В случайном эксперименте симметричную монету бросают пять раз: Решение №1759 В случайном эксперименте симметричную монету бросают пять раз.

• Случайный эксперимент: подбросить монетку; пример пространства: $S=\{орел, решка\}$ или, как мы обычно пишем, $\{H,T\}$.
• Случайный эксперимент: бросьте кубик; пример пространства: $S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• Случайный эксперимент: понаблюдайте за количеством iPhone, проданных магазином Apple в Бостон в $2015$; пример пространства: $S=\{0, 1, 2, 3, \cdots \}$.
• Случайный эксперимент: понаблюдайте за количеством голов в футбольном матче; пример пространства: $S=\{0, 1, 2, 3, \cdots \}$.

Когда мы повторяем случайный эксперимент несколько раз, мы называем каждый из них испытанием . Таким образом, судебное разбирательство является частным исполнением случайного эксперимента. В примере с подбрасыванием монеты каждое испытание будет в результате выпадет либо орел, либо решка. Обратите внимание, что выборочное пространство определяется на основе того, как вы определяете свой случайный эксперимент. Например,

Пример
Трижды подбрасываем монету и наблюдаем последовательность выпадения орла/решки. Демонстрационное пространство здесь может быть определено как $$S = \{(H,H,H), (H,H,T), (H,T,H), (T,H,H), (H,T,T),(T,H ,T),(T,T,H),(T,T,T)\}. $$

Наша цель — определить вероятность определенных событий . Например, предположим, что мы хотим узнать вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет четное число. В данном случае наше мероприятие есть множество $E=\{2, 4, 6\}$. Если результат нашего случайного эксперимента принадлежит множеству $E$, мы говорим, что произошло событие $E$. Таким образом, событие представляет собой совокупность возможных исходов. Другими словами, событие является подмножеством выборочного пространства, которому мы присваиваем вероятность. Хотя мы еще не обсуждали, как чтобы найти вероятность события, вы можете догадаться, что вероятность $\{2, 4, 6 \}$ равна $50$ процентов, что соответствует $\frac{1}{2}$ в соглашении теории вероятностей.

Итог: результат случайного эксперимента.
Sample Space: множество всех возможных исходов.
Событие: Подмножество демонстрационного пространства.

Объединение и пересечение: Если $A$ и $B$ — события, то $A \cup B$ и $A \cap B$ — тоже события. Вспоминая определение объединения и пересечения, мы замечаем, что $A \cup B$ возникает, если $A$ или $B$ происходить. Точно так же $A \cap B$ возникает, если встречаются оба $A$ и $B$. Аналогично, если $A_1, A_2,\cdots, A_n$ событий, то событие $A_1 ​​\cup A_2 \cup A_3 \cdots \cup A_n$ происходит, если хотя бы один из Встречается $A_1, A_2,\cdots, A_n$. Событие $A_1 ​​\cap A_2 \cap A_3 \cdots \cap A_n$ происходит, если встречаются все $A_1, A_2,\cdots, A_n$. Полезно помнить, что ключевые слова «или» и «по крайней мере» соответствуют объединениям, а ключевые слова «и» и «все из» соответствуют пересечениям.

← предыдущая

следующая →

Печатная версия книги доступна на Amazon здесь.

Видео с вопросами: Нахождение распределения вероятностей дискретной случайной величины

Стенограмма видео

В эксперименте, в котором правильная монета подбрасывается пять раз подряд, пусть 𝑥 будет дискретной случайной величиной, выражающей количество решек минус количество решек. Найдите распределение вероятностей 𝑥.

Распределение вероятностей дискретной случайной величины представляет собой список или таблицу, содержащую все возможные значения, которые может принимать дискретная случайная величина, вместе со связанными с ними вероятностями. Итак, мы должны сначала определить все возможные значения, которые может принимать 𝑥, а затем вычислить их вероятности. В вопросе говорится, что эта честная монета подбрасывается пять раз, а 𝑥 — это дискретная случайная величина, которая представляет собой количество орлов минус количество решек. Итак, давайте подумаем, что может произойти.

Ну, все пять бросков монеты могут привести к выпадению орла, и в этом случае не будет решки, а значение 𝑥 будет равно пяти минус ноль, то есть пять. Или четыре броска монеты могут привести к выпадению орла, и в этом случае будет одна решка, а значение 𝑥 будет равно трем. Может быть три орла и две решки, и в этом случае значение 𝑥 будет равно единице, или два орла и три решки, и в этом случае значение 𝑥 будет отрицательным; это два минус три. Может быть один орел и четыре решки, и в этом случае значение 𝑥 будет отрицательное три. Или, наконец, все пять подбрасываний могут привести к выпадению решки, и в этом случае орла нет, а значение 𝑥 равно отрицательному значению пять.

Итак, эта дискретная случайная величина может принимать шесть значений: пять, три, один, отрицательная единица, отрицательная тройка и отрицательная пятерка. Мы обозначаем их как 𝑥 индекс 𝑖 и записываем их в верхней строке нашей таблицы. Во второй строке таблицы мы запишем соответствующие вероятности, которые обозначим как 𝑓 из 𝑥 под 𝑖. Теперь, чтобы вычислить эти вероятности, нам нужно подсчитать, сколько существует различных способов возникновения каждого из этих различных исходов.

Для некоторых результатов это очень просто. Есть только один способ получить все орлы и только один способ собрать все решки. Однако для других нам, возможно, придется подумать немного усерднее. В случае выпадения четырех орлов и одной решки существует пять возможных позиций, в которых может оказаться одна решка. Таким образом, существует пять различных способов этого появления. Согласно симметрии, то же верно и для количества различных способов получить одну решку и четыре решки, потому что мы можем просто поменять местами все решки на решки и все решки на решки.

Чтобы получить три орла и две решки, нужно еще больше подумать. Но если мы систематически перечислим все возможные результаты, мы увидим, что на самом деле существует 10 различных способов получить три орла и две решки. Согласно симметрии, есть также 10 различных способов получить два орла и три решки, потому что мы можем поменять местами все орлы и решки. На самом деле, если вы знакомы с комбинациями, то это будет гораздо более эффективный метод вычисления этих чисел. Например, если вы хотите узнать, сколько способов получить три орла, то это эквивалентно пяти выборам трех, потому что мы выбираем три из пяти подбрасываний монеты, которые выпадут орлом.

Теперь, когда мы нашли количество способов, которыми может произойти каждый результат, мы можем найти общее количество способов, суммируя эти значения, и оно равно 32.