Вычисление производных функций: Дифференцирование функции, заданной неявно

Дифференцирование функции, заданной параметрически

Примеры решенийРанг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса Найти производную Найти интегралРешение СЛАУ методом Крамера Диф уравнения онлайнОпределитель матрицы Точки разрыва функции

Зависимость функции y от аргумента x может осуществляться через посредство третьей переменной t, называемой параметром:
В этом случае говорят, что функция y от x задана параметрически. Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций.
Предположим, что на некотором промежутке функции x=φ(t) и y=ψ(t) имеют производные, причем φ’(t)≠0. Кроме того, для x=φ(t) существует обратная функция x^-1 = t(x) (производная обратной функции равна обратной величине производной прямой функции). (2/3)

см. также Производная от неявной функции

Пример 1. Найти производную функции y по x, заданной параметрически:
Решение.

.

Запишем функцию y’_x в параметрической форме:
В случае параметрического задания функции первую производную вычисляли по формуле:

(*)

и записывали y’_x тоже в параметрической форме:
К ней снова применим формулу (*) (при условии, что производные второго порядка существуют):

.

Результат тоже записываем в параметрической форме и берем третью производную и т.д. Так можно получить производную от y по x любого порядка.

Пример 2. Найти y’’_xx функции
Решение. Найдем y’_x по формуле (*): .
Производную y’_x

запишем в параметрической форме
К этой функции снова применим формулу (*):

.

Пример 3. Для функции найти y’’’_xxx.
Решение. тогда и

.

Получаем

Еще раз применяем формулу (*):

.

Если требуется получить зависимость y’’’_xxx от x, то выражаем x из соотношения x=e^—t и подставляем в y’’’_xxx.
Для функций, заданных неявно, производные высших порядков можно находить тем же способом, что и первую производную, так как производная любого порядка сама является функцией, заданной неявно, если ее не разрешать относительно производной предыдущего порядка.
Пример 7. Найти производную первого и второго порядка функции, заданной параметрически:
.
Решение.
;
.
Далее будем искать y’’_xx по формуле
.
Отсюда

.

Производную второго порядка также можно было найти по формуле
.

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

3.1.2. Вычисление производной функции в точке MathCAD 12 руководство

RADIOMASTER

Лучшие смартфоны на Android в 2022 году

Серия iPhone от Apple редко чем удивляет. Когда вы получаете новый iPhone, общее впечатление, скорее всего, будет очень похожим на ваше предыдущее устройство. Однако всё совсем не так в лагере владельцев устройств на Android. Существуют телефоны Android всех форм и размеров, не говоря уже о разных ценовых категориях. Другими словами, Android-телефон может подойти многим. Однако поиск лучших телефонов на Android может быть сложной задачей.

Документация Схемотехника CAD / CAM Статьи

MathCAD 12 MatLab OrCAD P CAD AutoCAD MathCAD 8 — 11

• org/Breadcrumb»>Главная
/
• База знаний
/
• CAD / CAM
/
• MathCAD 12

• Дифференцирование
• 3.1. Аналитическое дифференцирование
  • 3.1.1. Аналитическое дифференцирование функции
  • 3.1.2. Вычисление производной функции в точке
  • 3.1.3. Определение функций пользователя через оператор дифференцирования
  • 3.1.4. Дифференцирование при помощи меню
• 3.2. Численное дифференцирование
  • 3.2.1. Дифференцирование в точке
  • 3.2.2. Об алгоритме дифференцирования
• 3.3. Производные высших порядков
• 3.4. Частные производные
  • 3.4.1. Частные производные
  • 3.4.2. Примеры: градиент, дивергенция и ротор
  • 3. 4.3. Пример: якобиан
• 3.5. Разложение функции в ряд Тейлора
  • 3.5.1. Разложение в ряд при помощи меню
  • 3.5.2. Оператор разложения в ряд

Для того чтобы рассчитать производную в точке, необходимо предварительно задать значение аргумента в этой точке (листинг 3.2, вторая строка). Результатом дифференцирования в этом случае будет число — значение производной в этой точке. Если результат удается отыскать аналитически, то он приводится в виде числового выражения, а для того, чтобы получить его в форме числа, достаточно ввести после выданного выражения символ числового равенства <=> (последняя строка листинга 3.2).

Листинг 3.2. Аналитическое дифференцирование функции в точке

Для того чтобы продифференцировать функцию, вовсе не обязательно предварительно присваивать ей какое-либо имя, как это сделано в листингах 3.1, 3.2. Можно определить функцию непосредственно в операторе дифференцирования (это демонстрирует первая строка листинга 3. 3).

Листинг 3.3. Правильное и неправильное использование оператора дифференцирования
 

Как вы заметили, оператор дифференцирования, в основном, соответствует его общепринятому математическому обозначению, и поэтому его легко использовать интуитивно. Однако в некоторых случаях при вводе оператора дифференцирования следует проявить осторожность. Рассмотрим один показательный пример, приведенный во второй строке листинга 3.3, который демонстрирует неправильное применение оператора дифференцирования для вычисления производной в точке. Вместо вычисления производной sin(x) при х=2, как этого можно было ожидать, получено нулевое значение. Это случилось из-за того, что аргумент функции sin(x) введен не в виде переменной х, а в виде числа. Поэтому Mathcad воспринимает последнюю строку как вычисление сначала значения синуса в точке х=2, а затем дифференцирование этого значения (т. е. константы) также в точке х=2, в соответствии с требованием первой строки листинга. Поэтому ответ, на самом деле, неудивителен — в какой точке ни дифференцируй константу, результатом будет ноль.

ПРИМЕЧАНИЕ

То же самое касается и операции численного дифференцирования, т. е. применения оператора <=> вместо <->> .

Нравится

Твитнуть

Теги MathCad САПР

Сюжеты MathCad

Глава 1 Основы работы с системой Mathcad 11

9879 0

Глава 10 Работа с информационными ресурсами Mathcad 11

6918 0

Глава 2 Работа с файлами Mathcad 11

12329 0

Комментарии (0)

Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

Вход

О проекте Использование материалов Контакты

Новости Статьи База знаний

Радиомастер
© 2005–2022 radiomaster.ru

При использовании материалов данного сайта прямая и явная ссылка на сайт radiomaster.ru обязательна. 0.2752 s

Производная формула функции. Стандартное обозначение, производное от некоторых… | Фикри Мульяна Сетиаван | Упрощенная математика

Исчисление для всех

Стандартное обозначение, производная некоторых общих функций и цепное правило дифференцирования

Как я объяснял в предыдущей статье, основная тема производных/дифференциалов заключается в том, насколько быстро происходит изменение. А — как известно —  скорость изменения представлена ​​градиентом функции на графике . То есть чем больше градиент функции, тем быстрее изменяется значение функции.

В предыдущей статье мы видели, что градиент функции в точке может быть выражен как f’(x). f’(x) также показывает скорость изменения функции f(x). f’(x) — это то, что мы назвали производной/дифференцированием f(x).

Прежде чем перейти к следующему обсуждению, вы должны знать, что существует специальное обозначение, которое может заменить приведенную выше формулу для производной. ∆x обозначается как dx, а f(x+∆x)-f(x) обозначается как df(x) или dy. буква d в ​​dx и dy представляет изменение значения с заменой символа ∆x. использование этого обозначения с буквой d также приводит к записи limit x->0 больше не требуется, потому что буква d в ​​самом dx представляет собой очень небольшое отличие от x. Итак, мы можем сказать, что f’(x)=dy/dx. Это обозначение означает « разделить очень маленькое значение y на очень маленькое значение x ». x (e — константа, известная как число Эйлера ) и f(x) = ln x. 9Икс.

4. Производная f(x) = ln x

Из приведенного выше расчета мы знаем, что производная ln x равна 1/x.

С помощью приведенной выше формулы нам очень легко вычислить производную функции. Например, легко вычислить производную x². А как насчет производной от (x+3)²? Это легко, нам просто нужно расширить его, вычислив (x+3)(x+3) как обычно. А как насчет производной от (x+3)⁵⁶? Вы все еще хотите расширить его? Нет, вы потратите слишком много времени. К счастью, у нас есть цепное правило, чтобы решить эту проблему.

Вот утверждение, которое я процитировал с сайта khanacademy.org :

Цепное правило гласит, что производная от f(g(x)) равна f’(g(x))⋅g’(x). Другими словами, это помогает нам различать *составные функции*. Например, sin(x²) является составной функцией, поскольку ее можно построить как f(g(x)) для f(x)=sin(x) и g(x)=x².

Итак, цепное правило можно использовать для получения составной функции. Если вы забыли, составная функция — это просто функция, в которой есть другая функция. Общая форма — f (g (x)), где функция g (x) становится областью определения функции f (x). Примером может служить функция (x+3)⁵⁶ ранее. Функция g(x) здесь равна g(x)=x+3 и f(x) =x⁵⁶. Тогда как использовать цепное правило для производных составных функций? Это просто. Предположим, что функция, которую вы хотите вывести, это f(g(x)). Чтобы вычислить производную, вы должны вывести функцию f(g(x)) по g(x), а затем умножить на производную функции g(x) по x. Для функции f(g(h(x))) метод тот же. Выведите функцию f(g(h(x))) относительно g(h(x)), затем умножьте результат на производную от g(h(x)) по h(x). Затем результат умножается на производную от h(x) по x. Это правило применяется, потому что в основном, потому что производная (dy / dx) — это просто дробь, поэтому мы можем разбить ее на более мелкие дроби, например: 92$. Найдите $Df(1,2)$ и уравнение касательной плоскость в точке $(x,y)=(1,2)$. Найдите линейное приближение к $f(x,y)$ при $(х,у)=(1,2)$.

Решение : \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x}(x,y) &= 2x\\ \pdiff{f}{x}(1,2) &= 2\\ \pdiff{f}{y}(x,y) &= 2y\\ \pdiff{f}{y}(1,2) &= 4 \конец{выравнивание*} Итак, $Df(1,2)=\left[\ 2 \ \ 4\ \right]$.

Поскольку обе частные производные $\pdiff{f}{x}(x,y)$ и $\pdiff{f}{y}(x,y)$ являются непрерывными функциями, мы знаем, что $f(x,y)$ дифференцируема. Следовательно, $Df(1,2)$ — производная от $f$, и функция имеет там касательную плоскость. 92=5$. Уравнение касательной плоскости: \начать{выравнивать*} z &= f(1,2)+\pdiff{f}{x}(1,2)(x-1) + \pdiff{f}{y}(1,2)(y-2) \\ &= 5 + 2(х-1) + 4(у-2) \конец{выравнивание*}

Для скалярной функции двух переменных, такой как $f(x,y)$, касательная плоскость — это линейное приближение. Мы можем написать линейное приближение как \начать{выравнивать*} L (х, у) = 5 + 2 (х-1) + 4 (у-2). \конец{выравнивание*}

Пример 1′

Если посмотреть на точку $(2,3)$, что изменится?

Решение : Частные производные меняются, поэтому производная становится \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x}(2,3) &= 4\\ \pdiff{f}{y}(2,3) &= 6\\ Df(2,3) &= \left[\ 4 \ \ 6\ \right]. 2) 0, 2+\sin 0)\\ &= (0,2) \конец{выравнивание*} Тогда линейное приближение к $\vc{f}$ в (1,2,0) есть Линейное приближение к $\vc{f}$ есть \начать{выравнивать*} L(x,y,z) & = \vc{f}(1,2,0) + D\vc{f}(1,2,0) (x-1, y-2, z) \\ знак равно \оставил[ \начать{массив}{с} 0\2 \конец{массив} \Правильно] + \оставил[ \begin{массив}{ccc} 0 и 0 и 4\\ 0 и 1 и 1 \конец{массив} \Правильно] \оставил[ \начать{массив}{с} х-1\у-2\\г \конец{массив} \Правильно] \\ знак равно \оставил[ \начать{массив}{с} 0\2 \конец{массив} \Правильно] + \оставил[ \начать{массив}{с} 4з\у-2+з \конец{массив} \Правильно] \\ &=(4г, у+г) \конец{выравнивание*}

Пример 4

Используйте линейную аппроксимацию $\vc{f}(x,y,z)$ из примера 3 для аппроксимировать значение $\vc{f}$ в точке $(1.1,1.9,0.1)$.

Решение : Приведенное выше линейное приближение при $(x,y,z) = (1.1,1.9,0.1)$ равно \начать{выравнивать*} L(1.