Векторы в пространстве задачи с решениями: Примеры и задачи с векторами в пространстве

Содержание

Векторы в пространстве — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

Векторы в
пространстве
Цели урока
• Знать: определение вектора в
пространстве и связанные с
ним понятия; равенство
векторов
• Уметь: решать задачи по
данной теме
Физические величины
Скорость v
Ускорение а
Перемещение
Сила F
s
Электрическое поле
Е
+
в
Направление тока
Магнитное поле
Понятие вектора появилось в 19 веке в

работах математиков
Г.

Грассмана
У. Гамильтона
Современная символика для обозначения
вектора r была введена в 1853 году
французским математиком О. Коши.
Задание
Повторить все термины по теме «Векторы на
плоскости»
Вектор
Нулевой вектор
Длина вектора
Коллинеарные векторы
Сонаправленные векторы
Противоположно направленные
векторы
Равенство векторов
Определение вектора в пространстве:
вектором называется направленный отрезок
Вектор
имеет начало и конец( А- начало,
В- конец)
В
Обозначение вектора
АВ,
А
с
с
или АВ
Любая точка пространства также
может рассматриваться как вектор. Такой вектор
называется нулевым
0
Т
Обозначение нулевого
вектора
ТТ, 0
Определение
Координатами вектора с началом в точке А1
(х1; у1; z1) и концом в точке
А2 (х2; у2; z2 ) называются числа

х2 — х1, у2 — у1, z2 — z1
Обозначают: А1 А2 ( а1; а2; а3 ) или
а ( а1; а2; а3) или ( а1; а2; а3 ) или
а ( а1; а2; а3)
Решить задачу № 1образец на
следующем слайде)
Даны четыре точки
А(1; 2; 3), С(2; 3; 4),
В(4; 5; 6), Д(7; 8; 9)
• Найти координаты векторов АВ, СД,
ВД, АД, ДС,СВ
Образец решения
А(1; 2; 3),
В(4; 5; 6)
АВ = (4 — 1; 5 — 2; 6 — 3) = (3; 3; 3)
Из координат конечной точки
вычитаем координаты начальной точки
Длина ненулевого вектора
• Длиной вектора АВ с кординатами (а1;а2;а3) или
абсолютной величиной называется длина отрезка
АВ
• Длина вектора АВ (вектора а) обозначается
так:
АВ , а
• Длина нулевого вектора считается равной
нулю:
0 =0
Абсолютная величина
вычисляется по формуле
АВ а1 а2 а3
2
2
2
Решить задачу
• Даны две точки А(1;2;3) и
В(2;3;4).

Найти длину вектора АВ
Далее образец решения
Образец решения:
Сначала найдём координаты вектора:
АВ = (2-1;3-2;4-3) = (1;1;1). Затем по
формуле, найдём модуль
АВ
а1 а2 а3
2
2
2
АВ 12 12 12 3 1,7
Решить
задачу(самостоятельно)
Даны точки С(2;2;3) и
Д(5;3 ;4),М(5;4;7), К(8;3;5) Найти
длину векторов СД и МК
Определение коллинеарности
векторов
• Два ненулевых вектора называются
коллинеарными, если они лежат на одной
прямой или на параллельных прямых
Коллинеарные векторы
Сонаправленные
векторы
Противоположно
направленные
векторы
Какие векторы на рисунке сонаправленные?
Какие векторы на рисунке противоположно
направленные?
Найти длины векторов АВ; ВС; СС1.
Сонаправленные векторы:
D1 5 см
C1
AA1 BB1, A1D B1C
3 см
AB D1C1
В1
A1
Противоположно-направленные:
9 см
9 см
CD D1C1, CD AB,
C DA BC

D
A
5 см
3 см АВ = 5 см; ВС = 3 см; ВВ1 = 9 см.

B
•Далее не
рассматривать.Дальше будет тема
следующео урока
Равенство векторов
Векторы называются равными, если они
сонаправлены и их длины равны
С
В
АВ=ЕС, так как
АВ ЕС и АВ = ЕС
Е
А
Могут ли быть равными векторы на рисунке?
Ответ обоснуйте
• Рисунок № 1
А
В
Рисунок № 2
О
Н
К
М
С
АВ=СМ, т. к АВ = СМ
А
АН=ОК, т. к АН ОК
• Среди векторов найдите
равные
АВ = (1; 2; 3)
ВС=(2; 2; 3)
СД=(1; 2; 5)
МК=(1; 2; 3)
АВ = МК
Решить задачу
Даны точки: А = (1;2;-3), В=(2;-2;3),
С=(1;-2;5), К=(1;2;3), М=(5;6;7),
Д(0;2;-1)
Найти векторы: АВ, ВС, КМ, ДС и
найти среди них равные
Доказать, что от любой точки
пространства можно отложить вектор,
равный данному, и притом только один
Дано: а, М.
Доказать: в = а, М в, единственный.
Э
М
а
Проведем через вектор а и точку
М плоскость.
В этой плоскости построим
МК = а.

Из теоремы о параллельности
прямых следует МК = а и М МК.
Э
К
Доказательство:
• ДАЛЬШЕ НЕ РАЗБИРАЕМ
Решение задач
№ 322
М
В1
А1
К
С1
Д1
Укажите на этом рисунке
все пары:
а) сонаправленных векторов
ДК и СМ; CВ и С1В1 и Д1А1;
б) противоположно направленных
векторов
СД и АВ; АД и СВ; АА1 и СС1;
С АД и Д1А1; АД и С1В1;
в) равных векторов
А
Д
CВ = С1В1; Д1А1 = С1В1; ДК=СМ
Решение задач
№ 321 (б)
D1
Решение:
C1
A1
DC1 = DC 2 СС12 81 144 15
B1
DB =
D
A
C
B
DB1 =
DА2 АВ 2 81 64 145
DВ 2 BB12 145 144 17
Решение задач

№ 323
N
А
М
Дано: точки М, N, P,Q – середины сторон
D AB, AD, DC, BC; AB=AD= DC=BC=DD=AC;
а) выписать пары равных векторов;
MN = QP; PN = QM; DP = PC;
б) определить вид четырехугольника
Р MNHQ .
Решение: NP-средняя линия треугольника
ADC, NP = 0,5AC, NP\\AC;
MQ-средняя линия тр.

ABC, MQ = 0,5AC,
С MQ\\AC, NP=MQ, NP\\MQ.
PQ-средняя линия треугольника DВC;
Q PQ = 0,5DB, PQ\\DB;
NM-средняя линяя треугольника ADB,
MN = 0,5DB, MN\\DB, PQ=MN, PQ\\MN.
По условию все ребра тетраэдра равны, то он
правильный и скрещивающиеся ребра в нем
перпендикулярны.
DB перпендикулярно АС .
MNPQNP=MQ=PQ=MN
NP\\MQ
квадрат
MN\\PQ
Решение задач
№ 326 (а, б, в)
М
В1
А1
К
Назовите вектор, который
получится, если отложить:
С1
а) от точки С вектор, равный DD1
D1
CC1 = DD1
б) от точки D вектор, равный СМ

DK = CM
в) от точки А1 вектор, равный АС
С
А
D
А1С1 = АС
Самостоятельная работа
Дан тетраэдр МАВС, угол АСВ прямой. Точки К и Р
середины сторон МВ и МС, АС = 9 см и ВА = 15 см.
Найти КМ .
Решение:
Треугольник АВС, угол АСВ- прямой.
М
М
По теореме Пифагора
К
9
А
15
В
С
ВС АВ2 АС 2 225 81 12
КМ – средняя линия треугольника МВС,
КМ = 0,5ВС = 6 см.

КМ = 6 см.
Кроссворд
2
1
Г А
В Е
К Т
К
4
6
И Н Д У
7
Р А В
М
О
О Л
И
Л
Ь Т О Н
И
Н
Р
Л
О Ш И
5 Д Л И
К Ц И И
Н Ы М И
Е А Р
К
Н А
Н Ы Е
Домашнее задание
Стр. 84 – 85
№ 320, 321(а), 325.

English Русский Правила

Примеры решения задач по математике

1. Даны векторы в некотором базисе. Показать, что система векторов образует базис и найти координаты вектора в этом базисе

Решение
Для того, чтобы три трехмерных вектора в трехмерном пространстве образовывали базис необходимо и достаточно, чтобы данная система векторов была линейно независима. То есть коэффициенты в уравнении были равны 0. Получаем систему уравнении

Для того, чтобы эта система имела нулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель данной системы отличался от нуля. Проверим это:
, значит, система векторов является базисом
Найдем коэффициенты разложения вектора в этом базисе
, получаем систему линейных уравнении

Решим данную систему методом обратной матрицы
Запишем уравнение в виде , значит

2. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти:
1) длину ребра ;
2) угол между ребрами и ;
3) угол между ребром и гранью ;
4) площадь грани ;
5) объём пирамиды;
6) уравнение прямой ;
7) уравнение плоскости
8) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань
.

Решение

1)

2)

3)

Значит, направляющий вектор плоскости

Найдем угол между и
, значит угол между плоскостью и гранью равен
4)
Площадь грани равна половине длины векторного произведения векторов, на которых построена эта грань

5)
Объем пирамиды равен модуля смешанного произведения векторов, на которых построена данная пирамида

6)
Уравнение прямой
7)
Найдено в пункте 3
8)
Так как направляющий вектор высоты коллинеарен направляющему вектору плоскости и точка лежит на этой высоте, то уравнение высоты

3. Даны две вершины и и точка пересечения медиан .

Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину .

Решение

Координаты точки пересечения медиан есть среднее арифметическое соответствующих координат, то есть

Составим уравнения прямой

Высота, проведенная через точку С, перпендикулярна прямой и задается уравнением . Константу найдем из условия, что точка лежит на этой прямой , значит уравнение высоты

4. Составьте уравнения линии каждая точка которой одинаково удалена от точки и от прямой

Решение

Пусть — координаты точки этой линии, тогда
Расстояние до прямой равно
Расстояние до точки равно
Тогда, исходя из условии задачи, получаем

Данная линия представляет собой параболу

5. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить методом Крамера и средствами матричного исчисления.

Решение

Решение данной системы уравнений вычисляется по формулам
, где — главный определитель системы, а — определители, получающиеся заменой соответственно первого, второго и третьего столбца на столбец свободных членов.

Значит,
2)
Запишем систему в виде , где , тогда .
Матрица , тогда

6. Даны два линейных преобразования

Посредством матричного исчисления найти преобразование выражающее через

Решение
Из первого преобразования видно, что
Из второго преобразования видно, что
Тогда,

То есть,

{2}$ by
\[
T\left(
\begin{bmatrix}
x \\ y
\end{bmatrix}
\right)
=
\begin{bmatrix}
2x+y \\ 0
\end{bmatrix}
,\;
S\left(
\begin{bmatrix}
x \\ y
\end{bmatrix}
\right)
=
\begin{bmatrix}
x+y \\ xy
\end{bmatrix}
.

\] Определить, являются ли $T$, $S$ и композиция $S\circ T$ линейными преобразованиями.

Прочитать решение

Добавить для решения позже

9{\ транс} А $.

Прочитать решение

Добавить для решения позже

Линейная алгебра

28.02.2018

Задача 711

Используя аксиому векторного пространства, докажите следующие свойства.
Пусть $V$ векторное пространство над $\R$. Пусть $u, v, w\in V$.

(a) Если $u+v=u+w$, то $v=w$.

(б) Если $v+u=w+u$, то $v=w$.

(c) Нулевой вектор $\mathbf{0}$ уникален.

(d) Для каждого $v\in V$ аддитивная обратная $-v$ единственна.

(e) $0v=\mathbf{0}$ для каждого $v\in V$, где $0\in\R$ — нулевой скаляр.

(f) $a\mathbf{0}=\mathbf{0}$ для каждого скаляра $a$.

(g) Если $av=\mathbf{0}$, то $a=0$ или $v=\mathbf{0}$.

(h) $(-1)v=-v$.

Первые два свойства называются законом отмены .

Прочитать решение

Добавить для решения позже

Линейная алгебра

26.02.2018

Задача 709

Пусть $S=\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\ mathbf{v}_{4},\mathbf{v}_{5}\}$ где
\[
\mathbf{v}_{1}=
\begin{bmatrix}
1 \\ 2 \\ 2 \\ -1
\end{bmatrix}
,\;\mathbf{v}_{2}=
\begin{bmatrix}
1 \\ 3 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}
,\ ;\mathbf{v}_{3}=
\begin{bmatrix}
1 \\ 5 \\ -1 \\ 5
\end{bmatrix}
,\;\mathbf{v}_{4}=
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 4 \\ -1
\end{bmatrix}
,\;\mathbf{v}_{5 }=
\begin{bmatrix}
2 \\ 7 \\ 0 \\ 2
\end{bmatrix}
.\] Найдите базис для пролета $\Span(S)$.

Прочитать решение

Добавить для решения позже

Линейная алгебра

26.02.2018

Задача 708

Пусть $A=\begin{bmatrix}
2 & 4 & 6 & 8 \\
1 &3 & 0 & 5 \\
1 & 1 & 6 & 3
\end{bmatrix}$.

(a) Найдите базис для нулевого пространства $A$.

(b) Найдите основу для пространства строк $A$.

(c) Найдите базис для диапазона $A$, состоящего из вектор-столбцов $A$.

(d) Для каждого вектора-столбца, который не является базисным вектором, который вы получили в части (c), выразите его как линейную комбинацию базисных векторов для диапазона $A$.

95$. Если $\mathbf{v}_4$ — другой вектор из $V$, то множество
\[S_2=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \ mathbf{v}_4\}\] все еще остовный набор для $V$? Если да, то докажи. В противном случае приведите контрпример.

Прочитать решение

Добавить для решения позже

Линейная алгебра

22.02.2018

Задача 705

Для множества $S$ и векторного пространства $V$ над скалярным полем $\K$ определим множество всех функций от $S$ до $V$
\[ \Fun ( S , V ) = \{ f : S \rightarrow V \} . \]

Для $f, g \in \Fun(S, V)$, $z \in \K$ сложение и скалярное умножение могут быть определены как
\[ (f+g)(s) = f(s) + g(s) \, \mbox{ и } (cf)(s) = c (f(s)) \, \mbox{ для всех } s \in S . \]

(a) Докажите, что $\Fun(S, V)$ — векторное пространство над $\K$. Что такое нулевой элемент?

(б) Пусть $S_1 = \{ s \}$ — множество, состоящее из одного элемента. Найдите изоморфизм между $\Fun(S_1 , V)$ и самим $V$. Докажите, что найденная вами карта на самом деле является линейным изоморфизмом. 9m = \{ (v_1 , v_2 , \cdots , v_m ) \mid v_i \in V \mbox{ для всех } 1 \leq i \leq m \} . \]

(e) Используйте базис $B$ в $V$, чтобы построить базис в $\Fun(S, V)$ для произвольного конечного множества $S$. Какова размерность $\Fun(S, V)$?

(f) Пусть $W \subseteq V$ — подпространство. Докажите, что $\Fun(S, W)$ является подпространством в $\Fun(S, V)$.

Прочитать решение

Добавить для решения позже

Линейная алгебра

21.02.2018

Задача 704

Пусть $A=\begin{bmatrix}
2 & 4 & 6 & 8 \\
1 &3 & 0 & 5 \\
1 & 1 & 6 & 3
\end{bmatrix}$ .
(a) Найдите базис для нулевого пространства $A$.

(b) Найдите основу для пространства строк $A$.

(c) Найдите базис для диапазона $A$, состоящего из вектор-столбцов $A$.

Прочитать решение

Добавить для решения позже

Линейная алгебра

15.02.2018

Задача 703

Используя определение диапазона матрицы, опишите диапазон матрицы
\[A=\begin{bmatrix}
2 & 4 & 1 & -5 \\
1 &2 & 1 & -2 \\
1 & 2 & 0 & -3
\end{bmatrix}.\]

Прочитать решение

Добавить для решения позже

Линейная алгебра

12.02.2018

Задача 692

Пусть $A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 & -2 \\
0 &3 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 4 & — 1
\end{bmatrix}$. Для каждого из следующих векторов определите, находится ли вектор в нулевом пространстве $\calN(A)$.

(а) $\begin{bmatrix}
-3 \\
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}$

(б) $\begin{bmatrix} — 90 4\
-1\
2 \\
1
\end{bmatrix}$

(c) $\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}$