Возведение чисел в степень: Возведение числа в степень — Онлайн калькуляторы

ГДЗ 1 класс

ГДЗ 10 класс

Категория: Математика

 Уже во втором классе на уроках математики дети сталкиваются с такими величинами, как площадь и объем. Учителя рассказывают, что площадь измеряется в квадратных сантиметрах или метрах и  так далее, а объем — в кубических. Дети просто запоминают и пишут см² или м² или мм³. Очень немногие в тот момент задумывались, что же означает приписанная в верхнем уголке единицы длины цифра. По-настоящему со степенью мы познакомимся в пятом классе, а если хотите это сделать самостоятельно, можете и раньше :))

Что такое степень числа?

Как вы знаете, с помощью произведения удобно записывать сумму нескольких одинаковых слагаемых. Например 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 * 7

А если это будет не сумма, а произведение одинаковых чисел? Например, множитель 5 взять 7 раз: 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5? Для более краткого обозначения такого произведения математики и придумали степень.

5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 5⁷ 

Выражение  5⁷ называют «степень», читается как пять в седьмой степени или седьмая степень числа 5. При этом 5 — основание степени, а 7 — показатель степени.

Число 7 показывает, сколько одинаковых множителей содержит произведение.

Как возвести число в степень?

Чтобы найти степень, нужно основание перемножить на себя столько раз, сколько написано в показателе.

          25  125  625 3125 15625
5⁷ = 5  *  5  *  5  *  5  *   5    *    5  *  5 = 78125
                       7 раз

Тут иногда возникает путаница оттого, что дети считают не количество цифр основания, а количество знаков умножения. Считать нужно цифры, а не знаки умножения. 5 * 5 — это уже вторая степень, потому что пятерки две.  5 * 5 * 5 = 5

3,    5 * 5 * 5 * 5 = 5⁴ и так далее.

Рассмотрим еще примеры:

3² = 3 * 3 = 9
2³ = 2 * 2 * 2 = 8
а⁴ = а * а * а * а
(5b)² = 5b * 5b

Вторую степень числа называют «квадрат числа». Например, 3² читается как «три в квадрате» или квадрат числа три.

Третью степень числа называют «куб числа». Например 2³ читается как «два в кубе» или куб числа два.

Может ли показатель степени быть равным 1? Да, может. Но если любое число взять 1 раз, то получится то же самое число, то есть а¹ = а. А поскольку не принято рассматривать произведения, состоящие из одного множителя, то единичку в показателе степени обычно не пишут.

Например 8¹ = 8, 456¹ = 456

Возведение числа в степень — это арифметическое действие

Если в выражение входит степень, то сначала выполняют возведение в степень, а потом — остальные действия в приоритетном порядке.

Например: 5 * 2² = 5 * 4 = 20
                   5 + 2² = 5 + 4 = 9

А теперь вы поняли, что такое см²?  Правильно, это   см * см. Именно так мы находим площадь прямоугольника, умножая длину одной стороны в см на длину другой.  
А мм³?   Это мм * мм * мм. Так мы находим объем.

Чтобы закрепить знания о степени числа, посмотрите видео:

• Назад
• Вперед

 
умножить наподелить на

 

• Уроки
• Математика

Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

Из Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

В математике возведение в степень ( степень ) — это арифметическая операция над числами. {y} }} и читается как «x {\ displaystyle x} в степени y {\ displaystyle y}» или «x {\ displaystyle x} в степени y {\ displaystyle y}». 9{2}=I\cdot I=I}.

И сложение, и умножение коммутативны. Например, 2+3 равно 3+2, а 2 · 3 равно 3 · 2. Хотя возведение в степень представляет собой повторное умножение, оно не является коммутативным. Например, 2³=8, а 3²=9.

Сложение имеет одну обратную операцию: вычитание. Кроме того, у умножения есть одна обратная операция: деление.

Но возведение в степень имеет две обратные операции: корень и логарифм. Это так, потому что возведение в степень не является коммутативным. Вы можете увидеть это в этом примере:

• Если у вас x+2=3, то вы можете использовать вычитание, чтобы узнать, что x=3−2. То же самое, если у вас 2+x=3: вы также получаете x=3−2. Это потому, что х+2 равно 2+х.
• Если у вас x · 2=3, то вы можете использовать деление, чтобы узнать, что x=32{\textstyle {\frac {3}{2}}}. То же самое, если у вас есть 2 · x = 3: вы также получаете x = 32 {\ textstyle {\ frac {3} {2}}}. Это потому, что х · 2 равно 2 · х
.
• Если у вас x²=3, то вы используете (квадратный) корень, чтобы узнать x: вы получаете результат, что x = 32{\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}. Однако, если у вас есть 2 ^х =3, то можно не использовать корень, чтобы узнать х. Скорее, вы должны использовать (двоичный) логарифм, чтобы узнать x: вы получите результат, что x = log ₂ (3).

• Экспонента
• Экспоненциальная функция
• Возведение в степень путем возведения в квадрат
• Tetration

1. ↑ «Сборник математических символов». Математическое хранилище . 01.03.2020. Проверено 28 августа 2020 г. .
2. ↑ Вайсштейн, Эрик В. «Сила». mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 г. .
3. ↑ Нюкамп, Дуэйн. «Основные правила возведения в степень». Знание математики . Проверено 27 августа 2020 г. {{cite web}} : CS1 maint: url-status (ссылка)

Возведение в степень — свойства, определение, формула, примеры

Возведение в степень — это процесс или операция возведения в степень числа.

Если x — целое число, увеличенное до n, которое является положительным целым числом, то его можно выразить как x ⁿ . Этот процесс известен как возведение в степень в математике. Давайте узнаем больше о его правилах и свойствах в этой статье.

1.	Что такое возведение в степень?
2.	Формула возведения в степень
3.	Свойства возведения в степень
4.	Двоичное возведение в степень
5.	Часто задаваемые вопросы о возведении в степень

Что такое возведение в степень?

Возведение в степень — это процесс многократного умножения путем записи данного выражения в виде a ^b , где a — основание, а b — показатель степени. Предположим, мы умножаем 5 десять раз, поэтому вместо того, чтобы записывать это как факт умножения, мы используем алгоритм возведения в степень, чтобы записать его как 5

10 .

Формула возведения в степень

Существует особый способ записи выражений или чисел в виде возведения в степень. Формула возведения в степень с «a» в качестве основания и «n» в качестве показателя степени приведена ниже:

Используя эту формулу возведения в степень, мы можем легко записать любой повторяющийся факт умножения в экспоненциальной форме.

Свойства возведения в степень

Есть некоторые свойства возведения в степень, которые помогут вам легко упростить выражения со степенями. Они позволяют нам переписывать экспоненты в упрощенном виде, чтобы упростить вычисления. Список свойств возведения в степень или основные правила возведения в степень приведены ниже:

Свойство возведения в степень	Формула	Пример
Нулевой показатель	а 0 = 1	2 0 = 1
Показатель идентичности	1 =	3 1 = 3
Продукт Пауэрса	м × п = а м+п	2 2 × 2 3 = 2 2+3 = 2 5
Частное свойство	a м /a n = a m-n	5 5 /5 3 = 5 5-3 = 5 2
Свойство отрицательного экспонента	а -м = 1/а м ; (а/б) -m = (б/а) м	7 -2 = 1/7 2
Сила силы	(а м ) н = а мн	(2 3 ) 4 = 2 12
Сила продукта	(ab) м = а м б м	(2 × 3) 6 = 2 6 × 3 6
Степень частного	(a/b) м = a м /b м	(2/3) 4 = 2 4 /3 4

Мы можем легко решить малые показатели, используя многократное умножение. Например, чтобы найти значение 2 ³ , мы можем умножить 2 три раза. Но как решать выражения с большими показателями? Мы можем упростить такие числа или выражения, используя двоичное возведение в степень или возведение в степень путем возведения в квадрат, как описано ниже.

Двоичное возведение в степень

Двоичное возведение в степень, также известное как возведение в степень путем возведения в квадрат и алгоритма возведения в квадрат и умножения , используется для вычисления значений больших показателей, скажем, 4 ¹⁰³ . Это трюк, который использует числа с основанием 2 для вычисления значения выражений, включающих большие показатели степени. При возведении в степень путем возведения в квадрат мы используем следующие формулы в зависимости от того, является ли показатель степени четным или нечетным:

Например, если показатель степени — нечетное число, скажем, 4 ¹⁰³ , то мы можем записать его как 4(4 ² ) ⁵¹ . Тем не менее, невозможно умножить 4 ² пятьдесят один раз, поэтому снова применим ту же формулу. Теперь мы получаем 4[16(16 ² ) ²⁵ ]. Но тем не менее, новая задача того же типа, мы можем снова применить то же наблюдение. Нам придется применять эту формулу снова и снова, чтобы уменьшить это выражение, что может сделать его более запутанным и сложным. Итак, вот вам трюк. Повторное применение этого алгоритма аналогично разложению показателя степени (от основания 10 до основания 2 или от десятичного до двоичного представления) в последовательность квадратов и произведений. Итак, вместо того, чтобы применять эту формулу снова и снова, мы можем найти двоичный эквивалент показателя степени. Давайте решим 4 ¹⁰ .

4 ¹⁰ (показатель степени с основанием 10) = 4 ¹⁰¹⁰ (показатель степени преобразуется в его двоичный эквивалент)

Дальнейшее расширение показателя степени дает 1010 ₂ = 1 × 2 ^{2 + 9001 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 . Его можно упростить как 8 + 0 + 2 + 0.}

4 ¹⁰ = 4 ^(8+0+2+0)

4 ¹⁰ = 4 ⁸ × 4

2 2

1 2 Таким образом, мы разбили большой показатель на части. Сейчас 4 ⁸ можно легко решить как 16 ⁴ или 256 ² , а 4 ² равно 16. Вместо того, чтобы умножать 4 в десять раз, теперь нам нужно только умножить 256 × 256 × 16. Это известный как метод двоичного возведения в степень. Этот метод полезен при работе с выражениями с большими показателями.

Похожие статьи

Проверьте эти интересные статьи, связанные с возведением в степень в математике.

• Экспоненциальная функция
• Экспоненциальные правила
• Экспоненциальные уравнения

Часто задаваемые вопросы о возведении в степень

Что такое возведение в степень в математике?

Возведение в степень в математике определяется как операция, используемая для представления повторного умножения.

No related posts.