Изначально необходимо вычислить дискриминант:
\[D= 36-136= -100\]
Поскольку дискриминант отрицательный, то в действительных числах его решить нельзя. Однако можно извлечь корень в комплексных числах:
\[\sqrt D=\pm 10i\]
Получаем 2 корня:
\[z_{1,2}=\frac {r\pm 10i}{2}=3\pm 5i\]
— сопряженные комплексные корни.
Решить комплексное уравнение онлайн решателем вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
1 2i 1 i
Вы искали 1 2i 1 i? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 2i 3 i, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «1 2i 1 i».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 1 2i 1 i,1 2i 3 i,1 4i 1 i,1 i 1 2i,1 i 12,1 i 2 3i,1 i 2 5i,1 i 2 i,1 i 25,1 i 3,1 i 4,1 i 8,1 i x 1 i y 3 i,1 i z,1 i равно,1 i решение,1i,2 3i 1 i,2 i 1 3i,2 i 1 i,2 i 3 2i,2i 1 i,2i i,3 2i 1 i,3 2i 5 i,3 2i 7 i,3 i 1,3 i 1 2i,3 i 2 i,3 i 5 2i,3 i z 2 i,3 i комплексные числа,3i2 ru,5 i 2 i,i 0 i 3 i,i 1 12,i 1 3,i 2 i 3,i 3 1,i 3 вычислить,i 3 комплексные числа,i i2 i3 i4,i i2 i3 i4 i5,i z 1,i в 3 степени комплексные числа,i в степени 3 комплексные числа,z 1 2i,z 1 i 1 2i,z 1 i 2 i,z 2 2i,z 2 3i,z 2 3i 2,z 2 i,z 2i,z 3 i 2 i,z 3i z 2,z i,z i 2,z i 3 1,z i z 2,z1 1 i,z1 2 i,z1 2 i решение,z1 z2 комплексные числа,выполните действия над комплексными числами,выполнить действия с комплексными числами,выполнить действия с комплексными числами онлайн,вычисление комплексных чисел,вычисление комплексных чисел онлайн,вычислите 2 i 1 i,вычислите i 1 i,вычислите i 3,вычислите i i2 i3 i4,вычислить 3 i,вычислить i 3,вычислить комплексное число,вычислить комплексное число онлайн с подробным решением,вычислить комплексные числа,вычислить комплексные числа онлайн,вычислить онлайн комплексные числа,вычислить по формуле муавра онлайн калькулятор,вычитание и сложение комплексных чисел онлайн,даны комплексные числа,даны комплексные числа z1 и z2 решить онлайн,действие с комплексными числами,действия комплексные числа,действия над комплексными числами в алгебраической форме онлайн калькулятор,действия над комплексными числами калькулятор онлайн,действия над комплексными числами онлайн,действия над комплексными числами онлайн калькулятор,действия с комплексными числами,действия с комплексными числами онлайн,действия с комплексными числами онлайн калькулятор,деление комплексные числа онлайн,деление комплексных чисел калькулятор,деление комплексных чисел калькулятор онлайн,деление комплексных чисел онлайн,деление комплексных чисел онлайн калькулятор,записать комплексное число в алгебраической форме онлайн калькулятор,как комплексные числа решать онлайн,калькулятор действительных чисел,калькулятор деление комплексных чисел,калькулятор для комплексных чисел,калькулятор для комплексных чисел онлайн,калькулятор комплексного числа,калькулятор комплексные числа,калькулятор комплексных,калькулятор комплексных чисел,калькулятор комплексных чисел в показательной форме онлайн,калькулятор комплексных чисел деление,калькулятор комплексных чисел онлайн,калькулятор комплексных чисел онлайн с подробным решением,калькулятор комплексных чисел онлайн с решением,калькулятор комплексных чисел онлайн с решением в показательной форме,калькулятор комплексных чисел с подробным решением онлайн,калькулятор комплексных чисел с решением,калькулятор комплексных чисел умножение онлайн,калькулятор мнимой единицы,калькулятор мнимых чисел,калькулятор мнимых чисел онлайн,калькулятор онлайн для комплексных чисел,калькулятор онлайн комплексные числа,калькулятор онлайн комплексные числа с решением,калькулятор онлайн с комплексными числами,калькулятор онлайн с мнимой единицей,калькулятор решение комплексных чисел,калькулятор с комплексными числами,калькулятор с комплексными числами онлайн,калькулятор с мнимой единицей,калькулятор с мнимой единицей онлайн,калькулятор с решением комплексных чисел,комплексного числа калькулятор,комплексное число вычислить,комплексное число калькулятор онлайн,комплексное число онлайн,комплексное число онлайн калькулятор,комплексные числа i 3,комплексные числа i в степени 3,комплексные числа z1 z2,комплексные числа вычислить,комплексные числа вычислить онлайн,комплексные числа действия,комплексные числа калькулятор,комплексные числа калькулятор онлайн,комплексные числа калькулятор онлайн с подробным решением,комплексные числа калькулятор онлайн с решением,комплексные числа онлайн,комплексные числа онлайн вычислить,комплексные числа онлайн деление,комплексные числа онлайн калькулятор,комплексные числа онлайн калькулятор с подробным решением,комплексные числа онлайн калькулятор с решением,комплексные числа онлайн решение,комплексные числа онлайн решить,комплексные числа онлайн решить уравнение,комплексные числа посчитать онлайн,комплексные числа примеры с решением онлайн,комплексные числа решение онлайн,комплексные числа решить онлайн,комплексные числа решить уравнение онлайн,комплексный калькулятор,комплексный калькулятор онлайн,комплексный онлайн калькулятор,найдите разность z1 z2 комплексных чисел,найдите сумму комплексных чисел,найти произведение комплексных чисел,найти сумму разность произведение и частное комплексных чисел z1 и z2,найти частное двух комплексных чисел полученное число представить,найти частное комплексных чисел 1 i,онлайн вычисление комплексных чисел,онлайн вычитание комплексных чисел,онлайн действия над комплексными числами,онлайн действия с комплексными числами,онлайн калькулятор действия над комплексными числами,онлайн калькулятор для комплексных чисел,онлайн калькулятор комплексное число,онлайн калькулятор комплексных чисел,онлайн калькулятор комплексных чисел деление,онлайн калькулятор комплексных чисел с подробным решением,онлайн калькулятор комплексных чисел умножение,онлайн калькулятор мнимых чисел,онлайн калькулятор решение уравнений с комплексными числами,онлайн калькулятор с комплексными числами,онлайн калькулятор с мнимой единицей,онлайн калькулятор умножение комплексных чисел,онлайн комплексное число,онлайн произведение комплексных чисел онлайн,онлайн расчет комплексных чисел,онлайн решение комплексных уравнений,онлайн решение комплексных чисел,онлайн решение комплексных чисел с решением,операции с комплексными числами онлайн,посчитать комплексные числа онлайн,расчет комплексных чисел онлайн,решение комплексные числа онлайн,решение комплексных уравнений калькулятор онлайн,решение комплексных уравнений онлайн калькулятор,решение комплексных чисел онлайн,решение комплексных чисел онлайн с подробным решением,решение комплексных чисел онлайн с решением,решение комплексных чисел с подробным решением онлайн,решение онлайн комплексные числа,решение онлайн комплексных чисел,решение уравнений с комплексными числами онлайн,решение уравнений с комплексными числами онлайн калькулятор,решить комплексные числа онлайн,решить онлайн комплексные числа,решить уравнение комплексные числа онлайн,решить уравнение онлайн комплексные числа,решить уравнение с комплексными числами онлайн,сложение комплексных чисел онлайн,умножение комплексных чисел онлайн,умножение комплексных чисел онлайн калькулятор,уравнения с комплексными числами онлайн,формула муавра онлайн калькулятор с решением. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 2i 1 i. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 1 4i 1 i).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 2i 1 i Онлайн?
Решить задачу 1 2i 1 i вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Использование онлайн калькуляторов для вычисления комплексных чисел
Столкнувшись с необходимостью вычисления комплексных чисел, можно воспользоваться различными онлайн калькуляторами. Их существует огромное количество, они достаточно просты в использовании, но все же существует ряд нюансов, которые стоит учитывать при работе.
Лучшие калькуляторы комплексных чисел
Мы провели свои вычисления и выяснили, какие калькуляторы самые надежные и функциональные.
Способ 1: Kontrolnaya Rabota
Это отличный калькулятор, который быстро вычисляет и отображает ход решения. Рассмотрим принцип работы с ним.
- Ознакомьтесь с инструкцией по вводу чисел.
- Согласно правилам ввода, наберите нужное вам выражение в выделенном поле.
- Считаем, нажав на кнопку «Вычислить».
- Получаем ответ, записанный в трех разных формах.
Если вам потребуется подробное решение примера, то его можно найти под ответами в окошке «Описание».
Перейти на Kontrolnaya Rabota
Способ 2: OnlineMSchool
Это понятный и простой калькулятор, освоить который можно за несколько секунд. Вот алгоритм действий для вычисления:
- Введем нужные нам числа.
- Выберем алгебраическую операцию из списка, который появляется при нажатии на стрелочку.
- Начинаем вычисление нажатием на кнопку «=».
- Чуть ниже получаем наш ответ.
Перейти на OnlineMSchool
Способ 3: Мир математики
Интересный ресурс, который предоставляет после вычислений подробные пояснения. Ниже представлен план работы с этим калькулятором.
- Введем комплексные числа в выделенные поля.
- Выбираем необходимое действие.
- После клика на нужную операцию начнется вычисление и ниже появится результат.
Перейти на Мир математики
Способ 4: Math Solution
Очень удобный калькулятор, так как сразу выполняет все 4 алгебраические операции (+, -, *, /). Разберем основные этапы работы с ним.
- Для начала необходимо ознакомиться с правилами ввода чисел, нажав на «+».
- Теперь введем нужные числа.
- Посчитаем, нажав на кнопку «Вычислить сумму, разность, произведение и частное».
- Получаем результат с подробным решением.
Перейти на Math Solution
Надеемся, что наша статья была достаточно информативной для вас и при вычислении комплексных чисел никаких трудностей не возникнет. Желаем удачи.
Комплексные числа — формы комплексных чисел и действия над комплексными числами. Примеры решения задач по высшей математике онлайн
Комплексным числом называется выражение вида , где и – действительные числа, а символ удовлетворяет условию .
Число называется действительной частью комплексного числа и обозначается , – мнимой частью и обозначается , – мнимой единицей.
Комплексные числа и называется комплексно-сопряженными. Так, если , то .
Сложение, вычитание и умножение комплексным чисел, заданных в алгебраической форме, выполняются по правилам сложения, вычитания и умножения двучленов вида с заменой каждый раз на . Деление выполняется по формуле:
Геометрически комплексное число изображается точкой на координатной плоскости или радиус-вектором этой точки.
Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:
где – модуль числа ; – его аргумент – величина угла между положительным направлением оси и радиусом-вектором (см. рисунок), причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной – если по часовой стрелке.
Величина угла определяется из системы уравнений:
Значение (или ) обозначается и называется главным.
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
Если
то
то есть при умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, аргументы складываются, а при делении модули делятся, а аргументы вычитаются. Геометрический умножение данного комплексного числа на другое комплексное число, отличное от нуля, означает поворот радиус-вектора, изображающего данное число, против часовой стрелки на угол, равный аргументу другого числа. Аналогично деление означает поворот радиуса-вектора данного числа по часовой стрелке на угол, равный аргументу другого числа, и деление этого вектора на модуль другого числа.
При возведении в степень используется формула Муавра
Все значения корня степени из комплексного числа находятся по формуле
Показательная форма комплексного числа имеет вид , где – формула Эйлера.
Действия над комплексными числами в показательной форме
Если
то
Если
то
Задача 2
1) Записать число в алгебраической форме;
2) изобразить его на координатной плоскости;
3) записать число в тригонометрической и показательной формах;
4) вычислить ;
5) найти все корни уравнения
Решение
1) Запишем число в алгебраической форме:
Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .
2) Изобразим число на координатной плоскости:
3) Запишем число в тригонометрической и показательной формах
Модуль комплексного числа:
Вектор лежит в 4-й четверти. Аргумент комплексного числа:
Комплексное число в тригонометрической форме:
Комплексное число в показательной форме:
4) Возведем комплексное число в заданную степень:
5) Найдем корни уравнения .
Получаем:
Тогда корни уравнения:
Задача 3
Даны три комплексных числа , и :
1) выполните действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;
2) найдите расстояние между точками и на комплексной плоскости.
Решение
1) Запишем числа в тригонометрической форме:
Вектор лежит в 2-й четверти
Число в показательной форме:
Число в тригонометрической форме:
Вектор лежит в 4-й четверти
Число в показательной форме:
Число в тригонометрической форме:
Вектор лежит в 3-й четверти
Число в показательной форме:
Число в тригонометрической форме:
Выполним действия в алгебраической форме:
Выполним действия в тригонометрической форме:
Выполним действия в показательной форме:
2) Найдем расстояние между точками и на комплексной плоскости:
complex комплексные числа | Python
Если вы еще ничего не прочитали о комплексных числах на википедии, то обязательно прочитайте. А если прочитали, но не совсем поняли, хотя, даже если и поняли, мы все равно подробно рассмотрим как устроены и как работают комплексные числа в Python.
Создание комплексных чисел
Мы знаем, что любое комплексное число \(z\) задается его действительной частью \(a\), мнимой частью \(b\) и в нем всегда присутствует символ \(i\), обозначающий мнимую единицу. В Python все практически точно так же, только мнимую единицу обозначают символом j (реже J), а числа \(a\) и \(b\) могут быть любыми числами типа int или float. Например, комплексные числа в Python могут выглядеть следующим образом:
3 + 7j
100.0 + 0.001j
100. + .00j
2e-10 - 2e10j Кстати, символ мнимой единицы j не может существовать сам по себе, к нему обязательно должно быть присоединено какое-то число, т.е. мнимая единица в Python выглядит как 1j, а любое число у которого действительная часть равна \(0\) можно указывать без нее, например, все вышеуказанные числа без действительной части, для интерпретатора Python считаются приемлемыми:
7j
0.001j
.00j
2e10jИнтуитивно понятно, что если в числе \(a+bi\) мнимая часть \(b=0\), то оно автоматически становится обычным вещественным числом, потому что \(z=a+0i=a\). Но в то же время все вещественные числа, являются подмножеством комплексных, значит число \(a\) это комплексное число у которого мнимая часть равна \(0\). В математике это так, но в Python нет, т.е. автоматического преобразования чисел типа complex в числа типа int или float не происходит, даже если их мнимая часть равна \(0\):
>>> 10 + 0j # это число могло бы стать числом типа int
(10+0j)
>>>
>>> 3.14 - 0j # а это могло бы стать float
(3.14+0j)Наверное, если бы такое преобразование имело место, то это привело бы к противоречиям некоторых математических операций. Здесь следует еще раз напомнить о преобразовании типов и о том что это преобразование работает только в одну сторону:
>>> -1/2 # результат может быть только типа float
-0.5
>>>
>>> (-0.5)**0.5 # результат может быть только типа complex
(4.329780281177467e-17+0.7071067811865476j) Именно поэтому, комплексное 3.14 - 0j не станет вещественным 3.14. Более того, даже если такие комплексные числа передать встроенным функциям int() или float(), то это приведет к ошибке:
>>> int(2 + 0j)
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
TypeError: can't convert complex to int Для нас очевидно, что раз мнимая часть равна \(0\) то к типу int нужно приводить его действительную часть. Но то что очевидно для нас, не всегда очевидно для интерпретатора. Однако, мы можем работать с отдельными частями комплексного числа с помощью атрибутов real и imag. Так что наше преобразование можно записать так:
>>> int((2 + 0j).real)
2 Особо бдительные, могут заметить, что можно вообще обойтись без функции int() потому что действительная часть числа и так типа int, однако, атрибуты real и imag всегда возвращают вещественный результат (тип float).
Встроенная функция complex()
Встроенная функция complex(real[, imag]) позволяет создать комплексное число на основе значений его действительной и мнимой частей:
>>> complex(1) # аргумент imag не обязателен
(1+0j)
>>>
>>> complex(1, 2e-2)
(1+0.02j)Приятным сюрпризом данной функции, является то что она может создавать комплексное число из строки. Но с небольшой оговоркой, эта строка должна быть допустимым литералом комплексного числа:
>>> complex('1+2j')
(1+2j)
>>> complex('0.1+2.0j')
(0.1+2j)
>>> complex('.1+2.j')
(0.1+2j)
>>> complex('1e3+2e-3j')
(1000+0.002j)Учитывая, что на месте действительной и мнимой части могут находиться только целые и вещественные числа, то как видите, способов ввода строк комплексных чисел становится довольно много. Однако, следует помнить, что пробельные символы являются недопустимыми:
>>> complex('1e3 + 2e-3j')
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: complex() arg is a malformed stringПредставление на комплексной плоскости
Целые и вещественные числа в геометрическом представлении являются точками на числовом луче:
Геометрическим представлением комплексных чисел являются точки на плоскости. Данная плоскость называется комплексной и абсолютно аналогична прямоугольной системе координат, только по оси абцис (x) откладывается величина действительной части (real), а по оси ординат (y) ооткладывается величина мнимой части (imag). Например, точка \(A(3, 4)\) и комплексное число \(z = 3 + 4i\) будут выглядеть вот так:
Как видите, изображение комплексных чисел на плоскости довольно простой процесс, по сути это те же самые декартовы координаты, которые получаются по правилу: \(x=\mathrm {Re} \,z; \quad y=\mathrm {Im} \,z\). А в Python получение тех же координат будет выглядеть аналогично:
>>> z = 3 + 4j
>>>
>>> z.real, z.imag
(3.0, 4.0)Изображение комплексных чисел еще и весьма удобно, так как позволяет наглядно изображать арифметические операции над ними.
Арифметические операции
Сложение двух комплексных чисел \(A=a+bi\) и \(B=c+di\) выполняется по простой формуле:
$$A+B = \left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i$$
Python выполняет все промежуточные действия за нас, сразу выдавая результат:
>>> a = -5 + 3j
>>> b = 4 + 2j
>>>
>>> a + b
(-1+5j)На предыдущем рисунке мы видели, что комплексное число это точка на комплексной плоскости. Но если заметить что значения действительной и мнимой части отсчитываются от начала координат, то уместно задать вопрос: «А нельзя ли изображать эти числа в виде векторов?» Ответ: «Можно.» Данные числа действительно можно рассматривать как радиус-векторы:
Разность комплексных чисел задается похожим образом:
$$A-B = \left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(a-c\right)+\left(b-d\right)i$$
Умножение комплексного числа на вещественное число выполняется очень просто: \(kA = k\left(a+bi\right)=ka + kbi\) и по сути просто меняет лишь длину радиус вектора комплексного числа, вдоль его направления:
>>> a = 2 + 2j
>>>
>>> a*2
(4+4j)
>>>
>>> a*(-1.5)
(-3-3j)А вот умножение комплексных чисел друг на друга немного сложнее:
$$(a+bi)\cdot (c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i$$
Как всегда в Python мы сразу видим результат:
>>> a = 1 + 1j
>>> b = 1 + 4j
>>>
>>> a*b
(-3+5j)Который на комплексной плоскости выглядит вот так:
Можно было бы предположить, что это что-то вроде векторного или скалярного умножения векторов, но нет, умножение комплексных чисел, отличается от этих двух операций.{2}}}\right)i$$
Давайте посмотрим как это выглядит в Python и на комплексной плоскости:
>>> a = -5 - 1j
>>> b = -1 + 1j
>>>
>>> a/b
(2+3j)Математические операции
Комплексные числа поддерживают не все математические операции и не все операции сравнения, а побитовые операции не поддерживаются вообще. Дело в том, что комплексные числа являются «двумерными», что на первый взгляд вовсе не кажется помехой для таких операций как целочисленное деление или остаток от деления. На на самом деле введение таких операций приводит к неопределенностям, которые невозможно преодолеть. К тому же, такие операции как < и > так же не могут быть выполнены просто потому, что мы не знаем какая из двух точек на плоскости будет больше другой, а какая меньше.
Неподдерживаемые комплексными числами математические операции выделены красным цветом и оставлены в таблице, потому что они формально могут присутствовать в математических выражениях содержащих числа типа int и float. Все операции отсортированы по убыванию приоритета:
| № | Операция | Результат | Замечание |
|---|---|---|---|
| 1 | x ** y | возводит x в степень y | (I) |
| 2 | pow(x, y[, z]) | возводит x в степень y по модулю z, где z – необязательный аргумент. Если указан параметр z, то это приведет к ошибке ValueError | (I) |
| 3 | divmod(x, y) | возвращает кортеж с парой чисел (x // y, x % y) | (II) |
| 4 | x.conjugate() | возвращает \(\bar{x}\) — число, которое комплексно сопряжено с \(x\) | |
| 5 | complex(re, im) | преобразует re в комплексное число (по умолчанию im = 0) | (V)(VI) |
| 6 | float(x) | преобразует x в вещественное число (число с плавающей точкой). Если x комплексное, то будет вызвано исключение TypeError | (VI) |
| 7 | int(x) | переобразует x в целое число, представленное в десятичной системе счисления. Если x комплексное, то будет вызвано исключение TypeError | (VI) |
| 8 | abs(x) | абсолютное значение (модуль) числа x | (III) |
| 9 | +x | делает число x положительным | |
| 10 | -x | делает число x отрицательным | |
| 11 | x % y | остаток от деления x на y | (II) |
| 12 | x // y | результат целочисленного деления x на y | (II) |
| 13 | x / y | результат «истинного» деления x на y | (IV) |
| 14 | x * y | произведение x и y | |
| 15 | x - y | разность x и y | |
| 16 | x + y | сумма x и y |
Важно: приоритет математических операций выше операций сравнения.
Замечания:
I. возведение \(0+0i\) в степень \(0+0i\) возвращает \(1+0i\):
>>> c = 0 + 0j
>>> c
0j
>>>
>>> c**c
(1+0j) II. функция divmod() и операция %, // не работают для комплексных чисел. Для вас это может быть и очевидно, но не пользователя для которого вы пишите программу.
III. Функция abs() всегда возвращает результат типа float.
IV. деление на \(0+0i\) приведет к ошибке и вызовет исключение ZeroDivisionError.
V. встроенная функция complex() пропускает числа (объекты) типа complex «как есть», не выполняя над ними, абсолютно никаких действий.
VI. строго говоря эти функции не являются математическими, но они могут учавствовать в математических выражениях Python и поэтому должны обладать приоритетом.
Операции сравнения
Для сравнения чисел имеется \(8\) операций, но для комплексных чисел доступно только \(4\) причем все они имеют одинаковый приоритет:
| № | Операция | Результат | Замечание |
|---|---|---|---|
| 1 | x < y | True если x меньше y, иначе False | (I) |
| 2 | x <= y | True если x меньше или равно y, иначе False | (I) |
| 3 | x > n | True если x больше y, иначе False | (I) |
| 4 | x >= n | True если x больше или равно y, иначе False | (I) |
| 5 | x == y | True если x равно y, иначе False | |
| 6 | x != y | True если x не равно y, иначе False | |
| 7 | x is y | True если x и y это один и тот же объект, иначе False | |
| 8 | x is not y | True если x и y это не один и тот же объект, иначе False |
Важно: приоритет операций сравнения ниже математических.
I. эти операции могут присутствовать в математических выражениях, но если операндами являются комплексные числа или одним из них является комплексным числом, то это приведет к ошибке и вызовет исключение TypeError:
>>> a = 3+4j
>>>
>>> abs(a) < 6
True
>>>
>>> a < 6
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
TypeError: unorderable types: complex() < int()Символический (комплексный) метод расчета цепей переменного тока
Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):
Рис.1. Вращающийся вектор
С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ
имеет положительное максимальное значение при угле ωt3, когда при времени t3 сумма ωt3 + φ = 90° и соответственно,
имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt7, когда при времени t7 сумма углов ωt7 + φ = 270° и, соответственно,
и имеет два нулевых значения при ωtn + φ = 0, когда ωtn = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)
и тогда
и имеет нулевое значение при угле ωt11, когда при времени t11 сумма ωt11 + φ = 360° и соответственно,
Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от значения 0 В до максимальных 311 В и обратно.
2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)
Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости
Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .
На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна
На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли
При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:
1) показательная форма в виде
2) тригонометрическая форма в виде
3) алгебраическая форма
где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.
Например, имеем комплексное число в показательной форме вида
в тригонометрической форме записи это запишется как
при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что
В итоге получим
где
При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида
переходит к показательному виду по следующим преобразованиям
а угол
Таким образом, и получим
Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:
- Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
- В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
- При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
- Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
- Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.
Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.
Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов
Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):
Рис.4. Схема с комплексными обозначениями
По закону Ома ток в цепи равен
где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как
Пояснение: здесь начальная фаза φ = 0°, так как общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при φ = 0° равно
Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как
Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде
Находим комплексное сопротивление индуктивности
Находим комплексное сопротивление емкости
Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи
Ток в цепи
Комплексные напряжения на элементах
Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство
Проверяем
С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.
Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2) действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;
- Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.
Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока
Решение:
1. Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Учитываем, что
Комплексное сопротивление первой ветви:
Комплексное сопротивление второй ветви:
Комплексное сопротивление третьей ветви:
Общее сопротивление цепи
Откуда
— нагрузка носит активно-индуктивный характер
2. Находим действующие значения токов в ветвях:
Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами
Действующие значения, соответственно,
3. Определим показания приборов:
Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
U=220 В
Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом, активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:
Как решать комплексные уравнения. Примеры
Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.
Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:
где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = {0, 1, 2, 3, …n-1 }.
Пример 1. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.
Ответ:
Пример 2. Найти все корни уравнения
Найдем дискриминант уравнения:
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:
Найдем корни уравнения:
Ответ:
Пример 3. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа
Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = {0, 1, 2, 3}. Найдем модуль комплексного числа:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:
Ответ:
Пример 4. Найти корни уравнения
Решение кубического уравнения комплексными числами:
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.
Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:
Ответ:
Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.
Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.
После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.
Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.
Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.
Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.
Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.
Калькулятор комплексных чисел
Инструкции :: Все функции
Инструкции
Просто введите формулу в верхнее поле.
Функции
| кв. | Квадратный корень | |
|---|---|---|
| грех | синус | |
| cos | косинус | |
| желто-коричневый | касательная | |
| asin | обратный синус (арксинус) | |
| acos | обратный косинус (arccos) | |
| атан | Арктангенс (арктангенс) | |
| синх | Гиперболический синус | |
| cosh | Гиперболический косинус | |
| танх | Гиперболический тангенс | |
| эксп. | e (константа Эйлера) в степени значения или выражения | |
| пер. | Натуральный логарифм | |
| круглый | округление до ближайшего целого | |
| этаж | Возвращает наибольшее (ближайшее к положительной бесконечности) значение, которое не больше аргумента и является целым числом. | |
| потолок | Возвращает наименьшее (ближайшее к отрицательной бесконечности) значение, которое не меньше аргумента и является целым числом. | |
| вместе | , сопряженное с комплексным числом. Пример: con (2−3i) = 2 + 3i | |
| re | действительная часть комплексного числа. Пример: re (2−3i) = 2 | |
| им. | мнимая часть комплексного числа. {2}} $$$: модуль $$$ 2 + 16 i $$$ равен $$$ 2 \ sqrt {65} $$$Ответ$$$ \ left (1 + 3 i \ right) \ left (5 + я \ право) = 2 + 16 я = 2.0 + 16.0 i $$$ Полярная форма $$$ 2 + 16 i $$$ — $$$ 2 \ sqrt {65} \ left (\ cos {\ left (\ operatorname {atan} {\ left (8 \ right)} \ right)} + i \ sin {\ left (\ operatorname {atan} {\ left (8 \ right)} \ right)} \ right) $$$ Обратное к $ $$ 2 + 16 i $$$ равно $$$ \ frac {1} {2 + 16 i} = \ frac {1} {130} — \ frac {4 i} {65} \ приблизительно 0,00769230769230769 — 0,0615384615384615 i $$ $ Сопряжение $$$ 2 + 16 i $$$ равно $$$ 2 — 16 i = 2.0 — 16.0 i $$$ Модуль $$$ 2 + 16 i $$$ равен $ $$ 2 \ sqrt {65} \ около 16.1245154965971 $$$ Умножение двух комплексных чисел вместеБыстро! Мне нужна помощь с: Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Производное вычисление, Интеграционное вычисление, Частное правило, Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех сложных чисел, Сложение комплексных чисел, Вычисление с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование площади, Преобразование длины, Преобразование длины , VolumeData Analysis, Find the AverageData Analysis, Find the Standard DeviationData Analysis, HistogramsDecimals, Convert to a дробь, Электричество, Стоимость разложения, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DécimalFractions, Convert to a decimalFractions ВычитаниеФракции, Что это такое: Геометрия, Коробки, Геометрия, Круги, Геометрия, Цилиндры, Геометрия, Прямоугольники, Геометрия, Правые треугольники, Геометрия, Сферы, Геометрия, Квадраты, Графики, Линии, Графики, Любая функция, Графики, Круги hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Equation from point and slopeLines, The Equation from pointLinesLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation и Y-intation , Нахождение шансовМатематика, Практика полиномов по математике, Практика основМетрическая система, Преобразование чисел, Сложение чисел, Вычисление с числами, Вычисление с переменными числами, Деление чисел, Умножение чисел, Сравнение числовых линий, Числовые строки, Разместите значения чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание числа слагаемых, Вычитание чисел Квадратные многочлены, Деление многочленов, Факторизация разности квадратов многочленов, Факторизация триномов многочленов, Факторинг с GCF Полиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Квадратные уравнения ormulaQuadratic Equations, Solve by FactoringRadicals, Other RootsRadicals, Square RootsRatios, Что они представляют собой Устранение, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, УмножениеФормы, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение, Упрощение продуктов, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение продуктов , Правые треугольники, Ветер, Рисунок Калькулятор комплексных чисел— Онлайн-калькулятор комплексных чиселКомплексное число — это числа, которые являются мнимыми, обычно в числе есть действительный компонент и мнимый компонент. Что такое калькулятор комплексных чисел?«Калькулятор комплексных чисел Cuemath» — это онлайн-инструмент, который определяет окончательную форму комплексного числа двух заданных комплексных чисел. Онлайн-калькулятор комплексных чисел Cuemath поможет вам найти комплексные числа. ПРИМЕЧАНИЕ: Пожалуйста, вводите значения до 3 цифр. Как пользоваться калькулятором комплексных чисел?Чтобы найти окончательный комплексный номер, выполните следующие действия:
Как найти сумму, разность, произведение и деление комплексных чисел?Калькулятор комплексных чиселпомогает найти окончательное комплексное число после выполнения математической операции над двумя комплексными числами.2} \) Хотите найти сложные математические решения за секунды? Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором для решения сложных вопросов. Cuemath находит решения простым и легким способом. Забронируйте бесплатную пробную версию Класс Решенный пример:Найдите окончательный вид комплексных чисел z1 = 3 + 4i & z2 = 6 + 8i после выполнения каждой операции. Раствор:Для z1 = 3 + 4i z2 = 6 + 8i 1.2} \) = 0,5 + 0i Аналогичным образом найдите значения для заданных комплексных значений: —
Калькулятор упрощения комплексных чиселНаших пользователей: УХ ТЫ! Я понятия не имел, насколько легко это будет на самом деле. Я просто вставляю свои математические задачи и узнаю, как их решать. Алгебратор стоит каждого цента! Я очень внимательно отношусь к академическим потребностям моего сына и слежу за ними.Недавно я обнаружил, что у него проблемы с пониманием алгебраических уравнений. Я не мог уделять ему много времени из-за моего плотного графика. Затем это программное обеспечение пришло как дар, посланный Богом. Простой способ объяснения сложных концепций помог моему сыну быстро овладеть предметом. Всем рекомендую эту программу. Я думаю, что эта программа — один из самых полезных инструментов обучения, которые я купил (и, поверьте, я купил много!). Нам, родителям, легко работать с ней, она экономит много драгоценного времени наших детей. Студенты, решающие всевозможные алгебры, узнают, что наше программное обеспечение спасает жизнь. Вот поисковые фразы, которые использовали сегодняшние поисковики, чтобы найти наш сайт. Можете ли вы найти среди них свою?Поисковые фразы, использованные на 2011-11-09:
Калькулятор комплексных чисел — SolveMyMath.comСписок справки по математике — — Математическая справка Быстрый переход — Научный онлайн-калькулятор — Общая математика — Калькулятор фракцийКалькулятор процентовКалькулятор квадратного корняКалькулятор факторингаУпрощающие выраженияКалькулятор делителейКалькулятор факторингаКалькулятор наибольшего общего множителя (GCF) Калькулятор последнего общего множителя (LCM) Калькулятор простых чисел и средство проверкиПроверка идеального числа — Валидатор квадратов — Алгебра и комбинаторики -уравнения SolverQuadratic Уравнение SolverSystem уравнений SolverCombinatoricsPermutationsPolynomialsPolynomials — Сложение и SubtractionPolynomials — Умножение и DivisionPolynomials — Дифференциация и IntegrationPolynomials — Паритет калькулятор (нечетный, четный, нет) Полиномы — Корень FinderPolynomials — Сформировать из RootsMatricesMatrix Calculator- определителя, обратная матрица CalculatorMatrix — Сложение, вычитание, умножение, исчисление, интегральный калькулятор, калькулятор определенного интеграла, калькулятор производной, числовая производная КалькуляторКалькулятор пределов Отклонение CalculatorVariance CalculatorKurtosis CalculatorSkewness Calculator- Описательная статистика Калькуляторы -Матрица Центральный момент CalculatorCorrelation Матрица CalculatorCovariance Матрица CalculatorMatrix Среднее геометрическое CalculatorMatrix гармоническое среднее CalculatorMatrix межквартильный Диапазон CalculatorMatrix Эксцесс CalculatorMatrix нецентральные Момент CalculatorMatrix Среднее CalculatorMatrix Максимальная CalculatorMatrix Минимальная CalculatorMatrix Медиана CalculatorMatrix Среднее отклонение CalculatorMatrix Среднее отклонение CalculatorMatrix Quantile Калькулятор Калькулятор асимметрии квартиля матрицы Калькуляторы Калькуляторы распределения Вейбулла — Калькуляторы дискретных распределений — Калькуляторы биномиального распределения Синхронные уравнения (Комплексный) Калькулятор — Расчет высокой точности
[1] 2021/07/11 04:38 Женский / 20-летний уровень / Старшая школа / Университет / Аспирант / Очень /
[2] 2021/05/24 20:58 Мужчина / Уровень 20 лет / Высшая школа / Университет / Аспирант / Полезно /
[3] 2021/04/26 20:24 Мужской / Моложе 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Не совсем /
[4] 2021/04/26 11:07 Мужской / Уровень 20 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /
[5] 2021/04/11 12:39 Мужчина / До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень /
[6] 2021/03/16 07:02 Женский / Уровень 20 лет / Средняя школа / Университет / Аспирант / Полезно /
[7] 2021/01 / 17 00:52 Мужской / До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Полезно /
[8] 2021/01/07 20:30 Мужской / Уровень 20 / Старшая школа / Университет / Аспирант / Полезно /
[9] 2020/09/18 06:51 Мужской / Уровень 20 лет / Высокий- школа / университет / аспирант / полезное /
[10] 2020/09/02 06:04 Женский / 30-летний уровень / Учитель / исследователь / Не совсем / |