Какое уравнение не имеет корней? Примеры уравнений
Решение уравнений в математике занимает особое место. Этому процессу предшествует множество часов изучения теории, в ходе которых ученик узнает способы решения уравнений, определения их вида и доводит навык до полного автоматизма. Однако далеко не всегда поиск корней имеет смысл, так как их может попросту не быть. Существуют особые приемы нахождения корней. В данной статье мы разберем основные функции, их области определения, а также случаи, когда их корни отсутствуют.
Какое уравнение не имеет корней?
Уравнение не имеет корней в том случае, если не существует таких действительных аргументов х, при которых уравнение тождественно верно. Для неспециалиста данная формулировка, как и большинство математических теорем и формул, выглядит очень размытой и абстрактной, однако это в теории. На практике все становится предельно просто. Например: уравнение 0 * х = -53 не имеет решения, так как не найдется такого числа х, произведение которого с нулем дало бы что-то, кроме нуля.
Сейчас мы рассмотрим самые базовые типы уравнений.
1. Линейное уравнение
Уравнение называется линейным, если его правая и левая части представлены в виде линейных функций: ax + b = cx + d или в обобщенном виде kx + b = 0. Где а, b, с, d — известные числа, а х — неизвестная величина. Какое уравнение не имеет корней? Примеры линейных уравнений представлены на иллюстрации ниже.
В основном линейные уравнения решаются простым переносом числовой части в одну часть, а содержимого с х — в другую. Получается уравнение вида mx = n, где m и n — числа, а х — неизвестное. Чтобы найти х, достаточно разделить обе части на m. Тогда х = n/m. В основном линейные уравнения имеют только один корень, однако бывают случаи, когда корней либо бесконечно много, либо нет вовсе. При m = 0 и n = 0 уравнение принимает вид 0 * х = 0. Решением такого уравнения будет абсолютно любое число.
Однако какое уравнение не имеет корней?
При m = 0 и n = 0 уравнение не имеет корней из множества действительных чисел.
0 * х = -1; 0 * х = 200 — эти уравнения не имеют корней.
2. Квадратное уравнение
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0 при а = 0. Самым распространенным способом решения квадратного уравнения является решение через дискриминант. Формула нахождения дискриминанта квадратного уравнения: D = b2 — 4 * a * c. Далее находится два корня х1,2= (-b ± √D) / 2 * a.
При D > 0 уравнение имеет два корня, при D = 0 — корень один. Но какое квадратное уравнение не имеет корней? Пронаблюдать количество корней квадратного уравнения проще всего по графику функции, представляющем собой параболу. При а > 0 ветви направлены вверх, при а < 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.
Также можно определить визуально количество корней, не вычисляя дискриминант. Для этого нужно найти вершину параболы и определить в какую сторону направлены ветви.
Определить координату x вершины можно по формуле: х0 = -b / 2a. В этом случае координата y вершины находится простой подстановкой значения х0 в изначальное уравнение.
Квадратное уравнение x2 – 8x + 72 = 0 не имеет корней, так как имеет отрицательный дискриминант D = (–8)2 – 4 * 1 * 72 = -224. Это значит, что парабола не касается оси абсцисс и функция никогда не принимает значение 0, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
3. Тригонометрические уравнения
Тригонометрические функции рассматриваются на тригонометрической окружности, однако могут быть представлены и в декартовой системе координат. В данной статье мы рассмотрим две основные тригонометрические функции и их уравнения: sinx и cosx. Так как данные функции образуют тригонометрическую окружность с радиусом 1, |sinx| и |cosx| не могут быть больше 1. Итак, какое уравнение sinx не имеет корней? Рассмотрим график функции sinx, представленный на картинке ниже.
Мы видим, что функция является симметричной и имеет период повторения 2pi. Исходя их этого, можно говорить, что максимальным значением этой функции может быть 1, а минимальным -1. Например, выражение cosx = 5 не будет иметь корней, так как по модулю оно больше единицы.
Это самый простой пример тригонометрических уравнений. На самом деле их решение может занимать множество страниц, в конце которых вы осознаете, что использовали неправильную формулу и все нужно начинать сначала. Порой даже при правильном нахождении корней вы можете забыть учесть ограничения по ОДЗ, из-за чего в ответе появляется лишний корень или интервал, и весь ответ обращается в ошибочный. Поэтому строго следите за всеми ограничениями, ведь не все корни вписываются в рамки задачи.
4. Системы уравнений
Система уравнений представляет собой совокупность уравнений, объединенных фигурной или квадратной скобками. Фигурные скобки обозначают совместное выполнение всех уравнений. То есть если хотя бы одно из уравнений не имеет корней или противоречит другому, вся система не имеет решения.
Квадратные скобки обозначают слово «или». Это значит, что если хотя бы одно из уравнений системы имеет решение, то вся система имеет решение.
Ответом системы с квадратными скобками является совокупность всех корней отдельных уравнений. А системы с фигурным скобками имеют только общие корни. Системы уравнений могут включать абсолютно разнообразные функции, поэтому такая сложность не позволяет сказать сразу, какое уравнение не имеет корней.
Обобщение и советы по нахождению корней уравнения
В задачниках и учебниках встречаются разные типы уравнений: такие, которые имею корни, и не имеющие их. В первую очередь, если у вас не получается найти корни, не думайте, что их нет совсем. Возможно, вы совершили где-нибудь ошибку, тогда достаточно лишь внимательно перепроверить ваше решение.
Мы рассмотрели самые базовые уравнения и их виды. Теперь вы можете сказать, какое уравнение не имеет корней. В большинстве случаев сделать это совсем не трудно. Для достижения успеха в решении уравнений требуется лишь внимание и сосредоточенность.
Практикуйтесь больше, это поможет вам ориентироваться в материале гораздо лучше и быстрее.
Итак, уравнение не имеет корней, если:
- в линейном уравнении mx = n значение m = 0 и n = 0;
- в квадратном уравнении, если дискриминант меньше нуля;
- в тригонометрическом уравнении вида cosx = m / sinx = n, если |m| > 0, |n| > 0;
- в системе уравнений с фигурными скобками, если хотя бы одно уравнение не имеет корней, и с квадратными скобками, если все уравнения не имеют корней.
Уравнение не имеет решений = не имеет корней или нет? : Дискуссионные темы (М)
| Andrei94 |
| ||
22/11/11 |
| ||
| |||
05.2012, 01:02 | Vova_Gidro |
| ||
06/08/09 |
| ||
| |||
05.2012, 01:17 | shwedka |
| |||
11/12/05 |
| |||
| ||||
05.2012, 01:32 | nnosipov |
| |||
20/12/10 |
| |||
| ||||
05.2012, 07:31 | Portnov |
| ||
22/12/10 |
| ||
| |||
Может быть, в каких-то из школьных учебниках такое тоже присутствует. Такое определение вносит какую-то ясность, но само мне не очень нравится. «Решить — значит доказать, что решения нет» — это уже Кристобалем Хозеевичем попахивает 🙂| nnosipov |
| |||
20/12/10 |
| |||
| ||||
..| Andrei94 |
| ||
22/11/11 |
| ||
| |||
Тогда не будет путаницы.| mihailm |
| ||
19/05/10 |
| ||
| |||
Тогда не будет путаницы.| Munin |
| |||
30/01/06 |
| |||
| ||||
и вариации на тему.| mihailm |
| ||
19/05/10 |
| ||
| |||
| Munin |
| |||
30/01/06 |
| |||
| ||||
05.2012, 19:46 | zhoraster |
| |||||
30/06/10 |
| |||||
| ||||||
05.2012, 19:47 | mihailm |
| ||
19/05/10 |
| ||
| |||
05.2012, 19:58 | Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 13 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Сколько корней?
- НАЗАД
- СЛЕДУЮЩИЙ
При поиске корней квадратного уравнения возможны несколько результатов.
- У вас может быть два решения для действительных чисел. Если вы установите x равным любому решению, результат будет равен нулю в обоих случаях.
- Может быть только одно действительное числовое решение.
- У уравнения может быть два комплексных решения. Решений с вещественными числами нет.
Не беспокойтесь; есть простой способ узнать, сколько существует решений, еще до того, как вы начнете использовать формулу. Просто взгляните на b 2 – 4 ac часть квадратичной формулы. Этот маленький кусочек называется дискриминантом и является краеугольным камнем нашей маленькой квадратичной экосистемы. Без него все развалится.
- Если b 2 – 4 ac положительно, то существует два решения для действительных чисел.
- Если b 2 – 4 ac = 0, то существует только одно действительное числовое решение.
- Если b 2 – 4 ac отрицательно, то существует два решения комплексных чисел.
Все это следует непосредственно из квадратичной формулы. Если дискриминант положительный, то у вас есть , что приводит к двум действительным числовым ответам. Если он отрицательный, у вас есть , что дает два сложных результата. А если б 2 – 4 ac равно 0, значит, у вас есть только одно решение.
Пример задачи
Сколько корней имеет x 2 – 3 = 0?
Чтобы использовать дискриминант, сначала заметим, что a = 1, b = 0 и c = -3.
b 2 – 4 ac = (0) 2 – 4(1)(-3) = 12
Итак, у нас есть два действительных корня. Ха! Слишком легко.
Хорошо, как насчет этого?
Сколько корней имеет 2 х 2 + 8 х + 8 = 0?
Эй, прекрати с этой губой, Подзаголовок.
Почему бы просто не сказать «Образец задачи», как вы обычно это делаете? Так или иначе, дискриминант этого уравнения равен
b 2 – 4 ac = (8) 2 – 4(2)(8) = 64 – 64 = 0
. числовой корень для этого уравнения.
Тогда как вам это?
Сколько корней составляет 0,7731 х 2 – 2,3812 х + 4,1111 = 0 есть?
Это просто подло, но мы все еще можем это сделать. Просто давайте быстро найдем наш калькулятор.
B 2 -4 AC = (-2,3812) 2 -4 (0,7731) (4.1111) ≈ 5,6701 -12,7132 = -7,0431
, что так, что так, так, что так. . Кроме того, калькулятор находился в массажном кабинете Шмупа, рядом со стопкой учебников по алгебре. Если вам интересно.
Что он там делал?
Возможно, в то время мы работали в режиме многозадачности. Мы очень заняты, знаете ли.
- НАЗАД
- СЛЕДУЮЩИЙ
Процитировать эту страницу
Расположение корней: теоремы и типы, условие
Когда вы решаете данное уравнение для определенной переменной, вы находите то, что известно как корень уравнения .
Корнем функции f (x) называется значение x, для которого f (x) = 0. График, соответствующий y = f (x), будет пересекать ось X в точках, соответствующих расположение корней функции.
Рассмотрим уравнение y = (x + 3) (x-2).
Каковы корни приведенного выше уравнения?
Решение
Корнями приведенного выше уравнения являются значения x, для которых y = 0.
Следовательно,
y = (x + 3) (x-2) = 0
, когда
x + 3 = 0, => x = -3
или, x-2 = 0, => x = 2
Таким образом, корни данного уравнения равны x = 2 и x = -3.
Теорема о расположении корнейРассмотрим следующее уравнение:
y = (x-2) (x + 4) (x-6)
На следующем графике показана соответствующая кривая.
График функции y = (x-2) (x + 4) (x-6)
Из приведенного выше графика видно, что точки, в которых кривая пересекает ось X, находятся при x = — 4, x = 2 и x = 6. Таким образом, корни данного уравнения равны -4, 2 и 6.
Теперь посмотрите на точки на графике, отмеченные A (соответствует x = 1) и B (соответствует х = 4). A лежит выше оси X, а B лежит ниже оси X. Учитывая, что граф непрерывен между A и B (на графике есть непрерывная линия, соединяющая A и B), это означает, что между A и B обязательно должен быть хотя бы один корень. ось X ниже, он должен пересечь ось X в какой-то точке.
Непрерывность графика в интервале между A и B является здесь необходимым условием. Если бы график был прерывистым, линия не должна была бы пересекать ось X. Например, у вас может быть функция, которая расходится по вертикальной асимптоте в заданном интервале.
Мы можем обобщить приведенное выше обсуждение, чтобы получить теорему о расположении корней:
Если функция f (x) непрерывна в интервале [a, b] и f (a) и f (b) имеют противоположные знаки, то f (x) имеет хотя бы один корень x, лежащий между a и b, т. е. a Удовлетворение вышеприведенному условию означает, что существует по крайней мере один корень между и . И наоборот, то, что две точки лежат по одну сторону от оси X (т. е. значение f (x) имеет один и тот же знак для двух значений x), не обязательно означает, что между ними нет корней. Рассмотрим точки А и С на графике. Оба находятся выше оси X, т. е. значение f(x) положительно в обеих точках. Однако мы видим, что между этими двумя точками есть два различных корня (в и ). Применение теоремы о расположении корней нельзя использовать напрямую для нахождения точного корня (корней) функции. Однако это может быть очень полезно для оценки приблизительного расположения корней функции. Во многих методах теорема о расположении корней применяется для нахождения начального приближения корней функции. В следующем разделе мы решим несколько примеров задач на расположение корней. Показать, что функция f (x) = x³ — x + 5 имеет хотя бы один корень между x = -2 и x = -1 f (-2) = -2³ — (-2) + 5 = -1 f (-1) = -1³ — (-1) + 5 = 5 Так как f (-2) отрицательно , а f (-1) положительно, согласно теореме о расположении корней, это означает, что между -2 и -1 есть хотя бы один корень f (x). Учитывая f (x) = x³ — 4x² + 3x + 1, покажите, что f (x) имеет корень между 1,4 и 1,5 f (1,4) = 1,4³ — 4 x 1,4 ² + 3 x 1,4 + 1 = 0,104 f (1,5) = 1,5³ — 4 x 1,5² + 3 x 1,5 + 1 = -0,125 Поскольку f (1,4) положительно, а f (1,5) ) отрицательно, согласно теореме о расположении корней, это означает, что существует по крайней мере один корень f (x) между 1,4 и 1,5. Для квадратичной функции f(x), f(2)=3,6, f(3)=-2,2, f(4)=-0,1, f(5)=0,9. Из приведенной выше информации можем ли мы сделать вывод, есть ли корень между а) 2 и 3 ? б) 3 и 4 ? в) 4 и 5 ? а) Мы видим, что между f (2) (положительное) и f (3) (отрицательное) происходит смена знака. Таким образом, мы можем сказать, что существует по крайней мере один корень f (x) между 2 и 3. б) Мы видим, что нет изменения знака между f (3) (отрицательное) и f (4) (отрицательное) . Если должен быть корень между f (3) и f (4), должно быть по крайней мере два корня, так как знак должен измениться на положительный, а затем обратно на отрицательный. Но мы знаем, что квадратные уравнения имеют не более двух корней, и мы уже нашли другое место для одного корня. Это означает, что нет корня f (x) между 3 и 4. c) Мы видим, что между f (4) (отрицательное) и f (5) (положительное) происходит смена знака. Таким образом, мы можем сказать, что оставшийся корень квадратного числа f (x) лежит между 4 и 5.
Однако это не обязательно означает, что между и есть только один корень. Например, рассмотрим точки C и D на приведенном выше графике. C и D удовлетворяют условию противоположных знаков (значение функции положительно в C и отрицательно в D), но из графика видно, что между C и D три корня, а не один. Применение теоремы о расположении корней
Последовательное применение теоремы используется для итеративного приближения к корню (ям) функции. Подробнее читайте в нашей статье об итерационных методах. Задачи на расположение корней
Пример 1
Решение 1
Пример 2
Решение 2
Пример 3
Решение 3
