Все свойства логарифмов таблица: Свойства логарифмов — формулы | matematicus.ru

Логарифмическая таблица | это… Что такое Логарифмическая таблица?

Рис. 1. Графики логарифмических функций

Логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и a^x = b равносильны.

Пример: , потому что 2³ = 8.

Содержание 1 Вещественный логарифм 1.1 Свойства 1.2 Натуральные логарифмы 1.3 Десятичные логарифмы 2 Комплексный логарифм 2.1 Многозначная функция 2.2 Аналитическое продолжение 2.3 Риманова поверхность 3 Исторический очерк 3.1 Вещественный логарифм 3.2 Комплексный логарифм 4 Логарифмические таблицы 5 См. также 6 Литература

Вещественный логарифм

Логарифм вещественного числа log_a

b имеет смысл при .

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

• Десятичные: , основание: число 10.
• Натуральные: , основание: e (число Эйлера).
• Двоичные: или , основание: число 2. Они применяются в теории информации и информатике.

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию, например: . Эта функция определена в правой части числовой прямой: x > 0, непрерывна и дифференцируема там (см. рис. 1).

Свойства

• Основное логарифмическое тождество:
• (замена основания логарифма)

Натуральные логарифмы

Для производной натурального логарифма справедлива простая формула:

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т.

 п.

При справедливо равенство

(1)

В частности,

Формула (1) не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится и значение x ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

(2)

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.

Связь с десятичным логарифмом: .

Десятичные логарифмы

Рис. 2. Логарифмическая шкала

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки. Подобная шкала широко используется в различных областях науки, например:

• Физика — интенсивность звука (децибелы).
• Астрономия — шкала яркости звёзд.
• Химия — активность водородных ионов (pH).
• Сейсмология — шкала Рихтера.
• Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.

Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

Комплексный логарифм

Многозначная функция

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. Начнём с натурального логарифма, который обозначим и определим как множество всех комплексных чисел

z таких, что e^z = w. Комплексный логарифм существует для любого , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией. Если представить w в показательной форме:

,

то логарифм находится по формуле:

Здесь  — вещественный логарифм, r = | w | , k — произвольное целое число. Значение, получаемое при k = 0, называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать в нём значение аргумента в интервале ( − π,π]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается . Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви.

Из формулы следует:

• Вещественная часть логарифма определяется по формуле:

• Логарифм отрицательного числа находится по формуле:

Примеры (приведено главное значение логарифма):

• ln( − 1) = iπ

Аналогично рассматриваются комплексные логарифмы с другим основанием. Следует, однако, быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

iπ = ln( − 1) = ln(( − i)²) = 2ln( − i) = 2( − iπ / 2) = − iπ — явная нелепость.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви (

k = − 1). Причина ошибки — неосторожное использования свойства , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Аналитическое продолжение

Рис. 3. Комплексный логарифм (мнимая часть)

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. В явном виде продолжение логарифма вдоль кривой Γ, не проходящей через 0, можно осуществить по формуле (соответствующую функцию также обозначаем ln)

При этом, если Γ — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма

Для любой окружности S, охватывающей точку 0:

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки).

Это тождество лежит в основе теории вычетов.

Риманова поверхность

Комплексная логарифмическая функция — пример римановой поверхности; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных наподобие спирали. Эта поверхность односвязна; её единственный нуль (первого порядка) получается при z = 1, особые точки: z = 0 и (точки разветвления бесконечного порядка).

Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0.

Исторический очерк

Вещественный логарифм

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание.

Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1′. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением:

dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель, введенный для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap(x), то она связана с натуральным логарифмом следующим образом:

Очевидно, LogNap(M) = 0, то есть логарифм «полного синуса» есть нуль — этого и добивался Непер своим определением. LogNap(0) = ∞.

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.

Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) — LogNap(1).

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.

Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Комплексный логарифм

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер считали, что следует определить log(-x) = log(x). Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной.

Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), однако точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание.

Логарифмические таблицы

Логарифмические таблицы

Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам выполнить потенцирование, то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов «продлило жизнь астрономов», многократно ускорив процесс вычислений.

При переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n. Например, lg8314,63 = lg8,31463 + 3. Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Иост Бюрги, друг Кеплера (1620). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже — с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов.

• Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М., 1973.

Таблицы Брадиса (1921) использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.

• Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М., 1971.

Профессиональный сборник для точных вычислений.

• Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М.: Наука, 1972.
• Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.

См. также

• Комплексное число
• Показательная функция
• Простаферетическая функция
• Системы счисления
• Еричная система счисления

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

• Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
• Том 2 Математика XVII столетия. (1970)

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.: Наука, 1960.

Логарифм. Свойства логарифмов.

Предпосылки к открытию логарифмов были уже в Античности. Архимед знал о связи между арифметической и геометрической прогрессиями, а также о некоторых свойствах степеней с натуральным показателем. Большой толчок к развитию не только математики, но и других естественных наук дала Эпоха Великих Географических Открытий. Население росло, запасы истощались, и в поисках новых земель и приключений отважные мореплаватели отправлялись бороздить просторы всех шести океанов. И, чтобы точно проложить курс через моря и океаны, сложить 5 и 7 было явно недостаточно. Нужны были сложные расчеты с привязкой к звездному небу, учитывающие расположение звезд и конфигурацию планет, для определения курса корабля, а калькулятор в карманы лосин, туго обтягивающих бедра капитана корабля, не помещался. Астрономы тратили несколько месяцев на трудоемкие расчеты с многозначными числами. В середине XV столетия, сопоставляя значения геометрических и арифметических прогрессий, кому-то из светлых умов пришла идея в расчетах заменить умножение многозначных чисел с громоздкими результатами сложением, взяв геометрическую прогрессию за исходную. Впервые примеры таких расчетов в 1544 году в книге «Arithmetica integra» опубликовал Михаэль Штифель. Революционной идей ученого был переход от целых показателей степеней к произвольным рациональным числам. Однако развивать свою идею дальше и составлять таблицы для вычислений он не стал. 

Джон Непер — отец логарифмов В начале XVI века два ученых, не зная об исследованиях друг друга, опубликовали свои работы по изучению арифметических и геометрических прогрессий: В 1614 г. шотландский математик Джон Непер опубликовал книгу «Описание удивительной таблицы логарифмов». В 1620 г. из-под пера швейцарского ученого Иоста Бюрги вышел труд «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях». Кто-то может посмеяться и сказать: «Одновременно?! Да между книгами прошло 6 лет, и Бюрги украл идею Непера!». Но во времена, когда не было интернета и международных научных симпозиумов, а информация распространялась «голубиной почтой», 6 лет — не такой большой срок. А одновременное открытие логарифмов, в странах разделенных не только расстоянием, но и языковым барьером, как раз свидетельствует о важности этого открытия. Учитывая, что Джон Непер предложил придуманный им способ вычислений называть логарифм (от греческих слов logos – «отношение» и arithmos – «число», а вместе – «число отношений»), он по праву считается отцом логарифмов. Еще шотландский математик составил специальные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1 и с точностью до восьми знаков. С началом практического использования таблиц Непера умножение многозначных чисел и извлечение корней значительно упростилось.

Дальнейшая история логарифмов. В 1620 году Эдмунд Уингейт предложил модель логарифмической линейки. И до изобретения калькулятора логарифмическая линейка оставалась незаменимым помощником инженеров, мореплавателей, и других ученых, которым требовалась работа с большими числами. Впоследствии многие ученые создавали свои таблицы логарифмов, уточняя их значения. Не обошел своим вниманием эту тему и Иоган Кеплер — известный ученый не только открыл законы движения небесных тел, но и составил астрономические таблицы, которые опубликовал в 1624 году с восторженным посвящением Джону Неперу, не зная о смерти отца логарифмов. Наиболее близко к современному определению логарифмирования подошли Валлис (1685) и Иоганн Бернулли (1694). Эйлер окончательно узаконил логарифмирование как математическое действие, обратное возведению в степень. Многие ученые в своих вычислениях стали пользоваться таблицами логарифмов, а Лаплас Пьер Симон в одном из своих трудов написал фразу, вынесенную в эпиграф статьи: «Изобретение логарифмов, сократив вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов». Астрономами в то время называли не только любителей звездного неба, каждый вечер настраивающих свои телескопы в поисках новых и сверхновых звезд, а любого ученого, использующего в своих расчетах сложные вычисления.

Математика – не единственная дисциплина, где используется логарифмическая шкала. Часто, даже не подозревая об этом, мы пользуемся ей в других науках. Например: интенсивность звука (децибелы) в физике; шкала яркости звёзд в астрономии; активность водородных ионов (pH) в химии; шкала Рихтера для определения интенсивности землетрясения в сейсмологии; логарифмическая шкала времени в истории.

Источник: https://rosuchebnik.ru/material/istoriya-vozniknoveniya-logarifmov/

 

5.5: Графики и свойства логарифмических функций

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

38599

• Рупиндер Секон и Роберта Блум
• Колледж Де Анза 9x\) создает эту таблицу значений

  \(х\)	-3	-2	-1	0	1	2	3
  \(f(x)\)	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8

  Поскольку логарифмическая функция является обратной экспоненциальной, \(g(x)=\log_{2}(x)\) дает таблицу значений

  \(х\)	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8
  \(г(х)\)	-3	-2	-1	0	1	2	3

  Во второй таблице обратите внимание, что

  1. По мере увеличения входа увеличивается выход.
  2. По мере увеличения ввода выход увеличивается медленнее.
  3. Поскольку экспоненциальная функция выводит только положительные значения, логарифм может принимать только положительные значения в качестве входных данных, поэтому область определения функции журнала равна \((0, \infty)\).
  4. Поскольку экспоненциальная функция может принимать все действительные числа в качестве входных данных, логарифм может иметь любое действительное число в качестве выходного, поэтому диапазоном являются все действительные числа или \((-\infty, \infty)\).

  Построив график \(g(x) = \log_{2}(x)\) по точкам в таблице, обратите внимание, что по мере того, как входные значения для \(x\) приближаются к нулю, выход функции растет очень большой в отрицательном направлении, что указывает на вертикальную асимптоту в точке \(x = 0\).

  В символической записи пишем 9{+}\), \(f(x) \rightarrow-\infty\)

  и как \(x \стрелка вправо \infty, f(x) \стрелка вправо \infty\)

  Источник: материалы в этом разделе учебника получены от Дэвида Липпмана и Мелони Расмуссен, книжного магазина Open Text, Precalculus: An Investigation of Functions, «Chapter 4: Exponential and Logarithmic Functions», под лицензией Creative Commons CC BY-SA 3. x}\), with \(\bf{b»> 1}\)» valign=»top»> 9{+}, \: у \стрелка вправо-\infty\)

  Источник: материалы в этом разделе учебника получены от Дэвида Липпмана и Мелони Расмуссен, Книжный магазин Open Text, Precalculus: An Investigation of Functions, «Глава 4: Экспоненциальные и логарифмические функции», лицензия Creative Commons CC BY — Лицензия SA 3.0. Материал здесь основан на материале, содержащемся в этом учебнике, но был изменен Робертой Блум, как разрешено этой лицензией.

  ---

  Эта страница под названием 5.5: Графики и свойства логарифмических функций распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Рупиндером Секоном и Робертой Блум посредством исходного содержимого, которое было отредактировано в соответствии со стилем и стандартами Платформа LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

  1. Наверх
  • Была ли эта статья полезной?

  1. Тип изделия

     Раздел или Страница

     Автор

     Рупиндер Сехон и Роберта Блум

     Лицензия

     СС BY

     Версия лицензии

     4,0

     Показать страницу TOC

     нет

  2. Теги

     1. source@https://www. deanza.edu/faculty/bloomroberta/math21/afm3files.html.html

  Свойства логарифмов

  Прежде чем приступить к этому упражнению, вы можете просмотреть основные свойства логарифмов: Введение в логарифмы

  Вспомните одну важную точку зрения логарифмов: логарифм — это показатель степени.

  В частности, какое число $\,\log_b х\,$? Отвечать: $\,b\,$ нужно возвести в степень , чтобы получить $\,x\,.$ 9у=х\,.$

  Число $\,b\,$ в выражении $\,\log_b x\,$ называется основанием логарифма . Нам нужно сделать паузу и определить допустимые основания для логарифмов. Затем мы изучим несколько важные свойства, которыми обладают логарифмы.

  Допустимые основания для логарифмов

  Так как $\,1\,$ возведены в любую степень это $\,1\,$ а так как $\,0\,$ возводится в любой положительная степень $\,0\,$ мы, конечно, не хотим позволять основание должно быть $\,1\,$ или $\,0\,.$

  Например, рассмотрим эти дилеммы:

  • Что такое ‘$\,\log_1 5\,$’? Нет такой степени, в которую можно было бы возвести $\,1\,$, дать $\,5\,. $
  • Или что такое ‘$\,\log_1 1\,$’? Число $\,1\,$ повышен до 9{101}}}$$ даже не определено, так как включает четный корень из отрицательного числа. По этим причинам, мы допускаем только положительных основания для логарифмов, и мы исключаем число $\,1\,.$

    Теперь положительное число, поднял до любых мощность, всегда положительна. (Думать об этом!) По этой причине логарифмы не могут действуют на отрицательные числа. Например, что бы ‘$\,\log_2 (-3)\,$’ быть? Не существует степени , которой может быть $\,2\,$ повышен до, чтобы получить отрицательный ответ.

    Теперь мы готовы внести ясность:

    Допустимые основания для логарифмов;
    Допустимые входные данные для логарифмов

    Пусть $\,b\gt 0\,$ $\,b\ne 1\,$ и $\,x\gt 0\,.$

    Затем определяется $\,\log_b x\,$ и $$ \cssId{s48}{\log_b х = у} \ \ \cssId{s49у = х}\, $$ для всех действительных чисел $\,y\,.$

    Уравнение ‘$\,\log_b х = у\,$’ называется логарифмическая форма уравнения . y = x\,$’ называется экспоненциальная форма уравнения .

    В частности, единственными допустимыми основаниями для логарифмов положительные числа, не равно $\,1\,.$ Кроме того, единственные допустимые входы в логарифмы положительных чисел.

    Три важных свойства логарифмов

    У логарифмов есть красивые упрощающие свойства, которые делают их чрезвычайно ценными:

    • Они могут решить задачу на умножение, и «превратить это в» задачу на сложение (что намного проще)!
    • Они могут решить задачу деления, и «превратите это в» задачу на вычитание (что намного проще)!
    • Они могут взять задачу возведения в степень, и «превратите это в» задачу на умножение (что намного проще)!

    А именно имеем:

    Законы логарифмов

    Позволять $\,b\gt 0\,$ $\,b\ne 1\,$ $\,x\gt 0\,$ и $\,y\gt 0\,. $

    $\displaystyle \log_b\,xy = \log_b x + \log_b y$
    Журнал продукта – это сумма логов.

    $\displaystyle \log_b\frac{x}{y} = \log_b x — \log_b y$
    Лог частного — это разность логов.

    Для этого конечного свойства $\,y\,$ может быть любым вещественным числом:

    9y = y\,\log_b x$
    Вы можете уменьшить степень .

    Последняя описательная фраза, можно сбить показатели , конечно немного свободно. Его можно было бы правильнее описать как логарифм числа, возведенного в степень, — это мощность, умноженная на логарифм числа.

    No related posts.