В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды решка: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды.найдите вероятность того,что решка выпадет ровно одинраз

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды – как решать

Формулировка задачи: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл (решка) не выпадет ни разу (выпадет ровно/хотя бы 1, 2 раза).

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 10 (Классическое определение вероятности).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.

Пример задачи 1:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.

Решение:

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:

ОО ОР РО РР

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых нет ни одного орла. Такая комбинация всего одна (РР).

Осталось лишь подсчитать вероятность выпадения этой комбинации.

Для этого нужно поделить количество интересующих нас комбинаций на количество всех возможных комбинаций:

P = 1 / 4 = 0.25

Ответ: 0.25

Пример задачи 2:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение:

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:

ОО ОР РО РР

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых орел выпадает ровно 2 раза. Такая комбинация всего одна (ОО).

Осталось лишь подсчитать вероятность выпадения этой комбинации. Для этого нужно поделить количество интересующих нас комбинаций на количество всех возможных комбинаций:

P = 1 / 4 = 0.25

Ответ: 0.25

Пример задачи 3:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Решение:

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:

ОО ОР РО РР

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых орел выпал ровно 1 раз. Таких комбинаций всего две (ОР и РО).

Осталось лишь подсчитать вероятность выпадения этой комбинаций. Для этого нужно поделить количество интересующих нас комбинаций на количество всех возможных комбинаций:

P = 2 / 4 = 0.5

Ответ: 0.5

Пример задачи 4:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

Решение:

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:

ОО ОР РО РР

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых орел выпадет хотя бы 1 раз. Таких комбинаций всего три (ОО, ОР и РО).

Осталось лишь подсчитать вероятность выпадения этой комбинаций. Для этого нужно поделить количество интересующих нас комбинаций на количество всех возможных комбинаций:

P = 3 / 4 = 0.75

Ответ: 0.75

Монету бросают два раза. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды

Формулировка задачи: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл (решка) не выпадет ни разу (выпадет ровно/хотя бы 1, 2 раза).

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 10 (Классическое определение вероятности).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.

Пример задачи 1:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.

ОО ОР РО РР

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых нет ни одного орла. Такая комбинация всего одна (РР).

P = 1 / 4 = 0.25

Ответ: 0.25

Пример задачи 2:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:

ОО ОР РО РР

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых орел выпадает ровно 2 раза. Такая комбинация всего одна (ОО).

P = 1 / 4 = 0.25

Ответ: 0.25

Пример задачи 3:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:

ОО ОР РО РР

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых орел выпал ровно 1 раз. Таких комбинаций всего две (ОР и РО).

Ответ: 0.5

Пример задачи 4:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:

ОО ОР РО РР

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых орел выпадет хотя бы 1 раз. Таких комбинаций всего три (ОО, ОР и РО).

P = 3 / 4 = 0.75

Задачи на подбрасывание монет считаются довольно сложными. И перед тем как решать их, требуется небольшое пояснение. Задумайтесь, любая задача по теории вероятностей в итоге сводится к стандартной формуле:

где p — искомая вероятность, k — число устраивающих нас событий, n — общее число возможных событий.

Большинство задач B6 решаются по этой формуле буквально в одну строчку — достаточно прочитать условие. Но в случае с подбрасыванием монет эта формула бесполезна, поскольку из текста таких задач вообще не понятно, чему равны числа k и n . В этом и состоит вся сложность.

Тем не менее, существует как минимум два принципиально различных метода решения:

1. Метод перебора комбинаций — стандартный алгоритм. Выписываются все комбинации орлов и решек, после чего выбираются нужные;
2. Специальная формула вероятности — стандартное определение вероятности, специально переписанное так, чтобы было удобно работать с монетами.

Для решения задачи B6 надо знать оба метода. К сожалению, в школах изучают только первый. Не будем повторять школьных ошибок. Итак, поехали!

Метод перебора комбинаций

Этот метод еще называется «решение напролом». Состоит из трех шагов:

1. Выписываем все возможные комбинации орлов и решек. Например: ОР, РО, ОО, РР. Число таких комбинаций — это n ;
2. Среди полученных комбинаций отмечаем те, которые требуются по условию задачи. Считаем отмеченные комбинации — получаем число k ;
3. Осталось найти вероятность: p = k : n .

К сожалению, этот способ работает лишь для малого количества бросков. Потому что с каждым новым броском число комбинаций удваивается. Например, для 2 монет придется выписать всего 4 комбинации. Для 3 монет их уже 8, а для 4 — 16, и вероятность ошибки приближается к 100%. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое количество.

Итак, монету бросают два раза. Выпишем все возможные комбинации (O — орел, P — решка):

Итого n = 4 варианта. Теперь выпишем те варианты, которые подходят по условию задачи:

Таких вариантов оказалось k = 2. Находим вероятность:

Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Снова выписываем все возможные комбинации орлов и решек:

OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP

Всего получилось n = 16 вариантов.

Вроде, ничего не забыл. Из этих вариантов нас устраивает лишь комбинация «OOOO», в которой вообще нет решек. Следовательно, k = 1. Осталось найти вероятность:

Как видите, в последней задаче пришлось выписывать 16 вариантов. Вы уверены, что сможете выписать их без единой ошибки? Лично я — не уверен. Поэтому давайте рассмотрим второй способ решения.

Специальная формула вероятности

Итак, в задачах с монетами есть собственная формула вероятности. Она настолько простая и важная, что я решил оформить ее в виде теоремы. Взгляните:

Теорема. Пусть монету бросают n раз. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз, можно найти по формуле:

Где C n k — число сочетаний из n элементов по k , которое считается по формуле:

Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: число бросков и число орлов. Чаще всего эти числа даны прямо в тексте задачи. Более того, не имеет значения, что именно считать: решки или орлы.

Ответ получится один и тот же.

На первый взгляд, теорема кажется слишком громоздкой. Но стоит чуть-чуть потренироваться — и вам уже не захочется возвращаться к стандартному алгоритму, описанному выше.

Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.

По условию задачи, всего бросков было n = 4. Требуемое число орлов: k = 3. Подставляем n и k в формулу:

Задача. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Снова выписываем числа n и k . Поскольку монету бросают 3 раза, n = 3. А поскольку решек быть не должно, k = 0. Осталось подставить числа n и k в формулу:

Напомню, что 0! = 1 по определению. Поэтому C 3 0 = 1.

Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка.

Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза (тогда решек будет 1), либо 4 (тогда решек вообще не будет). Найдем вероятность каждого из этих событий.

Пусть p 1 — вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда n = 4, k = 3. Имеем:

Теперь найдем p 2 — вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом случае n = 4, k = 4. Имеем:

Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности p 1 и p 2 . Помните: складывать вероятности можно только для взаимоисключающих событий. Имеем:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Ответ: 0,25. 34. Решение. Всего 4 варианта: о; о о; р р; р р; о. Благоприятных 1: о; р. Вероятность равна 1/4 = 0,25. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй – решка).

Слайд 35 из презентации «Решение заданий В6» . Размер архива с презентацией 1329 КБ.

Математика 11 класс

краткое содержание других презентаций

«Решение заданий В6» — Купленная сумка. Вероятность произведения независимых событий. Частота рождения девочек. Исход. Жребий. Возможность выиграть. Участник. Качественные тарелки. Иностранный язык. Команда. Ситуация. Искомая вероятность. Человек. Комбинации. Кофе. Батарейка. События. Магазин. Вопрос по ботанике. Механические часы. Карточки с номерами групп. Вероятность уцелеть. Насос. Пристрелянный револьвер. Спортсмен.

«Подготовка к экзамену по математике» — Информационно-методическое пространство учителей математики. Сборник к ЕГЭ по математике. Решение большого количества задач из «Банка заданий». Рекомендации выпускникам по подготовке к ЕГЭ. Из опыта подготовки к итоговой аттестации немотивированных учащихся. Рабочие тетради по математике B1-B12, С1 – С6 к ЕГЭ 2011. Результаты ЕГЭ. Информационная поддержка Единого государственного экзамена. Учебно-тренировочные тесты к ЕГЭ 2011 по математике.

«Решение текстовых задач по математике» — В разделе прототипов блока B12 всего 82 прототипа задач. Задачи на движение. Движение объектов навстречу друг к другу. Бригада маляров красит забор длиной 240 метров. Задачи на работу. Прототип задания B12. Задачи на работу и производительность. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. Задачи на «концентрацию, смесей и сплавов». Общие подходы к решению задач. Движение велосипедистов и автомобилистов. Движение лодки по течению и против течения.

«Варианты заданий ЕГЭ по математике» — Корни иррациональны. Сюжетные задачи. Укажите график функции, заданной формулой. Простейшие виды уравнений и неравенств. Анализ содержания заданий по математике ЕГЭ. Геометрические фигуры и их свойства. Задания второй и третьей части (форма В и С). Студенческая бригада. Значение выражения. Найдите значение выражения. Сколько корней имеет уравнение. Структура работы по математике. Основные содержательные темы по математике.

«Структура ЕГЭ по математике» — Тренировочные работы. Структура КИМ ЕГЭ. Пример КИМ ЕГЭ по математике 2012. Советы психолога. Типовые экзаменационные варианты. ЕГЭ-2012 математика. Полезные приемы. Бланки ответов. Шкалирование. Оценка работ ЕГЭ по математике. Рекомендации по заучиванию материала. Изменения в ЕГЭ по математике 2012. Структура варианта КИМ. Типовые тестовые задания. Алгебра.

«Задание B1 в ЕГЭ по математике» — Флакон шампуня. Подготовка к ЕГЭ по математике. Содержание задания. Проверяемые требования. Теплоход. Реальные числовые данные. Лимонная кислота. Спасательная шлюпка. Задания для самостоятельного решения. Лимонная кислота продается в пакетиках. Памятка ученику. Наибольшее число. Прототип задания.

Условие

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый.

Решение

1. Данную задачу будем решать по формуле:

Где Р(А) – вероятность события А, m – число благоприятствующих исходов этому событию, n – общее число всевозможных исходов.

1. Применим данную теорию к нашей задаче:

А – событие, когда во второй раз выпадет то же, что и в первый;

Р(А) – вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый.

1. Определим m и n:

m — число благоприятствующих этому событию исходов, то есть число исходов, когда во второй раз выпадет то же, что и в первый. В эксперименте бросают монету дважды, которая имеет 2 стороны: решка (Р) и орел (О). Нам необходимо, чтобы во второй раз выпадет то же, что и в первый, а это возможно тогда, когда выпадут следующее комбинации: ОО или РР, то есть получается, что

m = 2, так как возможно 2 варианта, когда во второй раз выпадет то же, что и в первый;

n – общее число всевозможных исходов, то есть для определения n нам необходимо найти количество всех возможных комбинаций, которые могут выпасть при бросании монеты дважды. Кидая первый раз монету может выпасть либо решка, либо орел, то есть возможно два варианта. При бросании второй раз монету возможны точно такие же варианты. Получается, что

Понравилась статья? Поделись с друзьями:

Задачи по теории вероятностей. Задачи по теории вероятностей В случайном эксперименте монета подбрасывается дважды

Описание презентации на отдельных слайдах:

1 слайд

Описание слайда:

Решение задач по теории вероятностей. Учитель математики МБОУ Нивнянская СОШ, Нечаева Тамара Ивановна

2 слайд

Описание слайда:

Цели урока: рассмотреть различные типы задач теории вероятностей и методы их решения. Задачи урока: учить распознавать различные виды задач по теории вероятностей и совершенствовать логическое мышление школьников.

3 слайда

Описание слайда:

Задание 1. В случайном эксперименте симметричная монета подбрасывается 2 раза. Найдите вероятность выпадения одинакового количества орлов и решек.

4 слайда

Описание слайда:

Задание 2. Монету подбрасывают четыре раза. Найдите вероятность того, что никогда не выпадет решка.

5 слайдов

Описание слайда:

Задача 3. В случайном эксперименте дважды подбрасывают симметричную монету. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение: Для того чтобы найти вероятность заданного события, необходимо рассмотреть все возможные исходы эксперимента, а затем выбрать из них благоприятные исходы (благоприятные исходы – это исходы, удовлетворяющие требованиям задачи). В нашем случае благоприятными будут те исходы, при которых при двух подбрасываниях симметричной монеты орел выпадет только один раз. Вероятность события рассчитывается как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Следовательно, вероятность того, что при двукратном подбрасывании симметричной монеты орел выпадет только один раз, равна: Р = 2/4 = 0,5 = 50 % Ответ: вероятность того, что в результате проведенного эксперимента Головы упадут только один раз — это 50%. Номер эксперимента 1-й бросок 2-й бросок Количество раз, когда орел 1 орел орел 2 2 решка решка 0 3 орел решка 1 4 решка орел 1

6 слайдов

Описание слайда:

Задание 4. Один раз бросили игральную кость. Какова вероятность того, что количество выпавших очков больше 4. Решение: Случайный эксперимент — бросание игральной кости. Элементарное событие — это число на выпавшем ребре. Ответ: 1/3 Всего лиц: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Элементарные события: N=6 N(A)=2

7 слайдов

Описание слайда:

Задание 5. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность поражения цели одним выстрелом равна 0,8. Найти вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а два последних промахнулся. Округлите результат до сотых. Решение: Вероятность попадания = 0,8 Вероятность промаха = 1 — 0,8 = 0,2 А=(попадание, попадание, попадание, промах, промах) 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 P(A) = 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02 Ответ: 0,02

8 слайдов

Описание слайда:

Задание 6. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Округлите ответ до сотых. Решение: Элементарным результатом этого эксперимента является упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет на первом кубике, второе — на втором. Набор элементарных исходов удобно представить в виде таблицы. Строки соответствуют количеству очков на первом кубике, столбцы — второму кубику. Всего n = 36 элементарных событий. Запишем в каждую ячейку сумму выпавших очков и раскрасим клетки, где сумма равна 6. Таких клеток 5. Следовательно, событию A = (сумма выпавших очков равна 6) благоприятствуют 5 элементарных исходов. Следовательно, m = 5. Следовательно, P(A) = 5/36 = 0,14. Ответ: 0,14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 95 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12

9 слайд

Описание слайда:

Формула вероятности Теорема Пусть монета подброшена n раз. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз, можно найти по формуле: Где Cnk — количество комбинаций из n элементов по k, которое вычисляется по формуле:

10 слайдов

Описание слайда:

Задача 7. Монету подбрасывают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза. Решение По условию задачи всего было n =4 бросков. Необходимое количество орлов: k =3. Подставляем n и k в формулу: С таким же успехом можно посчитать количество решек: k = 4 − 3 = 1. Ответ будет тот же. Ответ: 0,25

11 слайд

Описание слайда:

Задача 8. Монету подбрасывают три раза. Найдите вероятность того, что никогда не выпадет решка. Решение Снова запишем числа n и k. Так как монета подбрасывается 3 раза, то n = 3. А так как решки быть не должно, то k = 0. Осталось подставить числа n и k в формулу: Напомню, что 0! = 1 по определению. Следовательно, C30 = 1. Ответ: 0,125

12 слайдов

Описание слайда:

Задача 9. В случайном эксперименте симметричную монету подбрасывают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет чаще, чем решка. Решение: Чтобы орла было больше, чем решки, они должны выпасть либо 3 раза (тогда будет 1 решка), либо 4 (тогда решки не будет вообще). Найдем вероятность каждого из этих событий. Пусть p1 — вероятность выпадения орла 3 раза. Тогда n = 4, k = 3. Имеем: Теперь найдем p2 — вероятность того, что решка выпадет все 4 раза. В этом случае n = 4, k = 4. Имеем: Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности p1 и p2. Помните: вы можете добавлять вероятности только для взаимоисключающих событий. Имеем: p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 Ответ: 0,3125

13 слайдов

Описание слайда:

Задание 10. Перед началом волейбольного матча капитаны команд жеребьевкой определяют, какая команда начнет игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найти вероятность того, что Статор начнет только первую и последнюю игры. Решение. Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность возникновения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5 0,5 0,5 = 0,125. Ответ: 0,125.

Головоломки с подбрасыванием монеты считаются довольно сложными. И перед их решением требуется небольшое пояснение. Вдумайтесь, любая задача по теории вероятностей в итоге сводится к стандартной формуле:

, где p — искомая вероятность, k — количество устраивающих нас событий, n — общее количество возможных событий.

Большинство задач B6 решаются по этой формуле буквально в одну строку — достаточно прочитать условие. Но в случае подбрасывания монет эта формула бесполезна, так как из текста таких задач вообще не понятно, чему равны числа k и n. Вот в чем сложность.

Однако есть как минимум два принципиально разных метода решения:

1. Метод перебора комбинаций — стандартный алгоритм. Выписываются все комбинации орла и решки, после чего выбираются нужные;
2. Специальная формула вероятности — стандартное определение вероятности, специально переписанное так, чтобы было удобно работать с монетами.

Чтобы решить задачу B6, вам нужно знать оба метода. К сожалению, в школах преподается только первый. Не будем повторять школьных ошибок. Итак, начнем!

Метод комбинированного перебора

Этот метод также известен как «прорывное решение». Состоит из трех шагов:

1. Запишите все возможные комбинации орла и решки. Например: ИЛИ, РО, ОО, РР. Количество таких комбинаций равно n;
2. Среди полученных комбинаций отметим те, которые требуются по условию задачи. Считаем отмеченные комбинации — получаем число k;
3. Осталось найти вероятность: p = k : n .

К сожалению, этот метод работает только для небольшого количества бросков. Потому что с каждым новым броском количество комбинаций удваивается. Например, за 2 монеты вам придется выписать всего 4 комбинации. На 3 монеты их уже 8, а на 4 — 16, и вероятность ошибки приближается к 100%. Посмотрите примеры и сами все поймете:

Задача. В случайном эксперименте симметричную монету подбрасывают 2 раза. Найдите вероятность выпадения одинакового количества орлов и решек.

Итак, монета подбрасывается дважды. Запишем все возможные комбинации (O — решка, P — решка):

Всего n = 4 варианта. Теперь выпишем те варианты, которые подходят по условию задачи:

Таких вариантов было k = 2. Находим вероятность:

Задача. Монету подбрасывают четыре раза. Найдите вероятность того, что никогда не выпадет решка.

Снова выписываем все возможные комбинации орла и решки:

OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP

Всего имеется n = 16 вариантов. Вроде ничего не забыл. Из этих вариантов нас устраивает только комбинация «ООООО», в которой вообще нет решек. Следовательно, k = 1. Осталось найти вероятность:

Как видите, в прошлой задаче мне пришлось выписать 16 вариантов. Вы уверены, что сможете написать их без единой ошибки? Лично я не уверен. Итак, давайте рассмотрим второе решение.

Специальная формула вероятности

Итак, у задач с монетами есть своя формула вероятности. Это настолько просто и важно, что я решил изложить это в виде теоремы. Взгляните:

Теорема. Пусть монета подброшена n раз. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз, можно найти по формуле:

Где C n k — количество комбинаций n элементов по k , которое рассчитывается по формуле:

Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: количество подбрасываний и количество выпадений орла. Чаще всего эти цифры даются прямо в тексте задачи. При этом неважно, что именно считать: решку или орла. Ответ будет таким же.

На первый взгляд теорема кажется слишком громоздкой. Но стоит немного потренироваться — и к описанному выше стандартному алгоритму возвращаться уже не хочется.

Задача. Монету подбрасывают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.

По условию задачи всего было n = 4 бросков. Необходимое количество головок: k = 3. Подставляем n и k в формулу:

Задача. Монета подбрасывается три раза. Найдите вероятность того, что никогда не выпадет решка.

Снова выписываем числа n и k. Так как монета подбрасывается 3 раза, то n = 3. А так как решки быть не должно, то k = 0. Осталось подставить числа n и k в формулу:

Напомню, что 0! = 1 по определению. Поэтому C 3 0 = 1,

Задача. В случайном эксперименте симметричную монету подбрасывают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет чаще, чем решка.

Чтобы орла было больше, чем решки, они должны выпасть либо 3 раза (тогда будет 1 решка), либо 4 (тогда решки не будет вообще). Найдем вероятность каждого из этих событий.

Пусть p 1 — вероятность выпадения орла 3 раза. Тогда n = 4, k = 3. Имеем:

Теперь находим p 2 — вероятность того, что решка выпадет все 4 раза. В этом случае n = 4, k = 4. Имеем:

Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности p 1 и p 2 . Помните: вы можете добавлять вероятности только для взаимоисключающих событий. Имеем:

р = р 1 + р 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

В качестве предисловия.
Всем известно, что у медали две стороны — орел и решка.
Нумизматы считают, что у монеты три стороны — аверс, реверс и ребро.
И среди тех, и среди других мало кто знает, что такое симметричная монета. Но об этом знают (ну или должны знать 🙂 те, кто готовится к сдаче экзамена.

В общем, в этой статье речь пойдет о необычной монете, которая не имеет никакого отношения к нумизматике, но, в то же время, является самой популярной среди школьников монетой.

Итак.
Симметричная монета — это воображаемая математически идеальная монета без размеров, веса, диаметра и т.д. В результате такая монета тоже не имеет стада, то есть реально имеет только две стороны. Главное свойство симметричной монеты состоит в том, что при таких условиях вероятность выпадения орла или решки совершенно одинакова. И придумали симметричную монету для мысленных экспериментов.
Самая популярная задача с симметричной монетой звучит так — «В случайном опыте симметричную монету подбрасывают дважды (трижды, четыре раза и т.д.). Требуется определить вероятность того, что одна из сторон выпадет выпадет определенное количество раз

Решение задачи с симметричной монетой

Понятно, что в результате подбрасывания монета выпадет либо орлом, либо решкой Сколько раз — зависит от того, сколько бросков сделать , Вероятность выпадения орла или решки рассчитывается путем деления количества исходов, удовлетворяющих условию, на общее количество возможных исходов.

Один бросок

Здесь все просто. Выпадет либо орел, либо решка. Те. имеем два возможных исхода, один из которых нас удовлетворяет — 1/2=50%

Два броска

За два броска может выпасть:
два орла
две решки
орел, потом решка
решка, потом
орел Т.е. возможны только четыре варианта. Задачи с более чем одним броском проще всего решить, составив таблицу возможных вариантов. Для простоты обозначим решку как «0», а решку как «1». Тогда таблица возможных исходов будет выглядеть так:
00
01
10
11
Если, например, вам нужно найти вероятность того, что орел выпадет один раз, нужно просто посчитать количество подходящих вариантов в таблице — т.е. тех строк, где орел встречается один раз. Таких линий две. Таким образом, вероятность выпадения одной решки при двух подбрасываниях симметричной монеты равна 2/4=50%
Вероятность выпадения решки два раза при двух подбрасываниях равна 1/4=25%

Три розы

Составим таблицу опции:
000
001
010
011
100
101
110
111
Те, кто знаком с двоичным исчислением, понимают, к чему мы пришли. 🙂 Да, это двоичные числа от «0» до «7». Так легче не запутаться с опциями.
Решим задачу из предыдущего пункта — посчитаем вероятность того, что орел выпадет один раз. Есть три строки, где «0» встречается один раз. Таким образом, вероятность выпадения орла при трех подбрасываниях симметричной монеты равна 3/8=37,5% 9.0181 Вероятность того, что решка при трех бросках выпадет дважды, равна 3/8=37,5%, т.е. абсолютно одинакова.
Вероятность того, что голова при трех бросках выпадет три раза, равна 1/8 = 12,5%.

Four throws

We make a table of options:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
The probability that Головы всплывают один раз. Есть только три строки, где «0» встречается один раз, как и в случае с тремя бросками. Но, вариантов уже шестнадцать. Таким образом, вероятность выпадения одного орла за четыре подбрасывания симметричной монеты равна 3/16=18,75% 9. 0181 Вероятность того, что орел выпадет дважды за три броска, равна 6/8=75%,.
Вероятность того, что орел выпадет три раза при трех бросках, равна 4/8=50%.

Итак, с увеличением количества бросков принцип решения задачи вообще не меняется — только в соответствующей прогрессии увеличивается количество вариантов.

Формулировка задания: В случайном эксперименте дважды подбрасывается симметричная монета. Найти вероятность того, что орел (решка) не выпадет ни разу (выпадет ровно / хотя бы 1, 2 раза).

Задание включено в ЕГЭ по математике базового уровня за 11 класс под номером 10 (Классическое определение вероятности).

Давайте посмотрим, как решаются такие задачи на примерах.

Пример задания 1:

В случайном эксперименте симметричная монета подбрасывается дважды. Найдите вероятность того, что орел никогда не выпадет.

OO ИЛИ RO RR

Всего таких комбинаций 4. Нас интересуют только те из них, в которых нет ни одного орла. Существует только одна такая комбинация (PP).

P = 1 / 4 = 0,25

Ответ: 0,25

Пример задания 2:

В случайном эксперименте дважды подбрасывается симметричная монета. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету подбросить дважды. Для удобства обозначим орла буквой О, а решку буквой Р:

ОО ИЛИ РО РР

Всего таких комбинаций 4. Нас интересуют только те комбинации, в которых орёл появляется ровно 2 раза. Существует только одна такая комбинация (ОО).

P = 1 / 4 = 0,25

Ответ: 0,25

Пример задания 3:

В случайном эксперименте симметричная монета подбрасывается дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету подбросить дважды. Для удобства обозначим орла буквой О, а решку буквой Р:

ОО ИЛИ РО РР

Всего таких комбинаций 4. Нас интересуют только те из них, в которых головы выпадали ровно 1 раз. Таких комбинаций всего две (OP и RO).

Ответ: 0,5

Пример задания 4:

В случайном эксперименте симметричная монета подбрасывается дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет хотя бы один раз.

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету подбросить дважды. Для удобства обозначим орла буквой О, а решку буквой Р:

ОО ИЛИ РО РР

Всего таких комбинаций 4. Нас интересуют только те комбинации, в которых решка выпадает хотя бы один раз. Таких комбинаций всего три (OO, OR и RO).

Р = 3 / 4 = 0,75

В заданиях по теории вероятностей, которые представлены на ЕГЭ под номером № 4, кроме, есть задания на подбрасывание монеты и на подбрасывание игральной кости . Сегодня мы их разберем.

Проблемы с подбрасыванием монет

Задание 1. Симметричная монета подбрасывается дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

В таких задачах удобно записывать все возможные исходы, записывая их с помощью букв Р (решка) и О (орел). Таким образом, исход ИЛИ означает, что при первом броске выпал орел, а при втором — решка. В рассматриваемой задаче возможны 4 исхода: PP, RO, OR, OO. Благоприятствует событию «решка выпадает ровно один раз» 2 исхода: RO и OR. Искомая вероятность равна .

Ответ: 0,5.

Задание 2. Симметричная монета подбрасывается три раза. Найти вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Всего возможно 8 исходов: ПРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР, ООО. Благоволить к событию «Выпадение орла ровно дважды» 3 исхода: РОО, ОРО, ООР. Искомая вероятность равна .

Ответ: 0,375.

Задание 3. Перед началом футбольного матча судья подбрасывает монету, чтобы определить, какая команда запустит мяч. Команда Emerald играет три матча с разными командами. Найти вероятность того, что в этих играх «Изумруд» ровно один раз выиграет жребий.

Эта задача аналогична предыдущей. Пусть каждый раз выпадение решки означает выигрыш лота «Изумрудом» (такое допущение не влияет на расчет вероятностей). Тогда возможны 8 исходов: ПРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР, ООО. Есть 3 исхода в пользу события «решка выпадает ровно один раз»: POO, ORO, OOP. Искомая вероятность равна .

Ответ: 0,375.

Задача 4 . Симметричная монета подбрасывается три раза. Найти вероятность того, что выпадет исход РОО (в первый раз выпадет решка, во второй и третий — решка).

Как и в предыдущих заданиях, здесь 8 исходов: ППП, ППО, ПОП, ПОО, ОПП, ОРО, ООП, ООО. Вероятность исхода РОО равна .

Ответ: 0,125.

Проблемы с броском костей

Задание 5. Кости подбрасываются дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствует событию «сумма очков равна 8»?

Задача 6 . Два игральных кубика бросают одновременно. Найдите вероятность того, что сумма будет равна 4. Округлите результат до сотых.

В общем случае, если бросить игральную кость (кости), то исходы равновозможны. Одинаковое количество исходов получается, если один и тот же кубик бросают один раз подряд.

В пользу события «всего 4» благоприятствуют следующие исходы: 1 — 3, 2 — 2, 3 — 1. Их количество равно 3. Желаемая вероятность .

Для вычисления приблизительного значения дроби удобно использовать деление на угол. Таким образом, оно примерно равно 0,083…, округляя до сотых, имеем 0,08.

Ответ: 0,08

Задача 7 . Одновременно бросают три игральные кости. Найдите вероятность получить в сумме 5 очков. Округлите результат до сотых.

Исход будем рассматривать как тройку чисел: очки, выпавшие на первом, втором и третьем кубике. Итого равновозможные исходы. В пользу события «всего 5» говорят следующие исходы: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1, 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1. Их количество равно 6. Искомая вероятность равна . Для вычисления примерного значения дроби удобно использовать деление на угол. Примерно получаем 0,027…, округляем до сотых, имеем 0,03. Источник «Подготовка к ЕГЭ. Математика. Теория вероятности». Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов

Как узнать, кто твой ангел

Совместимость женщины Девы и мужчины Девы

Вероятность подбрасывания монеты

Эксперимент с подбрасыванием монеты всегда играет ключевую роль в теории вероятности. Всякий раз, когда мы будем рассматривать вероятность вещей в статистике, у нас обязательно будут примеры с подбрасыванием монеты.

Пространство для проб

При подбрасывании монеты возможны два исхода.

Это «Голова» и «Хвост».

Итак, выборочное пространство S = {H, T}, n(s) = 2.

Когда две монеты подбрасываются один раз,

общее количество всех возможных исходов = 2 x 2 = 4

Итак, выборочное пространство S = {HH, TT, HT, TH}, n(s) = 4.

Когда три монеты подбрасываются один раз,

общее количество всех возможных результатов = 2 x 2 x 2 = 8.

Таким образом, пространство выборки равно

S = {HHH, TTT, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT},

n(s) = 8

Таким образом, мы можем получить место для выборки при подбрасывании монеты или монет.

Примечание:

В эксперименте с подбрасыванием монеты мы также можем получить выборочное пространство с помощью древовидной диаграммы.

Итог:

Одна монета подбрасывается один раз:

Общее количество возможных исходов = 2 ¹ = 2

Две монеты подбрасываются один раз (или) Одна монета подбрасывается дважды Общее количество возможных исходов:

9002 = 2 ² = 4

Три монеты подбрасываются один раз (или) Одна монета подбрасывается три раза :

Общее количество возможных исходов = 2 ³  = 8

Четыре монеты подбрасываются один раз (или) Одна монета подбрасывается четыре раза :

Общее количество возможных исходов = 2 ⁴  = 16

Таким образом , когда n монет подбрасывается один раз (или) одна монета подбрасывается n раз :

Общее количество возможных исходов = 2 ⁿ

Формула вероятности

Мы можем использовать формулу из классического определения для найти вероятность в опытах с подбрасыванием монеты.

Пусть А — событие случайного эксперимента.

Тогда

n(A) = количество возможных исходов события A

n(S) = количество всех возможных исходов эксперимента

Возможные результаты случайного эксперимента.

Тогда приведенная выше формула станет.

Чтобы лучше понять приведенную выше формулу, давайте рассмотрим следующий эксперимент с подбрасыванием монеты.

Монета подбрасывается один раз.

S = {H, T} и n(S) = 2

Пусть A — событие получения орла.

A = {H} и n(A) = 1

Тогда

P(A) = n(A)/n(S)

= 1/2

Решенные задачи

Задача 1 :

Монета подбрасывается дважды. Какова вероятность получить голову?

Решение:

Когда монету подбрасывают дважды, общее количество всех возможных исходов:

= 2 x 2

= 4

Пример пространства:

S = {HH, TT, HT, TH}

n(S) = 4

.

A = {HT, TH}

n(A) = 2

Требуемая вероятность:

P(A) = n(A)/n(S)

= 2/4

= 0,50 или 50 %

Задача 2 :

Монету подбрасывают три раза. Какова вероятность того, что выпадет:

(i) 2 решки

(ii) минимум 2 решки

Решение:

При трехкратном подбрасывании монеты сначала нужно перечислить все элементарные события.

Это можно сделать с помощью «Деревовидной диаграммы», как показано ниже:

Таким образом, элементарными событиями являются HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT.

То есть 

S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

Таким образом, количество элементарных событий n(s) = 8.

(i) 2 решки :

Из этих 8 результатов 2 решки выпадают в трех случаях, а именно TTH, THT и HTT.

Если обозначить выпадение двух решек событием A и предположить, что монета, как и исполнитель эксперимента, непредвзяты, то это предположение обеспечивает равновероятность всех восьми элементарных событий.

Требуемая вероятность:

P(A) = n(A)/n(s)

= 3/8  

= 0,375 или 37,5%

(ii) не менее 2 решек:

по крайней мере 2 решки, т.е. 2 решки или 3 решки.

Поскольку 2 решки встречаются в 3 случаях, а 3 решки встречаются только в 1 случае, B встречается в 3 + 1 или 4 случаях.

Требуемая вероятность :

P(B) = 4/8

= 0,50 или 50%

Задача 3 :

Четыре монеты подбрасываются один раз. Какова вероятность того, что выпадет хотя бы 2 орла?

Решение:

Когда четыре монеты подбрасываются один раз, общее количество всех возможных результатов:

= 2 x 2 x 2 x 2

= 16

Пространство выборки:

S = {HHHH, TTTT, HHHT, HHTH, HTHH, THHH, TTTH, TTHT, THTT, HTTT, HHTT, TTHH, HTHT, THTH, HTTH, THHT}

n(S) = 16

Пусть A — событие выпадения не менее двух орлов.

Тогда A должен включать все события, в которых есть две решки и более двух решек.