Вероятность егэ: Теория вероятностей на ЕГЭ по математике. Формулы, теория, решения

ЕГЭ. Задача 4. Теория вероятностей

Подготовка к единому государственному экзамену по математике. Полезные материалы и видеоразборы задач по теории вероятностей.

Полезные материалы

• Теория вероятностей (Фоксфорд.Учебник)

Видеоразборы задач

За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

 

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 28 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 1 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

 

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 10 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пятнадцатым будет выступать прыгун из России.

 

На рисунке изображен лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому еще не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придет к выходу D.

 

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

 

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Подборка задач

1. В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».
2. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
3. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: $$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.$$ Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
5. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора Максимова окажется запланированным на последний день конференции?
6. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
8. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.
9. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадает орел, а во второй — решка.
10. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
11. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы две решки.
12. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
13. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.
14. В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
15. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того. что Аня и Нина окажутся в одной группе.
16. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).
17. Если гроссмейстер Антонов играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Борисова с вероятностью 0,52. Если Антонов играет черными, то Антонов выигрывает у Борисова с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры Антонов и Борисов играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что Антонов выиграет оба раза.
18. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
19. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
20. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
21. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
22. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
23. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
24. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
25. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надежность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
26. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых
27. Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
28. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
29. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятость того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
30. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
31. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
32. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
33. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
34. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Артем хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что Артем пойдет в магазин?
35. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трех предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трех предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что Петров получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что Петров сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей
36. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

4 задание ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

Русский язык Математика (профиль) Математика (база) Обществознание История Биология Физика Химия Английский язык Информатика Литература

Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 Задание 7 Задание 8 Задание 9 Задание 10 Задание 11 Задание 12 Задание 13 Задание 14 Задание 15 Задание 16 Задание 17 Задание 18

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 5 минут. Уровень сложности: повышенный.
Средний процент выполнения: 86.9%
Ответом к заданию 4 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.

Разбор сложных заданий в тг-канале

Посмотреть

Задачи для практики

Задача 1

Чтобы поступить в институт на специальность «Комплексное использование и охрана водных ресурсов», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее $70$ баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и физике. Чтобы поступить на специальность «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», нужно набрать не менее $70$ баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и химии. Вероятность того, что абитуриент Э. получит не менее $70$ баллов по математике, равна $0{,}5$, по русскому языку — $0{,}7$, по физике — $0{,}6$ и по химии — $0{,}3$. Найдите вероятность того, что Э. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение

Чтобы поступить хотя бы на одну специальность, абитуриенту Э. надо набрать не менее 70 баллов по математике, русскому языку и хотя бы по одному из предметов химия и физика.

Найдём вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов хотя бы по одному из предметов химия и физика. Сначала отыщем вероятность противоположного события, то есть вероятность того, что абитуриент Э. по обоим этим предметам не наберёт 70 баллов. Результаты экзаменов не зависят друг от друга, вероятность не набрать 70 баллов по физике равна 1 — 0.6 = 0.4, а вероятность не набрать 70 баллов по химия равна 1 — 0.3 = 0.7. Отсюда вероятность того, что абитуриент Э. по обоим этим предметам не наберёт 70 баллов, равна 0.4 · 0.7 = 0.28. Следовательно, вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов хотя бы по одному из предметов химия и физика, равна 1 — 0.28 = 0.72.

Таким образом, вероятность того, что абитуриент Э. наберёт не менее 70 баллов по математике, русскому языку и хотя бы по одному из предметов химия и физика, равна 0.5 · 0.7 · 0.72 = 0.252.

Ответ: 0.252

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 2

Биатлонист Алексей Антонов пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания при одном выстреле равна $0{,}7$. Найдите вероятность того, что биатлонист Алексей Антонов один раз попал по мишени, а четыре — промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение

Вероятность промахнуться при одном выстреле равна $1 — 0.7 = 0.3$. Обозначим события.

1. $A_1$ — «Алексей попал по мишени при первом выстреле».

2. $A_2$ — «Алексей попал по мишени при втором выстреле».

3. $A_3$ — «Алексей попал по мишени при третьем выстреле».

4. $A_4$ — «Алексей попал по мишени при четвёртом выстреле».

5. $A_5$ — «Алексей попал по мишени при пятом выстреле».

События ${A_1}↖{-}, {A_2}↖{-}, {A_3}↖{-}, {A_4}↖{-}$ и ${A_5}↖{-}$ — означают, что Алексей промахнулся при соответствующем выстреле.

Событие «Алексей Антонов первый раз попал по мишени, а последние четыре промахнулся» означает одновременное наступление (пересечение) независимых событий ${A_1}, {A_2}↖{-}, {A_3}↖{-}, {A_4}↖{-}$ и ${A_5}↖{-}$.

$P (A_1 ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) = P (A_1) · P ({A_2}↖{-}) · P ({A_3}↖{-}) · P ({A_4}↖{-}) · P ({A_5}↖{-}) = 0.7 · 0.3 · 0.3 · 0.3 · 0.3 = 0.00567$.

По условию Алексей мог попасть единожды, но это попадание могло прийтись на любой из пяти выстрелов, не обязательно на первый.

Тогда, аналогично, $P ({A_1}↖{-} ∩ A_2 ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) = P ({A_1}↖{-}∩ {A_2}↖{-} ∩ A_3 ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) =$

$= P ({A_1}↖{-} ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ A_4 ∩ {A_5}↖{-}) = P ({A_1}↖{-} ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ A_5) =$

$= P (A_1 ∩ {A_2}↖{-} ∩ {A_3}↖{-} ∩ {A_4}↖{-} ∩ {A_5}↖{-}) = (0. 4 · 0.7 = 0.00567$.

Следовательно, искомая вероятность равна $0.00567 · 5 = 0.02835 ≈0.03$.

Ответ: 0.03

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 3

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $4$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде «Ветерок» удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0{,}3$.

Решение

Вероятность ничьей в каждой игре равна 1 — 0.3 — 0.3 = 0.4 (из единицы вычитаем вероятность выигрыша и вероятность проигрыша). «Ветерок» выйдет в следующий круг в одном из трёх следующих случаев.

1. «Ветерок» выиграет обе игры. Вероятность этого равна 0.3 · 0.3 = 0.09.

2. «Ветерок» выиграет первую игру и сыграет вничью вторую. Вероятность этого равна 0.3 · 0.4 = 0.12.

3. «Ветерок» сыграет вничью первую игру и выиграет вторую. Вероятность этого равна 0.4 · 0.3 = 0.12.

Искомая вероятность равна 0.09 + 0.12 + 0.12 = 0.33.

Ответ: 0.33

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 4

Помещение торгового дома «Светлый» освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна $0{,}6$. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение

Найдём вероятность события «перегорели обе лампы», а затем искомую вероятность.

Вероятность события «перегорела первая лампа» равна вероятности события «перегорела вторая лампа» и равна 0.6. Эти два события независимы, значит, вероятность того, что они наступили оба, равна произведению их вероятностей, то есть равна 0.6 · 0.6 = 0.36. Это вероятность события «перегорели обе лампы».

События «перегорели обе лампы» и «хотя бы одна лампа не перегорела» противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Значит, вероятность события «хотя бы одна лампа не перегорела» равна 1 — 0.36 = 0.64.

Ответ: 0.64

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 5

В ларьке на улице Счастья стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью $0{,}1$ независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение

Найдём вероятность события «оба автомата неисправны», а затем искомую вероятность.

Вероятность события «неисправен первый автомат» равна вероятности события «неcисправен второй автомат» и равна 0,1. Эти два события независимы, значит, вероятность того, что они наступят оба, равна произведению их вероятностей, то есть равна 0.1 · 0.1 = 0.01. Таким образом, мы нашли вероятность события «оба автомата неисправны».

События «оба автомата неисправны» и «хотя бы один автомат исправен» противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Значит, вероятность события «хотя бы один автомат исправен» равна 1 — 0.01 = 0.99.

Ответ: 0.99

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 6

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью $0{,}72$. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью $0{,}6$. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение

По условию вероятность события «шахматист А. выиграет белыми» равна $0{,}72$, вероятность события «шахматист А. выиграет чёрными» равна $0{,}6$. Эти события независимы. Значит, вероятность того, что оба этих события наступят (А. выиграет оба раза) равна произведению вероятностей, то есть равна $0{,}72⋅ 0{,}6=0{,}432$.

Ответ: 0.432

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 7

На железнодорожном вокзале $3$ кассира. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью $0{,}2$ независимо от других кассиров. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три кассира заняты одновременно.

Решение

События «первый кассир занят», «второй кассир занят» и «третий кассир занят» по условию независимы. Тогда вероятность их одновременного наступления (вероятность пересечения событий) равна произведению вероятностей этих событий, то есть равна 0.2 · 0.2 · 0.2 = 0.008.

Ответ: 0.008

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 8

В магазине сантехники три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью $0{,}7$ независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно.

Решение

События «первый продавец занят», «второй продавец занят» и «третий продавец занят» по условию независимы.

Тогда вероятность их одновременного наступления (вероятность пересечения событий) равна произведению вероятностей этих событий

То есть равна $0.7 · 0.7 · 0.7 = 0.343$

Ответ: 0.343

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 9

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна $0{,}93$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0{,}84$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение

Заметим, что из событий «чайник прослужит меньше года», «чайник прослужит от 1 до 2 лет» и «чайник прослужит больше двух лет» произойдёт обязательно ровно одно, то есть, говоря математическим языком, они попарно несовместны, а их объединение — достоверное событие. Следовательно, сумма вероятностей этих событий равна 1.

При этом события «чайник прослужит меньше года» и «чайник прослужит больше года» противоположны, поэтому вероятность события «чайник прослужит меньше года» равна 1 — 0.93 = 0.07. Заполним таблицу.

Событие	Прослужит меньше года	Прослужит от 1 до 2 лет	Прослужит больше двух лет
Вероятность	0.07	?	0.84

Отсюда искомая вероятность равна 1 — 0.07 — 0.84 = 0.09.

Ответ: 0.09

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 10

На экзамене по биологии студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Млекопитающие», равна $0{,}36$. Вероятность того, что это вопрос по теме «Бактерии», равна $0{,}18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене студенту достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Из условия следует, что события A = «достанется вопрос по теме Млекопитающие» и B = «достанется вопрос по теме Бактерии» несовместны. Действительно, нет билетов, относящихся к обоим этим темам одновременно. Событие «достанется вопрос по одной из этих двух тем» — это объединение событий A и B (A $∪$ B). По формуле вероятности объединения несовместных событий получим, что искомая вероятность равна P(A $∪$ B) = P(A) + P(B) = 0.36 + 0.18 = 0.54.

Ответ: 0.54

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 11

В торговом центре два одинаковых автомата продают лимонад. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится лимонад, равна $0{,}2$. Вероятность того, что лимонад закончится в обоих автоматах, равна $0{,}09$. Найдите вероятность того, что к концу дня лимонад останется в обоих автоматах.

Решение

По условию вероятность события A =«лимонад закончится в первом автомате» равна вероятности события B =«лимонад закончится во втором автомате» и равна $0.2$. Эти два события зависимые.

В этом случае воспользуемся формулой $P (A + B) = P (A) + P (B) — P (A B)$.

$P (A + B) = 0.2 + 0.2 — 0.09 = 0.31$. Событие $A + B$ — это событие «лимонад закончилась хотя бы в одном автомате». Указанное событие противоположно искомому. Отсюда вероятность события «лимонад останется в обоих автоматах» равна $1 — 0.31 = 0.69$.

Ответ: 0.69

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 12

Предприниматель закупает для продажи на рынке куриные яйца в двух хозяйствах. $50%$ яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — $40%$ яиц высшей категории. При продаже яиц на рынке оказалось, что всего получилось $42%$ яиц высшей категории. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у предпринимателя, окажется из второго хозяйства.

Решение

Ответ: 0.8

Показать решение

Бесплатный интенсив

Задача 13

Робин Гуд подошел к столу, на котором лежали 3 его старых лука и 2 новых. Он решил сбить стрелой яблоко с дерева. Робин попадает в цель из своего старого лука с вероятностью $0{,}8$, а из нового — с вероятностью $0{,}3$. Робин случайным образом выбирает один лук. Найдите вероятность того, что Робин промахнётся при стрельбе.

Решение

Ответ: 0.4

Показать решение

Бесплатный интенсив

Показать еще

Для доступа к решениям необходимо включить уведомления от группы Турбо в вк — это займет буквально 10 секунд. Никакого спама, только самое важное и полезное для тебя. Ты всегда можешь запретить уведомления.

Включить уведомления

Бесплатный интенсив по математике (профильной)

3 огненных вебинара, домашние задания, беседа курса, личный кабинет, связь с преподавателем и многое другое.

Курс стартует 10 июля. Бесплатный интенсив

Экзамен SOA P (вероятность) Примеры задач

---

• Список продуктов
• Партнерство
• Обучение
• Цены

---

• Войти 9 0005
• Помощь и обратная связь

WaveWave

Практические вопросы SOA Exam P

Получите доступ к более чем 500 экзаменационным практическим задачам на вероятностную основу

Бесплатная регистрация

В AnalystPrep у нас есть все, что вам нужно для оттачивания вашего вероятностного ума. Наши проблемы с вероятностной практикой отражают сложность и стиль живого экзамена P от Общества актуариев. Все наши вопросы с несколькими вариантами ответов (от A до E – как и на самом экзамене) регулярно обновляются с учетом последних обзоров нашей команды ученых и актуариев.

Помимо получения актуальных учебных материалов, вы также получаете доступ к нашим настраиваемым викторинам и показателям производительности, разработанным специально для того, чтобы помочь вам улучшить свои слабые стороны. Также наши учебные записи и круглосуточная поддержка гарантированно помогут вам подготовиться к актуарному экзамену P.

4.5 Миллион

Вопросы, на которые ответили наши пользователи

50 Тысяча

Довольных клиентов

# 1 Рейтинг

Платформа подготовки на обзорных сайтах

Как подразделяется банк вопросов

?

Банк вопросов AnalystPrep для экзамена P был специально разработан на основе программы, разработанной Обществом актуариев. Таким образом, он подразделяется на три темы:

• Общая вероятность (10-17%)
• Одномерные случайные величины (40-47%)
• Многомерные случайные величины (40-47%)

Тем не менее, каждая тема также подразделяется на каждую из целей обучения, указанных в SOA syallbus. Например, одна цель обучения может звучать так:

Рассчитать дисперсию, стандартное отклонение для условного и предельного распределения вероятностей.

После того, как вы попрактикуетесь с несколькими нашими практическими вопросами из данной учебной цели, вы можете перейти к следующей. При этом вы убедитесь, что ни одна важная концепция не осталась позади.

Однако банк вопросов и ответов не означает, что вы будете пересматривать и практиковаться в одиночку. Наша команда опытных инструкторов всегда готова дополнить предлагаемые решения дополнительными советами и рекомендациями.

Вопрос 93

Общая вероятность (условная вероятность)

60 % страховщиков составляют мужчины и 40 % — женщины. Вероятность того, что у мужчины будет претензия, в два раза выше, чем у женщины. Учитывая, что у случайно выбранного страхователя есть претензия, какова вероятность того, что это мужчина?

A) 25%

B) 40%

C) 50%

D) 60%

E) 75%

Подтвердить

Правильный ответ: E)

\( P\left( Male|Claim \right) ={ P\left( Male\quad and\quad Claim \right) }/{ P\left( Claim \right) }={ .60\ast 2x } /{ \left( .60\ast 2x+.40\ast x \right) }={ 1.2x }/{ 1.6x }=\bf .75\quad or\quad 75\%\)

Более 500 практических вопросов

Вопрос 121

Общая вероятность (теорема Байеса)

Тест на болезни сердца дает ложноположительный результат в 5% случаев. 25% населения имеют болезни сердца и 20% имеют положительный результат теста. При отрицательном результате теста какова вероятность того, что у пациента нет болезни сердца?

A) 67%

B) 70%

C) 55%

D) 87%

E) 93%

Подтвердить

Правильный ответ: E)

Пусть событием \(H\) будет болезнь сердца, а событием \(+\) будет положительный тест.
\(P\left( H’ \right) =P\left( H’|+ \right) \ast P\left( + \right) +P\left( H’|- \right) \ast \left ( 1-P\влево( + \вправо) \вправо) \)
\(.75 = .05 \ast .20 + x \ast \влево(1-.20\вправо) \)
\(.75 = .01 + .80x\)
\({.74}/{.80} = x\) 9{ln(v)-ln(100,000)}\\
& = 11,11ln(v) – 11,11ln(100,000) – 1\\
& = 11,11\bigg[ln\bigg(\frac{v}{100,000} -0.09\bigg)\bigg]
\end{align*}

Практика, чтобы пройти

Вопрос 155

Одномерные случайные величины (вычисление ожидаемого значения, моды, медианы, процентиля и высших моментов)

Учитывая следующую функцию плотности вероятности:
$$ f\left( x \right) =\begin{cases} . 15 & x=1 \\ .25 & x=2 \\ .35 & x=3 \\ C & x=4 \end{cases} $$ 9{th}\) процентиль равен \(\bf X=2\).

Отслеживайте эффективность по темам

 Вопрос 261

Одномерные случайные величины (сумма независимых случайных величин – распределение Пуассона)

Учитывая, что время (в днях) до подачи иска в страховую компанию является экспоненциальной случайной величиной с \(\lambda =.05\), а время до выплаты иска после его подачи является экспоненциальной случайной величиной с \(\lambda=.10\) и не зависит от времени до подачи иска, найти \(SD\влево(X+Y\вправо)\). 9{ x=1 }=\bf .17 \\ \end{align*}

Обобщенные примечания по каждой цели обучения

Вопрос 336

Многомерные случайные величины (совместные функции вероятности)

Пусть X представляет возраст застрахованного автомобиля, попавшего в аварию. Пусть Y представляет собой время действия договора страхования на момент несчастного случая.

X и Y имеют совместную функцию плотности вероятности 9{ 2 })\quad \quad 2\le x\le 10,\quad 0\le y\le 1 \\ 0\quad \quad \quad \quad \text{иначе}\end{cases}\)

Рассчитайте ожидаемый срок действия договора для застрахованного автомобиля, попавшего в аварию.

A) 0,4375

B) 0,5500

C) 0,1420

D) 0,2010

E) 0,8185

Подтвердить

Правильный ответ: A)

Предельная плотность Y определяется как:

9{ 1 }=\cfrac { 1 }{ 64 } (40-12)=\cfrac { 28 }{ 64 } =\cfrac { 7 }{ 16 }\)

Платформа для экзаменов по SOA

Вопрос 560

Многомерные случайные величины (функции, производящие моменты)

Пусть \(X_1,X_2\) — независимые случайные величины со следующей pMF
$$ f\left( x \right) =\begin{cases} \ frac { 1 }{ 4 } & x=4 \\ \frac { 1 }{ 2 } & x=5 \\ \frac { 1 }{ 4 } & x=6 \\ 0, & иначе \end{cases}
$$ 95,0 \le y \le 1\).

Тысячи довольных клиентов

Искать:

Нажмите Enter для поиска или ESC для закрытия

Практические задачи на вероятность

1. На шестигранном кубике каждая грань имеет число от 1 до 6. Какова вероятность того, что выпадет 3 или 4?

1. 1 из 6
2. 1 из 3
3. 1 из 2
4. 1 из 4

2. Три монеты подбрасываются в воздух по одной время. Какова вероятность того, что два из них выпадут орлом вверх, а один — решкой?

1. 0
2. 1/8
3. 1/4
4. 3/8

3. Случайным образом выбирается двузначное число. Какова вероятность того, что выбранное число кратно 7?

1. 1/10
2. 1/9
3. 11/90
4. 12/90
5. 13/90

9036 0 4. В мешочке 14 синих, 6 красных, 12 зеленых и 8 фиолетовых пуговиц. Из сумки случайным образом вынимаются 25 пуговиц. Сколько удаленных пуговиц были красными, если шанс вытащить красную пуговицу из мешка теперь равен 1/3?

1. 0
2. 1
3. 3
4. 5
5. 6

5. Есть 6 синих шариков, 3 красных шарика, и 5 желтых шариков в сумке. Какова вероятность того, что при первом розыгрыше выпадет синий или красный шарик?

1. 1/3
2. 4/7
3. 8/14
4. 9/14
5. 14/11

6 Используя шестигранный кубик, Карлин выкинула шестерку на каждом из 4 последовательных бросает. Какова вероятность того, что Карлин выкинет шестерку при следующем броске?

1. 1/2
2. 1/4
3. 1/6
4. 1/30
5. 1/3125

7. Обычная колода карт состоит из 52 карт. Если предположить, что вы не вернете карту, которую вы взяли, до следующего розыгрыша, какова вероятность того, что вы вытащите три туза подряд?

1. 1 из 52
2. 1 из 156
3. 1 из 2000
4. 1 из 5525
5. 1 из 132600
9037 2
8. MP3-плеер настроен на произвольное воспроизведение песен из пятнадцати песен, которые он содержит. Память. Любую песню можно проиграть в любое время, даже если она повторяется. Есть 5 песен группы A, 3 песни группы B, 2 песни группы C и 5 песен группы D. Если игрок только что сыграл две песни группы D подряд, какова вероятность того, что следующая песня будет такой же? быть группой D?
1. 1 из 5
2. 1 из 3
3. 1 из 9
4. 1 из 27
5. Недостаточно данных для определения.
9. Снова возвращаясь к MP3-плееру, описанному в вопросе 8, какова вероятность того, что обе следующие две песни будут принадлежать группе B?
1. 1 из 25
2. 1 из 3
3. 1 из 5
4. 1 из 9
5. Недостаточно данных для определения.
10. Если мешок с шариками состоит из 47 белых шариков, 5 желтых шариков и 10 черных шариков, какова приблизительная вероятность того, что шарик, случайно выбранный из мешка, окажется черным?
1. 19%
2. 16%
3. 21%
4. 33%
билетов продано в среднем. Если мужчина покупает 10 билетов, какова вероятность того, что он выиграет?

1. 21,5%
2. 20%
3. 18,3%
4. 2%

 

---

9002 0 1.  B:  На шестигранном кубике вероятность выпадения любого числа равна 1 из 6. вероятность выпадения 3 или 4 в два раза больше, или 2 из 6. Это можно упростить, разделив 2 и 6 на 2.

Следовательно, вероятность выпадения 3 или 4 равна 1 из 3.

2.  D:  Ниже показано примерное пространство возможных исходов для подбрасывания трех монет по одной за раз. Поскольку существует возможность двух исходов (орел или решка) для каждой монеты, всего существует 2 * 2 * 2 = 8 возможных исходов для трех монет. Обратите внимание, что H представляет орел, а T представляет решку:

HHH HHT HTT HTH TTT TTH THT THH

Обратите внимание, что из 8 возможных результатов только 3 из них (HHT, HTH и THH) соответствуют желаемому условию, что две монеты приземляется орлом вверх, а одна монета приземляется решкой вверх. Вероятность, по определению, представляет собой количество желаемых результатов, деленное на количество возможных результатов. Следовательно, вероятность двух орлов и одной решки равна 3/8, вариант D.

3.  E:  Есть 90 двузначных чисел (все числа от 10 до 99). Из них есть 13 кратных 7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98.

4. B: Добавьте 14 синих, 6 красные, 12 зеленых и 8 фиолетовых кнопок, чтобы получить в общей сложности 40 кнопок. Если убрать 25 пуговиц, в сумке останется 15 пуговиц. Если шанс вытянуть красную кнопку теперь равен 1/3, то 5 из 15 оставшихся кнопок должны быть красными. Первоначальное количество красных кнопок было 6. Таким образом, одна красная кнопка была удалена.

5.  D:  Используйте это соотношение для вероятности:

Вероятность = количество желаемых результатов

количество возможных результатов

Есть 6 синих и 3 красных шарика, всего 9 желаемых результатов. Добавьте общее количество шариков, чтобы получить общее количество возможных результатов, 14. Вероятность того, что будет выбран красный или синий шарик, составляет 9/14.

6.  C:  Результаты предыдущих бросков не влияют на результаты будущих бросков. Существует один желаемый результат и шесть возможных результатов. Вероятность выпадения шестерки при пятом броске равна 1/6, так же как и вероятность выпадения шестерки при любом отдельном броске.

7.  D:  Вероятность выпадения трех тузов подряд равна произведению вероятностей каждого розыгрыша. Для первого туза это 4 из 52 или 1 из 13; для второго это 3 из 51 или 1 из 27; а для третьего это 2 из 50 или 1 из 25. Таким образом, общая вероятность P равна P=1/13*1/17*1/25=1/5,525

8. B: Вероятность исполнения песни определенной группой пропорциональна количеству песен этой группы, деленному на общее количество песен, или 5/15=1/3 для B и D. Вероятность исполнения какой-либо конкретной песни не зависит от того, что было сыграно ранее, поскольку выбор является случайным, и песни могут повторяться.

9.  A:  Поскольку 3 из 15 песен принадлежат группе B, вероятность того, что какая-либо одна песня будет принадлежать этой группе, составляет 3/15 = 1/5. Вероятность того, что следующие две песни принадлежат Band B, равна произведению двух вероятностей, где каждая вероятность состоит в том, что следующая песня принадлежит Band B: 1/5*1/5=1/25.

No related posts.