Вычисление двоичных чисел: Сложение двоичных чисел онлайн

Содержание

Двоичные вычисления для десятичной арифметики / Хабр

Продолжая исследовать проблему точности десятичных вычислений средствами двоичной арифметики, начатую в предыдущих постах [1,2,3,4], мне удалось разработать алгоритмы вычисления вещественных чисел, представленных в формате десятичных чисел с плавающей точкой, которые дают такой же точный результат, как если бы вычисления велись вручную.

В этих алгоритмах использована двоичная арифметика, регламентированная стандартом IEEE754. Для проверки работы алгоритмов была разработана тестовая программа на C++, реализующая 18-ти разрядный десятичный калькулятор.
Поскольку объем материала превышает формат поста, я изложил основные моменты в виде тезисов. Назовем этот пост «Майскими тезисами»:(.

Итак.

Известно, что

Привычная для пользователя арифметика, это десятичная арифметика.

Существуют также b-ичные арифметики, где b- база системы счисления, принимающая любое ненулевое значение [5].

Для отображения чисел в разных масштабах используется запись чисел с плавающей точкой в виде произведения мантиссы и некоторой произвольной степени базы. Это, так называемая, экспоненциальная запись.

Если степень числа фиксирована и мантисса числа является целым числом, то такой формат называется форматом с фиксированной точкой. Частным случаем формата с фиксированной точкой является число, в котором степень равна нулю. Такой формат является форматом целого числа.

Если мантисса представляет собой дробное число в b-ичной системе счисления с целой частью c≠0 и c < b, то такое число называется нормализованным.

Несмотря на то, что по своей физической природе числа являются приближенными, для вычислительного устройства это точные числа и операции над ними устройство должно производить с заданной пользователем точностью.

Под точными вычислениями в арифметике подразумевают получение результата с заданным количеством верных значащих цифр после точки [6].

Все вычисления в компьютере производятся в двоичном виде. Для них база b = 2.

Поскольку двоичная и десятичная системы счисления несоизмеримы, то при конвертации десятичных вещественных чисел в двоичный код чаще всего мы получаем приближенное значение двоичного эквивалента десятичного числа. Поэтому, при переводе десятичных чисел в двоичные возникают погрешности представления.

Десятичные числа, которые имеют точный двоичный эквивалент, называют представимыми.
Десятичные числа, которые не имеют точного двоичного эквивалента, называются непредставимыми.

Все целые десятичные числа представимы, если количество значащих цифр в их двоичном эквиваленте не превышает разрядную сетку области машинного слова, в которую они записываются.

Чем большим количеством двоичных разрядов представлен десятичный эквивалент числа в двоичном виде, тем меньше ошибка представления. Этим объясняется стремление постоянно наращивать разрядность операционного регистра процессора.

Любое десятичное число, двоичный эквивалент которого содержит количество значащих цифр, превышающее разрядную сетку машинного слова, может быть представлено только приближенно.

Арифметические действия, в результате которых получается результат с превышением разрядности мантиссы машинного слова, возвращают приближенное число.

Приближенные числа могут содержать верные, сомнительные и неверные цифры.
Неверные цифры при вычислениях влияют на точность и иногда могут приводить совершенно к неправильным результатам [3].

В соответствие с теорией приближенных вычислений, для получения правильных результатов приближенные числа округляются таким образом, чтобы исключить неверные цифры [6].

Точность, которую пользователь хочет, или может получить при вычислениях, определяется количеством верных цифр, которые обеспечивает вычислительный алгоритм.

Любое двоичное число можно округлить до заданного количества двоичных цифр, отбрасывая лишние разряды.

Аналогично, любое десятичное число можно округлить до требуемого количества десятичных цифр, отбрасывая лишние цифры.

Нельзя простым отбрасыванием лишних двоичных цифр в двоичном числе округлить его десятичный эквивалент до заданного количества десятичных цифр, поскольку уменьшение разрядности двоичного эквивалента десятичного числа приводит к увеличению числа неверных цифр в его десятичном эквиваленте.

Любое вещественное число, выраженное в форме десятичной дроби, может быть точно представлено в формате числа с плавающей точкой (ЧПТ), в котором мантисса является целым числом. Экспонента в ЧПТ будет указывать положение точки в этом числе.

Если число представлено в формате ЧПТ с целочисленной мантиссой, то мантисса и экспонента этого числа могут быть точно проконвертированы в двоичный код.

Новое

Формат, в котором мантисса десятичного ЧПТ представлена двоичным эквивалентом десятичной целочисленной мантиссы, а экспонента является двоичным эквивалентом степени числа 10 (база b=10), будем называть смешанным десятично — двоичным форматом (СДДФ).

Отличие СДДФ от двоичного формата ЧПТ в том, что экспонента в СДДФ равна степени базы b=10, в то время как экспонента двоичного формата ЧПТ равна двоичной степени базы b=2. Соответственно, для СДДФ число будет представлено как , а для ЧПТ, в стандарте IEEE754, как .

Отличие СДДФ от двоично-десятичного формата (ДДФ или BCD) ЧПТ в том, что в ДДФ мантисса и экспонента представляют собой целые десятичные числа, в которых каждая цифра записана в виде байта или тетрады, в то время, как в СДДФ все десятичные числа выражаются их целыми двоичными эквивалентами.

6 умножений в секунду.

Сравнить с быстродействием калькуляторов Windows и Excel я пока не могу, не хватает образования:(. Что же касается точности вычислений, то она такая же, как если бы расчеты велись вручную.

Литература:

Взгляд со стороны: Стандарт IEEE754
Нужна ли нормализация в числах с плавающей точкой?
Фатальные ошибки двоичной арифметики при работе с числами с плавающей точкой
Снова о числах с плавающей точкой
Системы счисления
Основные правила приближенных вычислений

Вычитание двоичных чисел

ДВОИЧНЫЕ КОДЫ И

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Введение

С помощью цифровых схем производятся различные вычисления. Поэтому необходимо представлять все десятичные цифры и все необходимые числа в виде комбинации 0 и 1. Представление числа только двумя знаками называется

бинарным представлением.

Коды, которые используют только два знака, называют бинарными (двоичными) кодами.

Существует множество бинарных кодов. Но на практике применяются только некоторые из них. Бинарные коды имеют регламентированную разрядность. Каждая десятичная цифра в определенном коде представляется определенным количеством так называемых бинарных разрядов. Бинарный разряд может принимать значение 0 или 1. Бинарный разряд, или базовая единица данных называется бит (от англ.: binary digit — двоичная цифра).

Бит означает один бинарный разряд. Он может быть равен 0 или 1.

В двоичном коде представляются прежде всего десятичные числа. Однако оказалось целесообразным использовать также другие системы счисления. Особенное значение имеет шестнадцатеричная система счисления. Наряду с этим часто используется восьмеричная система счисления. Особенное значение имеет двоичная система счисления. Двоичная система счисления одновременно является бинарным кодом, так как состоит только из цифр 0 и 1.

Двоичная система счисления

Структура двоичной системы счисления

Все используемые системы счисления являются так называемыми позиционными системами счисления. В позиционной системе счисления позиция цифры однозначно связана со значением числа посредством особого фактора увеличения в виде степенного числа.

В десятичной системе счисления каждый разряд числа умножается на 10 в соответствующей степени (рис. 8.1). Чтобы посчитать от нуля до 9, нужен ноль и девять цифр в колонке единиц. Число десять запишется как 1 в колонке десятков и 0 в колонке единиц.

Если в распоряжении имеются только цифры 0 и 1, то каждый разряд числа умножается на степень числа два (рис. 8.2). В первом столбце справа могут быть записаны только числа от 0 до 1. Для записи числа необходимо использовать 2 столбца справа. Число 2 получается путем записи 0 в первом столбце справа и 1 во втором столбце справа (рис. 8.3). Для представления числа 7 требуется записать 111. Первая 1 справа представляет значение 1, вторая 1 — значение 2, и третья 1 — значение 4. В итоге получается 4 + 2 + 1 = 7.

Перевод двоичных чисел в

десятичную систему счисления

Перевести двоичное число в десятичное очень просто. Для этого используют таблицу согласно рис. 8.4. Эта таблица может быть по желанию продолжена влево.

Двоичное число заносится в таблицу (рис. 8.4). Столбцы, в которых должны быть 0, не представляют интереса. Важными являются столбцы, в которых стоит 1. Первое двоичное число на рис. 8.4 имеет 1 в столбце 2⁵. Эта 1 представляет значение 32. Следующая 1 стоит в столбце 2². Эта 1 представляет значение 4. Общее значение двоичного числа составляет 32 + 4 = 36.

Второе двоичное число имеет 1 в столбце 2⁷. Эта 1 представляет значение 128. Следующая 1 стоит в столбце 2⁵. Эта 1 представляет значение 32. Обе следующие единицы представляют значения 4 и 2. Общее значение двоичного числа в итоге 128 + 32 + 4 + 2 = 166.

Определим значения третьего и четвертого двоичных чисел на рис. 8.4. Для третьего двоичного числа должно получиться значение 1633. Четвертое двоичное число имеет значение 752.

Перевод десятичных чисел

в двоичную систему счисления

Преобразование десятичных чисел в двоичные может также быть проведено при помощи таблицы. Таблица должна иметь достаточно большое количество столбцов. При преобразовании определяют прежде всего единицу с наибольшим значением, затем единицы с меньшими значениями. Общее значение десятичного числа разделяется на столбцы. Рассмотрим пример.

Переведем десятичное число 900 в двоичное число. 1 со значением 1024 не подходит, так как десятичное число имеет значение только 900. Наибольшая единица для этого примера 2⁹. Она имеет значение 512. Итак, мы задействовали 512 из 900. Остается еще 388. Следующая 1 в столбце 2* имеет значение 256. Теперь остаток составляет только 388 — 256 ** 132. 1 в столбце 2⁷ имеет значение 128, так что остается 4. Остаток 4 дает I в столбце 2². В другие столбцы записывается 0. В итоге десятичное число 900 преобразовано в двоичное число 1110000100. Теперь попробуем преобразовать двоичное число в десятичное.

Преобразуйте десятичные числа 1300 и 1877 в двоичные. Получают следующие результаты:

1300 * 10100010100;

1877 — 11101010101.

Вещественные двоичные числа

(правильные дроби)

Двоичные числа бывают, как и десятичные, с цифрами после запятой. Первому разряду справа от запятой ставится в соответствие 2^-1.Второму разряду справа от запятой — 2^-2. На рис. 8.6 показано распределение степеней числа 2 по разрядам справа от запятой.

Двоичные числа с запятой (дробные) пересчитываются в десятичные числа таким же способом, как и двоичные числа без запятой. Соответственно можно и дробные десятичные числа перевести в двоичную систему.

Пример———————————————————————————————————

Десятичное число

2⁵

2⁴

2³

2²

2¹

2⁰

2^-1

0,5

2^-2

0,25

2^-3

0,125

2^-4

0,0625

22,6875

Может так случиться, что десятичное число с запятой не может быть преобразовано в двоичное число без остатка. Тогда нужно решить, на сколько разрядов после запятой следует производить преобразование и по достижении этой разрядности закончить пересчет. Для облегчения пересчета можно использовать таблицу на рис. 8.7.

2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰

16 8 4 2 1

1 1 Перенос

1 0 1 1 1. Число

1 0 0 1 1 2. Число

Если преобразовать двоичные числа в десятичные, можно легко проверить правильность проведенного сложения.

Маленькое 2 в скобках внизу обозначает двоичное число. Число с 10 в скобках внизу является десятичным числом. Эта идентификация применяется только в случае возможных недоразумений.

Непосредственное вычитание

Двоичное число может, как и в десятичной системе, вычитаться из другого двоичного числа. Такое вычитание называется нормальным. Для него действуют следующие правила.

Правила:

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

Вычитание 0—1 приводит к отрицательному результату. Здесь возникает несколько трудностей.

При непосредственном вычитании вычитаемое число пишется прямо под числом, от которого оно отнимается (уменьшаемым).

Пример —————————————————————————————

1 1 0 1 1 Уменьшаемое

-1 0 0 0 1 Вычитаемое

1 0 0 1 1 Разность

Вычитание начинают со столбца с наименьшей степенью, с самого правого. Цифра вычитаемого вычитается из цифры уменьшаемого ( 1 – 1 = 0 в примере). Затем происходит вычитание во втором столбце справа (1-0=1), затем в 3 столбце справа и т. д. Этот пример не представляет никакой трудности, так как не возникает ситуации 0 — 1. В следующем примере иначе.

Пример —————————————————————————————

Чтобы провести вычитание в третьем столбце справа, «одолжим» 1 из 4-го столбца. Получается: 10 — 1 = 1. Единица в сером круге, таким образом,. становится 0.

В компьютерной технике вычитание производится преимущественно добавлением дополнения к вычитаемому числу.

Вычитание с дополнением также возможно в десятичной системе. Предположим, что пятиразрядный спидометр машины показывает 95000 (рис. 8.8). Если машина проедет еще 15 000 км, то спидометр покажет 10 000. Такое же число получится, если от 95 000 отнять 85 000. Число 15 000 называется дополнением к числу 85 000. Конечно, этот способ функционирует только при выполнении условия, что при прибавлении дополнения результат не отображается в шестом разряде. То есть спидометр на рис. 8.8 не может быть шестиразрядным. В компьютерной технике можно просто осуществлять запрет переносов.

При пятиразрядном представлении в десятичной системе дополнение и вычитаемое в сумме дают число 100000, т. е. 10⁵. При шестиразрядном представлении в десятичной системе дополнение и вычитаемое в сумме дают 10⁶. Общий принцип гласит:

В десятичной системе дополнение и вычитаемое число дополняют друг друга при п-разрядном представлении до 10ⁿ.

Найденное дополнение называется B-дополнением.

В двоичной системе вычитание в дополнительном коде производится аналогичным образом.

В приведенном примере нужно вычесть из числа 15 число 7. Результат будет 8. Какое число должно быть прибавлено к 15₍₁₀₎ = 1111₍₂₎, чтобы в результате получилось 8₍₁₀₎ = 1000₍₂₎ при условии, что перенос в 5 разряде запрещен? Методом подбора находим число 1001₍₂₎= 9_(10). Это число является дополнением к 111₍₂₎ = 7₍₁₀₎.

При четырехзначном представлении дополняют вычитаемое число до 16 =2⁴. При пятизначном представлении— до 2⁵ = 32. В следующем примере показано, как дополнение (25) и вычитаемое (7) дополняют друг друга до 32.

Пример —————————————————————————————

Итак, можно сформулировать следующее правило.

В двоичной системе дополнение и вычитаемое число дополняют друг друга при n-разрядном представлении до 2n.

Если требуется найти дополнение вычитаемого числа, то прежде всего нужно знать, с каким количеством разрядов предстоит работать. В компьютерной технике разрядность известна заранее. Для наших примеров мы принимаем разрядность 6. Если вычитаемое число имеет меньше значащих цифр, чем 6, то оно расширяется ведущими нулями до достижения заданного 6-разрядного формата.

Пример —————————————————————————————

При 6 разрядах сумма дополнения и вычитаемого должна быть равна 26 — 64. Если вычитаемое число 7, то дополнение должно быть 57.

Если теперь проинвертировать расширенное число, т. е. вместо всех 0 записать 1 и вместо всех 1 записать 0, то получится число, которое только на 1 меньше искомого дополнения. Получается число 56.

Пример —————————————————————————————

32 16 8 4 2 1

0 0 0 1 1 1 = 7

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1 1 1 0 0 0 = 56

Это не случайность, а закономерность, которую можно проверить на следующих примерах.

После инвертирования вычитаемого числа, расширенного до полного формата, получается число на 1 меньше дополнения к вычитаемому.

Если к полученному коду добавить 1, то получается искомое дополнение.

Для получения дополнения в двоичной системе следует воспользоваться следующим алгоритмом:

Расширить вычитаемое число до полноразрядного формата добавлением ведущих нулей
Инвертировать вычитаемое.
К инверсии добавить число 1.

Справедливость этого метода доказана на следующих примерах.

Пример (6-разрядное представление)___________________________________

1 0 1 1 1 1 = 47

— 1 1 0 1 1 = 27

0 1 1 0 1 1 Уменьшаемое число

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1 0 0 1 0 0 Инвертированное уменьшаемое число

+ 1

1 0 0 1 0 1 Дополнение

Перенос

Дополнение

Результат

Пример (8-разрядное представление) —————————————————

1 0 1 1 1 1 = 47

— 1 1 0 1 1 = 27

0	0	0	1	1	0	1	1	Уменьшаемое число
↓	↓	↓	↓	↓	↓	↓	↓
1	1	1	0	0	1	0	0	Инвертированное уменьшаемое число
						+	1
1	1	1	0	0	1	0	1	Дополнение

Перенос	1	1	1		І	1	1	1
		0	0	1	0	1	1	1	1
Дополнение	+	1	1	1	0.	0	1	0	1
Результат:		0	0	0	1	0	1	0	0

=20

двоичных чисел | Формулы преобразования и математические операции

В этом разделе мы объясним, что такое двоичное число, и покажем, как преобразовывать двоичные числа в десятичные (десятичные).

Мы также покажем вам, как выполнять различные математические операции с двоичными числами, включая умножение и деление.

Обзор двоичных чисел

Двоичная система счисления, используемая цифровыми устройствами, такими как компьютеры, смартфоны и планшеты. Он также используется в цифровых аудиоустройствах, таких как проигрыватели компакт-дисков и MP3-плееры.

Электронные двоичные числа хранятся/обрабатываются с использованием электрических импульсов выключения или включения, цифровая система интерпретирует эти состояния выключения и включения как 0 и 1. Другими словами, если напряжение низкое, оно будет представлять 0 (состояние выключения) , а если напряжение высокое, то оно будет представлять 1 (включенное состояние) .

Двоичная система с основанием 2, в отличие от нашей десятичной системы счисления с основанием 10 (десятичная).

Другими словами, в двоичном формате для обозначения значения используются только две разные цифры (0 и 1), в отличие от десятичного, в котором используется 10 цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8 и 9). ).

Вот пример двоичного числа: 10011100

Как видите, это просто набор нулей и единиц, всего 8 цифр, что делает это 8-битное двоичное число. Бит — это сокращение от «Двоичная цифра», и каждая цифра классифицируется как бит.

Крайний правый бит, в данном случае 0, известен как младший значащий бит (LSB).

Крайний левый бит, в данном случае 1, известен как старший бит (MSB).

обозначения, используемые в цифровых системах:
4 бита = полубайт
8 бит = байт
16 бит = слово
32 бита = двойное слово
64 бита = четверное слово (или абзац)

При написании двоичных чисел вам нужно будет указать, что число является двоичным (основание 2), в качестве примера возьмем значение 101. Поскольку оно написано, будет трудно понять, является ли оно двоичным или десятичным (десятичным) стоимость. Чтобы обойти эту проблему, принято обозначать базу, к которой принадлежит число, записывая базовое значение вместе с числом, например:

101 ₂ — двоичное число, а 101 ₁₀ — десятичное (десятичное) значение.

Зная основание, можно легко вычислить значение, например:

101 ₂ = 1*2 ² + 0*2 ¹ + 1*2 ⁰ = 5 (пять)

101 ₁₀ = 1*10 ² + 0*10 ¹ + 1*10 ⁰ = 101 (сто один)

Еще одна особенность двоичных чисел заключается в том, что принято обозначать отрицательное двоичное значение, помещая 1 (единицу) слева (старший значащий бит) значения. Это называется битом знака, мы обсудим это более подробно ниже.

Преобразование двоичного кода в десятичный

Преобразовать двоичное число в десятичное очень просто, как показано ниже:

Допустим, мы хотим преобразовать 8-битное значение 10011101 в десятичное значение, мы можем использовать следующую таблицу формул:

128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	0	1	1	1	0	1

Как видите, мы разместили числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 (степени двойки) в обратном числовом порядке, а затем записали двоичное значение ниже.

Чтобы преобразовать, вы просто берете значение из верхней строки, где внизу есть 1, а затем складываете значения вместе.

Например, в нашем примере у нас будет 128 + 16 + 8 + 4 + 1 = 157.

Для 16-битного значения вы должны использовать десятичные значения 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768 (степени двойки) для преобразование.

Поскольку мы знаем, что двоичный код имеет основание 2, то приведенное выше можно записать так:

1*2 ⁷ + 0*2 ⁶ + 0*2 ⁵ + 1*2 ⁴ + 1*2 ³ + 1*2 ^{9 0*2 50 9 0*2590 + + 1*2 ⁰ = 157.}

Преобразование десятичного числа в двоичное

Преобразовать десятичное число в двоичное также очень просто, вы просто делите десятичное значение на 2, а затем записываете остаток. Повторяйте этот процесс до тех пор, пока вы больше не сможете делить на 2, например, возьмем десятичное значение 157:

157 ÷ 2 = 78
78 ÷ 2 = 39
39 ÷ 2 = 19
19 ÷ 2 = 9
9 ÷ 2 = 4
4 ÷ 2 = 2
2 ÷ 2 = 1
1 ÷ 2 = 0

с остатком 1
с остатком 0
с остатком 1
с остатком 1
с остатком 1
с остатком 0
с остатком 0
с остатком 1

<--- чтобы преобразовать сначала напишите этот остаток.

Затем запишите значение остатков снизу вверх (другими словами, сначала запишите нижний остаток и продвигайтесь вверх по списку), что дает:

10011101 = 157

Сложение двоичных чисел

Сложение двоичных чисел очень похоже на сложение десятичных чисел, сначала пример:

Давайте рассмотрим приведенный выше пример шаг за шагом:

1 + 1 = 0 (перенести один)
1 + 1 (+ перенос) = 1 (перенос)
0 + 1 (+ перенос) = 0 (перенос)
1 + 0 (+ перенос) = 0 (перенос)
1 + 0 (+ перенос) = 0 (перенос)
0 + 1 (+ перенос) = 0 (перенос)
1 + 0 (+ перенос) = 0 (перенос один)

Последний перенос помещается в левую часть результата, что дает: 10000010

Вычитание двоичных чисел

Наиболее распространенный способ вычитания двоичных чисел заключается в том, чтобы сначала взять второе значение (число, которое нужно вычесть) и применить так называемое дополнение до двух, это делается в два этапа:

дополнить каждую цифру по очереди (заменить 1 на 0 и 0 на 1).
прибавьте к результату 1 (один).

примечание: первый шаг сам по себе известен как дополнение.

Применяя эти шаги, вы фактически превращаете значение в отрицательное число, и, как и при работе с десятичными числами, если вы добавляете отрицательное число к положительному числу, вы фактически вычитаете то же самое значение.

Другими словами, 25 + (-8) = 17, что равносильно записи 25 — 8 = 17.

Например, сделаем следующее вычитание 11101011 — 01100110 (235 ₁₀ — 102 ₁₀ )

Примечание. При вычитании двоичных значений важно поддерживать одинаковое количество цифр для каждого числа, даже если это означает размещение нулей слева от значения для составления цифр. Например, в нашем примере мы добавили ноль слева от значения 1100110, чтобы количество цифр увеличилось до 8 (один байт) 01100110.

Сначала мы применяем дополнение до двух к 01100110

что дает нам 10011010.

Теперь нам нужно сложить 11101011 + 10011010, однако, когда вы делаете сложение, вы всегда игнорируете последний перенос, поэтому наш пример будет таким:

что дает нам 10000101, теперь мы можем преобразовать это значение в десятичное число, что дает 133 ₁₀

Таким образом, полное десятичное число равно 235 ₁₀ — 102 ₁₀ = 133

40043 10 10 004 (правильно!)

Отрицательные числа

В приведенном выше примере меньшее число вычитается из большего числа.

Если вы хотите вычесть большее число из меньшего (получив отрицательный результат), то процесс немного отличается.

Обычно для обозначения отрицательного числа старший значащий бит (левый бит) устанавливается равным 1, а остальные 7 цифр используются для выражения значения. В этом формате MSB называется битом знака.

Вот шаги для вычитания большого числа из меньшего (отрицательный результат).

Применить дополнение до двух к большему числу.
Добавьте это значение к меньшему числу.
Измените бит знака (MSB) на ноль.
Примените дополнение до двух к значению, чтобы получить окончательный результат.
Старший бит (бит знака) теперь указывает, что значение отрицательное.

Например, давайте сделаем следующее вычитание 10010101 — 10110100 (149 ₁₀ — 180 ₁₀ )

Процесс выглядит следующим образом:

Теперь мы можем преобразовать это значение в отрицательное десятичное число, что дает -31 ₁₀

Таким образом, полное десятичное число равно 149 ₁₀ — 180 ₁₀ = -31 ₁₀ (верно!)

Умножение двоичных чисел

Двоичное умножение может быть выполнено аналогично умножению десятичных значений.

Использование метода длинного умножения, т. е. последовательного умножения каждой цифры и последующего сложения значений.

Например, давайте выполним следующее умножение: 1011 x 111 (десятичное число 11 ₁₀ x 7 ₁₀ )

что дает нам 1001101, теперь мы можем преобразовать это значение в десятичное, что дает 77 ₁₀

Таким образом, полное десятичное вычисление: 11 ₁₀ x 7 ₁₀ = 77 ₁₀ (верно!!)

примечание: Обратите внимание на шаблон в частичных произведениях, как вы можете видеть, умножение двоичного значения на два может быть достигнуто путем сдвига битов влево и добавления нулей вправо.

Деление двоичных чисел

Как и умножение, деление двоичных значений выполняется так же, как деление на длинные числа в десятичных числах.

Например, выполним следующее деление: 1001 ÷ 11 (десятичное число 9 ₁₀ ÷ 3 ₁₀ )

что дает нам 0011, теперь мы можем преобразовать это значение в десятичное, что дает 3 ₁₀

Таким образом, полное десятичное вычисление будет 9 ₁₀ ÷ 3 ₁₀ = 3 ₁₀ (верно!)

примечание: Деление двоичного значения на два также может быть достигнуто сдвигом битов вправо и добавлением нулей слева.

Двоичная система счисления — Арифметические вычисления в двоичной системе счисления

Для определения числа в двоичной системе используется двоичная система счисления. Двоичная система представляет собой представление чисел с помощью нулей и единиц. Двоичная система счисления обычно используется в компьютерных языках, таких как Java, C++. Это связано с тем, что компьютер понимает только двоичный язык, равный 0 или 1. Все вводимые компьютеру данные декодируются в последовательность нулей или единиц.

Система счисления обычно используется для представления чисел в компьютерной архитектуре. Система счисления подразделяется на четыре типа:

Двоичная система счисления (по основанию 2)
Восьмеричная система счисления (по основанию 8)
Десятичная система счисления (по основанию 10)
Hecimalx 6 6 6 Система (база 16).

Как в математике, так и в цифровой электронике двоичная система счисления представляет собой способ представления чисел, основание которых равно 2, а то же самое представляет собой комбинацию нулей и единиц. Здесь мы предоставили пример двоичной системы счисления. Взглянем!

110100

История двоичной системы счисления

Томас Харриот, Готфрид Лейбниц и Хуан Карамуэль-и-Лобковиц изучали двоичную систему в 16-17 веках. Это называется современной бинарной системой. Тем не менее, другие методы представления двоичных чисел были найдены в более раннее время в различных странах, таких как Индия, Китай, Египет и т. д.

Томас Харриот, Готфрид Лейбниц и Хуан Карамуэль-и-Лобковиц изучали двоичную систему в 16 и 17 веках. Это называется современной бинарной системой. Тем не менее, другие методы представления двоичных чисел были найдены в более раннее время в различных странах, таких как Индия, Китай, Египет и т. д.

В следующей таблице вы увидите значения десятичных значений до двоичных чисел от 1 до 30.

Десятичные до двоичных чисел от 1 до 30

444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444449н

. 0353 1101
9008185

Соответствующий двоичный номер	Соответствующий двоичный номер	Соответствующий двоичный номер	Соответствующий двоичный номер	80353 Соответствующий двоичный номер0101
1	1	11	1011	21	10101
2	10	12	1100	22	10110
3	110003	13 99639959	3 13	13	23	10111
4	100	14	1110	24	11000
5	101	15	1111	25	11001
6	110	16	10000	26	11010
7	111	17	10001	27	11011
8	1000	18	. 0003	28	11100
9	1001	19	10011	29	11101
10	1010	20	10100	30	11110

11110

185
11110
185
11110
185
0353 Почти все виды основных арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление, возможны с двоичными цифрами. Изучим их по отдельности.
Суммирование двоичных чисел является простейшей операцией, использующей форму переноса.
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0, здесь переносим 1, так как 1 + 1 равно 2, что равно 0 + (1 x 21)
Дополнение из двух цифр (здесь «1») дает ноль, а перенос необходимо добавить ко второму числу. Это точно так же, как мы делаем в десятичной системе при сложении двух однозначных чисел. Например:
5 + 5 = 0 и перенос 1
Здесь вы можете проверить пример, показывающий сложение двух двоичных выражений.
Add 10101 and 11011
Binary Number System Addition
+
1
1
1
1

1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
Подобно сложению, вычитание следует той же процедуре: _{30353 0 – 1 = 1, одолжить 1}
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
Когда вы вычитаете 1 из 0, получается 1, и то же самое нужно уменьшить из следующего числа. Это называется заимствование.
Здесь вы можете проверить пример, показывающий вычитание двух двоичных выражений.
Subtract 1010110 – 101010
Binary Number System Subtraction
9068

1

1

1
—
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0

1
0
1
1
0
0
0
9068
0. Поскольку двоичные числа представляют собой комбинацию только двух цифр, будет только два результата. Изучив приведенный ниже пример, вы лучше его поймете.
Умножение 10111 на 1101
Двоичная система счисления Умножение
X
1
1
0
1
1
0
1
0

0
0
0
0
1
1
0
1

0
0
0
0

1
1
0
1

1
0
0
0
0
0
1
0
Двоичное деление снова такое же, как и для десятичных чисел. Проверьте пример ниже:
Раздел двоичной системы счисления
10
)1
0
1
0(
101

1
0

0
1
0

1
0

0

Решенные проблемы с двоичной системой счисления
Задача 1. Преобразуйте следующее двоичное число в десятичное число.
(а) 10112
9{0}\]
= 16 + 0 + 4 + 0 + 1
\[ = 21_{10} \]
Веданту приводит приведенное выше обсуждение двоичной системы счисления компьютеров и ее арифметических вычислений. Если вы ищете учебные материалы для других систем счисления, немедленно загрузите приложение.
Двоичная система счисления
Число, которое может быть выражено в двоичной системе счисления или в системе счисления с основанием 2, называется двоичным числом. Он имеет только два числовых значения, таких как 1 (один) и 0 (ноль).
Двоичная система — это внутреннее приложение, используемое почти каждым новейшим компьютером и компьютерным устройством из-за непосредственной реализации электронных схем, использующих логические вентили. Каждая цифра обозначается как бит.
Binary Number Table
.0086
Number
Binary Number
Number
Binary Number
Number
Binary Number
1
1
11
1011
21
10101
2
10
12
1100
22
10110
3
11
13
1101
23
10111
4
100
14
1110
24
11000
5
101
15
1111
25
11001
6
110
16
10000
26
11010
7
111
17
10001
27
11011
8
8

4
8

9
. 0003
18
10010
28
11100
9
1001
19
10011
29
11101
10
1010
20
10100

3 30
953 10100

3 30

3 30

11110

Двоичные арифметические операции
Это то же самое, что и арифметические операции с числами. Аналогичным образом мы можем выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления над двоичными числами.

Сложение двух двоичных чисел даст само двоичное число. Это самый простой метод по сравнению с другими арифметическими операциями. Сложение двух однозначных двоичных чисел происходит следующим образом.
Binary Addition
Binary Numbers
Addition
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0; Перенесите →1
Например: добавьте \[1101_{2}\] и \[1001_{2}\].
Решение: 1101 + 1001 = 10110

Вычитание двух двоичных чисел даст само двоичное число. Это один из простых способов. Вычитание двух однозначных двоичных чисел происходит следующим образом.
Двоичное вычитание
Binary Numbers
Subtraction
0
0
0
0
1
1; Borrow 1
1
0
1
1
1
0
Например: вычтите \[1101_{2}\] и \[1010_{2}\].
No related posts.