Вычисление детерминанта матрицы: Определитель матрицы онлайн

2.1.2. Вычисление определителей и обратных матриц

Формулы Крамера в общем случае не могут применяться для вычисления определителей и обратных матриц, так как связаны «проклятьем размерности». Одним из методов вычисления определителя квадратной вещественной матрицы A является метод Гаусса. Преобразования прямого хода в нём таковы, что не изменяют определителя матрицы А. Т.к. определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов, определитель матрицы равен произведению всех ведущих элементов в соответствующей схеме Гаусса . Для его получения следует выполнить действия прямого хода метода Гаусса для системы Ax = 0.

Если матрица A – симметричная, для вычисления определителя можно воспользоваться методом квадратных корней: A = TT, матрица T – треугольная, см. (5), поэтому .

Метод Гаусса применяется для вычисления элементов обратной матрицы А

-1 квадратной неособенной матрицы А:

, .

Для этого используется соотношение АА^-1 = E (E – единичная матрица): при умножении матрицы А на А^-1 и приравнивании каждого элемента произведения соответствующему элементу матрицы E, получается система из n² уравнений с n² неизвестными x_ij (i, j = 1, 2, …, n). В частности, при почленном умножении каждой строки матрицы А на первый столбец матрицы А^-1 и приравнивании произведений элементам первого столбца E получается система:

.

В целом образуется n систем уравнений, имеющих одну и ту же матрицу A, с n неизвестными. Решение по методу Гаусса всех систем можно объединить в одной схеме, рассматривая одновременно n

столбцов свободных членов.

Если матрицу A можно разложить в произведение A = DC двух треугольных матриц D и С, общий вид которых показан в (4), обратная матрица может быть найдена в виде A^-1 = C^-1D^-1.

Для оценки погрешностей решения СЛАУ и других задач линейной алгебры, определения их обусловленности необходимо уметь вычислять нормы вектора и матрицы, числа обусловленности матриц.

Часто используемыми нормами являются р-нормы и ∞-норма (норма-максимум, кубическая норма): и. В вычислительных методах наиболее употребительными изр-норм являются следующие две нормы: ,. Первая называется нормой-суммой, норму ||x||₂ называют евклидовой (или сферической) нормой.

Каждой из векторных норм ||x|| соответствует своя подчиненная норма матрицы A. Известно, в частности, что нормам ||x||₁, ||x||₂, ||x||_∞ подчинены нормы ||A||₁, ||A||₂, ||A||_∞, вычисляемые по формулам:

,

где – собственные числа симметричной матрицы. ЕслиА – симметричная матрица, то . Поэтому для нее.

Для оценки величины ||A||₂ можно использовать неравенство: ||A||₂≤||A||_F, где – величина, называемая нормойФробениуса или евклидовой нормой матрицы A.

Стандартным числом обусловленности (или просто числом

обусловленности) матрицы А называется величина ν(A) или cond(A), вычисляемая по формуле (для любой из норм, в частности, любой из перечисленных выше):

.

Величина cond(A) является широко используемой количественной мерой обусловленности системы Ах = b. В частности, систему и матрицу принято называть плохо обусловленными, если cond(A) >> 1.

Определитель

Определитель квадратной матрицы A размером n x n, обозначаемый |A| или det (A) — это значение, которое можно вычислить из квадратной матрицы. Определитель матрицы имеет различные приложения в области математики, включая использование с системами линейных уравнений, поиском обратной матрицы и исчислением. В центре внимания этой статьи находится вычисление определителя. При необходимости обратитесь к странице матричных обозначений для напоминания о некоторых обозначениях, используемых ниже. Существует ряд методов вычисления определителя матрицы, некоторые из которых подробно описаны ниже.

Определитель матрицы 2 × 2

Определитель матрицы 2 × 2, A, можно вычислить по формуле:

,

где A: определитель включает в себя рисование рыбы, начиная с верхнего левого входа a. Спускаясь слева направо, умножьте члены a и d и прибавьте произведение. Спускаясь справа налево, умножьте члены b и c и вычтите произведение.

Этот метод и формула могут использоваться только для матриц 2 × 2.

Пример:

Найдите определитель числа :

|A| = (1)(4) — (-3)(2) = 4 + 6 = 10

Обратите внимание, что если определитель матрицы равен 0, у нее нет обратной. Таким образом, может быть полезно найти определитель матрицы, прежде чем пытаться вычислить ее обратную.

Определители больших матриц

Существует ряд методов, используемых для нахождения определителей больших матриц.

Кофакторное разложение

Кофакторное разложение, иногда называемое разложением Лапласа, дает нам формулу, которую можно использовать для нахождения определителя матрицы A из определителей ее подматриц.

Определим (i,j) ^-ю -ю подматрицу матрицы A, обозначаемую A _ij (не путать с _ij , записью в i-й строке и j ^-м -м столбце матрицы A), как — матрица, оставшаяся после удаления строки i ^th и столбца j ^th матрицы A. Например, если i = 2 и j = 4, то 2 ^и строка и 4 ^TH столбцы, указанные голубым определяется как . Это определение дает нам приведенную ниже формулу для определителя матрицы A:

Будьте осторожны, не перепутайте A _ij , подматрицу (i,j) ^th , с _ij , скалярным элементом в я ^-я -я строка и j-й ^-й -й столбец A. Эта формула называется «расширением кофактора по i-й ^-й -й строке». Обратите внимание, что в этой формуле j меняется, а i остается фиксированным. Это представляет собой перемещение по строке i ^th и добавление и вычитание текущей записи, a _ij , умноженной на текущий кофактор C _ij в чередующемся порядке.

Аналогично, формула разложения кофактора вниз по столбцу j ^th равна

Пример

При расширении кофактора очень полезно расширять строки или столбцы, содержащие много нулей, поскольку, если _ij = 0, нам не нужно будет вычислять, потому что оно будет просто умножено на 0. Это значительно сокращает количество необходимых шагов. Ниже синим цветом обозначен столбец или строка, по которым мы расширяемся.

Используя формулу для вычисления определителя матрицы 2 × 2:

Учитывая, что матрица квадратная, можно использовать разложение на кофакторы для нахождения определителей больших квадратных матриц, как показано выше. Однако чем больше матрица, тем громоздче вычисление определителя.

Исключение по Гауссу

Исключение по Гауссу, также называемое сокращением строк, представляет собой процесс, который «приводит» матрицу к упрощенной форме, что позволяет нам делать такие вещи, как нахождение определителя или решение системы линейных уравнений. Он включает в себя преобразование матрицы с помощью ряда операций над строками в матрицу, с которой легче работать. Чтобы использовать метод исключения Гаусса для нахождения определителя, мы хотим преобразовать данную матрицу либо в верхнюю, либо в нижнюю треугольную матрицу.

Квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны 0, называется верхней треугольной матрицей; если все элементы над главной диагональю равны 0, матрица называется нижней треугольной матрицей:

Верхняя треугольная матрица			Нижняя треугольная матрица

Учитывая, что A является квадратной треугольной матрицей, ее определитель является произведением ее диагональных элементов:

Выполнение определенных операций со строками (см. страницу матрицы для справки) над матрицей A изменяет матрицу таким образом что определитель измененной матрицы B изменяется следующим образом:

1. При перестановке двух строк матрицы det(B) = -det(A) или det(A) = -det(B)


2. Когда A умножается на скалярную величину c, det(B) = c·det(A)


3. Когда какая-то строка (или несколько строк) матрицы A добавляется (объединяется) с какой-либо другой строкой матрицы A для формирования новой строки, определитель не меняется, поэтому det(B) = det(A)

Пример

Найдите определитель A с помощью исключения Гаусса (при необходимости обратитесь к странице матрицы), чтобы преобразовать A в верхнюю или нижнюю треугольную матрицу.

Этап 1: R ₁ + R ₃ → R ₃ :

На основании iii. выше определитель не изменился.

Шаг 2: Поменяйте местами R2 и R3:

Перестановка двух строк меняет знак определителя (i. ), поэтому мы добавили отрицательный знак.

Шаг 3: -¼R

2 + R ₃ → R ₃

Теперь матрица имеет верхнетреугольную форму, поэтому определитель можно вычислить как произведение ее главной диагонали:

3

Свойства определителей

Ниже приведены некоторые свойства определителей квадратных матриц.

4. , где I — единичная матрица


5. Квадратная матрица A обратима, только если


6. Если одна строка матрицы A кратна другой строке, то , и A называется сингулярной матрицей

Ниже приведены некоторые примеры использования этих свойств.

Имущество i. Для и покажите, что

Свойство ii. Для , покажите, что :

Свойство iii. Для

и

,

мы можем показать, что:

Таким образом:

Далее находим det(AB):

Свойство IV.

Для единичной матрицы покажите, что .

Свойство v. Поскольку процесс нахождения обратной квадратной матрицы всегда включает множитель , определитель A не может быть равен 0, потому что это сделало бы неопределенным. Для :

Имущество vi. Для , в котором R3 = 2R2,

, что подтверждает свойство vi.

Геометрический смысл определителя

Определители число, представляющее «объем со знаком» параллелепипеда (версия параллелограммов с большей размерностью), натянутого на его векторы-столбцы или строки. Термин «объем со знаком» указывает на то, что отрицательный объем возможен в тех случаях, когда параллелепипед в каком-то смысле вывернут «наизнанку». Например, если мы поменяем местами 2 вектора параллелепипеда, мы, по сути, протолкнем 2 стороны друг за друга, пока внутренняя часть параллелепипеда не будет обращена наружу, а прежняя внешняя сторона теперь обращена внутрь. В 3D параллелепипед, натянутый на векторы v1, v2 и v3, выглядит как наклонный прямоугольник:

Определитель — Линейная алгебра

Все ресурсы по линейной алгебре

4 Диагностические тесты 108 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 Следующая →

Справка по линейной алгебре » Операции и свойства » Определитель

Вычислите определитель матрицы A где

Возможные ответы:

Невозможно

-50

45

0

10

Правильный ответ:

Невозможно

4 Объяснение:

Матрица должна быть квадратной, чтобы вычислить ее определитель, поэтому невозможно вычислить определитель этой матрицы.

Сообщить об ошибке

Вычислить определитель матрицы A где,

 

Возможные ответы:

17

-7

7

12

0

Правильный ответ:

7

Объяснение:

Для вычисления определяющей среды матрицы 2×2 мы можем использовать уравнение

Отчет о ошибке

Рассчитайте определятель матрицы A, где

Возможные ответы:

-504

9
9
9
9
9
9
9
9
9
3449
3449
3449
3449
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
99
9
9
9
99
. :

:

-315

504

0

Правильный ответ:

504

Объяснение:

Для вычисления определяющей матрицы 2×2 мы можем использовать уравнение

Отчет о ошибке

Рассчитайте определятель матрицы A, где

Возможные ответы:

16

0

9 17

15

-15

Правильный ответ:

16

Объяснение:

Для расчета определяющей среды матрицы 2×2 мы можем использовать уравнение

Отчет о ошибке

Рассчитайте определятель матрицы A, где,

Возможные ответы:

15

6

86

15

6

9000. 246.

0

26

Правильный ответ:

-26

Пояснение:

Вычислить определитель матрицы 3×3 сложнее, чем матрицы 2×2. Чтобы вычислить определитель матрицы 3×3, мы используем следующие

Отчет о ошибке

Рассчитайте определятель матрицы A, где,

Возможные ответы:

50

0

-49

49

9

—

49

9

88893866 2

92868

8 9000 2

89286 2 9000 2

8

29000 2 9000 2 9000 28866. -50

Пояснение:

Вычислить определитель матрицы 3×3 сложнее, чем матрицы 2×2. Чтобы вычислить определитель матрицы 3×3, мы используем следующее 

Сообщить об ошибке

Вычислите определитель числа .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

По определению,

,

следовательно,

.

Сообщить об ошибке

Вычислить определитель числа Пояснение:

Для простоты найдем определитель, разложив по второй строке. Обратите внимание на следующее:

Сообщить об ошибке

Вычислить определитель числа .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

По определению,

.

Отчет о ошибке

Рассчитайте определитель матрицы A.

Возможные ответы:

Невозможно

0284 Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти определятель матрицы 2×2, вычислитель:

Отчет о ошибке

← Предыдущий 1 2 3 4 5 следующее →

Capyright.

No related posts.