Из приведенного материала Ви научитесь вычислять интегралы от произведения тригонометрических выражений, которые возведены до определенного степеня. С виду они достаточно сложные
но зная правила понижения степени подынтегральной функций их решение очень просто, в чем Вы скоро убедитесь. Существует три правила понижения степени, основанные на четности или нечетности показателей.
Правила понижения степени
I. Если хотя бы один из показателей степени подынтегральной функции является нечетным числом, например то ее можно превратить к следующему виду:
В таких случаях применяют подстановку
При этом выходной интеграл примет вид
Решение сводится к интегрированию суммы степенных функций.
Если , то преобразование будет следующим
С конечного выражения видим, что замена будет другой
Начальный интеграл запишется в следующей форме
Опять получаем сумму интегралов.
II. Если оба показателя — четные числа, то используют подстановку, которая заимствовано из тригонометрии
Применение данных формул позволяет снизить степень подынтегральной функции, однако при больших значениях степеней по данному правилу несколько больше вычислений, чем за первым.
ІІІ. Показатели нечетные числа. В таких случаев используют следующую тригонометрическую равенство чтобы снизить степень
Дальнейшее интегрирование сводится к использованию второго правила. Стоит отметить, что правило хорошо тем, что в подынтегральной функции получаем только парные аргументы
На этом правила заканчиваются и пора переходить к практическим вычислениям.
Пример 1.
Вычислить интегралы
а)
б)
в)
Решение.
а) Применим к подынтегральной функции первое правило. При подстановке
подынтегральная функция примет вид
Интегрируя полученную функцию получим значение
Возвращаемся к использованной замене переменных и меняем обратно Интеграл можно переписать в конечном виде
б) К подынтегральной функции применим замену
и преобразуем к следующему виду
Выполним интегрирование
Возвращаясь к предыдущей переменной, интеграл будет иметь вид
в) Для этого интеграла нужно применять второе правило.
Преобразуем подынтегральное функцию согласно правилу понижения степеней
Проведем интегрирование каждого из слагаемых
Подытожим слагаемые, сгруппировав предварительно подобные
————————————————
Подобных примеров в интернете и литературе очень много. Правила понижения степени для всех остаются одинаковыми, потому хорошо выучите в каких случаях их применять. Все остальное сведется к интегрированию, с которым у Вас при вычислении не должно возникать проблем.
Возведение в степень
Для возведения в степень используют функцию СТЕПЕНЬ.
Синтаксис функции
СТЕПЕНЬ(А;В),
где
А — число, возводимое в степень;
В — показатель степени, в которую возводится число.
Отрицательные
числа можно возводить только в степень,
значение которой является целым числом.
В остальном ограничений на возведение
в степень нет.
Для извлечения квадратного корня можно использовать функцию КОРЕНЬ.
Синтаксис функции
КОРЕНЬ(А),
где
А — число, из которого извлекают квадратный корень.Нельзя извлекать корень из отрицательных чисел.
Тригонометрические вычисления
В Microsoft Excel можно выполнять как прямые, так и обратные тригонометрические вычисления, то есть, зная значение угла, находить значения тригонометрических функций или, зная значение функции, находить значение угла.
Синтаксис всех прямых тригонометрических функций одинаков. Например, синтаксис функции SIN
SIN(А),
где
А — угол в радианах, для которого определяется синус.
Точно
так же одинаков и синтаксис всех обратных
тригонометрических функций.
Например,
синтаксис функции АSIN
АSIN(А),
где
А — число, равное синусу определяемого угла.
Следует обратить внимание, что все тригонометрические вычисления производятся для углов, измеряемых в радианах. Для перевода в более привычные градусы следует использовать функции преобразования (
Функция ПИ() вставляет значение числа (пи). Аргументов функция не имеет, но скобки после названия удалять нельзя.
Например, при необходимости рассчитать значение синуса угла, указанного в градусах, необходимо его умножить на ПИ()/180.
Рис.5. Вычисление тригонометрических функций для углов, указанных в градусах
Преобразование чисел
Преобразование
чисел может потребоваться при переводе
углов из градусов в радианы и обратно,
при определении абсолютной величины
числа, при преобразовании арабских цифр
в римские.
Для перевода значения угла, указанного в радианах, в градусы используют функцию ГРАДУСЫ.
Синтаксис функции
ГРАДУСЫ(А),
где
А — угол в радианах, преобразуемый в градусы.
Для перевода значения угла, указанного в градусах, в радианы используют функцию РАДИАНЫ.
Синтаксис функции
РАДИАНЫ(А),
где
А — угол в градусах, преобразуемый в радианы.
Функции ГРАДУСЫ и РАДИАНЫ удобно использовать с тригонометрическими функциями. Например, при необходимости можно рассчитать значение синуса угла, указанного в градусах (рис. 6).
Рис. 6. Вычисление тригонометрических функций с использованием функций «ГРАДУСЫ» и «РАДИАНЫ»
Комбинаторика
Синтаксис функции
ЧИСЛКОМБ(А; В),
где
А — число элементов;
В — число объектов в каждой комбинации.
Во вспомогательных расчетах в комбинаторике может потребоваться расчет факториала числа. Факториал числа — это произведение всех чисел от 1 до числа, для которого определяется факториал. Например, факториал числа 6 (6!) равен 1*2*3*4*5*6. Для расчета факториала используют функцию ФАКТР.
Синтаксис функции
ФАКТР(А),
где
А — число, для которого рассчитывается факториал.
Факториал нельзя рассчитать для отрицательных чисел. Факториал числа 0 (ноль) равен 1. При расчете факториала дробных чисел десятичные дроби отбрасываются.
тригонометрия — энная степень синуса как суммы синусов и косинусов
Задай вопрос
спросил
Изменено 4 года, 5 месяцев назад
Просмотрено 1к раз
$\begingroup$ 9{\frac{n-2k-1}{2}}\sin((n-2k)x)\right]$$
У меня есть три вопроса относительно этих рядов:
- Правы ли они, даже с такой странной силой для знака минус и отдельным первым членом для четных степеней?
- Если возможно, как можно упростить эти суммы?
- Как доказать правильность этих сумм или как показать, что они неверны?
- тригонометрия
- степенной ряд
- ряд Фурье 9{-5}\\=2i\sin5x-2i\cdot5\sin3x+2i\cdot10\sin x.
$$Итак, для постоянного множителя мощность синуса представляет собой линейную комбинацию косинусов или синусов аргумента умноженное на каждое другое целое число, взвешенное по каждому другому биномиальному коэффициенту и с чередующимися знаками.
$\endgroup$
6
$\begingroup$
Чтобы собрать все в один пост:
Правильные суммы должны быть следующими 9k\sin((n-2k)x)\right]$$ где $n=2m+1$
Прав ли я на этот раз или где-то ошибся? Поскольку в сумме четных степеней все еще есть этот странный постоянный член, который меня немного раздражает.
$\endgroup$
интегрирование — Определенный интеграл от произведения степеней синуса и косинуса
Здесь ответ не только для высших степеней $\sin x$ и $\cos x,$ но действительно для любых неотрицательных целых степеней $\sin x$ и $\cos x.
$$