick и зарегистрируйтесь для нашего онлайн-метода.
Подробнее:
- Автор
- Последние сообщения
Smartick
Команда создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.
Последние сообщения Smartick (посмотреть все)
Решение одношаговых уравнений — ChiliMath
Решение одношаговых уравнений — это действительно ваш «первый шаг» в мире решения линейных уравнений. Если вы можете решить одношаговые уравнения, вы готовы справиться с задачей более сложных уравнений, таких как двухшаговые и многошаговые уравнения. Поверьте, это не сложно. Как только вы освоите этот конкретный навык, вы откроете для себя множество возможностей.
В этом уроке мы рассмотрим пять (5) типов или случаев одношаговых уравнений в зависимости от того, как они решаются. Однако пятый тип на самом деле представляет собой смесь или комбинацию умножения и деления, выполняемых как одна операция. Это действительно важный случай, потому что другие могут считать его двухшаговой задачей уравнения, хотя на самом деле ее можно решить за один шаг.
Пять (5) случаев решения одношаговых уравнений
- Случай 1 : уравнения, которые можно решить, прибавив одно и то же число к обеим частям уравнения.
- Случай 2 : уравнения, которые можно решить, вычитая одно и то же число из обеих частей уравнения.
- Случай 3 : Уравнения, которые можно решить, умножив одно и то же число на обе части уравнения.
- Чемодан 4 : Уравнения, которые можно решить, разделив одно и то же число на обе части уравнения.
- Случай 5 : Уравнения, которые можно решить путем умножения обратной величины коэффициента члена с переменной в обеих частях уравнения.
Что значит решить уравнение?
Вот простой ответ. Если вы можете изолировать или оставить переменную отдельно на одной стороне уравнения (слева или справа), так что переменная или буква имеют коэффициент +1, а константа или число находятся на противоположной стороне, то вы имеете только что решил уравнение в вопросе.
Примеры решения одношаговых уравнений
Пример 1: Решите одношаговое уравнение.
Обратите внимание, что левая часть уравнения содержит переменную x, из которой вычитается 3, а правая часть содержит положительное число девять, +9. Поскольку переменная уже находится слева, давайте просто оставим ее там.
Однако, чтобы изолировать переменную x, мы должны избавиться от -3. Мы можем исключить -3, добавив его противоположность +3. Чтобы сохранить баланс уравнения, мы должны также добавить +3 в правой части уравнения.
Повторяю, это Случай 1 решения одношаговых уравнений, потому что мы добавили одно и то же число к обеим частям уравнения.
Пример 2: Решите одношаговое уравнение.
Это одношаговое линейное уравнение немного отличается от первого примера. Обратите внимание, что переменная расположена в правой части уравнения. Не беспокойтесь об этом, потому что это не имеет большого значения.
Помните, что при решении уравнения вы можете оставить переменную с любой стороны уравнения. Пока в итоге переменная, которую вы решаете, изолирована с одной стороны с коэффициентом +1. Поэтому для этого уравнения удобно оставить переменную в правой части.
Легко видеть, что вычитание обеих частей уравнения на 7 сделает «трюк», потому что избавится от +7, тем самым изолируя переменную y в правой части.
Это Случай 2 , так как мы вычли из уравнения с обеих сторон на одно и то же число , чтобы решить его.
Пример 3: Решите одношаговое уравнение.
В этой задаче наша переменная «k» делится на 4. Помните, что наша цель — всегда изолировать переменную на одной стороне уравнения. Следовательно, мы должны найти операцию, которая может отменить деление.
Операция, которая может отменить деление, — это умножение. Это означает, что мы умножим обе части уравнения на 4.
Пример 4: Решите одношаговое уравнение.