3. Пределы функций
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.
Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:
1.
Понять, что такое предел. 2.
Научиться решать основные типы
пределов.
Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.
Итак, что же такое предел?
А сразу пример, чего бабушку лохматить….
Любой предел состоит из трех частей:
1) Всем известного значка предела . 2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ). 3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».
Разберем
следующий важный вопрос – а что значит
выражение «икс стремится к
единице»? И что вообще такое
«стремится»?
Понятие предела – это
понятие, если так можно сказать, динамическое.
Построим последовательность: сначала
,
затем
,
,
…,
,
….
То
есть выражение «икс стремится к
единице» следует понимать так – «икс»
последовательно принимает значения, которые
бесконечно близко приближаются к единице
и практически с ней совпадают.
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Готово.
Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!
Пример с бесконечностью:
Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.
А что в это время происходит с функцией ? , , , …
Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:
Грубо
говоря, согласно нашему первому правилу,
мы вместо «икса» подставляем в
функцию бесконечность
и получаем ответ.
Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
Вывод: при функция неограниченно возрастает
И еще серия примеров:
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:
, , , , , , , , , Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться. В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .
Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.
Также
обратите внимание на следующую вещь.
Даже если дан предел с большим числом
вверху, да хоть с миллионом:
,
то все равно
,
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.
Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с очень интересными случаями, когда предела функции вообще не существует
! На практике, к
сожалению, подарков немного.
А поэтому
переходим к рассмотрению более сложных
пределов.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Пример:
Вычислить предел
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени: Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь
смотрим на знаменатель и тоже находим
в
старшей степени: Старшая
степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на
Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.
Что принципиально важно в оформлении решения?
Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.
В-третьих,
в пределе желательно помечать, что и
куда стремится. Когда работа оформляется
от руки, удобнее это сделать так: Для
пометок лучше использовать простой
карандаш.
Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметить недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?
Пример 2
Найти
предел
Снова
в числителе и знаменателе находим
в
старшей степени: Максимальная
степень в числителе: 3
Максимальная
степень в знаменателе:
4
Выбираем
Разделим числитель и знаменатель на
Пример 3
Найти предел Максимальная степень «икса» в числителе: 2 Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как ) Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Под
записью
подразумевается
не деление на ноль (делить на ноль
нельзя), а деление на бесконечно малое
число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Группа следующих пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.
Пример 4
Решить предел Сначала попробуем подставить -1 в дробь: В данном случае получена так называемая неопределенность .
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Для
этого чаще всего нужно решить квадратное
уравнение и (или) использовать формулы
сокращенного умножения.
Итак, решаем наш предел
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение: Сначала находим дискриминант: И квадратный корень из него: .
В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.
! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.
Далее находим корни:
Таким образом:
Всё.
Числитель на
множители разложен.
Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
Очевидно, что можно сократить на :
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:
Разложим числитель на множители.
Пример 5
Вычислить предел
Сначала «чистовой» вариант решения
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: Знаменатель: ,
Что важного в
данном примере?
Во-первых, Вы должны
хорошо понимать, как раскрыт числитель,
сначала мы вынесли за скобку 2, а затем
использовали формулу разности квадратов.
Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.
Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем. Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.
Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.
! Важно В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки). , то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.
Вообще, я заметил,
что чаще всего в нахождении пределов
данного типа приходится решать два
квадратных уравнения, то есть и в
числителе и в знаменателе находятся
квадратные трехчлены.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Продолжаем рассматривать неопределенность вида
Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, что помимо многочленов у нас добавятся корни.
Пример 6
Найти предел
Начинаем решать.
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.
Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.
Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.
Когда
в числителе (знаменателе) находится
разность корней (или корень минус
какое-нибудь число), то для раскрытия
неопределенности
используют метод
умножения числителя и знаменателя на
сопряженное выражение.
Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: И смотрим на наш предел: Что можно сказать? у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать (которое и называется сопряженным выражением).
Умножаем числитель на сопряженное выражение:
Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.
Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :
То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение. В известной степени, это искусственный прием.
Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :
Неопределенность
не
пропала (попробуйте подставить тройку),
да и корни тоже не исчезли.
Но с суммой корней
всё значительно проще, ее можно превратить
в постоянное число. Как это сделать? Да
просто подставить тройку под корни:
Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.
Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.
Готово.
Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте? Примерно так:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
Пример 7
Найти предел
Сначала попробуйте решить его самостоятельно.
Окончательное решение примера может выглядеть так:
Разложим числитель на множители:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение
Спасибо за внимание.
Помимо рассмотренных типов пределов на практике часто встречаются так называемыеЗамечательные пределы, с которыми Вы можете ознакомиться в соответствующей статье.
Лучший инструмент для поиска предела функции
Калькулятор лимита
| Лим( | ) | |
| xabcdfghklmnopqrstuvwyz | → |
Используйте inf для +∞ и -inf для -∞
Сторона: Двусторонняя Правосторонняя (+) Левосторонняя (-)
Решение:
Если вы в настоящее время изучаете как оценить пределы функций , без сомнения, калькулятор пределов , который мы предлагаем вам здесь, будет вам очень полезен. С помощью Калькулятора пределов вы можете рассчитать односторонние пределы и двусторонние пределы .
Инструкции по использованию Калькулятора лимитов
Взглянув на калькулятор, вы заметите, что он очень интуитивно понятен, что делает его использование очень простым. Чтобы найти предел функции, вам просто нужно выполнить следующие простые шаги:
- Напишите функцию, предел которой вы хотите оценить, для этого вы должны использовать список допустимых функций.
- Затем выберите переменную и к какому значению приближается переменная.
- Выберите тип предела, который вы хотите рассчитать, у вас есть три варианта:
- Двусторонний предел
- Односторонний предел:
- Правосторонний (+)
- Левосторонний (-)
- Наконец, нажмите кнопку расчета, чтобы получить результат.
| Допустимые функции и символы | Описание | |
|---|---|---|
| квт() | Квадратный корень | |
| лн() | Натуральный логарифм 9 | Экспоненты |
| абс() | Абсолютное значение | |
| sin(), cos(), tan(), csc(), sec(), cot() | Основные тригонометрические функции | |
| asin(), acos(), atan(), acsc(), asec(), acot() | Обратные тригонометрические функции | |
| sinh(), cosh(), tanh(), csch(), sech(), coth() | Гиперболические функции | |
| asinh(), acosh(), atanh(), acsch(), asech(), acoth() | Обратные гиперболические функции | |
| число пи | PI-номер (π = 3,14159. ..) | |
| е | Число Непера (e= 2,71828…) | |
| я | Для обозначения мнимой составляющей комплексного числа. | |
| инф | ∞ |
Определение предела функции
Предел функции можно определить как значение L, к которому f(x) приближается, когда независимая переменная x приближается к определенному значению x 92. Предел этой функции при приближении x к 2, обозначаемый как lim(x→2)f(x), равен 4. Это связано с тем, что по мере приближения x к 2 значение f(x) становится все ближе и ближе к 4.
Предел функции можно использовать для описания поведения функции вблизи определенной точки, даже если функция в этой точке не определена. Например, функция g(x) = 1/x не определена при x = 0, но мы все же можем говорить о пределе этой функции при приближении x к 0. В этом случае предел равен бесконечности, так как при x достигает ближе и ближе к 0 значение g(x) становится все больше и больше.
Пределы — важное понятие в математике, потому что они позволяют нам описывать поведение функций в точках, где функция не может быть определена, и они играют центральную роль в развитии исчисления.
Правила ограничения
Свойства пределов — это набор алгебраических правил и процедур, используемых для их вычисления. Понятие предела является фундаментальным для исчисления, и определение его значения не должно быть сложной задачей, если вы знаете эти правила. Ниже приведен список основных свойств лимитов:
| Предел константы | lim x → a к = к |
| Постоянное множественное правило | LIM x → A ( K · F ( x ) = K · LIM x → A ( F ( → A ( F ( → A ( F ()) ) ( F ()) ) ( F ()) A ( F ()))). |
| Сумма функций | lim x → a ( f ( x )+ g ( x )) = lim x → a ( f ( x ))+ lim x → a ( g ( x )) |
| Различие функций | lim x → a ( f ( x )- g ( x )) = lim x → a ( f ( x ))- lim х → а ( г ( х )) |
| Произведение функций | LIM x → A ( F ( x ) · G ( x )) = LIM x → A ( F ( x ). → a ( г ( x )) |
| Частное функций | lim x → a f ( x ) г ( x ) = lim x → a ( f ( x )) lim x → a ( г ( x ))  ;   i f    lim x → a ( г ( x )) ≠ 0 |
| Правило предельной степени | lim x → a ( f ( x ) n ) = ( lim x → a ( f f )0028 ( x ))) п |
| Пределы основного закона | LIM x → A (√ N F ( x ) = √ N LIM x → A (778). |
| Предел полиномиальной функции | lim x → a ( p ( x )) = ( p ( a )) |
Методы нахождения предела функции
Прямая подстановка: Этот метод включает в себя просто подстановку значения, к которому x приближается, в функцию и просмотр результата.
Если выход представляет собой конечное число, то это значение предела. Если на выходе бесконечность или неопределенное значение, нам нужно использовать другой метод.Разложение на множители. Этот метод включает преобразование выражения функции в более простые термины, а затем использование свойств пределов для нахождения предела.
Правило Лопиталя: Этот метод включает в себя получение производной функции по x и нахождение предела производной. Если производная имеет конечный предел при приближении x к определенному значению, то исходная функция также имеет конечный предел при этом значении.
Расширение ряда: Этот метод включает расширение функции в ряд Тейлора вокруг точки, где берется предел. Затем можно рассчитать предел, взяв соответствующий член в разложении.
Асимптотическое расширение: Этот метод включает в себя нахождение выражения для функции, которая становится точной в пределе, когда x приближается к определенному значению.
Затем можно рассчитать предел, взяв соответствующий член в разложении.Численные методы: В некоторых случаях может потребоваться использование численных методов для аппроксимации предела функции. Одним из распространенных методов является использование компьютерной программы для оценки функции в большом количестве точек вблизи точки, где берется предел, а затем использование этих значений для оценки предела.
Contribution Calculator
Не могли бы вы инвестировать всего на 2% больше?
Воспользуйтесь этим калькулятором, чтобы узнать, насколько больше вы могли бы накопить в пенсионном плане вашего работодателя с течением времени, увеличивая сумму, которую вы отчисляете из каждой зарплаты. Даже 2 процента от вашей зарплаты могут иметь большое значение. Введите информацию о вашей текущей ситуации, вашей текущей и предлагаемой новой ставке взноса, ожидаемом повышении заработной платы и сроке инвестирования денег, а также ваши собственные предположения о темпах роста ваших инвестиций, и вы сами увидите разницу*. Для получения дополнительной информации см. Как использовать калькулятор вклада.
Исправьте выделенные ниже области.
Показать подробности
Гипотетические будущие итоги счета
@ Текущий вклад. Ставка
$0
@ Новый вклад. Ставка
$0
Разница
$0
*Этот калькулятор предназначен для использования в качестве учебного пособия, а не инвестиционного совета. Он позволяет вводить гипотетические данные. Выбранные вами переменные не предназначены для отражения эффективности какой-либо ценной бумаги или текущих экономических условий. Примеры предназначены только для иллюстративных целей и не являются предсказанием результатов инвестиций.
Расчеты основаны на значениях, введенных в калькулятор, и не учитывают никаких ограничений, налагаемых IRS или правилами плана. Кроме того, расчеты предполагают постоянную ставку взноса в течение введенного количества лет инвестирования.
Допущения: Инвестиции осуществляются в начале периода. Показанные балансы на диаграмме являются балансами на конец года. И годовая норма прибыли составляется с той же частотой, что и вклад. Расчеты основаны на значениях, введенных в калькулятор, и не учитывают никаких ограничений, налагаемых IRS или правилами плана. Кроме того, расчеты предполагают постоянную ставку взноса в течение введенного количества лет инвестирования.
Этот калькулятор предназначен для того, чтобы показать вам, как потенциально вы можете увеличить стоимость своего счета пенсионного плана, увеличив сумму, которую вы отчисляете с каждой зарплаты. Окно «График роста» и «Предполагаемые будущие итоги счета» будут обновляться каждый раз, когда вы нажимаете кнопку «Рассчитать» или «Пересчитать».
Предварительно заполненные суммы
На основании наших записей может быть предварительно заполнена следующая информация:
Заработная плата
- Период оплаты. Если информация недоступна, период оплаты по умолчанию — еженедельно.
Взнос
- Ставка вашего взноса. Обратите внимание, что мы будем использовать 8% в качестве значения по умолчанию, если ваша ставка взноса недоступна или если ваш взнос выражен в долларах, а не в процентах.
Инвестиции
- Инвестированные годы (65 минус ваш возраст)
- Ваш начальный баланс
Вы можете изменить любое из этих значений.
Использование калькулятора
В следующих полях вам необходимо ввести:
Заработная плата
- Ваша годовая брутто-зарплата.
- Ваша ожидаемая годовая заработная плата увеличивается, если таковая имеется.
- Как часто вам платит ваш работодатель.
Взнос
- Сумма вашего текущего взноса (сколько вы в настоящее время вносите на счет своего плана).
- Предлагаемая новая сумма вашей ставки взноса. Обязательно проверьте максимальную ставку взноса, допустимую в соответствии с вашим планом. Кроме того, на взносы до налогообложения распространяется годовой долларовый лимит IRS.
Лимиты взносов до налогообложения, планы 401(k), 403(b) и 457(b) 906:20 | |
|---|---|
| 2023 | 22 500 долларов США |
| После 2023 года | Может индексироваться ежегодно с шагом 500 долларов США |
- Вы можете ввести сумму ваших текущих и предполагаемых взносов в процентах от вашей зарплаты или в долларах за платежный период.
- Примечание. Если вы решите ввести эти суммы в долларах, важно выбрать соответствующую периодичность периода оплаты, например, еженедельно, ежемесячно и т. д., в поле «Зарплата». Кроме того, если это суммы в долларах, к этим суммам будет применено ожидаемое ежегодное увеличение заработной платы.
Соответствие работодателя
- Сумма соответствия вашего работодателя, если таковая имеется.
- Используйте поля «Дополнительное соответствие», если ваш работодатель предлагает двухуровневое соответствие, например, 100 процентов до первых 3 процентов внесенной заработной платы и 50 процентов следующих 2 процентов внесенной заработной платы. В этом примере вы должны ввести 3 процента в поле «Совпадение с» и 5 процентов в поле «Дополнительное совпадение с», чтобы указать общее общее совпадение с работодателем.
Инвестиции
- Период времени, на который вы планируете инвестировать эти деньги.
- Сумма вашего текущего баланса счета.
- Ваша гипотетическая предполагаемая годовая доходность.
В этом поле приведены цифры на диаграмме:
Гипотетические будущие итоги счета
- Первое поле слева показывает гипотетическую стоимость вашего счета в конце указанного периода времени при текущей ставке взноса. и гипотетическая предполагаемая годовая норма прибыли.
- Второе поле в середине показывает гипотетическую стоимость вашего счета в конце указанного вами периода времени при предложенной вами новой ставке взноса и гипотетической предполагаемой годовой норме прибыли.
- Третье поле показывает разницу между ними.
- Диаграмма роста содержит подробную информацию о том, как каждый источник баланса вашего счета может расти. Просто наведите указатель мыши на диаграмму, и итоги появятся во всплывающем окне. Помните, что результаты, которые вы получаете в результате расчета гипотетического роста, не учитывают никаких налоговых эффектов. Следовательно, долларовая сумма вашего фактического чистого распределения может быть уменьшена на любые причитающиеся налоги.
Дополнительные возможности накопления
2023
Если в течение календарного года вам исполнится 50 лет или больше, вы можете получить значительную выгоду в результате действия Закона об экономическом росте и налоговых льготах от 2001 года. Если правила вашего плана позволяют, новый закон дает вам возможность » «догоняющие» взносы в пенсионный план. Теперь вы можете внести дополнительный доналоговый взнос в свой план, если вам исполнится 50 лет в течение календарного года и вы достигли либо плана, либо предела доналогового взноса IRS. Максимальный доступный догоняющий взнос составляет 7500 долларов США на 2023 год9.0005
Только для государственных планов 457(b):
2023
Существует альтернативное ограничение для государственных участников 457 (b), которые находятся в одном из трех полных календарных лет до пенсионного возраста. Приемлемые участники могут вносить взносы в размере, превышающем действующий предел отсрочки в два раза (т. е. до 41 000 долларов США в 2023 году). Вы можете использовать только одно из положений о наверстывании (в возрасте 50 лет или обычно) в данном году.
Это единственный тип наверстывания, доступный для 457(b) неправительственных планов.
Калькулятор предназначен только для иллюстративных целей, и показанные результаты являются чисто гипотетическими и не предназначены для отражения реальных инвестиций. Основная стоимость и инвестиционный доход вашего счета плана будут колебаться, и вы можете получить прибыль или убыток при продаже своих акций.
Вы несете единоличную ответственность за точность любых данных, которые вы вводите в этот калькулятор, и расчеты основаны на введенной вами информации. Упрощенные налоговые расчеты также не учитывают любые другие отсрочки до уплаты налогов, такие как ваши счета возмещения расходов на план медицинского страхования или стоматологическое страхование, или другие налоги на заработную плату, такие как FICA.
Ваши обстоятельства уникальны; поэтому вам необходимо оценить свою собственную ситуацию и проконсультироваться со специалистом по инвестициям, если вы чувствуете, что вам нужен более личный совет. Кроме того, вы должны помнить, что результаты, которые вы получаете с помощью этого калькулятора, не учитывают никаких налоговых эффектов.