Уравнения с двумя переменными: Линейное уравнение с двумя переменными и его график — урок. Алгебра, 7 класс.

Содержание

Линейное уравнение с двумя переменными и его график / Системы линейных уравнений с двумя переменными / Алгебра / Справочник по математике 5-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике 5-9 класс
  4. Алгебра
  5. Системы линейных уравнений с двумя переменными
  6. Линейное уравнение с двумя переменными и его график
Определение 
Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида , где и — переменные, , , — некоторые числа.

Случай 1:

Допустим нам задано линейное уравнение , в котором . Оставим в левой части уравнения слагаемые, которые содержат переменную , остальные перенесем в правую часть, изменив их знак на противоположный, получим:

Так как по условию , то мы можем поделить обе части уравнения на , то есть запишем:

Обозначим коэффициенты следующим образом:

Тогда запишем

Но эта формула задает линейную функцию, графиком которой является невертикальная прямая, поэтому графиком уравнения , где , является невертикальная прямая.

Пример 1. Построим график уравнения

Решение: Данное уравнение является линейным уравнением с двумя переменными, у которого , значит, графиком данного уравнения является прямая, поэтому для построения графика достаточно определить координаты двух любых её точек. Если , то ; если , то . Теперь через точки А(0; 5) и В(2; 1) проведем прямую (рис. 1). Полученная прямая будет являться искомым графиком.

Случай 2:

Пусть задано линейное уравнение , в котором То есть мы получим уравнение вида

Пример 2. Построим график уравнения

Решение: Найдем несколько решений данного уравнения:

Очевидно, что любая пара чисел, которая имеет вид , и только она, где — произвольное число, является решением нашего уравнения. Откуда можно заключить, что искомый график содержит все точки, у которых абсцисса равна 4, а ордината — любое число, но все эти точки принадлежат прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс и проходит через точку (4; 0) (рис.

2). Тогда решением данного уравнения будут пары чисел, которые являются координатами точек, принадлежащих полученной прямой.

То есть графиком уравнения вида , где , является вертикальная прямая.

В каждом из двух случаев: 1) ; 2)   и — графиком уравнения является прямая.

Случай 3:

Пусть задано линейное уравнение , в котором a=b=0, то есть имеем 0x+0y=c. Произведение любого числа на ноль равно нулю, а сумма двух выражений, равных нулю, равна нулю, значит, данное уравнение при с≠0 не имеет решений,  а значит, не существует точек, которые могли бы быть графиком данного уравнения.

Если с=0, то уравнение принимает вид:

0x+0y=0.

В этом случае любая пара чисел будет являться решением данного уравнения,  а значит, графиком уравнения будет являться вся координатная плоскость.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Уравнения с двумя переменными

Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Решение систем линейных уравнений методом подстановки

Решение систем линейных уравнений методом сложения

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Введение в алгебру

Линейное уравнение с одной переменной

Решение задач с помощью уравнений

Тождественно равные выражения. Тождества

Степень с натуральным показателем

Свойства степени с натуральным показателем

Одночлены

Многочлены

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Разложение многочленов на множители

Формулы сокращенного умножения

Функции

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Алгебра

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Номер 3, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 958, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 989, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 998, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1037, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1042, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1059, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1061, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1101, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 2, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 91, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 134, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 205, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


Свойства и способы решения линейных уравнений с двумя переменными.

Свойства уравнений с двумя переменными формулируются так же, как свойства уравнений с одной переменной:

  1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

  2. Если обе части уравнения подлить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному;

  3. Если в какой-либо части или в обеих частях уравнения выполнить тождественное преобразование, не меняющее области определения уравнения, то получится уравнение, равносильное данному.

Теперь поговорим о способах решения. Их существует множество. Но мы рассмотрим лишь основные из них. Это:

  1. Разложение на множители.

  2. Группировка одночленов.

  3. Решение уравнения графически.

  4. Метод перебора(или метод подстановки).

Пример 1.

Решить уравнение: xy – 2 = 2x – y.

Решение. Группируем слагаемые с целью разложения на множители:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Из каждой скобки вынесем общий множитель:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Имеем:

y = 2, x – любое действительное число или x = -1, y – любое действительное число.

Таким образом, ответом являются все пары вида (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.

Пример 2.

Решить уравнение: 3х – 2у = 4 с помощью графика.

Для начала рассмотрим определение: графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решением этого уравнения. Известно, что графиком линейного уравнения является прямая, во время решения не стоит забывать об этом.

План решения системы уравнений графическим способом

  1. Выразить переменную у в первом уравнении.

-2у = 4 -3х

-у = 2 – 3х

у = -2 – 3х

  1. В одной системе построить график данной функции

  2. Координаты точек пересечения и является решением уравнения. В нашем случае это: (1;-5) ; (2; -7) ; (3; -13) ; (3; -14)

Помните!

Координаты точек пересечения определяются приблизительно, поэтому и решения могут получиться приблизительными;

Способы решения систем уравнений с двумя переменными.

Что такое решение системы линейных уравнений. Прежде всего, это пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Рассмотрим способы решения сразу же на примере. Возьмем систему линейных уравнений с двумя переменными и решим ее несколькими способами. Это система:

  1. Если дана система из двух линейных уравнений, решайте ее следующим образом. Выберите одно из уравнений, в котором коэффициенты перед переменными поменьше и выразите одну из переменных, например, х. Затем подставьте это значение, содержащее у, во второе уравнение. В полученном уравнении будет лишь одна переменная у, перенесите все части с у в левую часть, а свободные члены – в правую. Найдите у и подставьте в любое из первоначальных уравнений, найдите х. этот метод известен так же, как метод подстановки.

  1. Еще один способ решения кроется под названием: способ сложения. Для этого нужно умножить левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами. (слайд)Затем складывают почленно полученные уравнения,(слайд) решают получившееся уравнение с одной переменной(слайд) и находят соответствующее значение второй переменной.(слайд)

  1. Третий способ решения системы двух линейных уравнений – графический.(слайдс графиком передам в понедельник) Начертите систему координат и изобразите графики двух прямых, уравнения которых указаны в вашей системе. Для этого подставляйте любые два значения х в уравнение и находите соответствующие у – это будут координаты точек, принадлежащих прямой. Удобнее всего находить пересечение с осями координат – достаточно подставить значения х=0 и у=0. Координаты точки пересечения этих двух линий и будут решением задачи. (естественно, слайд)

Линейные уравнения с двумя переменными: методы решения и примеры и b отличны от нуля. Он входит в раздел линейной алгебры на различных государственных конкурсных экзаменах, а также на различных вступительных экзаменах. Чтобы решить линейные уравнения с двумя переменными, необходимо иметь прочные базовые знания используемых концепций и методов.

Что такое линейные уравнения с двумя переменными?

Общие линейные уравнения с двумя переменными или широко известные как одновременные линейные уравнения — это уравнения вида ax + by + c = 0, где x и y — две переменные, а a, b и c — действительные числа, а а и b отличны от нуля.

Пример: \(x + y – 3 = 0\) является линейным уравнением с двумя переменными x и y.

Линейные уравнения с двумя переменными обычно используются в геометрии для нахождения координат прямой линии.

Решение линейных уравнений с двумя переменными

x и y являются решением линейного уравнения \(ax + by + c = 0\) тогда и только тогда, когда \(a + b + c = 0\), где и — действительные числа. Каждое линейное уравнение с двумя переменными имеет неограниченное количество решений.

Пример: Рассмотрим уравнение \(x + y – 3 = 0\)

Когда x = 0, y = 3
Когда x = 1, y = 2
Когда x = 2, y = 1
Когда x = 3, y = 0
При x = 7, y = -4 и т. д. все решения линейного уравнения

Если вы изучили линейные уравнения с двумя переменными, вы можете перейти к изучению линейных уравнений с одной переменной

Формы линейных уравнений с двумя переменными решение, отсутствие решений или бесконечное множество решений. Они могут быть представлены в различных формах:

  • Стандартная форма
  • Форма пересечения
  • Форма точка-наклон

Стандартная форма линейных уравнений с двумя переменными

Формат представления уравнения в стандартной форме:

\(ax+by+c=0\)

Здесь a, b и c — постоянные коэффициенты.

Рассмотрим уравнение в виде \(3x+4y=11\). В стандартной форме уравнение представляется в виде:

3x+4y-11=0

Форма линейных уравнений с двумя переменными в виде точки

Формат представления уравнения в форме точки:

y=mx+ b

В приведенном выше уравнении m — наклон, а b — точка пересечения с осью y.

Рассмотрим то же уравнение, что и 3x+4y=11. В отрезке или, скажем, в форме наклона-отрезка для уравнения представляется как:

y = (-3/4)x + 11/4

Точечная форма наклона линейных уравнений с двумя переменными

Формат представление уравнения в форме точка-наклон:

\(y-y_1=m(x-x_1)\)

Где m=наклон и \((x_1, y_1)\) обозначает точку на заданной линии.

Пример формы точка-наклон:

y-4=5(x-3)

Здесь 5 — наклон, а (3, 4) — точка на данной прямой.

Система одновременных линейных уравнений с двумя переменными

Рассмотрим два линейных уравнения с двумя переменными, 

\(\begin{array}{l}a_{1} x+b_{1} y+c_{ 1}=0 \\ a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0\end{массив}\)

Говорят, что эти два уравнения образуют систему одновременных линейных уравнений или просто пару линейных уравнений.

Пример: \(\begin{array}{l}x+y-3=0 \\ 2 x-5 y+1=0\end{массив}\)

Пара или система двух одновременных линейных уравнений с двумя переменными x и y.

Решение пары линейных уравнений с двумя переменными представляет собой упорядоченную пару чисел, удовлетворяющую обоим уравнениям.

В приведенном выше примере x = 2, y = 1 является решением пары линейных уравнений. Мы можем проверить это, подставив x = 2, y = 1 в каждое из этих двух уравнений.

Если существует только одно такое решение, то говорят, что система линейных уравнений имеет вид согласованный и независимый .

Как решать линейные уравнения с двумя переменными

Существуют различные методы решения пары или системы линейных уравнений: Детерминантный метод

Изучим все эти методы подробно вместе с примерами.

Метод подстановки для решения линейных уравнений с двумя переменными

Процедура: 

Шаг 1. Решите одно из приведенных уравнений, чтобы получить значение одной из переменных через другую, в зависимости от того, что удобно.

Шаг 2. Подставьте полученное значение переменной в другое уравнение.

Шаг 3. Решите полученное уравнение с одной переменной. Теперь подставьте это значение в любое из двух исходных уравнений и решите его, чтобы найти значение второй переменной.

#Tip- ответ можно проверить, подставив его в оба исходных уравнения.

Примеры решения 8 ……….(i)

x-2y= -3 ………. (ii)

Мы можем решить любое уравнение для любой переменной. Но чтобы избежать дробей, решим второе уравнение относительно х,

x=2y-3 ……….(iii)

Подставляя это значение x в уравнение (i), получаем

4(2y-3)-3y=8

8y-12-3y=8

5y=20

y=4.

Подставляя это значение y в (ii), мы получаем

x-24= -3

x-8= -3

x=5.

Следовательно, решение x = 5, y = 4.

Пример 2. Решите следующую систему линейных уравнений:
8x+5y=9
3x+2y=4.

Решение: Даны уравнения

8x+5y=9 ……….(i)

3x+2y=4 ……….(ii)

Из уравнения (ii) получаем
\(\begin{array}{l}2 y=4-3 x \\ y=\frac{4-3 x}{2}\end{array}\)

Подставив это значение y в (i), мы получим
\(\begin{array} {l}8 x+5 \times \frac{4-3 x}{2}=9 \\ 16 x+20-15 x=18 \\ x=-2 .\end{массив}\)

Замена это значение x в уравнении (ii), мы получаем

3(-2)+2y=4

2y=10

y=5.

Следовательно, решение x= -2, y=5.

Кроме того, проверьте концепции квадратных уравнений здесь, как только вы закончите работу с концепциями линейных уравнений с двумя переменными!

Метод исключения для решения линейных уравнений с двумя переменными

Этот метод использует исключение любой одной переменной. Этот метод обычно более удобен, чем метод подстановки. Простой метод решения уравнений с использованием метода исключения заключается в том, что если коэффициент x или y равен 1 в любом из уравнений, то обе части этого уравнения умножаются на коэффициент той же переменной во втором уравнении. Кроме того, добавьте или вычтите (в соответствии со знаком), чтобы исключить эту переменную.

Процедура: 

Шаг 1. Умножьте одно или оба уравнения (при необходимости) на подходящее число (числа) таким образом, чтобы сложение или вычитание исключало одну переменную.

Шаг 2. Решите полученное уравнение с одной переменной, чтобы найти значение этой переменной. Теперь подставьте это значение в любое из двух исходных уравнений и решите его, чтобы найти значение переменной, которая ранее была исключена.

Метод перекрестного умножения для решения линейных уравнений с двумя переменными

Процедура: 

Пусть система одновременных линейных уравнений имеет вид
\(\begin{array}{l}a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 \\ a_{ 2} x+b_{2} y+c_{2}=0\end{array}\)

Чтобы решить эту систему линейных уравнений методом перекрестного умножения, решение имеет вид
\(\begin{array }{l}\frac{x}{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}=\frac{y}{c_{1} a_{2}-c_{2} a_{ 1}}=\frac{1}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}} \\ x=\frac{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{ 2}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}} \text { и } y=\frac{c_{1} a_{2}-c_{2} a}{a_{ 1} b_{2}-a_{2} b_{1}}\end{массив}\)

Графический метод решения линейных уравнений с двумя переменными

Следующим методом решения линейных уравнений с двумя переменными является графический подход. Чтобы декодировать два линейных уравнения с двумя переменными графически, мы выполним следующие шаги:

Шаг 1: Мы начнем с графического отображения двух уравнений на графике.

Шаг 2: Чтобы построить график вручную, преобразуйте уравнения в форму y=mx+b или x=my+b.

Шаг 3: Подставьте разные значения x, например 0, 1, 2,……, и получите соответствующие значения y, или наоборот, чтобы получить разные значения x.

Шаг 4: Нанесите на график различные точки уравнения и попытайтесь найти точку, в которой обе линии пересекаются друг с другом.

Шаг 5: Точкой встречи является ответ на данную систему уравнений.

Не всегда возможно, что обе линии будут пересекаться, они даже могут быть параллельны или совпадать друг с другом. В таком случае мы можем сделать следующие выводы:

  • Если нам дана система двух линейных уравнений: \(a_1x+b_1y+c_1=0\text{ и }a_2x+b_2y+c_2=0\) и.
  • Если ᠎\(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\)
  • В таком случае получается единственное решение и заданный набор прямых пересекается в одной точке.
  • Если \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)
  • В таком случае уравнения системы не имеют решения и линии параллельно друг другу.
  • \( \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
  • Для приведенного выше случая уравнения системы имеют бесконечное число решений, и данные две линии совпадают друг с другом. Если система имеет решение, то говорят, что она непротиворечива; в противном случае он считается несовместимым.

Детерминантный метод решения линейных уравнений с двумя переменными

С помощью этого метода мы научимся находить решение системы линейных уравнений с двумя переменными. Шаги следующие:

Шаг 1: Рассмотрим вопросы как: \(a_1x+b_1y=c_1\text{ и }a_2x+b_2y=c_2\).

Шаг 2: Сначала мы найдем определитель, полученный с помощью коэффициентов x и y, и обозначим его как Δ.

\( \Delta=\begin{vmatrix}a_1&\ \ b_1\\
a_2&\ \ b_2\end{vmatrix}=a_1b_2−a_2b_1\)

Шаг 3: Далее мы получим определитель Δx, который равен определитель вычисляется путем замены первого столбца Δ постоянными членами уравнения.

\( \Delta_x=\begin{vmatrix}c_1&\ \ b_1\\
c_2&\ \ b_2\end{vmatrix}=c_1b_2−c_2b_1\)

Шаг 4: Аналогично определим определитель Δy, равный рассчитывается путем замены второго столбца Δ постоянными членами уравнения.

\(\Delta_y=\begin{vmatrix}a_1&\ \ c_1\\
a_2&\ \ c_2\end{vmatrix}=a_1c_2−a_2c_1\)

Шаг 5: Наконец, решение для заданной системы линейных уравнений получается по формулам:

\(x=\frac{Δx}{Δ}\)

\(y=\frac{Δy}{Δ}\)

Решенные примеры линейных уравнений с двумя переменными

Пример 1. Дважды одно число минус три раза в секунду равно 2, а сумма этих чисел равна 11. Найдите числа.

Решение: пусть два числа будут x и y.

Согласно задаче,
2x-3y=2 ……….(i)
x+y=11 ……….(ii)

Умножив обе части (ii) на 3, получим

3x+3y=33 ……….(iii)

Складывая (i) и (iii), мы получаем

5x=35
x=7

Подставляя это значение x в (ii), мы получить

7+y=11
y=4.

Следовательно, нужные числа 7 и 4.

Пример 2. Sohail покупает почтовые марки номиналом 25 и 50 пайсов за 10 рупий. Всего он покупает 28 марок. Найдите общее количество 25 пайсовых марок, купленных им.

Решение: Пусть количество марок в 25 пайсов равно x, а количество марок в 50 пайсов равно y.

Согласно задаче,
x+y=28 ……….(i)
25x+50y=1000 [поскольку Rs10 = 1000 пайсов], т. е. x+2y=40 ……….(ii)

Вычитая (i) из (ii), получаем y=12.

Подставив это значение y в (i), мы получим
x+12=28
x=16.

Следовательно, всего 25 пайсовых марок =16.

Пример 3. Решите следующую систему линейных уравнений:
x+y=5
3x-4y=1

Решение: заданные уравнения равны

x+y=5 ………. (i)

3x-4y=1 ……….(ii)

Умножая обе части (i) на 4, получаем

4x+4y=20 …… ….(iii)

Сложив (ii) и (iii), мы получим

7x=21

x=3.

Подставляя это значение x в (i), получаем

3+y=5

y=5-3

y=2

Следовательно, решение x=3, y=2.

Пример 4. Решить следующую систему линейных уравнений:
\(\begin{array}{l}\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=4 \\ \frac{ 5 x{6}-\frac{y}{8}=4\end{массив}\)

Решение: данные уравнения:
\(\begin{array}{l}\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=4 \ldots \ldots \ldots(i) \\ \frac{5 x}{6}-\frac{y}{8}=4 \ldots \ldots \ldots(i i)\end{array}\)

Умножение (i) на 12 и (ii) на 24 получаем

4x+3y=48 ……….(iii)

20x-3y=96 ……….(iv)

При сложении (iii) и (iv) получаем

24x =144

х=6.

Подставив это значение x в (iii), мы получим

46+3y=48

3y=24

y=8.

Следовательно, решение x=6, y=8.

Пример 5. Решить следующую пару линейных уравнений методом перекрестного умножения.
2x+y=5
3x+2y=8

Решение: Данные уравнения можно записать в виде
2x+y-5=0 и 3x+2y-8=0
a1 = 2, b1 = 1 , c1 = -5
a2 = 3, b2 = 2, c2 = -8

Следовательно,
\(\frac{x}{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}= \frac{y}{c_{1} a_{2}-c_{2} a_{1}}=\frac{1}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}\ )
\(\frac{x}{1(-8)-2(-5)}=\frac{y}{(-5) \cdot 3-(-8)-2}=\frac{1}{ 2 \times 2-3 \times 1}\)
\(\begin{array}{l}\frac{x}{-8+10}=\frac{y}{-15+16}=\frac{ 1}{4-3} \\ \frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{1}{1}\end{массив}\)
x=2 и y=1

Пример 6. Решите следующую пару линейных уравнений методом перекрестного умножения.
x-3y-7=0
3x-3y=15

Решение: данные уравнения можно записать в виде:
x-3y-7=0
3x-3y-15=0
a1=1, b1=-3, c1=-7
a2=3, b2= -3, c2= -15

Следовательно,
\(\frac{x}{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}=\frac{y }{c_{1} a_{2}-c_{2} a_{1}}=\frac{1}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}\)
\( \frac{x}{(-3)(-15)-(-3)(-7)}=\frac{y}{(-7) 3-(-15) 1}=\frac{1}{ 1(-3)-3(-3)}\)
\(\frac{x}{45-21}=\frac{y}{-21+15}=\frac{1}{-3+9 }\)
\(\frac{x}{24}=\frac{y}{(-6)}=\frac{1}{6}\)
\(x=\frac{24}{6} \text { и } y=-\frac{6}{6}=-1\)
Следовательно, решение x = 4 и y = -1.

Надеюсь, эта статья была для вас информативной и помогла вам лучше понять линейные уравнения с двумя переменными. Вы можете связаться с нами, если у вас есть какие-либо сомнения по этой теме. Вы также можете бесплатно загрузить приложение Testbook и начать подготовку к государственным экзаменам, проводя различные пробные тесты.

Часто задаваемые вопросы о линейных уравнениях с двумя переменными

В.1 Что такое линейное уравнение с двумя переменными?

Ответ 1 Уравнение вида ax + by + c = 0, где x и y — две переменные, a, b и c — действительные числа, a и b — ненулевые называется общим линейным уравнением с двумя переменными (x и y).

Q.2 В чем польза линейных уравнений с двумя переменными?

Ans.2 Линейные уравнения с двумя переменными обычно используются для построения прямой линии на графике. Различные значения двух переменных x и y обозначают различные координаты прямой линии по осям x и y.

Q.3 Как решать линейные уравнения с двумя переменными?

Ответ 3 Существуют различные методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными:
Графический метод
Метод подстановки
Метод перекрестного умножения
Метод исключения
Метод детерминанта

Q.4 Как определить линейные уравнения с двумя переменными?

Ans.4 Мы можем определить линейное уравнение с двумя переменными, если данное выражение может быть представлено в виде ax+by+ c = 0.

две переменные есть?

Ответ 5 Если нам дана система двух линейных уравнений:\(a_1x+b_1y+c_1=0\text{ и }a_2x+b_2y+c_2=0\) и если
\(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) получено единственное решение.
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) решения нет.
\( \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) существует бесконечное количество решений.

Скачать публикацию в формате PDF

Читать больше сообщений

Круговая диаграмма – Знайте определения, формулы и примеры решений!
Линейные уравнения с одной переменной с формулой, правилами и примерами решения
Список алгебраических тождеств: типы, доказательство, советы с примерами
Время и работа: важные термины и приемы с решенными вопросами
Скорость, время и расстояние: концепции, решенные примеры и стратегии подготовки 90 80 90 80 90 80

Уравнения и неравенства. Решение уравнений с несколькими переменными

Предыдущий Следующий

Когда уравнение имеет более одной переменной, мы не можем просто сказать «решить уравнение». Это все равно, что сказать вам «назовите Единого Тенора». Вы не можете этого сделать, потому что их трое. Не так уж много людей могли бы назвать и трех теноров, но суть вы поняли. #CarrerasIsTheRingoOfTheTenors

Нам нужно указать, какую переменную мы хотим получить в конце. Преобразование уравнения таким образом, что x (или w , или y и т. д.) само по себе называется решением уравнения для x  (или w , или y , и т. д.). Вы можете подумать, что этот шаг вызовет у вас головную боль, но попробуйте повторить сюжет оперы, полностью исполняемой на итальянском языке.

Чтобы решить уравнение с определенной переменной, мы можем выполнить те же действия, что и при решении уравнений с одной переменной. Мы можем прибавить одно и то же число к обеим сторонам, умножить обе стороны на одно и то же число и т. д.

Конечная цель по-прежнему состоит в том, чтобы получить переменную саму по себе с одной стороны знака =, но теперь переменная должна быть указана так как есть из чего выбрать. Ты как математик в кондитерской, только вся конфетка состоит из переменных .

Пример задачи

Решите уравнение xy = 3 z  + 2 для z .

Сначала мы вычтем 2 из обеих частей уравнения.

xy – 2 = 3 z

Затем разделите обе части на 3. хотите решить формулу для конкретной переменной. Возможно, вы еще не сталкивались с массой этих реальных формул, но вы это сделаете. Там очень много неравенства.

Пример задачи

Пусть A  будет площадью прямоугольника, l его длины и w его ширины. Формула A = lw выражает площадь прямоугольника через его длину и ширину. Эй, если вы пытаетесь вычислить площадь прямоугольного стола, чтобы увидеть, поместится ли он в вашей новой комнате, это может быть одна из тех самых реальных формул, которые мы упоминали. Решите эту формулу для w .

Это одношаговая задача. Делим обе части формулы на l , запишите и мы готовы к работе.

Уравнения с несколькими переменными подходят для задач, которые требуют найти значение некоторой переменной по значениям некоторых других переменных. Иногда это просто и требует использования формулы. Видите, как мы сделали формулу похожей на хорошую вещь ?

Пример задачи

Предположим, прямоугольник имеет площадь 30 см 2  и длину 6 см. Какова ширина прямоугольника?

Воспользуемся той же формулой, что и раньше, заменив теперь 30 на A и 6 на l , чтобы найти, что

30 = 6 w

Это уравнение только с одной переменной: w . Мы знаем, как решить эту проблему. Мы едим отдельные переменные на завтрак. (Хорошо, давайте будем честными: мы едим Sugar-O’s.) Мы делим обе части на 6, чтобы найти, что w = 5 см.

Когда известны площадь и длина, найти ширину не так уж и плохо. Запишем формулу площади, подставим заданные числа площади и длины, чтобы получилось уравнение с одной переменной, и решим уравнение. Однако если бы нас попросили найти ширины двухсот различных прямоугольников, мы бы утомились решать одни и те же уравнения снова и снова. Надеюсь, ты не собираешься расставлять двести столов в своей новой квартире.

Но даже если и так, есть более простой способ. Ранее мы решили формулу A = lw для w , чтобы найти новую формулу

Теперь мы можем использовать эту формулу для нахождения ширины прямоугольников.

  • Решение уравнений для выражений

    Мы также можем решать уравнения для выражений, которые не являются отдельными переменными. Например, мы можем решить уравнение для x 2 или 2 x . Мы чувствуем ваше страстное ожидание. Мы не заставим вас больше ждать.

    Пример задачи

    Решите уравнение A = π r 2  для r 2 .

    Чтобы найти это, разделите обе части на π.

    Потому что у нас есть r 2  с одной стороны уравнения и нет копий r  с другой стороны, вот и все. Боже, кажется, так мало работы для такого уродливого выражения. Хорошо, что мы все здесь о внутренней красоте.

    Пример задачи

    Решите уравнение y = 2 x – 9 для 2 x .

    Добавьте 9 к обеим частям, чтобы найти, что y + 9 = 2 x . Мы уже закончили. Ого, мы едва начали! Если бы мы вычисляли x , мы бы разделили обе части на 2, но поскольку мы вычисляем 2 x, , нам даже не нужно беспокоиться. Мы можем использовать все это дополнительное время, которое мы сэкономили, чтобы стать волонтером в приюте для бездомных. Или… чтобы сыграть в Call of Duty на другом уровне.

    Когда мы находим выражение, включающее x — скажем, x 2 — мы хотим получить формулу для x 2 , в которой нет терминов x . Наличие такой формулы бесполезно, потому что если бы мы знали x , то мы знали бы x 2 без необходимости использовать какую-то причудливую формулу. Даже если мы, вероятно, попытаемся выяснить причудливую формулу, прежде чем осознаем это. Дох.

    Будьте осторожны. Не забудьте ответить на вопрос, который на самом деле задают. Если вам сказали решить на 2 x , не выполняйте дополнительную работу, чтобы решить x , если вам это не нужно. Ваше время драгоценно. Время — деньги. Это деньги в банке. Вы можете отнести это в банк. Мы думаем, вы видите, куда мы едем с этим поездом.

  • Сохраняйте ответы красивыми


    Алгебра не может быть естественно красивой, но если у нас есть правильная основа, румяна и помада, мы можем улучшить ее естественные черты. Конечно, мы не будем использовать буквальный грим, так как это делает монитор грязным.

    При вычислении переменной мы можем получить формулу, включающую дробь. Когда это произойдет, обязательно дайте дробь в сокращенной форме.

    Пример задачи

    Решите уравнение 4 z + 2 y = 8 для z .

    Переставляя, мы обнаруживаем, что это правильный ответ, но он не так хорош, как мог бы быть. Время нанести тушь. Умножьте дробь на  («умная форма 1»), чтобы найти

    О-ля-ля! Эй, уравнение, ты модель?

    Другой способ найти тот же ответ — разделить обе части исходного уравнения на 2, чтобы получить:

    2 z + y = 4

    А затем найти z . К счастью, мы находим один и тот же ответ в любом случае. Нам не вернуться к чертежной доске.

  • Факторинг

    Факторинг — это еще одна полезная вещь, которую следует держать в нашем наборе хитростей — прямо между левитирующей картой и исчезающей монетой — при решении уравнений для конкретных переменных. Хотя мы решали множество уравнений, упрощая их с помощью дистрибутивного свойства, иногда нам нужно делать что-то наоборот и вместо этого учитывать фактор. Сядь поудобнее и разгрузись, распределительная собственность. Вы в отпуске.

    Пример задачи

    Каково решение уравнения 2 x + xy y = 5?

    Это немного сложно. Как нам получить x само по себе? Мы не можем точно объявить карантин. Вместо этого посмотрите на левую часть уравнения и вычтите x :

    2 x + xy
    x (2 + y )

    , и вы умножите это. Увидим, что это работает. Мы можем переписать исходное уравнение как:

    x (2 + y ) – y = 5

    Отсюда прибавьте y к обеим сторонам и разделите на (2 + y

    ) Пример

    3.

    Решите уравнение xy + yz = xz для y .

    Эй, куда делись все номера? Не беспокойтесь: мы можем так же легко сделать этот шаг только с переменными. Опять же, мы должны фактор. Если мы выделим y из первых двух членов, мы получим Y ( x + Z ) = XZ и SO

    Проблема

    Решение уравнения 3 x + xy = 4 x + xy = 4 x + xy = 4 x + xy = 4 x + xy .

    Нам нужно вынести x , но сначала мы получим все члены x с одной стороны, вычитая 4 x с каждой стороны: Теперь вычитаем x :

    x (-1 + y ) = -2

    Почти готово. Теперь разделите обе части на (-1 + y ):

    Будьте осторожны: Когда мы выносим за скобки x , мы оставляем 1 позади. Это прискорбно, так как мы поклялись 1, что никогда не оставим его позади, но это нужно было сделать. Мы только надеемся, что он сможет простить нас.

  • Геометрия

    Если вы их не помните, рекомендуется пересмотреть свои геометрические формулы. Они будут возвращаться, чтобы преследовать вас все время, и лучше, если они будут больше похожи на Каспера, Дружелюбного Призрака, чем на Джаспера, Сварливого Призрака, Который Напугает Вас до чертиков посреди ночи. Так странно, что тот субботний утренний мультфильм так и не вышел в эфир.

    Пример задачи

    Если треугольник имеет высоту 4 см и площадь 20 см 2 , какова длина основания треугольника?

    Это довольно простой вопрос, если вы запомнили геометрические формулы. Кхм. Площадь A треугольника определяется как , поэтому просто подставьте числа, данные в задаче: h = 4 и A = 20.

    Мы умножаем дробь, переменную и 4 вместе. Переменная, с которой мы пока ничего не можем сделать, но мы можем перемножить дробь и 4 вместе, чтобы получить 2.

    20 = 2 b

    Затем мы можем разделить обе стороны на 2, чтобы найти, что b = 10 см.

    Пример задачи

    На рисунке ниже найдите формулу для a 2  в заштрихованной области. Пусть A обозначает заштрихованную область.

    Заштрихованная площадь A равна площади квадрата минус площадь круга. Для этой части нет специальной формулы — вы можете вычислить ее, взглянув на нее. Или понюхав его, или что-то еще, что у вас есть самое надежное чувство. Длина стороны квадрата равна a , поэтому площадь квадрата равна a 2 .

    Радиус круга равен  (это половина длины стороны квадрата), что означает, что площадь круга равна:

    Собрав вместе все кусочки головоломки, мы вычитаем круг из квадрата.

    Мы почти закончили. Осталось только сделать то, о чем говорится в вопросе, а именно представить формулу для a 2  с точки зрения A . Со взбитыми сливками и вишенкой сверху, если можно. Нам нужно немного изменить нашу текущую формулу. Сначала упростим правую часть.

    Отсюда мы можем пойти двумя путями. Технически существует бесконечно много путей отсюда, но только два правильных.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта