Все формулы векторы: Формулы векторов

Векторы | Математические формулы | Indigomath Математика

Длина вектора

Найти

  Известно, что:

     lxy =   

Вычислить ‘l’

Длина пространственного вектора

Найти

  Известно, что:

     lxyz =   

Вычислить ‘l’

Скалярное произведение векторов

Найти

  Известно, что:

     ABabα =   

Вычислить ‘A’

Скалярное произведение векторов через координаты

Найти

  Известно, что:

     ABx1x2y1y2 =   

Вычислить ‘A’

Скалярное произведение пространственных векторов через координаты

Найти

  Известно, что:

     ABx1x2y1y2z1z2 =   

Вычислить ‘A’

Скалярное произведение вертикальных векторов

Найти

  Известно, что:

     x1x2y1y2 =   

Вычислить ‘x1’

Скалярное произведение пространственных вертикальных векторов

Найти

  Известно, что:

     x1x2y1y2z1z2 =   

Вычислить ‘x1’

Угол между векторами

Найти

  Известно, что:

     αx1x2y1y2 =   

Вычислить ‘α’

Угол между пространственными векторами

Найти

  Известно, что:

     αx1x2y1y2z1z2 =   

Вычислить ‘α’

Коллинеарные векторы

Найти

  Известно, что:

     x1x2y1y2 =   

Вычислить ‘x1’

Расстояние между точками

Найти

  Известно, что:

     ABx2x1y2y1 =   

Вычислить ‘AB’

Расстояние между точками в пространстве

Найти

  Известно, что:

     ABx2x1y2y1z2z1 =   

Вычислить ‘AB’

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1.  В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2.  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и :

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

.

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

;

.

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

.

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD

1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж.

Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA₁ = √3

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁

C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

  

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Векторы в пространстве и метод координат» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.04.2023

Vector Formulas — узнайте о векторных формулах

Векторные формулы содержат список формул, полезных для выполнения многочисленных арифметических операций над одним и тем же вектором и между двумя векторами. Векторы имеют как скалярную, так и векторную составляющую, и эти векторные формулы помогают систематически и легко выполнять многочисленные операции над векторами.

Список векторных формул включает формулы, выполняющие операции для одного вектора и над векторами. Формулы отношений направлений, направляющих косинусов, модуля вектора, единичного вектора выполняются на одном и том же векторе. А формулы скалярного произведения, перекрестного произведения, проекции векторов выполняются по двум векторам.

Формула 1
Отношения направлений вектора \(\vec A \) дают длины вектора в направлениях x, y, z соответственно.

Отношения направлений вектора \(\vec A = a \hat i + b \hat j + c \hat k \)  равны a, b, c соответственно.

Формула 2
Направляющий косинус вектора \(\vec A \) — это косеканс угла, образованного вектором с осями x, y, z соответственно.

Направляющие косинусы вектора \(\vec A = a \hat i +b \hat j + c \hat k \): 92}\]

Формула 4
Единичный вектор \(\vec A \)  равен \(\hat A \).

\[ \hat A = \frac{\vec A}{|\vec{A}|}\]

Формула 5
Два параллельных вектора \(\vec A \) и \(\vec B\) и связаны следующей формулой, а \(\lambda \) – числовая константа.

\[ \hat A = \frac{\vec A}{|\vec{A}|}\]

Формула 6
Угол между двумя векторами \(\vec A \) и \(\vec B \) является косекансом угла между двумя векторами. 92}|}\end{align}\]

Формула 7
Скалярное произведение \(\vec A\) и \(\vec B \) является скалярным произведением.

\[ \vec A. \vec B = |\vec{A}|.|B|.Cos\theta\]

Формула 8
Перекрестное произведение между \(\vec A\) и \(\vec B \) является векторным произведением.

\[ \vec A \times \vec B = | \vec{A}|.|\vec{B}|.Sin \theta\]

Формула 9 
Скалярное произведение и векторное произведение единичных векторов \(\hat i \), \(\hat j \) и \(\hat k \).

\[\begin{align} \hat i.\hat i= \hat j. \hat j = \hat k.\hat k = 1 \\ \hat i.\hat j =\hat j.\hat k=\шляпа k.\шляпа i = 0\end{align} \]
\[\begin{align} \hat i\times\hat i= \hat j \times \hat j = \hat k\times \hat k = 0 \\ \hat i \times \hat j =\hat k; \hat j \times \hat k=\hat i; \hat k \times \hat i = \hat j\end{align} \]

Формула 10
Проекция вектора \(\vec A \) на вектор \(\vec B \).

\(\text{Проекция вектора} \vec {A} \ \text{на вектор} \vec{B}  = \dfrac{\vec{A}. \vec{B}}{| \vec{B }|}\)

 

 

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Забронировать бесплатный пробный урок

 

1. Пример 1. Найдите скалярное произведение векторов \(3\hat i -2\hat j + 7\hat k\) и \(4\hat i — \hat j + 3\hat k\).

   Решение:

   Учитывая \(\vec A = 3\hat i — 2\hat j + 7\hat k\) и \(\vec B = 4\hat i -\hat j + 3\hat k\)

   \( \vec A . \vec B = ((3).(4) + (-2).(-1) + 7.(3)) = 12 + 2 + 21 = 35\)

2. Пример 2. Чему равен угол между векторами \(\vec A = \hat i + 5\hat j + 2\hat k\) и \(\vec B = 2\hat i -\hat j  — k\ шляпа к\).

   Решение:

   Учитывая \(\vec A = \hat i + 5\hat j + 2\hat k\) и \(\vec B = 2\hat i -\hat j  — k\hat k\)

   \( \ vec A .\vec B = ((1).(2) + (5).(-1) + 2.(-1)) = 2 — 5 — 2 = -5\) 9{-1}(\frac{-\sqrt5}{6})\end{align} \)

перейти к слайдуперейти к слайду

 

Векторные формулы – важные определения, примеры и часто задаваемые вопросы

О векторных формулах

Дата последнего обновления: 20 апреля 2023 г. .9к

•

Просмотров сегодня: 1.74k

Каждый объект, имеющий как величину, так и направление, называется вектором.

Вектор можно изобразить геометрически как участок направляющей линии со стрелкой, обозначающей направление, и длиной, равной величине вектора. От хвоста к голове показана ориентация вектора. Мы рассмотрим определение вектора и некоторые векторные формулы с примерами по этой теме. Давайте посмотрим на идею!

Векторная формула 

Понятие векторной формулы 

В математике вектор – это представление объекта, включающее как величину, так и направление.

Если два вектора имеют одинаковое направление и величину, они одинаковы. Это означает, что если мы возьмем вектор и перенесем его в другое место, то получим новый вектор. Вектор, который мы получаем в конце этой фазы, выглядит так, и это тот же вектор, который был у нас в начале.

В физике векторы, представляющие силу и скорость, являются двумя распространенными примерами векторов. Мощность и скорость действуют одинаково. Величина вектора будет означать интенсивность силы или относительную скорость скорости. Поскольку смещение напрямую связано с расстоянием, расстояние и смещение не совпадают.

Стрелка обычно используется для обозначения вектора.

Кроме того, чья длина пропорциональна величине и чье направление совпадает с количеством. Масштабированные векторные диаграммы со значениями часто используются для описания векторных величин. Вектор смещения будет описан на векторной диаграмме.

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Некоторые важные определения и вектор Все формулы

Векторные формулы Математика

Величина

9{2}}\]

Направление

Направление вектора часто выражается как угол поворота против часовой стрелки вокруг его «хвоста» строго на восток.

Вектор с направлением 30 градусов — это вектор, повернутый на 30 градусов против часовой стрелки относительно строго на восток с использованием этого соглашения.

Векторная формула Физика

Сила 

Векторная сумма двух или более сил представлена ​​равнодействующей силой, которая является единственной силой.

Подобно тому, как две силы с величинами F1 и F2 действуют на частицу, эффект следующий:

[Изображение скоро будет загружено]

Скорость

Скорость изменения направления объекта представлена ​​вектором скорости.

Величина вектора скорости указывает скорость объекта, а направление вектора указывает направление объекта.

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Треугольный закон сложения

Треугольный закон сложения векторов гласит, что когда два вектора представлены как две стороны треугольника одного порядка величины и направления, величина и направление результирующий вектор представлен третьей стороной треугольника.

Поскольку две силы, Вектор А и Вектор В, действуют в одном направлении, результирующее значение R является суммой двух векторов.

[Изображение скоро будет загружено]

Формула треугольного закона сложения: \[\bar{R}\] = \[\bar{A}\] + \[\bar{B}\] 

Параллелограммный закон сложения

Когда две степени, формула вектора A вектора B, выражены противоположными сторонами параллелограмма, результирующая представлена ​​диагональю параллелограмма, взятой из того же положения.