Всякое действительное число является рациональным: Верно ли утверждение: а) всякое натуральное число является рациональным ;б) всякое рациональное число является целым;…

2)=-12/23 $$

Содержание

Докажите, что значение выражения 3\квадратный корень из 5 +4 — 3\квадратный корень из 5 -4, есть число рациональное

Решение: Решение
3 / (√5 + 4) — 3 /(√5 — 4) = [3*(√5 — 4 — √5 — 4)] / [(√5 + 4)*(√5 — 4)] =
= [3*(- 8)] / [(√5)² — 4²] = — 24 /  (5 — 16) = — 24 / (- 11) =
= 24/11 = 2 (2/11) — число рациональное
Определение:
рациональными числами называются числа, которые можно записать в виде дроби Z / n, где я — целое число, а n — натуральное

Докажите, что значение выражения (1\( \frac{1}{2 \sqrt{3} +1}- \frac{1}{2 \sqrt{3} -1} \) есть число рациональное.

Решение: Приведем к общему знаменателю и получим $$ -\frac{2}{11} $$. Это число рациональное, так как можно представить в виде дроби, где знаменатель — натуральное число (в данном случае 11), а числитель — целое число (в данном случае -2)

Избавимся от иррациональности
$$.= \frac{2 \sqrt{3}-1 }{12-1} — \frac{2 \sqrt{3} +1}{12-1}= \frac{-2}{11} $$

Любое ли рациональное число является действительным? Любое ли действительное число является рациональным?

Решение: Решение:
1) Пусть у нас есть рациональное число, которое можно представить в виде дроби $$ \frac{a}{n} $$, где а — любое целое число, n — натуральное. По понятию множества действительных чисел, это любое число, которое есть в окружающем мире, будь то это -2, или 6,5. Но так, как $$ \frac{a}{n} $$ — это рациональное число, а в виде рационального числа можно представить почти всякое число, то любое рациональное число является действительным.
2) Предположим, что выполняется и обратное утверждение, т. е. если число — действительное, то число можно представить в виде некоторой дроби.
Еще раз напоминаю, что действительное число — это любое число, независимо от того, какое оно: отрицательно, положительное, дробное, натуральное и т. д.
Значит, в множество действительных чисел входит и иррациональные числа. А по определению иррациональных чисел, такое число нельзя представить в виде некоторой рациональной дроби. Таким образом, наши предположения неверны, и не всякое действительное число можно представить в виде рациональной дроби.

Существует ли рациональное число, квадрат которого был бы равен 1) 3 2) 4 3) 5 4) 8; 5) p, где p — простое число?

Ответ обоснуйте.
Решение: Ну пусть существует такое рациональное число, квадрат которого равен 5. Или 3. Или Р (где Р — ПРОСТОЕ число). Рациональное число — это такое, которое можно представить в виде дроби m/n, пиричём дроб будем считать несократимой. Значит, квадрат его будет m²/n² = 3. Откуда m² = 3n². Но если квадрат ЦЕЛОГО числа делится на 3, или на 5, или на любое другое ПРОСТОЕ число, то и само это число должно делиться на 3. То есть число m можно представить как m = 3k, m² = 9k² и отсюда 3k²=n². Значит, n тоже делится на 3. То ест дробь m/n получается сократимой — а мы сначала предположили, что она НЕ сократима. То есть пришли к противоречию. Отсюда и следует, что никакого рационального числа, квадрат которого равен простому числу, не существует.
С четвёркой такой трюк не проходит, потому что 4 — это 2 в квадрате. С восьмёркой проходит, но это двухходовка: 8 = 2*2².

Что такое рациональное число, и является ли -9 рациональным числом?

Решение: Рациональное число- это число, которое можно представить в виде обычной дроби, в которой числитель — целое число, а знаменатель — натуральное число.
Число -9 является рациональным числом, т. к. его можно представить в виде дроби, где числитель равен -9, а знаменатель равен 1.
$$ -9= \frac{-9}{1} $$

Найдите какое нибудь рациональное число которое расположено между числами -2,13 и -2,12

Решение: а)11
б)10
если к 2 прибавить 11 то будет 13 и наоборот отнять от 13 11 будет 2.
и во втором случае так же.
думаю это рационально и логично!

Рациональное число между числами -2,13 и -2,12 может быть любым.
Пример : -2,122 
-2,125
и т. д. до -2,129

1) Любое ли рациональное число является действительным?

2) Любое ли действительное число являеться рациональным?
Решение: 1) Да, любое рациональное число является действительным, т. к

по определению множетсво действительных чисел $$ R \in Q\cup I $$, где Q-множество рациональных чисел, I — множество иррациональных чисел.

2) Не любой действительное число является рациональным. Это следует из определения действительных чисел, потому что любое иррациональное число будет действительным, но не будет рациональным. Например $$ \sqrt{2} \\ \sqrt{3} \\ log_2(3) $$

Что такое координатная ось? Как изобразить на координатной оси данное рациональное число?

Какие числа называются противоположными числами?
Решение: Координатной осью называется прямая, на которой отмечена точка О (начало отсчета или начало координат), выбран масштаб, т. е. указан отрезок единичной длины для измерения расстояний (единичный или масштабный отрезок), и задано положительное направление.
1 способ)
Рациональное число — это число которое можно представить в виде обыкновенной. несократимой дроби. Например 1/2 1/3 2/5 
На координатной оси эти чи сла находятся 
справа от 0, ( проходили они отрицательные числа, ) Вот считайте по масштабу — 1 — это 4 клетки например — значит 1/2 будет от 0 через 2 клетки 1/3 значит эти четыре клетки разделите на 3 части Чем больше у дроби знаменатель тем меньше число ( 12/2 и 12/4 ) Та дробь меньше, у которой больше знаменатель.
2 способ) 
Нарисовать горизонтальную линию. Принять на ней какое-либо место за ноль и нарисовать, исходя из местоположения нуля, на ней все заданные числа

(примеры)

1) натуральные числа
2) целое число
3) рациональное число

Решение: А) Рациональное число — такое, которое можно выразить отношением двух целых чисел. Например, дробь 1/2 — рациональное, но не целое число.
б) К целым числам, помимо натуральных, относятся им противоположные и нуль. Например, число -5 будет целым и не натуральным.
в) Не является рациональным — не выразимо в виде отношения целых чисел. Например, корень из 2 — действительное иррациональное.
г) А например число 0,(3), оно же 1/3, является действительным рациональным

1 2 3 > >>

Последовательность — рациональное число — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 2

Cтраница 2

Из ( 5) следует, что всякое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел.  [16]

Они доказали, что для любой римановой метрики на компактном односвязном дифференцируемом многообразии М существует бесконечно много замкнутых геодезических, если последовательность рациональных чисел Бетти пространства AM параметризованных замкнутых кривых неограничена.  [17]

В множестве всех вещественных чисел Я, подмножество D всех рациональных чисел обладает следующим важным свойством: каждое вещественное число представимо как предел

последовательности рациональных чисел.  [18]

Значительно раньше этой теоремы была установлена следующая теорема ( родственная с упомянутой в некоторых отношениях): Невозможен алгорифм, строящий по любой конструктивной фундаментальной ( в конструктивном смысле) последовательности рациональных чисел предъявленной без какого-либо алгоритмического регулятора сходимости в себе.  [19]

Именно, пусть п ( г) — степень, в которой простое число р входит сомножителем в рациональное число г. Число р-п г назовем /) — нормой числа г. Последовательность рациональных чисел называется фундаментальной, если она фундаментальна в смысле р-нормы.  [20]

Тогда существует последовательность рациональных чисел — — при п-оо.  [21]

Тогда существует последовательность рациональных чисел

— — — при / г — — оо.  [22]

Примером параметрической теоремы существования, которая не имеет даже умеренно отдаленного доказуемого конструктианого аналога и для которой буквальный конструктивный аналог может быть опровергнут в сильном смысле, является теорема о существовании предела любой монотонной и ограниченной последовательности вещественных чисел. Шпеккер [21] построил конкретную монотонную и ограниченную алгорифмическую последовательность рациональных чисел, для которой невозможен алгорифмический регулятор сходимости в себе. Ни одно конструктивное вещественное число не является пределом этой последова — М тельности. Для теоремы о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности вещественных чисел удается найти лишь весьма отдаленный доказуемый конструктивный аналог, использующий понятие конструктивного вещественного псевдочисла.  [23]

Это не звучит как математическое определение. Разве можно считать хорошо определенной последовательность рациональных чисел, если ее компоненты зависят от такого материального факта, как существование к данному моменту доказательства некоторого математического высказывания.  [24]

Вот здесь-то и вступают в игру действительные числа. Если бы мы думали, что все числа рациональны, мы могли бы определить предел последовательности рациональных чисел как такое рациональное число /, к которому сколь угодно близко подходят члены последовательности.  [25]

IR, С а, b, I p, Lp является их полнота. Примером же неполного пространства может служить метрическое пространство Q рациональных чисел, рассматриваемое как подпространство R, так как последовательность рациональных чисел, сходящаяся к иррациональному числу, будучи, очевидно, фундаментальной, не имеет предела в Q.

Другим примером может служить метрическое пространство У всех полиномов как подпространство в С [ а, Ь ], так как последовательность полиномов, равномерно сходящаяся к непрерывной функции, не являющейся полиномом, представляет собой фундаментальную, по не сходящуюся в У последовательность.  [26]

Требуемое обобщение достигается при помощи так называемых обобщенных функций или распределений. Обобщенные функции могут быть определены различными способами, например как пределы последовательностей достаточно регулярных функций, подобно тому как вещественные числа являются пределами последовательностей рациональных чисел. Аналогично тому как при расчетах никогда не оперируют с иррациональным числом, а используют только его рациональные приближения, вместо значений, принимаемых обобщенной Функцией, всегда имеют дело с последовательностью аппроксимирующих ее функций.  [27]

Легко проверить выполнение для (2.3) аксиом метрики. В математическом анализе доказывается, что множество действительных чисел с введенной таким образом метрикой полное. Отметим, что множество рациональных чисел с метрикой (2.3) не является полным — могут существовать последовательности рациональных чисел, имеющие иррациональный предел.  [28]

Заметим, что любой многочлен р ( х) с коэффициентами из Q есть, по сути дела, последовательность рациональных чисел.  [29]

Эксперимент прекращают на последнем остатке, превосходящем ошибки эксперимента, и этот остаток служит приближенной общей мерой. GI теоретически определяются одна по отношению к другой, можно ставить вопрос, соизмеримы ли эти величины. Известно что сторона и диагональ квадрата несоизмеримы. Алгоритм Евклида ( вернее его было бы назвать алгоритмом Евдокса) позволяет заменить иррациональное отношение ( которое древние математики считали несуществующим)

последовательностью рациональных чисел, неограниченно приближающихся к этому отношению.  [30]

Страницы:      1    2    3

Для каждого действительного числа $a$ существует последовательность рациональных чисел $r_n$ такая, что $r_n$ приближается к $a$.

$\begingroup$

Как доказать, что для каждого действительного числа $a$ существует последовательность рациональных чисел $r_n$ такая, что $r_n \rightarrow a$.

• реальный анализ

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Без ограничения общности можно считать, что действительное число $a$ равно $\gt 0$. (Если $a \lt 0$, мы можем применить рассуждения ниже к $|a|$, а затем поменять знаки.) Мы набросаем довольно формальное доказательство, основанное на том факте, что действительные числа представляют собой полное упорядоченное поле. В одном из замечаний в конце мы даем легкое неформальное, но неполное «доказательство».

Пусть $n$ — натуральное число. Пусть $m=m(n)$ — наибольшее натуральное число такое, что $\frac{m}{n}\lt a$. Тогда $\frac{m+1}{n}\ge a$ и, следовательно, $|a-m/n|\lt 1/n$.

Пусть $r_n=m/n$. Из определения предела легко показать, что последовательность $(r_n)$ имеет предел $a$.

Примечания: $1.$ Действительно требуется доказательство того, что есть натуральное число $m$ такое, что $\frac{m}{n}\ge a$. Достаточно показать, что существует натуральное число $k$ такое, что $k \ge a$, тогда можно взять $m=kn$. Тот факт, что всегда существует целое число $\gt a$, называется архимедовым свойством вещественных чисел. Приступим к доказательству того, что вещественные числа обладают этим свойством.

Предположим противное, что все натуральные числа равны $\lt a$. Тогда множество $\mathbb{N}$ натуральных чисел ограничено, поэтому имеет наименьшую верхнюю границу $b$. Это означает, что для любого $\epsilon \gt 0$ существует целое число $k$ такое, что $0\lt k\lt b$ и $b-k\lt \epsilon$. Выберите $\epsilon=1/2$. Тогда $k+1\gt b$, что противоречит предположению, что $b$ является оценкой сверху для $\mathbb{N}$.

$2.$ Можно также привести очень быстрое, но не вполне убедительное «доказательство» результата аппроксимации. Предположим по-прежнему, что $a\gt 0$. Числа, полученные усечением десятичного разложения $a$ на $n$-м разряде, рациональны и явно имеют предел $a$. Проблема в том, что нам тогда , предполагая , что каждое действительное число имеет десятичное расширение.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Мы можем легко доказать это с помощью свойства плотности рациональных чисел, где последнее может быть доказано с помощью архимедова свойства в случае, если вы предполагаете, что это эквивалентно свойству плотности.

Пусть $a$ — действительное число, для любого $n \in\mathbb N$, $a — \frac 1n < a + \frac 1n$, поэтому существует рациональное число $r_n$, лежащее между ними, т.е. $a-\frac 1n < r_n < a+\frac 1n$, откуда следует, что $|r_n - a|< \frac 1n$, поэтому $r_n$ сходится к $a$.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Я удивлен, что никто еще не говорил о десятичной системе счисления, но вот неофициальное доказательство. (Для знакомства мы будем использовать систему с основанием 10.)

Если $x$ рационально, просто используйте последовательность $\left(r_n\right)=\left(x, x, x, x, \dots \справа)\к х$. Если это иррационально, нам придется проделать некоторую работу.

Представьте $x$ в десятичной системе счисления. Это будет неповторяющееся, не завершающееся десятичное число. Например, пусть

$$x = \sqrt{2} = 1.414213562…$$

Затем просто сделайте каждый член вашей последовательности завершающим десятичным числом, более точное приближение к $\sqrt{2}$.

$$\left(r_n\right)=\left(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, \dots\right)$$

Очевидно, поскольку каждый член последовательности является завершающим десятичным числом , это рациональное число. По критерию Коши рациональная последовательность сходится и сходится к вещественному числу $\sqrt{2}$.

Это не формальное доказательство, но вы можете увидеть, как оно работает.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Вот еще одно неофициальное доказательство просто для разнообразия.

Рассмотрим интервал $ ]r_0,a[$ где $ a\in \mathbb R $ , $r \in \mathbb Q$ и r$\neq a$,

Используя дихотомию, построим другой интервал $]r + \frac{|a-r|}{2},a[$ и просто выберите любое рациональное число в этом интервале и назовите его $r_1$

Продолжаем в том же духе, выбирая $r_1,r_2 \cdots$ и т. д. Таким образом, у нас есть последовательность рациональных чисел $r_n$, которая строго возрастает и ограничена сверху $a$, которая также является верхней гранью, поэтому сходится к $a$

$\underline{Предложение}$

Пусть $u_n$ — строго возрастающая последовательность из $\mathbb N \to \mathbb R$ и $A$ — непустое ограниченное множество, состоящее из элементов $u_n$, последовательность $u_n$ сходится к верхней границе A

Доказательство:

A — непустое ограниченное множество, поэтому оно имеет верхнюю границу, обозначаемую $supA$.

$u_n$ строго возрастает и ограничено, поэтому оно сходится к пределу, который мы обозначаем через $l$ таким образом, $\forall \epsilon > 0 $ $\exists N \in \mathbb N , \forall n \in \mathbb N : n \ge N$ $\implies$ $|u_n — l| \ле \эпсилон $ 9{\sigma(n+1)}}{\sigma(n)}$ — рациональная последовательность.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Каждое рациональное число равно …

Перейти к

• Системы счисления — упражнение 1.1
• Системы счисления — упражнение 1.2
• Системы счисления — упражнение 1.3
• Системы счисления — упражнение 1.4

• Системы счисления
• Полиномы
• Координатная геометрия
• Линейные уравнения с двумя переменными
• Введение в геометрию Евклида
• Линии и углы
• Треугольники
• Четырехугольники
• Площади параллелограммов и треугольников
• Круги
• Конструкции
• Формула Герона
• Площади поверхности и объемы
• Статистика и вероятность

Главная > Образцовые решения NCERT Класс 9 Математика > Глава 1. Системы счисления > Системы счисления — упражнение 1.1 > Вопрос 12

Вопрос 12 Системы счисления — Упражнение 1.1

Каждое рациональное число равно _______

Ответ:

Мы знаем, что рациональные и иррациональные числа, взятые вместе, называются действительными числами. Следовательно, каждое действительное число является либо рациональным, либо иррациональным числом. Следовательно, каждое рациональное число является действительным числом.

Следовательно, (C) правильный вариант.

Связанные вопросы

Стоимость _________.

**Значение 1,999… в виде** **_p/q_, где** **_p_** **и** **_q_** **целые числа и** **…

Число, полученное при рационализации знаменателя, равно _______________.

Произведение равно _______________.

После рационализации знаменателя мы получаем знаменатель как ___________.

Значение равно ___________.

Фейсбук WhatsApp

Копировать ссылку

Было ли это полезно?

Упражнения

Системы счисления — Упражнение 1.1

Количество систем — упражнение 1.2

Системы номеров — упражнение 1.3

Системы номеров — Упражнение 1.4

Главы

Системы номеров

Полиномиалы ​​

Координат Геометрия

Уравнения линейных

4404404404440444000

4404404404404.