Вероятность равна: Классическое определение вероятности — урок. Алгебра, 9 класс.

Предположим, произошла авиакатастрофа и эксперты заняты исследованием ее причин. Заранее известны 4 причины, по которым произошла катастрофа: либо причина, либо , либо , либо . По имеющейся статистике эти причины имеют следующие вероятности:

При осмотре места катастрофы найдены следы воспламенения горючего, согласно статистике вероятность этого события при тех или иных причинах такая:

Вопрос: какая причина катастрофы наиболее вероятна?

Вычислим вероятности причин при условия наступления события А.

Отсюда видно, что наиболее вероятной является первая причина, так как ее вероятность максимальна.

Задача 2

Рассмотрим посадку самолета на аэродром.

При посадке погодные условия могут быть такими: низкой облачности нет (), низкая облачность есть (). В первом случае вероятность благополучной посадки равна

Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют вероятность безотказной работы Р. Если есть низкая облачность и приборы слепой посадки отказали, вероятность удачного приземления равна Р3, причем Р3<Р2. Известно, что для данного аэродрома доля дней в году с низкой облачностью равна .

Найти вероятность благополучной посадки самолета.

Имеем:

Нужно найти вероятность .

Имеются два взаимно исключающих варианта: приборы слепой посадки действуют, приборы слепой посадки отказали, поэтому имеем:

Отсюда по формуле полной вероятности:

Задача 3

Страховая компания занимается страхованием жизни. 10% застрахованных в этой компании являются курильщиками. Если застрахованный не курит, вероятность его смерти на протяжении года равна 0.

Какова доля курильщиков среди тех застрахованных, которые умерли в течение года?

Варианты ответов: (А) 5%, (Б) 20%, (В) 36 %, (Г) 56%, (Д) 90%.

Решение

Введём события:

1. = {застрахованный – курильщик}

2. = {застрахованный – не курильщик}

3. = {застрахованный умер в течение года}

Условие задачи означает, что

Кроме того, поскольку события и образуют полную группу попарно несовместимых событий, то .
Интересующая нас вероятность – это .

Используя формулу Байеса, мы имеем:

поэтому верным является вариант (В).

Задача 4

Страховая компания продаёт договора страхования жизни трёх категорий: стандартные, привилегированные и ультрапривилегированные.

50% всех застрахованных являются стандартными, 40% — привилегированными и 10% — ультрапривилегированными.

Вероятность смерти в течение года для стандартного застрахованного равна 0.010, для привилегированного – 0.005, а для ультра привилегированного – 0.001.

Чему равна вероятность того, что умерший застрахованный является ультрапривилегированным?

Решение

Введем в рассмотрение следующие события:

1. = {застрахованный является стандартным}

2. = {застрахованный является привилегированным}

3. = {застрахованный является ультрапривилегированным}

4. = {застрахованный умер в течение года}

В терминах этих событий интересующая нас вероятность – это . По условию:

Поскольку события , , образуют полную группу попарно несовместимых событий, используя формулу Байеса мы имеем:

Случайные величины и их характеристики

Пусть некоторая случайная величина, например, ущерб от пожара или величина страховых выплат.
Случайная величина полностью характеризуется своей функцией распределения.

Определение. Функция называется функцией распределения случайной величины ξ.

Определение. Если существует такая функция , что для произвольных a<b выполнено

,

то говорят, что случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятности f(x)

Определение. Пусть . Для непрерывной функции распределения F теоретической α-квантилью называется решение уравнения .

Такое решение может быть не единственным.

Квантиль уровня ½ называется теоретической медианой, квантили уровней ¼ и ¾ — нижней и верхней квартилями соответственно.

В актуарных приложениях важную роль играет неравенство Чебышева:

при любом

— символ математического ожидания.

Читается так: вероятность того, что модуль больше меньше или равняется математическому ожиданию величины модуль , деленному на .

Время жизни как случайная величина

Неопределенность момента смерти является основным фактором риска при страховании жизни.

Относительно момента смерти отдельного человека нельзя сказать ничего определенного. Однако если мы имеем дело с большой однородной группой людей и не интересуемся судьбой отдельных людей из этой группы, то мы находимся в рамках теории вероятностей как науки о массовых случайных явлениях, обладающих свойством устойчивости частот.

Соответственно, мы можем говорить о продолжительности жизни как о случайной величине Т.

Функция выживания

В теории вероятностей описывают стохастическую природу любой случайной величины Т функцией распределения F (x), которая определяется как вероятность того, что случайная величина Т меньше, чем число x:

.

В актуарной математике приятно работать не с функцией распределения, а с дополнительной функцией распределения . Применительно к продолжительной жизни – это вероятность того, что человек доживет до возраста x лет.

Функция

называется функцией выживания (survival function):

Функция выживания обладает следующими свойствами:

1. убывает при ;
   
2. ;
   
3. ;
4. непрерывна.

В таблицах продолжительности жизни обычно считают, что существует некоторый предельный возраст (limiting age) (как правило, лет) и соответственно при x >.

При описании смертности аналитическими законами обычно считают, что время жизни неограниченно, однако подбирают вид и параметры законов так, чтобы вероятность жизни свыше некоторого возраста была пренебрежимо мала.

Функция выживания имеет простой статистический смысл.

Допустим, что мы наблюдаем за группой из новорожденных (как правило, ), которых мы наблюдаем и можем фиксировать моменты их смерти.

Обозначим число живых представителей этой группы в возрасте через . Тогда:

.

Символ E здесь и ниже используется для обозначения математического ожидания.

Итак, функция выживания равна средней доле доживших до возраста из некоторой фиксированной группы новорожденных.

В актуарной математике часто работают не с функцией выживания , а с только что введенной величиной (зафиксировав начальный размер группы ).

Функция выживания может быть восстановлена по плотности:

Характеристики продолжительности жизни

С практической точки зрения важны следующие характеристики:

1. Среднее время жизни

,
2. Дисперсия времени жизни

,
где
,

Корень квадратный из дисперсии называется стандартным отклонением (standard deviation). Это более удобная величина, чем дисперсия, так как имеет ту же размерность, что исходные данные.

3. Медиана времени жизни , которая определяется как корень уравнения
.

Медиана времени жизни – это возраст, до которого доживает ровно половина представителей исходной группы новорожденных.

Аналитические законы смертности

Для упрощения расчетов, теоретического анализа и т.д. естественно попытаться описать получаемые эмпирическим путем данные о функции выживания или интенсивности смертности с помощью простых аналитических формул.

Простейшее приближение было введено в 1729 году де Муавром (de Moivre), который предложил считать, что время жизни равномерно распределено на интервале , где — предельный возраст.

В модели де Муавра при 0<x<

Сравнение графиков этих функций с реальными графиками функции выживания , функции смертей , интенсивности смертности , показывает, что закон де Муавра является не очень хорошим приближением.

Например, первая формула означает, что кривая смертей является горизонтальной линией, в то время как эмпирические данные указывают на пик в районе 80 лет.

В модели, которую предложил в 1825 году Гомпертц (Gompertz), интенсивность смертности приближается показательной функцией вида , где >0 и B>0 – некоторые параметры. Соответствующая функция выживания имеет вид

,

а кривая смертей:

.

Мэйкхам (Makeham) в 1860 году обобщил предыдущую модель, приблизив интенсивность смертности функцией вида .

Постоянное слагаемое позволяет учесть риски для жизни, связанные с несчастными случаями (которые мало зависят от возраста), в то время как член учитывает влияние возраста на смертность.

В этой модели
,
.

Второй закон Мэйкхама, введенный в 1889 году, приближает интенсивность смертности функцией вида . В этой модели
,
.

Вейбулл (Weibull) в 1939 году предложил приближать интенсивность смертности более простой степенной функцией вида . В этой модели
, .

В практике страхования эти параметры неизвестны и оцениваются по реальным данным.

Связанные определения:
Вероятность события
Независимые повторные испытания Бернулли
Независимые события

В начало

Содержание портала

Новые задачи по теории вероятностей

Рассмотрим решение новых задач по теории вероятностей, которые появятся в ЕГЭ по математике в 2022 году.

Вы можете попробовать решить задачи самостоятельно, а потом сверить свое решение с предложенным.

1. № 508755

Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало 6 очков. 

Решение. показать

2. № 508769

Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8». 

Решение. показать

3. № 508781

Симметричную монету бросают 11 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение. показать

4. № 508791

В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.

Решение. показать

5. № 508793

Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что потребовалось сделать три броска? Результат округлите до сотых.

Решение. показать

6. № 508798

Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось 3 броска? Ответ округлите до сотых.

Решение. показать

7. № 508809

Телефон передает SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,2. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток. 

Решение. показать

8. № 508820

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 91% случаев. Если заболевание нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 93% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание? Результат округлите до сотых.

Решение. показать

9. № 508831

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит ее. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,5?

Решение. показать

10. № 508843

В ящике три красных и три синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что в первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Решение. показать

11. №508851

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени».

Решение. показать

12. № 508868

В викторине участвуют 10 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых шести играх победила команда А. Какова вероятность, что эта команда выиграет седьмой раунд.

Решение. показать

13. № 508871

Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определен жребием. Всего в турнире 8 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга — Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придется сыграть друг с другом?   

Решение.  показать

14. № 508887

Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет четных чисел, а нечетные числа встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность, что бросали второй кубик?

Решение. показать

15. № 509078

Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов.  Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придется купить еще 2 или 3 шоколадных яйца?

Решение. показать

15. № 508885

Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятность на единицу больше предыдущего и с вероятность на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен -1?

Решение. показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Терминология вероятности | Введение в статистику

Результаты обучения

• Понимание и использование терминологии вероятности

Вероятность — это мера, связанная с тем, насколько мы уверены в результатах определенного эксперимента или действия. Эксперимент — это запланированная операция, проводимая в контролируемых условиях. Если результат не предопределен заранее, то говорят, что эксперимент является случайным экспериментом . Подбрасывание одной честной монеты дважды является примером эксперимента.

Результат эксперимента называется результатом . выборочное пространство эксперимента представляет собой набор всех возможных результатов. Существует три способа представления выборочного пространства: составить список возможных результатов, создать древовидную диаграмму или создать диаграмму Венна. Заглавная буква [латекс]S[/латекс] используется для обозначения пространства выборки. Например, если вы подбрасываете одну честную монету, [латекс]S[/латекс] = {[латекс]Н[/латекс], [латекс]Т[/латекс]}, где [латекс]Н[/латекс] = решка и [latex]T[/latex] = решка — результат.

Событие   – это любая комбинация исходов. Буквы верхнего регистра, такие как [латекс]А[/латекс] и [латекс]В[/латекс], обозначают события. Например, если эксперимент заключается в подбрасывании одной честной монеты, событие [latex]A[/latex] может получить не более одного орла. Вероятность события [latex]A[/latex] записывается как [latex]P[/latex]([latex]A[/latex]).

Вероятность любого исхода — это долгосрочная относительная частота этого исхода. Вероятности от нуля до единицы включительно (то есть ноль и единица и все числа между этими значениями). [latex]P[/latex]([latex]A[/latex]) = [latex]0[/latex] означает, что событие [latex]A[/latex] никогда не может произойти. [latex]P[/latex]([latex]A[/latex]) = [latex]1[/latex] означает, что событие [latex]A[/latex] происходит всегда. [latex]P[/latex]([latex]A[/latex]) = [latex]0,5[/latex] означает, что событие [latex]A[/latex] равновероятно произойдет или не произойдет. Например, если вы неоднократно подбрасываете одну честную монету (от [латекс]20[/латекс] до [латекс]2000[/латекс] и до [латекс]20 000[/латекс] раз), относительная частота выпадения орла приближается к [латекс]0,5. [/latex] (вероятность выпадения орла).

Равновероятный означает, что каждый результат эксперимента имеет равную вероятность. Например, если вы подбрасываете , шестигранный кубик, каждая грань ([латекс]1, 2, 3, 4, 5, \текст{или}\,6[/латекс]) с высокой вероятностью выпадет как и любое другое лицо. Если вы подбросите правильную монету, вероятность выпадения орла ([latex]H[/latex]) и решки ([latex]T[/latex]) одинакова. Если вы случайным образом угадываете ответ на верный/неверный вопрос на экзамене, вы с одинаковой вероятностью выберете правильный или неправильный ответ.

Чтобы вычислить вероятность события [latex]A[/latex], когда все исходы в пространстве выборки равновероятны , подсчитайте количество исходов для события [latex]A[/latex] и разделите на общее количество результатов в пространстве выборки. Например, если вы подбрасываете чистую монету и чистую монету, пространство выборки равно {[latex]HH[/latex], [latex]TH[/latex], [latex]HT[/latex], [latex]TT. [/latex]} где [latex]T[/latex] = хвосты и [latex]H[/latex] = головы. Пространство выборки имеет четыре результата. [latex]A[/latex] = получить одну голову. Этому условию удовлетворяют два исхода {[латекс]HT[/латекс], [латекс]TH[/латекс]}, поэтому [латекс]\displaystyle{P}{({A})}=\frac{{2 }}{{4}}={0,5}[/латекс].

Предположим, вы бросили один правильный шестигранный кубик с числами {[latex]1, 2, 3, 4, 5, 6[/latex]} на его гранях. Пусть событие [latex]E[/latex] = выпадение числа, которое не меньше пяти. Есть два исхода {[latex]5, 6[/latex]}. [latex]\displaystyle{P}{({E})}=\frac{{2}}{{6}}[/latex] по мере увеличения количества повторений.

Эта важная характеристика вероятностных экспериментов известна как закон больших чисел , который гласит, что по мере увеличения числа повторений эксперимента относительная частота, полученная в эксперименте, стремится стать все ближе и ближе к теоретической вероятности. Несмотря на то, что результаты не происходят в соответствии с какой-либо установленной закономерностью или порядком, в целом наблюдаемая в долгосрочной перспективе относительная частота будет приближаться к теоретической вероятности. (Слово эмпирический часто используется вместо слова наблюдаемое.)

В этом видео приведены дополнительные примеры основных вероятностей.

Важно понимать, что во многих ситуациях исходы неравновероятны. Монета или игральная кость могут быть несправедливыми или предвзятыми . Два профессора математики в Европе попросили своих студентов-статистиков протестировать бельгийскую монету в один евро и обнаружили, что в [latex]250[/latex] испытаниях решка выпадала [latex]56[/latex]% времени, а решка — решка. [латекс]44[/латекс]% времени. Данные, кажется, показывают, что монета не является честной монетой; больше повторений было бы полезно, чтобы сделать более точный вывод о такой предвзятости. Некоторые кости могут быть необъективными. Посмотрите на кости в игре, которая есть у вас дома; пятна на каждом лице обычно представляют собой небольшие отверстия, вырезанные, а затем окрашенные, чтобы сделать пятна видимыми. Ваши кости могут быть предвзятыми, а могут и не быть; возможно, на результаты могут повлиять небольшие различия в весе из-за разного количества отверстий на гранях. Азартные игры зарабатывают большие деньги в зависимости от результатов броска костей, поэтому кости казино изготавливаются по-разному, чтобы исключить предвзятость. У игральных костей казино плоские грани; отверстия полностью заполнены краской той же плотности, что и материал, из которого сделаны игральные кости, так что каждая грань выпадет с одинаковой вероятностью. Позже мы изучим приемы, которые можно использовать для работы с вероятностями событий, которые не являются равновероятными.

Событие «ИЛИ»

Исход находится в событии [латекс]А[/латекс] ИЛИ [латекс]В[/латекс], если исход находится в [латекс]А[/латекс] или в [латекс ]B[/latex] или находится как в [latex]A[/latex], так и в [latex]B[/latex]. Например, пусть [латекс]А[/латекс] = {[латекс]1, 2, 3, 4, 5[/латекс]} и [латекс]В[/латекс] = {[латекс]4, 5, 6 , 7, 8[/латекс]}. [латекс]А[/латекс] ИЛИ [латекс]В[/латекс] = {[латекс]1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8[/латекс]}. Обратите внимание, что [латекс]4[/латекс] и [латекс]5[/латекс] НЕ указаны дважды.

Событие «И»

Исход находится в событии [латекс]А[/латекс] И [латекс]В[/латекс], если исход находится как в [латекс]А[/латекс], так и в [латекс]В [/латекс] в то же время. Например, пусть [латекс]А[/латекс] и [латекс]В[/латекс] равны {[латекс]1, 2, 3, 4, 5[/латекс]} и {[латекс]4, 5, 6 , 7, 8[/latex]} соответственно. Тогда [латекс]А[/латекс] И [латекс]В[/латекс] = {[латекс]4, 5[/латекс]}.

Дополнение события [latex]A[/latex] обозначается как [latex]A'[/latex] (читается как «[latex]A[/latex] простое число»). [latex]A'[/latex] состоит из всех исходов, равных НЕ в [латекс]А[/латекс]. Обратите внимание, что [латекс]P[/латекс]([латекс]А[/латекс]) + [латекс]П[/латекс]([латекс]А'[/латекс]) = [латекс]1[/латекс]. Например, пусть [латекс]S[/латекс] = {[латекс]1, 2, 3, 4, 5, 6[/латекс]} и пусть [латекс]А[/латекс] = {[латекс]1, 2, 3, 4[/латекс]}. Тогда [латекс]А’={5, 6}[/латекс]. [латекс]P(A) = \frac{{4}}{{6}}[/latex] и [латекс]P(A’) = \frac{{2}}{{6}}[/latex] , и [латекс]P(A) +P(A’) =\frac{{4}}{{6}}+\frac{{2}}{{6}}={1}[/latex].

условная вероятность из [латекс]А[/латекс] для данного [латекс]В[/латекс] записывается как [латекс]Р[/латекс]([латекс]А[/латекс]|[латекс]В[/латекс]). [latex]P[/latex]([latex]A[/latex]|[latex]B[/latex]) — это вероятность того, что произойдет событие [latex]A[/latex] при условии, что событие [latex]B [/latex] уже произошло. Условное выражение уменьшает размер выборки. Мы вычисляем вероятность [latex]A[/latex] из сокращенного пространства выборки [latex]B[/latex]. Формула для вычисления [латекс]P[/латекс]([латекс]А[/латекс]|[латекс]В[/латекс]): [латекс]\displaystyle{P}{({A}{|}{B })}=\frac{{{P}{({A}\text{ AND } {B})}}}{{{P}{({B})}}}[/latex], где [латекс] P[/latex]([latex]B[/latex]) больше нуля.

Например, предположим, что мы подбрасываем один правильный шестигранный кубик. Пример пространства
[латекс]S[/латекс] = {[латекс]1, 2, 3, 4, 5, 6[/латекс]}. Пусть [латекс]А[/латекс] = лицо равно [латекс]2[/латекс] или [латекс]3[/латекс] и [латекс]В[/латекс] = лицо четное ([латекс]2, 4, 6[/латекс]). Чтобы рассчитать [латекс]P[/латекс]([латекс]А[/латекс]|[латекс]В[/латекс]), мы подсчитываем количество исходов [латекс]2[/латекс] или [латекс]3[ /latex] в пространстве примеров [latex]B[/latex] = {[latex]2, 4, 6[/latex]}. Затем мы делим это на количество результатов [latex]B[/latex] (а не [latex]S[/latex]).

Мы получаем тот же результат, используя формулу. Помните, что [latex]S[/latex] имеет шесть исходов.

[латекс]\displaystyle{P}{({A}{|}{B})}=\frac{{{P}{({A}\text{ AND } {B})}}}{{ {P}{({B})}}}=\frac{{\frac{{\text{количество исходов, равных 2 или 3 и даже } {S}}}{{6}}}}{ {\ frac {{\ text {количество четных результатов в } {S}}} {{6}}}} = \ frac {{\ frac {{1}} {{6}}}} {{ \frac{{3}}{{6}}}}=\frac{{1}}{{3}}[/latex]

Понимание терминологии и символов

и понять, что это за события. Понимание формулировки — первый очень важный шаг в решении вероятностных задач. При необходимости перечитайте задачу несколько раз. Четко определите интересующее вас событие. Определить, имеется ли в формулировке условие, указывающее на то, что вероятность является условной; тщательно определить условие, если таковое имеется.

Пример

Пример пространства [latex]S[/latex] – это целые числа, начинающиеся с единицы и менее [latex]20[/latex].

1. [латекс]S[/латекс] = _____________________________ Пусть событие [латекс]А[/латекс] = четные числа, а событие [латекс]В[/латекс] = числа больше, чем [латекс]13[/латекс].
2. [латекс]A[/латекс] = _____________________, [латекс]B[/латекс] = ___________________________
3. [латекс]P[/латекс]([латекс]A[/латекс]) = _____________, [латекс]P[/латекс]([латекс]B[/латекс]) = ________________
4. [латекс]A[/латекс] И [латекс]B[/латекс] = ____________________, [латекс]A[/латекс] ИЛИ [латекс]B[/латекс] = ________________
5. [латекс]P[/латекс]([латекс]A[/латекс] И [латекс]B[/латекс]) = _________, [латекс]P[/латекс]([латекс]A[/латекс] ИЛИ [ латекс]В[/латекс]) = _____________
6. [латекс]A'[/латекс] = _____________, [латекс]P[/латекс]([латекс]A'[/латекс]) = _____________
7. [латекс]P[/латекс]([латекс]A[/латекс]) + [латекс]P[/латекс]([латекс]A'[/латекс]) = ____________
8. [латекс]P[/латекс]([латекс]A[/латекс]|[латекс]B[/латекс]) = ___________, [латекс]P[/латекс]([латекс]B[/латекс]|[ латекс]А[/латекс]) = _____________; вероятности равны?

Показать решение

Попробуйте

Образец пространства [latex]S[/latex] представляет собой упорядоченные пары двух целых чисел, первое от одного до трех, а второе от одного до четырех (Пример: ([latex]1, 4 [/латекс])).

1. [латекс]S[/латекс] = _____________________________Пусть событие [латекс]А[/латекс] = сумма четная, а событие [латекс]В[/латекс] = первое число простое.
2. [латекс]А[/латекс] = _____________________, [латекс]В[/латекс] = ___________________________
3. [латекс]P[/латекс]([латекс]A[/латекс]) = _____________, [латекс]P[/латекс]([латекс]B[/латекс]) = ________________
4. [латекс]A[/латекс] И [латекс]B[/латекс] = ____________________, [латекс]A[/латекс] ИЛИ [латекс]B[/латекс] = ________________
5. [латекс]P[/латекс]([латекс]A[/латекс] И [латекс]B[/латекс]) = _________, [латекс]P[/латекс]([латекс]A[/латекс] ИЛИ [ латекс]В[/латекс]) = _____________
6. [латекс]B'[/латекс] = _____________, [латекс]P[/латекс]([латекс]B'[/латекс]) = _____________
7. [латекс]P[/латекс]([латекс]A[/латекс]) + [латекс]P[/латекс]([латекс]A[/латекс]) = ____________
8. [латекс]P[/латекс]([латекс]A[/латекс]|[латекс]B[/латекс]) = ___________, [латекс]P[/латекс]([латекс]B[/латекс]|[ латекс]А[/латекс]) = _____________; вероятности равны?

Показать решение

Пример

Брошена ровная шестигранная игральная кость. Опишите выборочное пространство [latex]S[/latex], идентифицируйте каждое из следующих событий с подмножеством [latex]S[/latex] и вычислите его вероятность (результатом является количество отображаемых точек).

1. Событие [латекс]Т[/латекс] = результат равен двум.
2. Событие [latex]A[/latex] = результатом является четное число.
3. Событие [latex]B[/latex] = результат меньше четырех.
4. Дополнение [latex]A[/latex].
5. [латекс]A[/латекс] ДАННЫЙ [латекс]B[/латекс]
6. [латекс]B[/латекс] ДАННЫЙ [латекс]A[/латекс]
7. [латекс]A[/латекс] И [латекс]B[/латекс]
8. [латекс]A[/латекс] ИЛИ [латекс]B[/латекс]
9. [латекс]A[/латекс] ИЛИ [латекс]B'[/латекс]
10. Событие [latex]N[/latex] = результатом является простое число.
11. Событие [latex]I[/latex] = результат семь.

Показать решение

Попробуйте

В таблице описано распределение случайной выборки [latex]S[/latex] из [latex]100[/latex] индивидуумов, сгруппированных по полу и правшам или левшам.

Обозначим события [latex]M[/latex] = субъект мужского пола, [latex]F[/latex] = субъект женского пола, [latex]R[/latex] = субъект прав- handed, [latex]L[/latex] = субъект левша. Вычислить следующие вероятности:

1. [латекс]P[/латекс]([латекс]М[/латекс])
2. [латекс]P[/латекс]([латекс]F[/латекс])
3. [латекс]P[/латекс]([латекс]R[/латекс])
4. [латекс]P[/латекс]([латекс]L[/латекс])
5. [латекс]P[/латекс]([латекс]M[/латекс] И [латекс]R[/латекс])
6. [латекс]P[/латекс]([латекс]F[/латекс] И [латекс]L[/латекс])
7. [латекс]P[/латекс]([латекс]M[/латекс] ИЛИ [латекс]F[/латекс])
8. [латекс]P[/латекс]([латекс]M[/латекс] ИЛИ [латекс]R[/латекс])
9. [латекс]P[/латекс]([латекс]F[/латекс] ИЛИ [латекс]L[/латекс])
10. [латекс]P[/латекс]([латекс]M'[/латекс])
11. [латекс]P[/латекс]([латекс]R[/латекс]|[латекс]M[/латекс])
12. [латекс]P[/латекс]([латекс]F[/латекс]|[латекс]L[/латекс])
13. [латекс]P[/латекс]([латекс]L[/латекс]|[латекс]F[/латекс])

Показать решение

Ссылки

«Список стран по континентам». Worldatlas, 2013. Доступно на сайте http://www.worldatlas.com/cntycont.htm (по состоянию на 2 мая 2013 г.).

Обзор концепции

В этом модуле мы изучили основную терминологию вероятности. Множество всех возможных исходов эксперимента называется пространством выборки. События представляют собой подмножества выборочного пространства, и им присваивается вероятность, представляющая собой число от нуля до единицы включительно.

Formula Review

[latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] являются событиями

[latex]P[/latex]([latex]S[/latex]) = [latex]1 [/latex] где [latex]S[/latex] — пространство выборки 0 ≤ [latex]P[/latex]([latex]A[/latex]) ≤ [latex]1[/latex]

[latex ]P[/латекс]([латекс]А[/латекс]|[латекс]В[/латекс])=[латекс]\displaystyle\frac{{{P}{({A}\text{ AND } {B })}}}{{{P}{({B})}}}[/latex]

Вероятность | Основы математики

Марко Табога, доктор философии

Эта лекция определяет понятие вероятности и знакомит с ее основными характеристики.

Цель состоит в том, чтобы обеспечить строгое введение в математику вероятность, хотя и постепенно, с большим количеством пояснений и Примеры.

Содержание

1. Определение вероятности

2. Пространство выборки, точки выборки и события

3. Пространство событий

   900 06

4. Вероятность определяется тремя свойствами

5. Старые определения вероятности

   1. Классическое определение вероятности

   2. Частотное определение вероятности

   3. Субъективистское определение вероятности

6. 900 08 Другие свойства вероятности

   1. Вероятность пустого множества 0

   2. Сигма-аддитивная функция является аддитивной

   3. Вероятность дополнения

   4. Вероятность объединения

   5. Монотонность вероятности

7. Строгие определения

   1. Более строгое определение события

   2. Более строгое определение вероятности

8. Решенные упражнения

   1. Упражнение 1

   2. Упражнение 2

   3. Упражнение 3

Определение вероятности

Было бы неплохо начать курс теории вероятностей с краткого, простое и интуитивно понятное, но математически строгое определение вероятности. К сожалению, это невозможно.

С одной стороны, строгое определение вероятности требует сложного математический аппарат и довольно неинтуитивен.

С другой стороны, простые определения часто вводят в заблуждение или, в лучшем случае, тавтологический.

Например, мы могли бы сказать, что вероятность — это число, которое количественно определяет вероятность данного события, когда еще неизвестно, произойдет ли это событие случиться или нет. Это определение носит круговой характер, поскольку в нем используется концепция вероятность, которая является синонимом вероятности. Тем не менее, мы можем использовать его как отправная точка. Он подчеркивает два важных факта:

Разрабатывая эти два факта, мы дадим (почти полностью) строгое определение вероятности. Для этого введем понятие события. в следующем разделе. Тогда мы определим вероятность как функцию, которая привязывает числа к событиям и удовлетворяет определенным «интуитивным» свойствам.

На протяжении всей этой лекции мы предполагаем, что вы знакомы с основами теории множеств. Если нет, вы можете пересмотреть основы здесь.

Пространство выборки, точки выборки и события

Первое, что мы делаем, когда начинаем думать о Вероятность события состоит в том, чтобы перечислить ряд вещей, которые, возможно, случаться.

С математической точки зрения вещи в этом списке образуют множество, которое мы обозначать через .

Мы требуем удовлетворять следующим двум свойствам:

1. Взаимоисключающие результаты . Только одна из вещей в может случиться. То есть, если случается, то ни одна из вещей в наборе может случиться.

2. Исчерпывающие результаты . По крайней мере, одна из вещей в случится.

Если удовлетворяет этим двум свойствам, оно называется пространством выборки , или пространство всех возможных исходов. Более того,

• элемент называется точкой выборки или возможной исход.

• когда мы узнаем, что произошло, называется реализованным результатом .

• подмножество называется событием (мы кратко объясним ниже, что не каждое подмножество выборочного пространства, строго говоря, событие; однако при первом чтении вы можете быть довольны это определение).

Вот пример примерного пространства.

Пример Предположим, что мы бросаем кубик. Шесть чисел от 1 до 6 могут быть изображены лицевой стороной вверх, но мы еще не знаем, какой из них появится. Пример пространства isEach из шести чисел является точкой отсчета. Результаты взаимоисключающие потому что только одно число одновременно может появиться лицевой стороной вверх. Результаты также исчерпывающим, потому что по крайней мере одно из шести чисел появится лицевой стороной вверх после мы бросаем кубик. Определять событие (подмножество ). Это можно описать как «нечетное число появляется лицевой стороной вверх». Сейчас определитьтакже является событием, и его можно описать как «цифра 6 появляется лицевой стороной вверх».

Обратите внимание, что пространство выборки само по себе является событием, потому что каждое множество является подмножеством самого себя. Это называется конечно событие.

Также пустой набор является событием, потому что его можно рассматривать как подмножество . Это называется невозможным событием.

Пространство событий

Теперь, когда мы определили понятие события, мы можем подумать о вероятность события как число, прикрепленное к что говорит нам о том, насколько вероятно, что случится.

К сожалению, это еще не настоящее определение, потому что «вероятно» является синонимом. из «вероятного». Мы снова работаем по кругу! Но мы ближе к определению чем до. Чтобы стать еще ближе, нам нужно ввести еще одно математическое понятие пространства событий.

Пространство событий , которое мы обозначим через , представляет собой набор подмножеств . Другими словами, каждый элемент является событием.

Пример Рассмотрим то же выборочное пространство, введенное в предыдущем примере (бросок умереть): определить в событияThe сеть пространство событий (помните, что и являются событиями).

В строгой теории вероятностей требуется, чтобы пространство событий удовлетворяло определенными свойствами (требуется, чтобы она была сигма-алгеброй). На данный момент мы не обсуждаем эти свойства, но кратко расскажем о них ниже, после определения вероятности.

Вероятность определяется тремя свойствами

Теперь мы готовы определить вероятность.

Определение Обозначим через функция из пространства событий множеству действительных чисел, т. е. функции, присваивающей число к каждому событию . Функция это мера вероятности тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующие три свойства:

1. Диапазон : для любое событие .

2. Конечно :

3. Сигма-аддитивность (или счетная аддитивность): для любая последовательность взаимоисключающих событий (т. е. таких, что если ).

Когда вероятностная мера присваивает номер к событию , затем называется вероятностью .

Мы наконец закончили! Мы определили вероятность! Теперь нам нужно убедиться что мы полностью понимаем определение.

Напомним основные шаги, сделанные на данный момент:

• мы определили понятие события;

• мы создали коллекцию событий, называемую пространством событий;

• мы создали функцию в пространстве событий, которая присваивает номер каждое событие;

• мы сказали, что если такая функция удовлетворяет определенным свойствам, то она вероятностная мера.

Последний пункт необходимо пояснить. Но прежде чем пытаться понять, почему три вышеприведенных математических свойства используются для определения вероятности, давайте проанализируйте их более подробно.

Свойство Range говорит само за себя. Это просто означает, что вероятность событие — это действительное число от 0 до 1. Это можно рассматривать как соглашение: мы решаем, что вероятность должна быть положительным числом и что события могут иметь вероятность не более 1.

Свойство «Наверняка» говорит о том, что должна быть максимально возможная вероятность. присваивается определенному событию (помните, что демонстрационное пространство должен быть исчерпывающим, поэтому, безусловно, одна из вещей в случится).

Свойство сигма-аддитивности немного более громоздко. Можно доказать (см. ниже), что если имеет место сигма-аддитивность, то и следующий вмещает:

Последнее свойство, называемое конечной аддитивностью , хотя и очень аналогичен сигма-аддитивности, его легче интерпретировать. Там сказано, что если два события не пересекаются, то вероятность того, что произойдет одно или другое равна сумме их индивидуальных вероятностей.

Для конкретности приведем простой пример, иллюстрирующий свойства вероятности.

Пример Предположим, что мы подбрасываем монету. Возможные исходы: либо решка () или голова (), что есть, учтите пространство события Следующее назначение вероятностей удовлетворяет перечисленным свойствам превыше всего эти вероятности находятся в диапазоне от 0 до 1, поэтому свойство диапазона выполняется. , поэтому верное свойство удовлетворено. Также выполняется сигма-аддитивность потому чтои четыре пары , , , являются единственными четырьмя возможными парами непересекающихся множеств.

Теперь, когда мы познакомились с тремя свойствами вероятности, Остается ответить на фундаментальный вопрос: почему эти свойства были выбран для определения вероятности?

В основном, по историческим причинам. Перед Андреем Колмогоровым, видным русский математик придумал это определение, статистики предложены другие определения (см. следующий раздел). Эти определения имели недостатки, но все они могут быть использованы для доказательства того, что вероятность должна удовлетворять три свойства выше.

Колмогоров предложил отказаться от прежних определений и вместо них использовать три свойства в качестве определения. Этот подход уже доказал свою эффективность в разделе математики, называемом теорией меры. Собственно, Колмогоров понял, что вероятность — это особая мера (ограниченная 1), и адаптировал определение меры, которое очень похоже на определение вероятности приведено выше.

В следующем разделе мы сообщаем о некоторых старых определениях вероятности. Несмотря на свои недостатки, они могут помочь улучшить наше понимание концепции. вероятности.

Старые определения вероятности

В этом разделе кратко обсуждаются некоторые старые определения вероятности. Хотя ни один из них не является полностью строгим и последовательным, а также достаточным сам по себе, чтобы разъясняют значение вероятности, все они затрагивают важные аспекты.

Классическое определение вероятности

Согласно классическому определению, когда все возможные исходы эксперимента равновероятны, вероятность события есть отношение между числом исходов, благоприятствующих событию, и общим количество возможных исходов. Хотя это определение интуитивно понятно, оно имеет два основных недостатки:

1. он круговой, потому что он использует понятие вероятности для определения вероятность: она основана на предположении о «равновероятных» исходах, где равновероятно означает «имеющий одинаковую вероятность»;

2. она ограничена по объему, потому что не позволяет нам определить вероятность, когда возможные исходы не равновероятны.

Частотное определение вероятности

Согласно частотному определению, вероятность события – это относительная частота самого события, наблюдаемая в течение большого количества повторения одного и того же эксперимента. Другими словами, это предел, до которого в соотношение: сходится когда число повторений опыта стремится к бесконечности. Несмотря на своей интуитивной привлекательности, также это определение имеет ряд важных недостатков:

1. предполагается, что все вероятностные эксперименты можно повторять много раз, что неверно;

2. он также несколько цикличен, потому что неявно опирается на Закон больших чисел, который можно вывести только после определения вероятности.

Субъективистское определение вероятности

Согласно субъективистскому определению, вероятность события равна связанные с готовностью человека принимать ставки на это событие. Предположим, что лотерейный билет приносит 1 доллар в случае, если событие происходит, и 0 в случае его возникновения. случае, когда событие не происходит. Человеку предлагается установить цену за это лотерейный билет, в котором ей должно быть безразлично, быть покупателем или продавец билета. Субъективная вероятность события определяется как равна цене, установленной таким образом индивидуумом. Также это определение имеет некоторые недостатки:

1. разные люди могут устанавливать разные цены, тем самым предотвращая объективная оценка вероятностей;

2. цена, которую человек готов заплатить за участие в лотерее, может быть под влиянием других факторов, не имеющих ничего общего с вероятностью; для например, на поведение человека при размещении ставок может влиять его предпочтения.

Прочие свойства вероятности

В следующих подразделах обсуждаются другие математические свойства, которыми обладают вероятность.

Вероятность пустого множества равна 0

Здесь мы доказываем, что .

Доказательство

Определить последовательность событий следующая: последовательность — это последовательность непересекающихся событий, потому что пустое множество не пересекается из любого другого набора. Затем, который подразумевает и .

Сигма-аддитивная функция является аддитивной

Сигма-аддитивная функция также добавка:

Proof

Определите последовательность событий следующим образом: последовательность — это последовательность непересекающихся событий, потому что пустое множество не пересекается из любого другого набора. Тогда

Вероятность дополнения

Позволять быть событием и его дополнение (т. е. множество всех элементов которые не принадлежат ). Затем

Доказательство

Примечание это и что и являются непересекающимися множествами. Затем, используя свойство уверенности и конечное аддитивность, мы получитькакой подразумевает

Другими словами, вероятность того, что событие не произойдет, равна единице. минус вероятность того, что это произойдет.

Вероятность союза

Мы уже видели, как вычислить в частном случае, когда и два непересекающихся события. В более общем случае, когда они не обязательно непересекающиеся, формула is

Доказательство

Это доказывается следующим образом. Первая заметка это так чтоКроме того событие можно записать как следует: и три события в правой части не пересекаются. Таким образом,

Монотонность вероятности

Если два события и таковы, что , затем

Доказательство

Это легко доказать, используя аддитивность:где последнее неравенство является следствием того, что (по дальностному свойству вероятности).

Другими словами, если встречается реже, чем , поскольку последний предполагает больше событий, то вероятность должна быть меньше вероятности .

Строгие определения

В этом разделе мы даем совершенно строгие определения события и вероятность.

Более строгое определение события

Определение события, данное выше, не совсем строго.

Часто статистики работают с вероятностными моделями, в которых некоторые подмножества пример пространства не считаются событиями.

Это происходит в основном по следующим двум причинам:

1. иногда выборочное пространство представляет собой действительно сложный набор; делать вещи проще, внимание ограничивается только некоторыми подмножествами выборочного пространства;

2. иногда можно последовательно присвоить вероятности только некоторым подмножества выборочного пространства; в этих случаях только те подмножества, к которым вероятности могут быть назначены считаются событиями.

Обозначим через пространство событий, то есть множество подмножеств которые считаются событиями. В строгой теории вероятностей пространство события должны быть сигма-алгеброй.

Определение является сигма-алгебра на если это множество подмножеств удовлетворяющие следующим трем свойствам:

1. Полный набор. .

2. Закрытие при дополнении. Если тогда также (дополнение это множество всех элементов которые не принадлежат ).

3. Замыкание по счетным объединениям. Если представляет собой последовательность подмножеств принадлежащий , затем

Почему для удовлетворения этих свойств требуется пространство событий?

Помимо ряда математических причин кажется довольно интуитивным, что они должны быть удовлетворены (и действительно лучший способ приблизиться к сигма-алгебрам для первый раз — запомнить их свойства и убедить себя, что они разумный). Давайте посмотрим, почему.

Свойство 1) означает, что пространство событий должно включать событие «что-то случится», вполне тривиальное требование!

Свойство 2) означает, что если «одна из вещей множества воля произойти» считается событием, то и «ни одно из вещи в комплекте воля случиться» считается событием. Это вполне естественно: если вы учитывая возможность того, что событие произойдет, то по необходимости вы должны также одновременно учитывать возможность того, что одно и то же событие не случится.

Свойство 3) немного сложнее. Однако следующее свойство, вытекающее из 3), наверное, проще интерпретировать: это означает, что если «одна из вещей в воля случиться» и «одна из вещей в воля произойти» считаются двумя событиями, то также «одним из вещи в или одна из вещей в воля произойти» должно считаться событием. Это просто означает, что если вы в состоянии отдельно оценить возможность возникновения двух событий, то вы должен быть в состоянии оценить возможность хотя бы одного из них. Свойство 3) расширяет это интуитивное свойство до счетная коллекция событий: расширение необходимо по математическим причинам, чтобы вывести определенную непрерывность свойства вероятностных мер.

Сделаем последнее замечание по терминологии:

Более строгое определение вероятности

Приведенное выше определение вероятности не было вполне строгим. Теперь, когда мы определили сигма-алгебры и пространства событий, мы можем сделать это полностью тщательный.

Определение Позволять быть сигма-алгеброй на выборочном пространстве . Функция является вероятностной мерой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующие два свойства:

1. Конечно вещь. .

2. Сигма-аддитивность. Позволять любая последовательность элементов такой, что подразумевает . Тогда

Ничего нового не было добавлено к определению вероятности, данному в предыдущие разделы. Это более строгое определение лишь уточняет, что Вероятностная мера — это функция, определенная на сигма-алгебре событий. Следовательно, невозможно правильно говорить о вероятности для подмножеств выборки космос которые не принадлежат сигма-алгебре (т. е. для неизмеримых подмножеств).

Тройной называется вероятностным пространством .

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

Упражнение 1

Из урны с цветными шарами случайным образом вынимают шар. Шарики могут быть либо красным, либо синим (другие цвета невозможны). Вероятность нарисовать синий шар . Какова вероятность того, что вытащите красный шар?

Решение

Образец пространства можно представить как объединение двух непересекающихся событий и :где событие можно описать как «вынут красный шар», а событие можно описать как «вынут синий шар». Обратите внимание, что является дополнением :

Мы знаем , вероятность вытянуть синий мяч:

Нам нужно найти , вероятность вытащить красный шар. Используя формулу для вероятности из дополнение:

Упражнение 2

Рассмотрим пример пространства состоящая из трех возможных исходы:

Предположим, что вероятности, присвоенные трем возможным исходам

Можно ли найти событие, вероятность которого равна ?

Решение

Есть два события, вероятность которых .