Все формулы фсу: ФСУ: таблица, примеры использования

Формулы сокращенного умножения

Для того что бы упростить алгебраические многочлены, существуют формулы сокращенного умножения. Их не так уж и много и они легко запоминаются, а запомнить их нужно. Обозначения которые используются в формулах, могут принимать любой вид (число или многочлен).

Первая формула сокращенного умножения называется разность квадратов. Она заключается в том что из квадрата одного числа отнимается квадрат второго числа равен величине разности данных чисел, а также их произведению.

а² — b² = (а — b)(a + b)

Разберем для наглядности:

22² — 4² = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9а² — 4b²c² = (3a — 2bc)(3a + 2bc)

Вторая формула о сумме квадратов. Звучит она как, сумма двух величин в квадрате равняется квадрату первой величины к ней прибавляется двойное произведение первой величины умноженное на вторую, к ним прибавляется квадрат второй величины.

(а + b)² = a² +2ab + b²

Благодаря данной формуле, становится намного проще вычислять квадрат от большого числа, без использования вычислительной техники.

Так к примеру: квадрат от 112 будет равен
1) В начале разберем 112 на числа квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Вписываем полученное в скобки возведенные в квадрат
112² = (100+12)²
3) Применяя формулу, получаем:

112² = (100+12)² = 100² + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Третья формула это квадрат разности. Которая гласит о том, что две вычитаемые друг друга величины в квадрате равняются, тому что, от первой величины в квадрате отнимаем двойное произведение первой величины умноженное на вторую, прибавляя к ним квадрат второй величины.

(а +b)² = а² — 2аb + b²

где (а — b)² равняется (b — а)². В доказательство чему, (а-b)² = а²-2аb+b² = b²-2аb + а² = (b-а)²

Четвертая формула сокращенного умножения называется куб суммы. Которая звучит как: две слагаемые величины в кубе равны кубу 1 величины прибавляется тройное произведение 1 величины в квадрате умноженное на 2-ую величину, к ним прибавляется тройное произведение 1 величины умноженной на квадрат 2 величины, плюс вторая величина в кубе.

(а+b)³ = а³ + 3а²b + 3аb² + b³

Пятая, как вы уже поняли называется

куб разности. Которая находит разности между величинами, как от первого обозначения в кубе отнимаем тройное произведение первого обозначения в квадрате умноженное на второе, к ним прибавляется тройное произведение первого обозначения умноженной на квадрат второго обозначения, минус второе обозначение в кубе.

(а-b)³ = а³ — 3а²b + 3аb² — b³

Шестая называется — сумма кубов. Сумма кубов равняется произведению двух слагаемых величин, умноженных на неполный квадрат разности, так как в середине нет удвоенного значения.

а³ + b³ = (а+b)(а²-аb+b²)

По другому можно сказать сумму кубов можно назвать произведение в двух скобках.

Седьмая и заключительная, называется разность кубов (ее легко перепутать с формулой куба разности, но это разные вещи). Разность кубов равняется произведению от разности двух величин, умноженных на неполный квадрат суммы, так как в середине нет удвоенного значения.

а³ — b³ = (а-b)(а²+аb+b²)

И так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи друг на друга и легко запоминаются, единственно важно не путаться в знаках. Они так же рассчитаны на то, что их можно использовать в обратном порядке и в учебниках собрано довольно много таких заданий. Будьте внимательны и все у вас получится.

Если у вас появились вопросы по формулам, обязательно пишите их в комментариях. Будем рады ответить вам!

Если Вы находитесь в декретном отпуске, но хотите зарабатывать деньги. Просто перейдите по ссылке Интернет бизнес с Орифлейм. Там все очень подробно написано и показано. Будет интересно!

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

Формулы сокращённого умножения

О чем статья

Основная задача формул сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) нужны для того, чтобы умножать и возводить в степень числа, выражения, в том числе многочлены. То есть, при помощи формул можно работать с числами значительно быстрее и проще. Таким образом можно из сложного уравнения сделать обычное, что упростит задачу.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Таблица с формулами сокращённого умножения

Название	Формула	Как читается
Квадрат суммы		Квадрат первого выражения плюс удвоенного произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Квадрат разности		Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.
Куб суммы		Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, плюс второе выражение в кубе.
Куб разности		Куб разности двух величин равен первое выражение в кубе минус утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, минус второе выражение в кубе.
Разность квадратов		Разность квадратов первого и второго выражений равен произведению разности двух выражений и их суммы.
Сумма кубов		Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
Разность кубов		Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

Формулы сокращенного умножения (скачать таблицу для печати)

Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им можно возводить в квадрат или куб суммы (разности) двух выражений. Что касается пятой формулы, её нужно применять, чтобы вкратце умножить разность или сумму двух выражений.

Две последние формулы (6 и 7) применяются, чтобы умножать суммы обоих выражений на их неполный квадрат разности или суммы.

Вышеперечисленные формулы довольно-таки часто нужны на практике. Именно поэтому их желательно знать наизусть.

Если вам попался пример, разложить многочлен на множители, тогда во многих случаях нужно левую и правую часть переставить местами.

Например, возмём ту же первую формулу:

и левую часть поставим вправо, а правую влево: 

Такую же процедуру можно проделывать и с остальными формулами.

Доказательство ФСУ

Остановимся на доказательствах формул сокращённого умножения. Это не сложно. Нужно всего лишь раскрыть скобки. Рассмотрим на первой формуле – квадрат суммы: .

Шаг первый.

Возведём a + b во вторую степень. Для этого степень трогать не будем, а выполним банальное умножение:  = x .

Шаг второй. Теперь и выносим за скобки: x + x .

Шаг третий. Раскрываем скобки: x + x + x + x .

Шаг четвёртый. Умножаем, не забывая о знаках: x + x + .

Шаг пятый. Упрощаем выражение: .

Точно так же можно доказать абсолютно любую формулу сокращённого умножения.

Примеры и решения с помощью ФСУ

Как правило, эти семь формул применяются тогда, когда нужно упростить выражение, чтобы решить какое-либо уравнение и даже обычный пример.

Пример 1

Задание

Упростите выражение:

Как видно, к этому примеру подходит первая формула сокращённого умножения – Квадрат суммы.

Решение

Исходя из первой формулы надо пример разложить на множители. Для этого смотрим на формулу и вместо букв подставляем цифры. В нашем случае «а» – это 3x, а «b» – это 5:

x x +

Считаем правую часть и записываем результат. У нас получается:

+ x x +

В примере надо умножить всё то, что умножается и сразу получаем ответ:

Конечно же, есть примеры и с дробями. Но, если научитесь решать простые примеры, тогда другие виды вам будут не страшны.

Пример 2

Задание

Упростите выражение

Решение

= – x x + =

Пример 3

Задание

Представьте в виде квадрата двучлена трёхчлен

Решение

Здесь квадраты выражений – и

Выражения, которые возводились в квадрат – и

Удвоенное произведение этих выражений – , который совпадает с со вторым членом трёхчлена (со знаком «плюс), значит,

Итак, как видно, ничего сложно в примерах нет. Главное, знать формулы, где их можно применять, а где можно обойтись и без них.

Полезные источники

1. Арефьева И. Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учебник пособие для 7 класса учреждений общего среднего образования: Минск “Народная Асвета”, 2017 – 304 с.
2. Никольский С. М., Потапов М. К. Алгебра 7 класс: М: 2015 – 287 с.
3. Рубин А. Г., Чулков П. В. Алгебра. 7 класс. М: 2015 – 224 с.

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 2

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

13975

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Молекулярные формулы и номенклатура

Нижеследующее является содержанием лекции 9. В этой лекции мы рассмотрим взаимосвязь между эмпирическими и молекулярными формулами и вычисления, используемые для определения одной из другой.

Эмпирическая формула

Эмпирическая формула — это химическая формула соединения, которая дает пропорции (отношения) элементов, присутствующих в соединении, но не фактическое количество или расположение атомов.

Это будет наименьшее соотношение целых чисел элементов в соединении.

Например:

 

 

Чтобы определить эмпирическую формулу соединения или молекулы, нам необходимо знать массовые проценты элементов в соединении. Получив эту информацию, мы можем преобразовать ее в моли, чтобы определить соотношения между элементами.

Для запоминания процесса можно использовать простую стишок:

Проценты к массе

Масса в молях

Разделить на меньшее

Умножить до целого

 

Например:3

NutraSweet содержит 57,14 % C, 6,16 % H, 9,52 % N и 27,18 % O. Рассчитайте эмпирическую формулу NutraSweet и найдите молекулярную формулу. (Молярная масса NutraSweet 294,30 г/моль)

Начните с количества граммов каждого элемента, указанного в задаче.

Если даны проценты, предположим, что общая масса равна 100 граммам, так что масса каждого элемента = указанный процент.

Преобразуйте массу каждого элемента в моли, используя молярную массу из периодической таблицы.

Разделите значение каждого моля на наименьшее вычисленное число молей. Округлить до ближайшего целого числа.

Это молярное соотношение элементов, представленное нижними индексами в эмпирической формуле.

Если число слишком далеко для округления (x.1 ~ x.9), то умножьте каждое решение на то же самое фактор, чтобы получить наименьшее целое число, кратное.

Теперь мы можем найти молекулярную формулу, найдя массу эмпирической формулы и установив соотношение:

Некоторые подробные инструкции:

Вот некоторые практические задачи с ответами:

Молекулярная форма. В этой лекции мы рассмотрим газовые законы: парциальные давления, кинетическую молекулярную теорию и реальные газы.

Парциальные давления:

Закон Дальтона для парциальных давлений: Общее давление, создаваемое смесью газов, равно сумме их индивидуальных парциальных давлений.

P _всего = P ₁ + P ₂ + P ₃ + …. .

Существует два способа расчета парциального давления:

1)Используйте PV = nRT для расчета индивидуального давления каждого газа в смеси.

2)Используйте мольную долю каждого газа, чтобы рассчитать процент давления от общего давления, приписываемого каждому отдельному газу.

Пример 1:

A 1,00 л образца сухого воздуха при 25,0 ^O C содержит 0,319 моль N ₂ , 0,00856 моль O ₂ , 0,000381 моль AR и 0,00002 моль ₂ , 0,000381 моль AR и 0,00002 MOL ₂ , 0,000381 моль и 0,00002 моль ₂ . Рассчитайте парциальное давление N ₂ (г) в смеси.

Сначала это выглядит действительно пугающе со всеми молями, данными для каждого газа, но если вы внимательно прочитаете вопрос, то поймете, что ему просто нужно давление для азота, и вы можете очень просто вычислить это, используя закон идеального газа:

p = nRT/V = 0,319 моль(0,08206 л. атм/моль/K)(298,15K)/1,00 л = 7,80 атм

состоять из 44% CO ₂ , 38% H ₂ , 17% N ₂ , 1,3% O ₂ и 0,0030% CH ₄ по объему. (Проценты не составляют 100% из-за округления) Чему равно парциальное давление каждого газа, если общее давление в кишечнике составляет 818 торр?

Для ответа на этот вопрос нам нужно помнить, что общее давление равно сумме всех парциальных давлений, а парциальное давление равно мольной доле X каждого газа, умноженной на общее давление.

PP = XP _Итого

Сначала нам нужно рассчитать количество молей каждого из газов в смеси. Если мы предположим, что 100 граммов, мы можем умножить данные проценты и использовать полученные количества граммов для расчета каждого из количеств молей:

44% x 100 г = 44 г CO ₂ x (1 моль CO ₂ /44,0 г CO ₂ )= 1 моль CO ₂

38% H ₂ x 100 г = 38 г H ₂ x (1 моль H ₂ /2,0 г H ₂ )= 19 моль H ₂

17% N ₂ x 100 г = 17 г N ₂ x (1 моль N ₂ /28 г N ₂ )= 0,61 моль N _{2 9024}

1,3% О ₂ x 100 г = 1,3 г O ₂ x (1 моль O ₂ /32 г O ₂ )= 0,041 моль O ₂

0. 003% CH ₄ x 100g = 0.003g CH ₄ x (1 mol CH ₄ /16 g CH ₄ )= 0.00019 mol CH ₄

Total Moles all gases = 1 моль + 19 моль + 0,61 моль + 0,041 моль + 0,00019 моль = 20,6529 моль

Мольная доля = моль газа/моль всего

Таким образом, вычисление мольной доли и последующее умножение доли на общее давление даст парциальное давление каждого:

1 mol CO ₂ /20.6529 mol x 818 Torr = 40. Torr

19 mol H ₂ /20.6529 mol x 818 Torr = 750 Torr

0.61 mol N ₂ /20.6529 Мол x 818 Торр = 24 Торр

0,041 моль o ₂ /20,6529 моль x 818 Торр = 1,6 Торр

0,00019 моль CH ₄ /201529 моль. не добавляйте до 818 Торр точно из-за округления, но они должны быть близки.

Практика парциального давления:

 

 

---

Кинетическая молекулярная теория

Кинетическая молекулярная теория описывает взаимосвязь между движением частиц газа и их свойствами. Теория делает несколько допущений:

 

• Частицы представляют собой точечные массы, находящиеся в постоянном случайном прямолинейном движении.

•Частицы разделены большими расстояниями.

•Столкновения быстрые и упругие.

•Нет силы между частицами.

•Общая энергия остается постоянной.

Давление – оценка сил столкновения

Сила ударов, испытываемых стенками сосуда, используется для определения давления газа.

• Поступательная кинетическая энергия
• Частота столкновений
• Передача импульса или импульса
• Давление пропорционально импульсу, умноженному на частоту

 

Хотя эти уравнения могут выглядеть устрашающе, на самом деле они говорят о том, что давление газа просто пропорционально частоте и силе, с которой молекулы ударяются о стенки сосуда.

Давление и молекулярная скорость

Предположим, что 1 моль в 3 измерениях (например, 1/3)   PV = nRT, поэтому   N A * m = M (молярная масса)   Затем переставьте, чтобы получить среднеквадратичную скорость газа

 

Вывод уравнения, показанного выше, также выглядит пугающе, но конечный результат просто говорит о том, что скорость, с которой движется газ, обратно пропорциональна квадратному корню из его молярной массы (M), или что более крупные газы движутся медленнее.

Скорость и температура:

Используя приведенные выше уравнения и подставив закон идеального газа и определение кинетической энергии (e _K ) в уравнение для одного моля:

газ и температура прямо пропорциональны.

Диффузия и Эффузия:

Два свойства газа, которые вытекают непосредственно из взаимосвязей, показанных выше, это Диффузия и Эффузия.

(a) Изображает процесс диффузии = процесс смешивания двух или более газов (b) Изображает процесс диффузии = процесс выхода газа из сосуда через маленькое отверстие.

В обоих случаях чистая скорость, с которой происходит процесс, пропорциональна молекулярной массе вовлеченного газа(ов):

Уравнение, приведенное выше, называется законом диффузии Грэма и названо в честь ученого, который его вывел. . Условия, при которых может применяться закон, следующие:

•Только для газов при низком давлении (естественный выход, а не струя).

• Крошечное отверстие (без коллизий)

•Не относится к диффузии.

Закон можно использовать для ряда расчетов:

– Скорость выпота (см. выше)

– Молекулярные скорости

– Количество излияний

– Расстояния, пройденные молекулами

– Количество излившегося газа.

Вот несколько практических задач, которые вы можете попробовать: Вопросы и ответы

Реальные газы

До сих пор мы обсуждали газы, изучаемые как идеальные. То есть они подчиняются закону идеального газа. Реальность такова, что очень немногие газы подчиняются этому закону, за исключением очень высоких температур или низких давлений. Большинство газов ведут себя как настоящие газы при комнатных температурах и давлениях, а это означает, что они обладают другим набором свойств, которые необходимо учитывать, когда вы пытаетесь рассчитать их давление или объем. Вот отличия, которые вы должны знать:

Из-за небольших, но отличных от нуля взаимодействий и объемов реального газа закон об идеальном газе необходимо изменить, чтобы учесть эти факторы.

Коррекция объема

В идеальном газе мы пренебрегали объемом газа, поэтому независимо от того, какова природа газа или сколько молекул присутствует в пространстве, мы предполагали, что расстояние между ними одинаково. Но в реальном газе размер молекулы газа ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЕ. Фактический объем, свободный для перемещения, меньше из-за размера частиц, и большее количество молекул будет иметь больший эффект.

Поправка к объему заключается в количестве молей (n) газа, умноженном на постоянную (b), вычтенную из объема идеального газа, где значение b индивидуально для идентичности газа.

Скорректированный объем V’ = V – номер

Поправка на давление

Поскольку в реальном газе молекулы взаимодействуют/притягиваются, наблюдаемое давление будет меньше, чем у идеального газа. Поправка должна учитывать как концентрацию газа (n/V), так и притяжение между двумя газами (n/V) ² и снова этот фактор должен быть индивидуализирован для газа константой a. Полная поправка показана ниже:

Подстановка этих двух поправок на давление и объем в обычный закон идеального газа дает уравнение Ван-дер-Вааля:

Где значения a и b определяются экспериментально, а различны для каждого газа. Значения b будут больше для более крупных молекул газа, и поскольку взаимодействия газа будут зависеть от его свойств притяжения, таких как полярность (неравномерное распределение электронов по всей молекуле вызывает частичные положительные и отрицательные области, которые могут быть более привлекательными для молекул).

No related posts.