Внутрь круга радиуса r наудачу брошена точка: Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, … — Учеба и наука

Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, … — Учеба и наука

Лучший ответ по мнению автора

14. 05.21 Лучший ответ по мнению автора

Михаил Александров Читать ответы

Екатерина Читать ответы

Андрей Андреевич Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

Решено

ДЗ Алгебра

Решено

помогите пожалуйста с алгеброй

Решено

Сравните log14 13 и log 13 14

решить графически систему уравнений y=x^2+5x-17,y=3x+7

Решено

Даны координаты точек: А (-1;0;2), B (-3,1,1), С (2;2;3). Необходимо найти векторное произведение: |(2BC-AB)xAC|

Пользуйтесь нашим приложением

Задание 4

Решить задачу, пользуясь определением геометрической вероятности.

1. Электропривод, соединяющий пункты А и В, порвался в неизвестном месте. Чему равна вероятность того, что разрыв произошел не далее 500 м от пункта А, если расстояние между пунктами (N + 1) км.

2. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых (N + 1) см и (N + 2) см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями?

3. В круге радиуса (N + 2) см наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся фигур, лежащих внутри круга, площади которых равны 2,37 см² и 3,52 см².

4. На отрезке АВ = l наудачу поставлена точка С. Найти вероятность того, что меньший из отрезков АС и ВС имеет длину больше, чем (предполагается, что вероятность попадания точки пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на прямой).

5. На паркетный пол (паркет имеет форму квадрата) бросается монета, диаметр которой в N + 1 раз меньше стороны квадрата. Какова вероятность того, что монета не пересечет не одной стороны квадрата (предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения на плоскости).

6. На квадратном листе картона со стороной (N + 10) см, нарисованы два непересекающихся круга с диаметрами d₁ = 1 см, d₂ = 2 см. Найти вероятность того, что точка, лежащая в квадрате, находится внутри области, принадлежащей или первому кругу или второму.

7. На шахматную доску наудачу брошена монета, диаметр которой в N + 1 раз меньше стороны каждого из квадратов доски. Какова вероятность того, что монета окажется полностью на черном поле?

8. Внутрь круга радиуса R = N + 2 наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного пятиугольника.

9. Пусть на отрезок длиной (N + 7) см бросают наудачу точку. Какова вероятность того, что эта точка попадет на отрезок длиной (N + 2)см, являющийся частью отрезка длины N + 7.

10. Абонент ждет телефонного вызова в течение N часов. Какова вероятность, что вызов произойдет в последние 20 минут этого времени?

11. В круге радиуса R = N + 3 помещен меньший круг радиуса r = 2. Найти вероятность того, что наудачу брошенная в большой круг точка попадет также и в меньший круг (предполагается, что вероятность попадания в круг пропорциональна площади круга и не зависит от расстояния).

12. Минное поле заграждения устроено так, что мины поставлены вдоль некоторой прямой с интервалами между минами (100N) м. Какова вероятность того, что корабль шириной (20N) м, проходящий минное поле заграждения под прямым углом, подорвется на мине?

13. На квадратном листе картона со стороной (N + 10) см, нарисованы два непересекающихся круга с диаметрами d₁ = 1 см, d₂ = 2 см. Найти вероятность того, что точка, лежащая в квадрате, находится внутри второго круга.

14. Пусть на отрезок длиной (N + 7) см бросают одновременно (независимо одна от другой) две точки. Какова вероятность того, что обе эти точки попадут на отрезок длиной (N + 2)см, являющийся частью отрезка длиной (N + 7) см.

15. На отрезке L = 10N см помещен меньший отрезок l = 5N см. Найти вероятность того, что наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

16. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися на расстоянии 2N друг от друга. На плоскость наудачу брошена монета диаметра N. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

17. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии (N + 5) см наудачу брошен круг радиуса 1 см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одной из прямых. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

18. Внутрь круга радиуса R = N + 1 наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга.

19. Внутрь круга радиуса R = N наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника.

20. Внутрь круга радиуса R = N + 3 наудачу брошена точка.

    Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного шестиугольника.

21. Мины поставлены на прямой через каждые (N + 5) метров. Танк шириной (N + 3) м идет перпендикулярно этой прямой. Какова вероятность того, что он подорвется?

22. Внутрь круга радиуса R = N + 4 наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного семиугольника.

23. Внутрь квадрата брошена наудачу точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в квадрат круга радиуса R = N + 1.

24. Внутрь правильного треугольника наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в треугольник круга радиуса R = N.

25. Внутрь правильного шестиугольника наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в шестиугольник круга радиуса R = N + 1.

26. Внутрь круга радиуса R = N + 5 наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг восьмиугольника.

27. Внутрь круга радиуса R = N + 1 наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри кругового сектора с углом  = 30.

28. В круге радиуса R = N + 15 наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадет в один из двух непересекающихся квадратов со стороной а = 2см, лежащий внутри круга.

29. В круге радиуса R = N + 15 наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадет в один из двух непересекающихся квадратов со сторонами а = 2см и а = 1см соответственно, лежащий внутри круга.

30. В круге радиуса R = N + 10 наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадет в один из двух непересекающихся правильных треугольников со сторонами

    а = 1см и а = 2 см соответственно, лежащий внутри круга.

31. В круге радиуса R = N + 20 наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся окружностей с радиусами r₁ = 3см и r₂ = 5 см, лежащий внутри круга.

32. На квадратном листе картона со стороной (N + 10) см, нарисованы два непересекающихся круга с диаметрами d₁ = 1 см, d₂ = 2 см. Найти вероятность того, что точка, лежащая в квадрате, находится вне второго круга.

33. Внутрь круга радиуса R = N + 2 см наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется вне кругового сектора с углом  = 60.

34. Внутрь круга радиуса R = N + 2 см наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется в одном из двух непересекающихся круговых секторах с углами 

    1 = 30, ₂ = 60.

35. В квадрат со стороной а = (N + 3) см помещен меньший квадрат b = N + 2 см. Найти вероятность того, что наудачу брошенная точка в большой квадрат, попадет также и в рамку, образованную построенными квадратами.

Какова вероятность того, что центр круга находится внутри треугольника, образованного путем выбора трех случайных точек на окружности?

Ладно, это не математические выдумки или что-то в этом роде, так что не ждите элегантного ответа, но я задал этот вопрос сегодня утром, потому что увидел его в Интернете, и вот что я получил:

Вы ставите 3 очка ( A, B и C) случайным образом по окружности. Какова вероятность того, что треугольник, нарисованный между этими точками, будет содержать центр круга в пределах своей площади?

Ответ, который я получил, был 1/4. Вот почему. (Я написал итоговую версию внизу для тех, кто не любит читать мой скучный текст, а это все)

.

Точка А может быть размещена где угодно. Это не имеет значения, потому что все две другие точки можно измерить относительно точки А. Я поместил точку А в верхнюю часть круга, потому что это визуально проще для меня, но на самом деле это не имеет значения. (Хотя отныне я буду использовать язык так, как если бы он был на вершине круга).

Точка B также может быть размещена где угодно, хотя здесь есть кое-что еще. Если мы разделим вниз от точки А на два четных полукруга, мы увидим, что вероятность того, что точка В попадет на любую половину, должна быть 1/2. Однако, поскольку А всегда будет наверху, вы можете позволить себе не рассматривать целую половину круга в качестве кандидатов на точку В. На нарисованной диаграмме я решил разместить точку В на половине против часовой стрелки точки А. Под этим я подразумеваю, что даже если точка B падает по часовой стрелке от точки A (в конце концов, она распределена случайным образом, все точки возможны), тогда я мог бы просто перевернуть круг, фактически переместив точку на противоположную сторону от точки A. круг, не изменяя относительных расстояний между любой из точек (A, B или самого центра). Проще говоря, мы можем предположить, что точка B попадет на сторону круга против часовой стрелки.

Но можем ли мы собрать больше информации о том, куда упадет Б? Ну, не для какого-то отдельного экземпляра. Но для вероятности мы можем взять средние значения. Я не знаю, сколько из вас используют кости, но когда вы вычисляете среднее значение игры в кости, вы складываете максимальное и минимальное значения, а затем делите на два (или складываете все значения и делите на количество значений. Это то же самое, как вы работаете с обычными средними значениями). В этом случае наименьшее возможное значение точки B равно 0, поскольку она находится точно в том же месте, что и точка A, существует 0 степеней разделения.

(Кстати, я измеряю расстояния здесь в «степенях разделения», что в основном представляет собой просто угол, образованный линиями из двух точек, встречающихся в центре круга. Я делаю это, потому что нет установленных расстояний, поэтому углы и отношения являются единственными константами в этом сценарии.)

Максимально возможное разделение составляет 180 градусов. Существует абсолютно равный шанс того, что точка B может попасть на любое значение от 0 до 180 или между ними, что означает, что среднее значение, если вы выберете 1000 различных точек B наугад, будет (0 + 180)/2 = 180/2 = 90. Таким образом, мы можем сказать, что в среднем между точками A и B будет расстояние около 90 градусов. Очевидно, что в большинстве наблюдений на самом деле не будет ровно 90 градусов разделения, но для каждого случая с большим расстоянием будет (статистически говоря) случай с таким же меньшим расстоянием, так что в итоге среднее значение равно 90.

Следующим моим шагом было провести линии из точки А (вверху) и точки В (на 90 градусов против часовой стрелки от точки А) через центр круга к противоположной стороне круга. В результате получается круг, разделенный на четыре четверти по вертикали и горизонтали. Чтобы треугольник содержал центр окружности, точка C должна находиться в пределах четверти, противоположной четверти между точками A и B. Другими словами, точка C должна лежать на точках, которые прямо противоположны точкам A и B, или находиться внутри них, чтобы центр окружности находился в пределах площади треугольника ABC. Некоторое время я размышлял над размещением точки B, потому что чем дальше от точки A расположена точка B, тем более вероятно, что точка C будет в пределах желаемой области, но, как и прежде, для каждого более вероятного сценария есть равновероятный сценарий, который столь же маловероятно, чтобы точка C попала в желаемую область. Это сводится к тому, что мы можем предположить, что точка B находится в среднем, потому что это в конечном итоге даст нам среднюю вероятность.

Приняв это решение, мы можем ясно видеть, что зона круга внутри точки С должна приходиться на центр круга и составляет четверть всей окружности круга.

Таким образом, на каждую точку, в которой точка C могла бы создать «правильное» решение, есть 3, которые этого не делают.

Существует вероятность 1/4 того, что точка C встанет на место и создаст треугольник, содержащий центр окружности.

Если бы я попытался суммировать все просто, я бы сказал; — Точка А может быть выбрана произвольно, потому что независимо от того, куда она упадет, вероятность того, что другие точки окажутся в «правильном» положении, равновероятна.

• Точка B будет в среднем удалена на 90 градусов от точки A. Поэтому мы можем установить точку B как 90 градусов от точки A, чтобы найти среднюю зону внутри точки C.

• Точка C должна в среднем попадать в зону, равную 1/4 всей окружности. Это означает, что в среднем существует 1/4 вероятности того, что точка C попадет в место, образующее треугольник, содержащий центр круга.

Извините за мучительное чтение, но, честно говоря, у меня нет математического словаря, чтобы упростить все это до компактного уравнения.

Геометрия против вероятности. Загадка бесконечностей | by Namit Chaturvedi

Рассмотрим диск радиусом R , состоящий из бесконечного множества точек, равномерно распределенных по его поверхности. Каково среднее расстояние точки от центра диска?

Мы с другом обменивались головоломками на вероятность, когда он задал мне эту. У него есть простое геометрическое решение, которое выглядит следующим образом. Учитывая функцию f , который четко определен в области X , среднее значение f по X можно вычислить в два этапа.

1. Вычислите f(x) для каждой точки x ∈ X и суммируйте эти значения.
2. Разделите полученную сумму на площадь X .

Формально это выражается следующим образом.

Здесь d A — дифференциал площади региона. Для данной задачи мы выбираем диск для области X и представить точки на нем с помощью полярных координат (r, 𝜃). Тогда функция f есть не что иное, как расстояние r точки от центра. Решение оказывается 2R/3 . Если вы настаиваете, вам потребуется две строчки, чтобы записать это.

Поскольку мой друг и я обсуждали вероятности, вы можете подумать об этой задаче в терминах случайной величины X , которая моделирует расстояние точки на диске от его центра. Что мы хотим сделать, так это узнать ожидаемое значение E [ X ] из X .

Здесь P — функция плотности вероятности (PDF), обозначающая вероятность того, что расстояние от случайной точки до центра равно r . Ясно, что решение зависит от выбора P . Итак, каков правильный выбор?

С одной точки зрения, значение P(r) пропорционально расстоянию r любой точки от центра. Это означает, что чем дальше от центра находится точка, тем выше вероятность того, что мы случайно выберем эту точку. Интуитивно диск состоит из бесконечного множества концентрических окружностей. Более того, хотя каждый круг содержит бесконечно много точек, круги большего радиуса могут вместить «больше» точек и, следовательно, с большей вероятностью будут способствовать случайному выбору точки.

Таким образом, мы можем написать P(r) = c·r , где на самом деле константа c = 2/R² , поскольку площадь под графиком PDF должна быть равна 1 . Используя P(r) = 2·r/R² в формуле для математических вычислений, мы получаем E [ X ] = 2R/3 , что согласуется с приведенным выше геометрическим решением.

Такую позицию занял мой друг. Интуиция, которую он предоставил для поддержки этого выбора PDF, такова. Представьте себе доску для дротиков, на которую можно бросать дротики наугад. Более вероятно, что дротики приземлятся с большим радиусом, чем с меньшим, просто потому, что круг с большим радиусом может вместить больше дротиков.

Дартс на доске для дартс. В отличие от точек на диске, каждый дротик имеет конечных площадей. [Источник: Pexel]

Но с этим подходом есть проблема. Очки на диске нельзя сравнить с дротиками на доске для дартса. В отличие от дротиков, точки бесконечно малы и не занимают никакой площади. Если мы должны использовать аналогию с доской для дротиков, то мы должны представить себе доску для дротиков размером с 10-этажное здание, по которой мы стреляем наугад дротиками размером с фотоны света. Теперь вы можете использовать свое воображение и с уверенностью сказать, с большей вероятностью фотоны приземлятся на круги большего радиуса? Я не могу. Мое воображение ломается, что часто бывает, когда я думаю о бесконечно малом и бесконечном.

Позвольте мне привести вам простое доказательство обратного. То есть, как бы ни были велики различия в радиусах, все окружности содержат ровно одинаковое количество точек.

Рассмотрим две концентрические окружности разного радиуса на диске. Определите точку на внешнем круге и соедините ее с центром диска с помощью отрезка. Этот отрезок также проходит через точку на внутренней окружности. Держитесь за эти точки. Теперь сделайте бесконечно малое движение по внешнему кругу по часовой стрелке, чтобы достичь новой внешней точки. Снова соедините эту новую точку с центром диска. Вы получите новый отрезок, и он пройдет через новую точку на внутренней окружности, расположенную бесконечно близко к предыдущей внутренней точке, но немного по часовой стрелке.

Для каждой точки большего круга существует точка внутреннего круга, и наоборот.

Мы нашли однозначное соответствие между точками на двух концентрических окружностях; и поэтому там должно быть равное число точек на обоих, независимо от различия в их размерах.

Теперь, если на любом заданном круге равное количество точек, каждый круг вносит равный вклад в выбор случайной точки. Таким образом, вероятность случайного выбора точки на диске не зависит от расстояния точки от центра. Таким образом, PDF P(r) = c , а на самом деле c = 1/R , так как площадь под его участком равна 1 . Подставляя это в формулу ожидания, получаем E [ X ] = R/2 .

Кроме того, обратите внимание, что каждая точка p может быть представлена ​​с использованием ее полярных координат (r, 𝜃) ; и поскольку в вопросе говорится, что точки равномерно распределены по диску , точки p можно смоделировать с использованием случайной величины P = (X, ϴ) , где X и ϴ — независимых однородных случайных величин , значения которых колеблются в интервалах [ 0, R ] и [ 0, 2𝜋 ] соответственно. Следовательно, E [ X ] = R/2 .

Очевидно, что оба эти решения не могут быть правильными. Так что дает? Буду признателен, если поможете найти решение.

No related posts.