Практическая работа по теме Вычисление пределов функций
Практическая работа
Тема: «Вычисление пределов функции»
Цель: сформировать умение находить пределы функций, использовать замечательные пределы для нахождения пределов.
Теоретические сведения к практической работе.
Число А называют пределом функции f(x) при (и пишут ), если для любого найдется число зависящее от , такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
Теоремы о пределах:
1. (c=const).
2. Если то:
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел (число е = 2,718…):
или
Замечательные пределы:
Примеры решения:
Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию
1)Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
1) деление на х в старшей степени:
Пример 1:
Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на
П ример 2:
Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Разделим числитель и знаменатель на
П ример 3
Найти предел
Разделим числитель и знаменатель на
при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
2. Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
1) разложение числителя и знаменателя на множители.
Пример 4
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Сначала находим дискриминант:
И квадратный корень из него: Далее находим корни: Таким образом:
Всё. Числитель на множители разложен.
Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
можно сократить на :
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
2) умножение числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
П ример 5
Найти предел
Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
Применяем вверху формулу : Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли.
Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:
Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.
Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:
Решение данного примера в чистовом варианте выглядит так:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
3) использование 1-го замечательного предела
П ример 6
Найти предел
Выражение под знаком предела похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом 7х, значит, в знаменателе тоже нужно получить 7х».
А делается это очень просто:
Пример 7
Найти предел
Пример 8
Найти предел
Пример 9
Найти предел
Пример 10
Найти предел
Второй замечательный предел
В теории математического анализа доказано, что:
Данный факт носит название второго замечательного предела.
Справка: – это иррациональное число.
В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.
Пример 11
Найти предел
Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе тоже нужно организовать .
Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень :
страшная степень превратилась в симпатичную букву :
При этом сам значок предела перемещаем в показатель:
Содержание практической работы.
Вычислить пределы функции:
Вычислить пределы функций, используя замечательные пределы.
Замечательные пределы — определение термина
такое название получили следующие 5 пределов: 1) замечательный тригонометрический (первый замечательный) предел; 2) замечательный показательно-степенной (второй замечательный) предел; 3) замечательный логарифмический предел; 4) замечательный показательный предел; 5) замечательный степенной предел
Научные статьи на тему «Замечательные пределы»
Обычно под пониманием решения предела с тригонометрией понимается решение первого замечательного предела.
..
В подробностях теоретической части о замечательных пределах разбираться здесь не будем….
Условимся, что нам уже известно и графическое представление, и определение первого замечательного предела…
Примеры с первым замечательным пределом
Займёмся преобразованием дроби и воспользуемся теоремами о пределе произведения и первом замечательном
Статья от экспертов
Рассматриваются способы суммирования бесконечных последовательностей, отличающиеся от классических способов, базирующихся на непосредственном использовании критерия Коши. Эти алгоритмы позволяют устанавливать комплексные значения расходящихся в классическом смысле бесконечных последовательностей, составленных из вещественных элементов. Аналогичные алгоритмы вводятся для суммирования бесконечных последовательностей комплексных чисел.
Установлены формулы первого замечательного предела для так называемых эллиптических чисел. Если значение классического первого замечательного предела равно единице, то аналогичный предел для эллиптических чисел является комплексным числом, модуль и аргумент которого зависят от параметра j. При j =p/2 модуль комплексного числа, являющегося пределом, равен обратной величине основания натурального логарифма, т. е. равен 1/е, а аргумент имеет значение константы ln p/2.
Creative Commons
Научный журнал
Замечательные пределы носят название «замечательных» благодаря своему свойству упрощать нахождение…
сложных пределов….
Первый замечательный предел \[\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =1\]
(для натуральных…
неравенство
\[\frac{\sin x}{2} Поскольку х стремится к 0:
\[\frac{1}{tgx}
Следствия первого замечательного.
frac{\sin x}{x} \mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \cos x=\left[2\cdot 1\cdot 1\right]=2\] Второй замечательный
Статья от экспертов
Материалом для написания статьи послужили контрольные работы студентов и домашние задания по математике. Анализ и систематизация информации, полученной в процессе исследования, показали, что большая часть ошибок связана с формализмом в знаниях учащихся. В статье рассмотрены наиболее часто встречающиеся ошибки при решении задач, вскрываются причины их появления, приводятся правильные решения. Автор приходит к выводу, что с типичными ошибками должна проводиться фронтальная работа, со случайными индивидуальная. Любая ошибка должна быть использована для более детального и глубокого проникновения в суть каждого правила, понятия, теоремы и т.д.
Creative Commons
Научный журнал
Повышай знания с онлайн-тренажером от Автор24!
- Напиши термин
- Выбери определение из предложенных или загрузи свое
- Тренажер от Автор24 поможет тебе выучить термины с помощью удобных и приятных карточек
Поиск пределов: определение, правила и функции
Подобно бусам на нитке, ведущей к подвеске, точки на графике могут привести вас к пределу функции.
Как мы можем использовать точки на графике для оценки пределов? Хороший вопрос! Здесь мы рассмотрим некоторые из различных способов нахождения пределов функций!
Нахождение пределов в исчислении
Существует множество способов найти предел функции!
Вы можете использовать определение предела \(\epsilon\), \(\delta\) и написать доказательство. См. Пределы функции для примеров этого метода.
Вы можете посмотреть на график или таблицу значений, чтобы увидеть, каким может быть предел. См. Поиск пределов с помощью графика или таблицы для множества примеров нахождения пределов таким способом.
Вы можете посмотреть на ограничение слева и справа функции и посмотреть, совпадают ли они. См. Односторонние ограничения для определений и примеров использования этого метода.
Вы можете использовать законы пределов, которые являются уже доказанными теоремами для нахождения предела. Если ваша функция хороша, люди часто находят предел именно так.
Для получения дополнительной информации о свойствах лимитов см. Законы лимитов 9.0003Вам может понадобиться использовать специальную теорему, чтобы найти предел, например, теорему сжатия или теорему о промежуточном значении. Оба они очень полезны, и теорема о промежуточном значении появится позже в таких темах, как нахождение максимального значения функции. См. «Теорему о сжатии» или см. «Теорему о промежуточном значении», чтобы узнать, как их использовать.
Для получения дополнительной информации о свойствах лимитов см. Законы лимитов 9.0003Здесь вы увидите пример способов нахождения предела функции.
Использование определения предела
Для просмотра определения предела функции см. Пределы функции.
Возьмем \(f(x)=k\), где \(a\) и \(k\) — постоянные действительные числа. Верно ли, что
\[lim_{x \rightarrow a} f(x)=k\]
Ответ:
Да. Используя определение, для любого \(\epsilon > 0\) вам дано
\[|f(x)-k|=|k-k|=0< \epsilon\]
независимо от того, что \(\delta \) ты используешь.
Таким образом, константные функции имеют предел, которого вы от них ожидаете.
Возьмем \(f(x)=x\), и пусть \(a\) будет постоянным действительным числом. Откуда вы знаете, что
\[lim_{x \rightarrow a} f(x)=a\]
Ответ:
У вас может возникнуть соблазн сказать: «Конечно, предел равен \(a\) — функция — это просто строка». На самом деле этого почти достаточно. Вы не можете использовать какие-либо свойства пределов, но вы можете использовать определение и взять \(\delta = \epsilon\), чтобы показать, что предел равен \(a\).
Использование правил нахождения пределов 92+7\), а \(а\) — постоянное действительное число. Найдите
\[lim_{x \rightarrow a} f(x)\]
Ответ:
Обратите внимание, что функция представляет собой просто сумму и произведение степеней \(x\) вместе с константой \( 7\). Вы уже знаете, что
\(lim_{x \rightarrow a} x=a\) и \(lim_{x \rightarrow a} 7 =7\)
из двух приведенных выше примеров, что означает условия для применения Правило суммы, правило произведения и правило константы выполняются.
Затем их применение дает 92+7\]
Нахождение пределов графически
Ниже приведен пример использования графика для нахождения предела функции. Дополнительные сведения о подобных проблемах см. в разделе Поиск пределов с помощью графика или таблицы.
Рассмотрим функцию
\[f(x)=\dfrac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5)\]
Найдите предел функции как \( х \стрелка вправо 3 \).
Ответ:
Сначала нарисуйте график функции и составьте таблицу значений рядом с \(x=3\). Хотя у функции больше корней, чем показано на графике, поскольку вас интересует только предел как \(x \стрелка вправо 3\), имеет смысл увеличить масштаб функции.
Использование графика с несколькими точками для нахождения предела функции, выделенной красным цветом.
| \(x\) | \(f(x)\) |
| 2.5 | -3.28 |
| 2.55 | -3.37 |
| 2.6 | -3.46 |
| 2,65 | -3,54 |
| 2,7 | -3,62 |
| 2,75 | -3,69 |
| 2,8 | 01030103 -3,76. 76.0104 |
| 2.85 | -3.83 |
| 2.9 | -3.89 |
| 2.95 | -3.95 |
| 3.0 | -4.0 |
| 3.05 | -4.05 |
| 3.1 | -4.09 |
| 3.15 | -4.13 |
| 3.2 | -4.16 |
| 3.25 | -4.18 |
| 3.3 | -4.20 |
| 3,35 | -4,22 |
| 3,4 | -4,22 |
| 3,45 | -4,46 |
Мы также не можем факторизовать и вычеркивать что-либо из дроби. К счастью, у нас есть сопряженный метод. Обратите внимание, что в числителе ровно два члена: ???\sqrt{4+h}??? и ???-2???.
