Вычислить определенные интегралы: Несобственные интегралы

Содержание

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы первого рода

Определение. Пусть f(x) задана на бесконечном промежутке [a, ∞) и для всякого A≥a существует интеграл Предел называется несобственным интегралом первого рода (интегралом по неограниченному промежутку) и обозначается Если существует и конечен, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл первого рода называется расходящимся.

Пример. Рассмотрим . Пусть α=1. Тогда . Таким образом, рассмотренный интеграл при α=1 расходится. Пусть теперь α≠1. Тогда

и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при α≤1 расходится и при α>1 сходится. Этот интеграл часто используется в признаке сравнения в качестве эталонного.
Нам в дальнейшем понадобится следующий важный результат.
Теорема 2.4. (Критерий Коши). Несобственный интеграл первого рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого ε≥0 существует A≥a такое, что для всех A

1,A₂ ≥ A выполнено неравенство
Доказательство этого результата опустим.

Определение. Несобственный интеграл первого рода называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
Отметим, что если несобственный интеграл первого рода сходится абсолютно, то он сходится. Действительно, тогда для интеграла выполнен критерий Коши, а в силу справедливости неравенства , критерий Коши выполнен и для интеграла
Обратное утверждение неверно.
Сходимость несобственного интеграла определяется аналогично. Предлагается проделать это самостоятельно.
Для несобственного интеграла можем записать и назвать этот интеграл сходящимся, если сходятся оба слагаемых. В качестве точки выбирают обычно 0.

Пример. Рассмотрим интеграл По определению сходимости этого интеграла получаем

Следовательно, этот интеграл расходится.

С другой стороны, при согласованном стремлении верхнего и нижнего пределов к ∞ можем записать
Это дает возможность ввести новое понятие.

Определение. Говорят, что несобственный интеграл первого рода сходится в смысле главного значения Коши, если существует и конечен предел .
Рассмотренный выше пример показывает, что несобственный интеграл первого рода может сходиться в смысле главного значения Коши и расходиться в обычном смысле.
Отметим несколько свойств несобственных интегралов первого рода
1. Если интеграл сходится, то для всякого b≥a интеграл сходится и
2. Если интеграл сходится, то сходится интеграл и имеет место равенство
3. Если интегралы и сходятся, то сходятся интегралы и имеет место равенство

Обратное утверждение не верно.

Для других типов несобственных интегралов первого рода свойства аналогичны.
Сходимость не всех несобственных интегралов первого рода просто выяснить по определению. Поэтому часто используют так называемые признаки сравнения в непредельной и предельной формах.
Теорема 2.5. Пусть для всякого x≥A(A≥a) выполнено неравенство |f(x)| ≤ |g(x).

Тогда, если интеграл абсолютно сходится, то интеграл абсолютно сходится, а если интеграл абсолютно расходится, то интеграл абсолютно расходится.
Доказательство не сложно и основано на том, что если f(x)≥0, то — монотонно возрастающая функция от A и несобственный интеграл либо сходится, либо равен бесконечности.
Теорема 2.6. Если f(x) и g(x) бесконечно малые одного порядка малости, то есть , то интегралы и либо оба абсолютно сходятся, либо оба абсолютно расходятся.

Доказательство. Так как , то . Возьмем 0<ε<|K|. По определению предела существует M>0 такое, что для всех x>M выполнено неравенство

а, следовательно, и неравенство
Из последнего неравенства и теоремы 2.5 получаем утверждение теоремы.

Примеры
1. Выяснить сходимость интеграла
Так как для всех x≥1, а интеграл сходится, то и исходный интеграл тоже сходится.
2. Выяснить сходимость интеграла
Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции , получаем

Таким образом, порядок малости – 1,5 и, следовательно, интеграл сходится.

Несобственные интегралы второго рода

Определение. Пусть f(x) задана на полуинтервале [a,b) и Пусть далее для всякого 0<δ<b-a существует интеграл Предел называется несобственным интегралом второго рода (интегралом от неограниченной функции) и обозначается Если существует и конечен, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.
Аналогично определяются несобственные интегралы второго рода в случаях, когда подынтегральная функция бесконечно большая на нижнем пределе, во внутренней точке отрезка [a,b], на верхнем и нижнем пределах одновременно. Мы рассмотрим случай особенности на верхнем пределе. Для остальных вариантов предлагается проделать это самостоятельно.
Пример. Рассмотрим . Пусть Тогда Таким образом, рассмотренный интеграл при α=1 расходится. Пусть теперь α≠1. Тогда
и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при α<1 сходится и при α≥1 расходится.

Интегралы , , используются в признаке сравнения в качестве эталонных.
Аналогично случаю несобственных интегралов первого рода формулируются и доказываются критерий Коши и признаки сравнения для несобственных интегралов второго рода.
Теорема 2.7.(Критерий Коши). Несобственный интеграл второго рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого ε>0 существует δ>0. такое, что для всех δ₁, δ₂≤δ выполняется неравенство
Доказательство этого результата опустим.
Теорема 2.8. Пусть для всякого b-δ≤x<b выполнено неравенство 0≤f(x)≤g(x). Тогда, если интеграл сходится, то интеграл сходится, а если интеграл расходится, то интеграл расходится.
Доказательство опустим.
Теорема 2.9. Если f(x) и g(x)бесконечно большие одного порядка роста, то есть , то интегралы и либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Примеры 1. Выяснить сходимость интеграла

По определению имеем

Выяснить сходимость интеграла
Подынтегральная функция имеет особенность в точках x=0 и x=1 Разбиваем интеграл на два
Первый из этих интегралов сходится, так как порядок роста подынтегральной функции при x→0 относительно 1/x равен ½, а второй расходится, так как порядок роста подынтегральной функции при x→1 относительно равен 1.

Также рекомендуется ознакомиться с возможностью решения интегралов онлайн.

Элементы высшей математики: Определенный интеграл

Определенный интеграл

5.1.

Определенный интеграл

Сегодня вы изучите вопросы

Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла
Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу
Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница
Свойство аддитивности определенного интеграла по промежутку интегрирования
Вычисление определенных интегралов путем замены переменной
Интегрирование по частям определенного интеграла

Изучив тему занятия, вы сможете

Основные понятия

5.1.1.

Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции

В системе декартовых координат Оху дана криволинейная трапеция, ограниченная сверху линией , снизу осью Ох, справа и слева соответственно прямыми и (рис. 5.1).

Разделим отрезок на n произвольных частей точками . Через точки деления проведем прямые, параллельные оси OY. Этими прямыми криволинейная трапеция аbВА разделится на n произвольных частей. Обозначим через S площадь криволинейной трапеции, а через площади полученных ее частей при таком разбиении.

Рассмотрим i-ую часть криволинейной трапеции, ограниченную прямыми и Возьмем внутри отрезка произвольную точку . Найдем значение функции в этой точке: . Приближенно площадь i-ой части криволинейной трапеции заменим площадью прямоугольника с основанием и высотой .

Обозначим через .

Приближенное выражение i-ой площади выглядит так:

. (192)

Аналогично поступив со всеми частями площади криволинейной трапеции, получим:

. (193)

Очевидно, чем меньше по величине , тем точнее приближенное равенство (193). Так как отрезок [a; b] делится нами произвольным образом на n частей, то стремление числа делений к бесконечности еще не обеспечивает стремление к нулю всех одновременно. Это связано с тем, что мы можем, в частности, делить до бесконечности всего один отрезок, а остальные отрезки оставить без изменения.

Поэтому для обеспечения стремления к нулю всех без исключения отрезков вводят величину и переходят к пределу в равенстве (193) при .

Очевидно, если , то все без исключения отрезки должны стремиться к нулю.

Если в равенстве (193) перейти к пределу при , то получим точное выражение для площади криволинейной трапеции:

. (194)

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции аbВА свелось к вычислению предела (194).

Задача о вычислении работы переменной силы

Пусть материальная точка M под действием переменной силы , действующей вдоль оси , перемещается вдоль этой оси. Требуется найти работу силы при перемещении материальной точки вдоль оси из точки до точки .

Из курса физики известно, что при постоянстве силы , действующей по направлению движения, искомая работа равна произведению , где F — абсолютная величина силы, — пройденный путь.

Для отыскания искомой работы по аналогии (см. задачу 1) делим отрезок [a; b], на произвольных частей точками (рис. 5.2).

Рассмотрим i-ую часть отрезка [a; b], ограниченную точками . Возьмем внутри отрезка произвольную точку . Найдем значение функции силы в этой точке: . Приближенно работу на i-ой части заменим произведением:

, где

Поступая аналогично со всеми частями отрезка [a; b], найдем приближенное выражение искомой работы:

. (195)

Если в равенстве (195) перейти к пределу при , то получим точное значение искомой работы:

. (196)

Заметим, что при решении задач 1 и 2 мы делали одни и те же операции:

1) делили отрезок [a; b] на n произвольных частей;

2) внутри каждой части брали по произвольной точке;

3) вычисляли значения заданных величин в этих точках;

4) составляли сумму;

5) переходили к пределу при .

Отвлекаясь от решения конкретных задач, сформулируем общие операции построения сумм (193) и (195), называемых интегральными.

Пусть функция задана на отрезке [a; b]. Разделим отрезок [a; b] на n произвольных частей точками

Обозначим через разность (заметим, что здесь может быть величиной как положительной, так и отрицательной).

Внутри каждого отрезка возьмем по произвольной точке . Находим значение функции в точках .

Составляем сумму произведений:

. (197)

Переходим к пределу суммы (197) при где

. (198)

Если существует конечный предел (198) при , который не зависит ни от способа деления отрезка [a; b], ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке [a; b] и символически обозначается так:

. (199)

Здесь — знак определенного интеграла, — подынтегральная функция, — подынтегральное выражение, х — переменная интегрирования, а и b — нижний и верхний пределы интегрирования соответственно.

Таким образом, по определению определенного интеграла имеем:

. (200)

Из определения определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции равна:

, (201)

а работа А переменной силы равна:

(202)

В учебнике [1] доказывается, что определенный интеграл (200) существует, если на отрезке [a; b] является кусочно-непрерывной функцией.

5.1.2.

Основные свойства определенного интеграла

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

,

где — const.

Действительно,

.
Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций, т.е.

.

Действительно,
При перестановке пределов интеграции знак определенного интеграла меняется на противоположный, т.е. из равенства следует равенство или .

Для доказательства искомого равенства рассмотрим частный случай, когда интегральные суммы интегралов , составлены одинаково: то же число точек деления, те же точки деления, те же точки . В этих предположениях будем иметь:

Следствие. Определенный интеграл с равными пределами интеграции равен нулю, т.е. . Действительно, по свойству 3: . Отсюда:

.
Если .

Действительно,

. (203)

Правая часть равенства (203) состоит из суммы, каждый член которой неотрицателен, т.к. , .

Следовательно, сумма, стоящая в правой части равенства (203), не может быть отрицательной.
Если для всех точек выполняется неравенство , то:

. (204)

Действительно, по условию . Отсюда по свойству 4:

.

Следовательно, по свойству 2:

.
Если для всех точек выполняются неравенства , то:

(205)

Свойство 6 называется оценкой определенного интеграла.

Доказательство.

По условию .

По свойству 5:

. (206)

Найдем значения крайних интегралов в неравенствах (206):

Отсюда — неравенства (203) перепишутся так:

.
Теорема о среднем.

Если непрерывна на отрезке [a; b], то на этом отрезке непременно найдется хотя бы одна такая точка , что:

. (207)

Доказательство. Пусть m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [a; b].

По свойству 6 имеем:

или

Так как непрерывная функция на замкнутом отрезке принимает сплошь все значения, находящиеся между наименьшим и наибольшим значениями, то внутри отрезка [a; b] найдется по крайней мере одна такая точка х = с, что:

.

Отсюда находим:

5.1.3.

Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу

Теорема 24. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции на верхнем пределе.

Доказательство. Из определения определенного интеграла следует, что определенный интеграл зависит от функции и от пределов интеграции а и b.

Пусть верхний предел b определенного интеграла является переменной величиной:

. (208)

Интеграл (208) можно рассматривать как некоторую функцию от х:

. (209)

Придавая х приращение , получим:

. (210)

Обозначим приращение площади через

Пусть при всех .

Обратимся к геометрическому представлению интеграла (209) при сделанных предположениях относительно .

Рассмотрим разность

Геометрически равна площади заштрихованной области на рисунке 5.3. Эту площадь приближенно можно выразить через площадь прямоугольника с основанием и высотой :

Отсюда находим:

. (211)

Переходя к пределу в равенстве (211) при , получим:

или .

Отсюда с учетом равенства (211) окончательно находим:

, ч.т.д.

5.1.4.

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница

Теорема 25. Если — первообразная функции , то:

. (212)

Символически разность обозначают так:

Следовательно, по введенному обозначению равенство (209) перепишется так:

. (213)

Доказательство. По теореме 24 о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу справедливо равенство:

Из данного равенства следует, что можно рассматривать как первообразную функции .

Так как по условию также является первообразной функции , то по ранее доказанному утверждению их разность равна произвольной постоянной величине :

. (214)

Если в равенстве (214) положить , то можно найти значение С:

Так как , то отсюда находим, что:

. (215)

Если в равенстве (214) вместо х взять правую границу отрезка [a; b], то с учетом равенства (215) получим:

, ч.т.д.

Таким образом, из формулы (212) или (213) следует, что для вычисления определенного интеграла надо найти любую первообразную функции и составить разность , которая и будет равна значению определенного интеграла.

Очевидно, при фиксированных пределах интеграции а и b определенный интеграл является постоянной величиной. Далее, также очевидно, что определенный интеграл не зависит от переменной интегрирования. Это явно вытекает из равенств:

В процессе доказательства формулы Ньютона–Лейбница нами получен интересный результат — найдена связь между определенным и неопределенным интегралами:

. (216)

Пример 1. Вычислить интеграл:

Пример 2.

5.1.5.

Свойство аддитивности определенного интеграла по промежутку интегрирования

Теорема 26. Какова бы ни была точка , справедливо равенство:

. (217)

Доказательство. Пусть — какая-либо первообразная функции . По формуле Ньютона–Лейбница имеем:

Отсюда находим:

5.1.6.

Вычисление определенных интегралов путем замены переменной

По формуле Ньютона–Лейбница для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную заданной функции т.е. найти неопределенный интеграл , а затем подставить вместо переменной интегрирования пределы интеграции определенного интеграла.

На предыдущих занятиях неопределенные интегралы мы находили либо непосредственно с помощью таблиц, либо с помощью замены переменной или подстановки, либо с помощью интегрирования по частям.

Естественной будет постановка следующих вопросов: как изменится выражение определенного интеграла после замены переменной (или подстановки) или интегрирования по частям, по каким формулам вычислять определенные интегралы после таких преобразований?

Перейдем к изложению ответов на поставленные вопросы.

Оказывается, что для вычисления определенных интегралов можно также производить замену переменной интегрирования, причем при каждой замене необходимо находить новые пределы интегрирования для вновь введенной переменной, если не возвращаться к старой переменной.

А именно, справедливо равенство:

, (218)

если: функция непрерывна и дифференцируема на отрезке ; ; функция непрерывна на отрезке .

Если все эти условия выполняются, то справедливо равенство (218). Легко заметить, что все перечисленные условия диктуются равенством (218): подынтегральная функция этого равенства состоит из произведения функций и . Для существования определенного интеграла эти функции должны существовать и быть непрерывными.

Доказательство. Пусть — первообразная функции на отрезке [a; b]. По ранее доказанному (замена переменной в неопределенном интеграле) справедливо равенство:

. (219)

Из равенства (219) следует, что является первообразной функции

Отсюда находим:

Этим доказана справедливость равенства (218).

Замечание. Если при замене переменной отыскание новых пределов интеграции весьма трудоемко или новые пределы интеграции имеют сложный вид, то целесообразно вернуться к старым переменным и подставить старые пределы интеграции.

Пример 3. В качестве примера рассмотрим определенный интеграл , который вычислим методом замены переменной. Для того чтобы избавиться от иррациональности в подынтегральной функции, сделаем замену переменной: .

5.1.7.

Интегрирование по частям определенного интеграла

Пусть функции имеют непрерывные производные на отрезке [a; b]. Известно, что

. (220)

Рассматривая равенство (220) как равенство двух функций, возьмем от обеих его частей определенный интеграл в пределах от а до b:

Отсюда находим:

(221)

Равенство (221) и есть формула интегрирования по частям определенного интеграла.

Пример 4.

Пример 5.

Рассмотрим пример на построение интегральной суммы.

Пусть требуется вычислить площадь, ограниченную параболой , осью Oх и прямой х = 1.

Разделим отрезок [0; 1] на n равных частей точками
В каждом из частичных отрезков выберем по одной точке. Для удобства возьмем правые концы отрезков:

.
Найдем значения заданной функции в точках
Составим интегральную сумму:

= ∙ + ∙ + … + ∙ =

или .
Переходим к пределу при :

.

Сумма квадратов первых n чисел натурального ряда может быть преобразована по формуле:

= .

Отсюда находим, что

(кв. ед.).

Выполнение непосредственного вычисления определенного интеграла в приведенном примере оказалось возможным только благодаря простой структуре операции суммирования. Для других функций такие вычисления являются весьма проблематичными.

Надо отметить, что такие приемы вычисления проводились еще Архимедом и существовали до появления понятия интеграла.

Поэтому естественным развитием понятия определенного интеграла является выбор целесообразного способа его вычисления — формула Ньютона-Лейбница.

Ниже приведены вычисления определенных интегралов для привития навыков у читателей.

Пример 6.

Пример 7.

Пример 8.

Пример 9.

Пример 10. Вычислить:

Контрольные вопросы

В чем отличие определенного интеграла от неопределенного?
Чему равен определенный интеграл, если пределы интегрирования — фиксированные действительные числа?
Каким условиям должна удовлетворять подынтегральная функция, чтобы определенный интеграл от нее существовал?
Какова связь между определенным и неопределенным интегралами?
Числом или функцией будет определенный интеграл с переменными пределами интегрирования?
По какой формуле вычисляется определенный интеграл?
Напишите формулу замены переменной в определенном интеграле.
Напишите формулу интегрирования по частям определенного интеграла.

Задания для самостоятельной работы

Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница.
Интегрированием по частям вычислить следующие определенные интегралы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Сообщество Экспонента

вопрос
22.09.2022

Математика и статистика, Системы управления, Изображения и видео, Робототехника и беспилотники, Глубокое и машинное обучение(ИИ), Другое

Коллеги, добрый день. Необходимо использовать corrcoef, а массивы разной длины. Как сделать кол-во элементов одинаково?

8 Ответов

вопрос
20.09.2022

Другое, Встраиваемые системы, Цифровая обработка сигналов, Системы управления

Здравствуйте!Возникла необходимость менять некоторое строчки в сишном файле автоматически, используя матлабовский скрипт. Прошерстил весь интернет, в т.ч. англоязычные форумы, не смог ничего найт…

MATLAB

20.09.2022

Публикация
15.09.2022

Системы управления, Другое

Видел видос на канале экспоненты по созданию топливной системы. Вопрос заключается в наличии более полного описания готового примера или соответсвующее документации. Я новичок в симулинке и ещё многого не знаю. Адекватных и раскрытых пособий по созданию гидрав…

Моделирование гидравлических систем в simulink

Публикация
10.09.2022

Системы управления, Электропривод и силовая электроника, Другое

Планирую написать книгу про модельно-ориентированное программирование с автоматическим генерированием кода применительно к разработке разнообразных микропроцессорных систем управления электроприводов. В этой книге в научно-практическо-методической форме я план…

Публикация
24.08.2022

Цифровая обработка сигналов, Системы связи, Математика и статистика

&. ..

Здесь собрана литература по комбинированным методам множественного доступа, в которых используется разделение пользователей в нескольких ресурсных пространствах.

вопрос
23.08.2022

Математика и статистика, Радиолокация, Цифровая обработка сигналов

Есть записанный сигнал с датчика (синус с шумом). Как определить соотношение сигнал/шум?

4 Ответа

ЦОС
цифровая обработка сигналов

23.08.2022

Публикация
23.08.2022

Цифровая обработка сигналов, Системы связи, Математика и статистика

&…

Здесь соборана литература по методам множественного доступа с поляризационным разделением и разделением по орбитальном угловому моменту.

Публикация
16.08.2022

Цифровая обработка сигналов, Системы связи, Математика и статистика

Здесь собрана литература по методам множественного доступа с пространственным разделением.

вопрос
22.07.2022

Изображения и видео, Цифровая обработка сигналов, Математика и статистика, Биология, Встраиваемые системы, Глубокое и машинное обучение(ИИ), Автоматизация испытаний, ПЛИС и СнК, Системы управления, Другое

Здравствуйте. Мне нужно обработать большое количество файлов с похожими названиями, каждый блок файлов относится к отдельному объекту, например: file_1_1.txt file_1_2.txt file_1_3.txt file_1_4.txt fil…

2 Ответа

чтение

22.07.2022

вопрос
17.07.2022

Математика и статистика, Цифровая обработка сигналов

Уважаемые коллеги, добрый вечер! В общем, возникла проблема следующего характера. Имеется сигнал, достаточно большой объем точек, длительность порядка 35-40 секунд. Он представлят собой последовательн…

MATLAB
Signal Processing

17.07.2022

Тема: Вычисление определенных интегралов

Обратная связь

Цель:Формирование навыков вычисления определенного интеграла при помощи формулы Ньютона – Лейбница

На выполнение работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1. Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Функция, интегрируемая на промежутке , если при любых разбиениях промежутка , таких, что при произвольном выборе точек (где ), сумма при стремится к пределу .

Предел называют определенным интегралом от функции на промежутке и обозначают , то есть .

Число называется нижним пределом интеграла, — верхним. Промежуток называется промежутком интегрирования, — переменной интегрирования.

Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона – Лейбница: . То есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Примеры

Вычислить следующие определенные интегралы:

1) ; 2) ; 3) .

Решение: 1) ;

2) ;

Задания для практической работы

Вычислите определенные интегралы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) 6)

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется интегральной суммой для функции на отрезке?

2. Дайте определение определенного интеграла.

3. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

4. В чем заключается суть формулы Ньютона – Лейбница?

5. Сформулируйте теорему о среднем.

6. Перечислите основные методы интегрирования для определенного интеграла.

7. Запишите формулы, которые соответствуют вышеперечисленным методам интегрирования.

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1. 5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

Практическая работа №16

Тема: Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов

Цель: Формирование навыков вычисления площадей фигур с помощью определенных интегралов

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических фигур и физических величин.

Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и двумя прямыми и , где , (рис. 1).

Так как дифференциал переменной площади есть площадь прямоугольника с основанием и высотой , то есть , то, интегрируя это равенство в пределах от до , получим .

Если криволинейная трапеция прилегает к оси так, что , (рис. 2), то дифференциал переменной площади равен , откуда .

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой , осью и прямыми и , лежит под осью (рис.3), площадь находится по формуле .

Если фигура, ограниченная кривой , осью и прямыми и , расположена по обе стороны от оси (рис. 4), то .

Пусть фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми и , и прямыми и , где и (рис. 5). Тогда ее площадь находится по формуле .

Примеры

Задание: Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями , , и (рис. 6).

Решение: квадратичная функция; ; график – парабола, ветви направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: , отсюда следует, что . Таким образом, вершина параболы имеет координаты: . Найдем площадь полученной фигуры:

рис. 6

Ответ:

Задания для практической работы

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми , , и осью абсцисс.

2. Найдите площадь фигуры, заключенной между осями координат и прямыми и .

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы и прямыми , .

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми , и осью абсцисс.

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой , осями координат и прямой .

6. Найдите площадь фигуры, заключенной между прямыми , , и .

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .

8. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .

9. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .

10. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .

Вопросы для самоконтроля:

1. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся над осью ?

2. По какой формуле вычисляется площадь фигуры прилегающей к оси ?

3. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся под осью ?

4. По какой формуле вычисляется площадь фигуры расположенной по обе стороны оси ?

5. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, ограниченной двумя пересекающимися кривыми?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

Практическая работа №17

Приближённые вычисления определённых интегралов с помощью рядов.

{b}f(x)dx$ с некоторой наперёд заданной точностью $\varepsilon$. Если непосредственное нахождение первообразной подынтегральной функции $f(x)$ чересчур громоздко, или же интеграл $\int f(x)dx$ вообще не берётся, то в этих случаях можно использовать функциональные ряды. В частности, применяются ряды Маклорена, с помощью которых получают разложение в степенной ряд подынтегральной функции $f(x)$. Именно поэтому в работе нам будет нужен документ с рядами Маклорена.

Степенные ряды, которые мы и станем использовать, сходятся равномерно, поэтому их можно почленно интегрировать по любому отрезку, лежащему внутри интервала сходимости. Схема решения подобных задач на вычисление интегралов с помощью рядов проста:

Разложить подынтегральную функцию в функциональный ряд (обычно в ряд Маклорена).
Произвести почленное интегрирование членов записанного в первом пункте функционального ряда.

Вычислить сумму полученного во втором пункте числового ряда с заданной точностью $\varepsilon$.

{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx\approx{0{,}028}$.

Продолжение темы вычисления интегралов с помощью рядов Маклорена продолжим во второй части.

Первая часть

Вторая часть

Вернуться к списку тем

Задать вопрос на форуме

Записаться на занятия

Онлайн-занятия по высшей математике

5.16. Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-Лейбница

Определенный интеграл , согласно его математическому определению (4.2), представляет собой сумму бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых, образованных по схеме рисунка 5.5. Для непрерывной подынтегральной функции F(X) и конечных пределов интегрирования A и B этот интеграл, как было показано выше, заведомо существует (представляет собой некоторое число). Но найти его напрямую, следуя указанной на рис. 5.5 схеме, очевидно, невозможно. По этой схеме его можно найти лишь приближенно.

Для этого промежуток интегрирования [A; B] следует разбить не на бесконечно малые участки Dx, которых будет бесконечно много, а на конечное число (скажем, на 100) частичных промежутков одинаковой (или не одинаковой) конечной длины . Затем на каждом выбрать некоторую точку Х (скажем, середину) и подсчитать сумму

Из уже конечного числа (из 100) слагаемых. Эта сумма будет Приближенным значением определенного интеграла . Если нужно получить более точный результат, то нужно сделать более мелкое разбиение промежутка интегрирования (скажем, разбить его не на 100 частичных промежутков, а на 200, 300, и т. д.). Собственно, таким путем (с некоторыми непринципиальными усовершенствованиями указанной схемы) и вычисляют приближенно определенные интегралы на ЭВМ. ЭВМ умеют, кстати, оценивать точность полученного результата, и при вычислении определенных интегралов за счет своего быстродействия способны достигать любой разумной точности (до нескольких тысяч десятичных знаков после запятой). Но вычисляя таким путем определенные интегралы, абсолютно точного результата, тем не менее, ЭВМ дать не в состоянии.

И тут возникает вопрос: а нельзя ли все-таки вычислять определенные интегралы абсолютно точно? Ответ на это вопрос такой: можно, хотя далеко и не всегда. Для точного подсчета определенных интегралов, если оно возможно, применяется знаменитая формула Нютона-Лейбница.

Суть ее в следующем. Пусть F(X) – непрерывная на [A; B] функция, так что заведомо существует. И пусть вычислен неопределенный интеграл от функции F(x):

(4.19)

Тогда Точное значение можно найти по формуле:

(4.20)

Здесь F(X) – любая первообразная для функции F(X). Формула (4.20) называется Формулой Ньютона-Лейбница.

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница докажем сначала, что функция

(4.21)

То есть определенный интеграл с переменным верхним пределом, имеет на [A; B] производную Ф΄(X), совпадающую с F(X) (Ф΄(X) = F(X)).

Действительно,

(4.22)

Но

(4.23)

В последнем интеграле интегрирование происходит на бесконечно малом промежутке [X; X+Dx] оси T длиной Dx. На нем, при его разбиении на бесконечно малые промежутки Dt, уместится лишь один такой промежуток Dt = Dx
(см. рис. 5.11). Выбирая на нем в качестве произвольно выбираемой точки T точку X и следуя схеме (4.2) вычисления определенного интеграла, получим по этой схеме лишь одно слагаемое:

(4.24)

А значит, согласно (4.22), получаем:

(4.25)

Отметим, что заодно мы доказали следующий принципиальный факт, который мы обещали доказать в конце §2: у любой непрерывной на [A; B] функции F(X) имеется первообразная F(X). Ею, в частности, является функция Ф(х). А значит, для любой непрерывной на [A; B] функции F(X) существует для X Î [A; B] и неопределенный интеграл (4.19). Хотя, как мы уже замечали в §1, он далеко не всегда может быть выражен через элементарные функции (может оказаться неберущимся). Найдя приближенно (машинным путем) функцию Ф(х), мы тем самым найдем приближенно и .

А теперь перейдем непосредственно к доказательству формулы Ньютона-Лейбница (4.20). Пусть F(X) – любая первообразная для функции F(X) на [A; B]. Так как она может отличаться от указанной выше первообразной Ф(х) лишь на константу, то

(4.26)

Полагая в этом равенстве Х = а, получаем:

(4. 27)

Значит, равенство (4.26) принимает вид:

(4.28)

А теперь, полагая в (4.28) Х = B, получим:

(4.29)

Но это, по сути, это и есть формула (4.20) Ньютона-Лейбница.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Вычислим сначала

(значит, )

А тогда

Геометрическая иллюстрация полученного результата изображена ниже:

(4.30)

Формула Ньютона-Лейбница (4.20) принадлежит к числу важнейших формул высшей математики. Она позволяет просто, а главное, точно вычислять определенные интегралы. А значит, позволяет находить точные значения многих нужных для практики величин (площадей криволинейных фигур; помещений тел при переменных скоростях их движения; работ переменных сил и многое другое). Но она может быть использована, если только соответствующий неопределенный интеграл – из берущихся. В противном случае неизвестна первообразная F(X) для функции F(X), а значит, нечего подставлять и в формулу (4.20) Ньютона-Лейбница.

Если неопределенный интеграл неберущийся, то соответствующий ему определенный интеграл может быть найден лишь приближенно. Например, с помощью ЭВМ – так, как об этом говорилось выше, перед выводом формулы Ньютона-Лейбница.

Упражнения

1. На основании формулы (4.18) (формулы грубой оценки определенных интегралов) оценить величину следующих интегралов:

А); б).

Ответ: а); б).

2. Сравнив подынтегральные функции интегралов и , выяснить, какой из них больше.

Ответ: > .

3. Доказать, что для всех справедливо неравенство , и с его помощью доказать, что

4. Доказать, что заключен между и .

5. Найти площадь S, заключенную между параболой и осью оХ.

Ответ:

6. Найти работу А, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если для ее растяжения на 1 см необходима сила в 20 н.

Указание. При решении задачи использовать закон Гука: величина удлинения пружины пропорциональна растягивающей ее силе.

Ответ: .

7. Производительность труда Z = F(T) среднестатистического рабочего на некотором предприятии представляет собой функцию

Найти объем Q продукции, производимой рабочим за смену (8 часов).

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >

Калькулятор определенных интегралов | Расчет определенного интеграла онлайн

Введение в калькулятор определенных интегралов

Калькулятор определенных интегралов — это онлайн-калькулятор, который может вычислять определенные интегралы, что в конечном итоге помогает пользователям вычислять интегралы онлайн. Интеграл имеет 2 основных типа, включая определенные интерналы и неопределенные интегралы.

Калькулятор определенного интегрирования шаг за шагом вычисляет определенные интегралы и показывает точные результаты. Калькулятор неопределенной интеграции имеет свою собственную функциональность, и вы также можете использовать его для получения пошаговых результатов.

Если вы хотите вычислить определенный интеграл и неопределенный интеграл в одном месте, калькулятор первообразных с шагами — лучший вариант, который вы можете попробовать.

Связанный: Как вычислить интегралы, используя неполную дробь?

Формула, используемая калькулятором определенных интегралов

Калькулятор определенных интегралов с шагами использует приведенную ниже формулу для пошагового отображения результатов. Если F — неопределенный интеграл для функции f(x) , то формула определенного интегрирования: 9b f(x) dx = F(b) — F(a) $$

Важность использования онлайн-калькуляторов для интеграции

Интеграция и дифференцирование являются одними из основных понятий исчисления, и они очень важны с точки зрения обучения и понимания . Онлайн-калькуляторы обеспечивают мгновенный способ вычисления интегралов онлайн. Эти калькуляторы имеют свои преимущества использования, поскольку пользователь может быстро изучить эти концепции, выполняя вычисления во время выполнения.

Как работает калькулятор определенной интеграции?

Калькулятор определенного интеграла работает онлайн, чтобы решить любое ваше уравнение и показать вам фактический результат вместе с шагами, графиком и т. д. Для вычисления результатов он использует соответствующие интегральные правила и формулы.

Вы также можете решать уравнения двойного определенного интегрирования, используя калькулятор множественных интегралов с шагами. Точно так же вы также можете рассчитать уравнения тройного определенного интегрирования, используя калькулятор тройных интегралов с шагами.

Как найти калькулятор определенных интегралов?

Есть 2 способа найти калькулятор определенной первообразной. Вы можете выполнить поиск в Google, чтобы найти этот калькулятор, или вы можете щелкнуть на этом веб-сайте онлайн-калькулятор определенного интеграла, чтобы использовать его.

Также найдете уникальный метод калькулятора цилиндрических оболочек для расчета объема оболочек вращения. Калькулятор дискового метода с шагами расчета сечения витков. Калькулятор метода шайбы с шагами расчета объема тела вращения.

Как пользоваться Калькулятором определенных интегралов с шагами?

Использование нашего калькулятора определенной интеграции очень просто, так как вам необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг №. 1: Загрузите пример или введите функцию в основное поле.

Шаг №. 2: Выберите переменную из x, y и z.

Шаг №. 3: Дайте значение верхней границы.

Шаг №. 4: Дайте значение нижней границы.

Шаг №. 5: Проверьте правильность уравнения из предварительного просмотра.

Вперед. 6: Нажмите кнопку «РАССЧИТАТЬ» в этом онлайн-калькуляторе интеграции.

Мы надеемся, что этот пошаговый интегральный калькулятор и статья помогли вам в освоении. Мы предлагаем множество других онлайн-инструментов, таких как калькулятор Фурье и калькулятор Лапласа. Эти онлайн-инструменты абсолютно бесплатны, и вы можете использовать их для обучения и практики онлайн.

Часто задаваемые вопросы

Как вычислить определенный интеграл?

Определенные интегралы — это определенные формы интегралов, которые включают верхнюю и нижнюю границы. Эти интегралы можно вычислить путем интегрирования, а затем подстановки их граничных значений. Кроме того, вычисление определенного интегрального калькулятора также может помочь в решении таких задач.

Когда использовать u-подстановку определенного интеграла?

В определенных интегралах u-подстановка используется, когда функцию трудно интегрировать напрямую. Методом u-подстановки функцию можно заменить на другую, заменив переменные и переменную интегрирования.

В конечном счете, u-подстановка сложна для решения для студентов, изучающих исчисление, но решатель с определенным интегралом облегчает это для всех уровней ученых, изучающих исчисление.

О чем говорит определенный интеграл? 9б f(x) dx $$

Таким образом, мы можем найти площадь под кривой, используя интегральный калькулятор с ограничениями или вручную, используя приведенное выше математическое выражение.

Что означает площадь под кривой?

Площадь под кривой означает, сколько места может занимать кривая над осью x. Лучший способ найти площадь под кривой — это калькулятор площади с определенным интегралом, потому что не существует специальной формулы для нахождения площади под кривой.

Так что получайте удовольствие и получайте удовольствие от обучения благодаря интеграции с калькулятором лимитов.

Определенные интегралы: что это такое и как их вычислить

В этой статье

Определение определенных интегралов
Определенные интегралы и неопределенные интегралы
Как вычислять определенные интегралы
Свойства определенных интегралов и ключевых уравнений
3 практических упражнения и решения

Определение определенных интегралов 9{b} f(x)dx = A∫abf(x)dx=A

В этих обозначениях изогнутый знак интеграла ∫\int∫ указывает на операцию взятия интеграла. Остальная часть этого обозначения состоит из трех частей:

Подынтегральная функция f(x)f(x)f(x)
Интегральные границы aaa и bbb, где aaa — нижняя граница, а bbb — верхняя граница. Их также называют лимитами.
Дифференциал dxdxdx, который говорит нам, что мы интегрируем fff по переменной xxx. 9{b} f(x)dx∫abf(x)dx примерно так:
Определенные интегралы и неопределенные интегралы
Прежде чем мы узнаем, как именно решать определенные интегралы, важно понять разницу между определенными и неопределенными интегралами.
Определенные интегралы находят площадь между кривой функции и осью x на определенном интервале, а неопределенные интегралы находят первообразную функции. Нахождение неопределенного интеграла и нахождение определенного интеграла — это операции, которые выводят разные вещи.
Вычисление неопределенного интеграла принимает одну функцию и выводит другую функцию: первообразную функцию f (x) f (x) f (x), обозначаемую как F (x) F (x) F (x).
Эта выходная функция сопровождается произвольной константой C и не включает нижние и верхние границы. Напротив, при вычислении определенного интеграла всегда выводится действительное число, представляющее площадь под кривой на определенном интервале. Вы можете увидеть разницу в их обозначениях ниже:
Учитывая f(x)f(x)f(x), неопределенный интеграл отвечает на вопрос: «Какая функция при дифференцировании дает нам f(x)f(x)f(x)?» Неопределенный интеграл дает нам семейство функций FFF, так как бесконечные функции удовлетворяют этому вопросу. Таким образом, неопределенный интеграл дает нам «неопределенный» ответ. Определенный интеграл дает нам действительное число — уникальный «определенный» ответ.
Вы можете узнать больше о разнице с этим образцом урока по неопределенным интегралам одного из наших преподавателей, доктора Ханны Фрай. 9b_a = F(b) — F(a)∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a).
Это означает, что для нахождения определенного интеграла функции на отрезке [a, b] мы просто берем разность между неопределенным интегралом функции, вычисленной при aaa, и неопределенным интегралом функции, вычисленной при bbb. 3-2xf(x)=4×3−2x на отрезке [1, 2]. 93-2x)dx = 12∫12(4×3−2x)dx=12.
Свойства определенных интегралов и ключевых уравнений
Рассмотрим некоторые ключевые свойства определенных интегралов. Они будут полезны для решения более сложных интегральных задач. В следующих свойствах предположим, что fff и ggg — непрерывные функции, а kkk — константа.
Правило интервала нулевой длины
Когда a=b, длина интервала равна 0, поэтому определенный интеграл функции на [a, b] равен 0. 9{7} f(x)dx = 8∫37f(x)dx=8
Исследуйте отмеченные наградами курсы For-Credit от Outlier
Outlier (от соучредителя MasterClass) собрал некоторые из лучшие в мире преподаватели, гейм-дизайнеры и режиссеры для создания будущего онлайн-колледжа.
Ознакомьтесь с этими родственными курсами:
Исчисление I
Изучите курс
Исчисление I
Математика изменений.
Изучить курс
Введение в статистику
Изучить курс
Введение в статистику
Как данные описывают наш мир.
Изучить курс
Введение в микроэкономику
Изучить курс
Введение в микроэкономику
Почему маленькие решения имеют большое значение.
Изучить курс
5.2: Определенный интеграл — Математика LibreTexts
1. Последнее обновление
2. Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
10763

OpenStax
OpenStax

Цели обучения

Дать определение определенного интеграла.

Объясните термины подынтегральная функция, пределы интегрирования и переменная интегрирования. 9∗_i)Δx. \nonumber \]

Однако это определение имело ограничения. Мы требовали, чтобы $f(x)$ было непрерывным и неотрицательным. К сожалению, реальные проблемы не всегда соответствуют этим ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим, как применить понятие площади под кривой к более широкому набору функций посредством использования определенного интеграла.

Определение и обозначения

Определенный интеграл обобщает понятие площади под кривой. Мы снимаем требования непрерывности и неотрицательности $f(x)$ и определяем определенный интеграл следующим образом. 9∗_i)Δx, \nonumber \]

при условии существования предела. Если этот предел существует, то функция $f(x)$ называется интегрируемой на $[a,b]$ или является интегрируемой функцией.

Символ интеграла в предыдущем определении должен показаться вам знакомым. Мы видели подобные обозначения в главе о приложениях производных, где мы использовали неопределенный целочисленный символ (без $a$ и $b$ выше и ниже) для обозначения первообразной. Хотя обозначения неопределенных интегралов могут выглядеть аналогично обозначениям определенных интегралов, они не совпадают. Определенный интеграл – это число. Неопределенный интеграл — это семейство функций. Позже в этой главе мы рассмотрим, как связаны эти понятия. Однако всегда следует уделять пристальное внимание обозначениям, чтобы мы знали, работаем ли мы с определенным интегралом или с неопределенным интегралом.

Интегральная система обозначений восходит к концу семнадцатого века и является одним из вкладов Готфрида Вильгельма Лейбница , которого часто считают одним из первооткрывателей исчисления вместе с Исааком Ньютоном. Символ интегрирования $∫$ представляет собой удлиненный $S$, что указывает на сигму или суммирование. В определенном интеграле выше и ниже символа суммы находятся границы интервала, $[a,b].$ Числа $a$ и $b$ являются $x$-значениями и называются пределами интегрирования ; в частности, $a$ — нижний предел, а $b$ — верхний предел. Чтобы пояснить, мы используем предел слова двумя разными способами в контексте определенного интеграла. Во-первых, мы говорим о пределе суммы как $n→∞.$. Во-вторых, границы области называются пределами интегрирования.

Мы называем функцию $f(x)$ подынтегральной функцией , а $dx$ указывает, что $f(x)$ является функцией относительно $x$, называемой переменная интегрирования 9∗_i)∆x\) существует и единственна. Это приводит к следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.

Непрерывные функции интегрируемы

Если $f(x)$ непрерывна на $[a,b]$, то $f$ интегрируема на $[a,b].$

Функции, не являющиеся непрерывными на $[a,b]$, все же могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов. Например, интегрируемыми являются функции с конечным числом скачкообразных разрывов или устранимых разрывов на отрезке.

Здесь также стоит отметить, что мы сохранили использование регулярного разбиения в суммах Римана. Это ограничение не является строго необходимым. Любое разбиение можно использовать для формирования суммы Римана. Однако, если для определения определенного интеграла используется нерегулярное разбиение, недостаточно принять предел, поскольку количество подынтервалов стремится к бесконечности. Вместо этого мы должны принять предел, поскольку ширина наибольшего подынтервала стремится к нулю. Это вводит немного более сложные обозначения в наши пределы и усложняет вычисления, не получая при этом особого дополнительного понимания, поэтому мы придерживаемся регулярных разбиений для сумм Римана. 92\,dx.\) Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

Решение

Сначала мы хотим установить сумму Римана. Исходя из пределов интегрирования, имеем $a=0$ и $b=2$. Для $i=0,1,2,…,n$ пусть $P={x_i}$ будет правильным разбиением $[0,2].$ Тогда

\[Δx=\ dfrac{b−a}{n}=\dfrac{2}{n}. \nonumber \]

Поскольку мы используем аппроксимацию правой конечной точки для получения сумм Римана, для каждого $i$ нам нужно вычислить значение функции в правой конечной точке интервала $[x_{i−1 },x_i]. $ Правый конец интервала равен $x_i$, а поскольку $P$ является обычным разделом, 93_0(2x−1)\,dx\).

Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

Подсказка: Используйте стратегию решения из примера $\PageIndex{1}$.

Ответить: 6

Вычисление определенных интегралов

Вычисление определенных интегралов таким способом может быть довольно утомительным из-за сложности вычислений. Далее в этой главе мы разработаем методы вычисления определенных интегралов без ограничения сумм Римана . Однако пока мы можем полагаться на тот факт, что определенные интегралы представляют площадь под кривой, и мы можем вычислить определенные интегралы, используя геометрические формулы для вычисления этой площади. Мы делаем это, чтобы подтвердить, что определенные интегралы действительно представляют площади, поэтому мы можем затем обсудить, что делать в случае, когда кривая функции опускается ниже оси $х$.

Пример $\PageIndex{2}$: использование геометрических формул для вычисления определенных интегралов 94_2(2x+3)\,dx\).

Подсказка: Построить график функции $f(x)$ и вычислить площадь под функцией на интервале $[2,4].$

Ответить: 18 квадратных блоков

Площадь и определенный интеграл

Когда мы определили определенный интеграл, мы сняли требование неотрицательности $f(x)$. Но как мы интерпретируем «площадь под кривой», когда $f(x)$ отрицательно? 9∗_i)Δx= (\text{Площадь прямоугольников над осью }x\text{-})−(\text{Площадь прямоугольников под осью }x\text{-}) \nonumber \]

Рисунок $ \PageIndex{2}$: для частично отрицательной функции сумма Римана представляет собой площадь прямоугольников над осью $x$ за вычетом площади прямоугольников под осью $x$.
Принимая предел как $n→∞,$, сумма Римана приближается к площади между кривой над осью $x$ и осью $x$ за вычетом площади между кривой ниже \ (x\) и ось $x$, как показано на рисунке $\PageIndex{3}$. Затем 9nf(c_i)Δx=A_1−A_2. \nonumber \]
Величина $A_1−A_2$ называется чистой областью со знаком .
Рисунок $\PageIndex{3}$: В пределе определенный интеграл равен площади $A_1$ минус площадь $A_2$ или чистой площади со знаком.
Обратите внимание, что чистая область со знаком может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если площадь над осью $x$ больше, чистая площадь со знаком положительна. Если площадь под осью $x$ больше, чистая площадь со знаком будет отрицательной. Если площади выше и ниже оси $x$ равны, чистая площадь со знаком равна нулю.
Пример $\PageIndex{3}$: нахождение чистой площади со знаком
Найти чистую площадь со знаком между кривой функции $f(x)=2x$ и осью $x$ на интервале $[−3,3].$
Решение
Функция создает прямую линию, которая образует два треугольника: один от $x=−3$ до $x=0$ а другой от $x=0$ до $x=3$ (рисунок $\PageIndex{4}$). Используя геометрическую формулу площади треугольника $A=\dfrac{1}{2}bh$, площадь треугольника $A_1$ над осью равна 93_{−3}2x\,dx=A_1−A_2=9−9=0. \)
Рисунок $\PageIndex{4}$: площадь над кривой и под осью $x$ равна площадь под кривой и над осью $х$.
Анализ
Если $A_1$ — это площадь над осью $x$, а $A_2$ — площадь под осью $x$, то чистая площадь равна $ А_1−А_2$. Поскольку площади двух треугольников равны, чистая площадь равна нулю.
Упражнение $\PageIndex{3}$
Найдите чистую площадь знака $f(x)=x−2$ на интервале $[0,6]$, показанном на следующем рисунке. .
Подсказка
Используйте метод решения, описанный в примере $\PageIndex{3}$.
Ответить
6
Общая площадь
Одним из применений определенного интеграла является нахождение смещения при заданной функции скорости. Если $v(t)$ представляет собой скорость объекта как функцию времени, то площадь под кривой говорит нам, насколько далеко объект находится от своего исходного положения. Это очень важное применение определенного интеграла, и мы рассмотрим его более подробно далее в этой главе. А пока мы просто рассмотрим некоторые основы, чтобы понять, как это работает, изучая постоянные скорости. 92_0 70\,dt=140 \,\text{мили}. \nonumber \]
Рисунок $\PageIndex{5}$: Площадь под кривой $v(t)=70$ говорит нам, насколько далеко автомобиль находится от начальной точки в данный момент времени.
В контексте смещения чистая площадь со знаком позволяет учитывать направление. Если автомобиль движется прямо на север со скоростью 60 миль в час в течение 2 часов, он находится на 120 миль севернее своего начального положения. Если затем автомобиль развернется и поедет на юг со скоростью 40 миль в час в течение 3 часов, он вернется в исходное положение (рис. $\PageIndex{6}$). Опять же, используя интегральное обозначение, мы имеем 95_2−40\,dt=120−120=0.\nonumber \]
В этом случае смещение равно нулю.
Рисунок $\PageIndex{6}$: Площадь над осью и площадь под осью равны, поэтому чистая площадь со знаком равна нулю.
Предположим, мы хотим узнать, какое расстояние проезжает машина независимо от направления. В этом случае мы хотим знать площадь между кривой и осью $t$, независимо от того, находится ли эта площадь выше или ниже оси. Это называется общей площадью .
Графически проще всего вычислить общую площадь путем сложения площадей над осью и площадей под осью (вместо вычитания площадей под осью, как мы сделали с чистой площадью со знаком). Чтобы выполнить это математически, мы используем функцию абсолютного значения. Таким образом, общий путь, пройденный автомобилем, равен 95_240\,dt=120+120=240.\nonumber \]
Формально объединяя эти идеи, мы формулируем следующие определения.
Определение: чистая площадь со знаком
Пусть $f(x)$ — интегрируемая функция, определенная на интервале $[a,b]$. Пусть $A_1$ представляет собой площадь между $f(x)$ и осью $x$, которая лежит над осью, а $A_2$ представляет собой площадь между $f(x)$ ) и ось $x$, которая лежит ниже оси. Затем чистая область со знаком между $f(x)$ и $x$-осью равна 9b_a|f(x)|\,dx=A_1+A_2. \nonumber \]
Пример $\PageIndex{4}$: нахождение общей площади
Найдите общую площадь между $f(x)=x−2$ и осью $x$ над интервал $[0,6].$
Решение
Вычислить $x$-отрезок как $(2,0)$ (установить $y=0,$ решить для $Икс$). Чтобы найти общую площадь, возьмите площадь под осью $x$ на подинтервале $[0,2]$ и добавьте ее к площади над осью $x$ на подынтервале $ [2,6]$ (Рисунок $\PageIndex{7}$). 92_1f(x)\,dx.\)
Подсказка
Используйте стратегию решения из Примера $\PageIndex{6}$ и правило о свойствах определенных интегралов.
Ответить
$−7$
Сравнительные свойства интегралов
Изображение иногда может рассказать о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое представление о процессе интегрирования. Интуитивно можно сказать, что если функция $f(x)$ выше другой функции $g(x)$, то площадь между $f(x)$ и $x$- ось больше площади между $g(x)$ и $x$-осью. Это верно в зависимости от интервала, по которому производится сравнение. Свойства определенных интегралов справедливы как $ab$. Однако следующие свойства относятся только к случаю $a≤b$ и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов. 92}\) и $g(x)=\sqrt{1+x}$ на интервале $[0,1]$.
Решение
Построение графика этих функций необходимо для понимания того, как они сравниваются на интервале $[0,1].$ Первоначально при построении графика на графическом калькуляторе $f(x)$ кажется выше $g(x)$ всюду. Однако на интервале $[0,1]$ графики кажутся наложенными друг на друга. Нам нужно увеличить масштаб, чтобы увидеть, что на интервале $[0,1],\,g(x)$ выше $f(x)$. Две функции пересекаются в точках $x=0$ и $x=1$ (рис. $\PageIndex{8}$). 91_0f(x)\,dx\) (Рисунок $\PageIndex{9}$). Тонкая, заштрихованная красным область показывает, насколько велика разница между этими двумя интегралами на интервале $[0,1].$
Рисунок $\PageIndex{9}$: (a) График показывает, что на интервале $[0,1],g(x)≥f(x),$, где равенство имеет место только на концах интервала. (b) Просмотр того же графика с большим увеличением показывает это более четко.
Среднее значение функции
Нам часто нужно найти среднее значение набора чисел, например, средней оценки за тест. Предположим, вы получили следующие результаты тестов на уроке алгебры: 89., 90, 56, 78, 100 и 69. Ваша семестровая оценка — это среднее значение результатов тестов, и вы хотите знать, какую оценку ожидать. Мы можем найти среднее значение, сложив все баллы и разделив их на количество баллов. В этом случае имеется шесть тестовых баллов. Таким образом,
\[\dfrac{89+90+56+78+100+69}{6}=\dfrac{482}{6}≈80,33. \nonumber \]
Таким образом, ваш средний балл за тест составляет примерно 80,33, что соответствует B− в большинстве школ.
Предположим, однако, что у нас есть функция $v(t)$, которая дает нам скорость объекта в любой момент времени $t$, и мы хотим найти среднюю скорость объекта. Функция $v(t)$ принимает бесконечное число значений, поэтому мы не можем использовать только что описанный процесс. К счастью, мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти среднее значение такой функции. 9b_af(x)\,dx. \label{averagevalue} \]
Пример $\PageIndex{8}$: нахождение среднего значения линейной функции
Найдите среднее значение $f(x)=x+1$ на интервале $[0,5].$
Решение
Сначала постройте график функции на указанном интервале, как показано на рисунке $\PageIndex{10}$.
Рисунок $\PageIndex{10}$: На графике показана площадь под функцией $(x)=x+1$ над $[0,5].$
Область представляет собой трапецию, лежащую на его стороны, поэтому мы можем использовать формулу площади трапеции $A=\dfrac{1}{2}h(a+b),$, где $h$ представляет высоту, а $a$ и $b$ представляют две параллельные стороны. Затем 95_0x+1\,dx=\dfrac{1}{5}⋅\dfrac{35}{2}=\dfrac{7}{2}\).
Упражнение $\PageIndex{7}$
Найдите среднее значение $f(x)=6−2x$ на интервале $[0,3].$
Подсказка
Используйте формулу среднего значения (уравнение \ref{averagevalue}) и используйте геометрию для вычисления интеграла.
Ответить
$3$
Ключевые понятия
Определенный интеграл можно использовать для вычисления чистой площади со знаком, которая представляет собой площадь над осью $x$ за вычетом площади под осью $x$. Чистая площадь со знаком может быть положительной, отрицательной или нулевой.
Составными частями определенного интеграла являются подынтегральная функция, переменная интегрирования и пределы интегрирования.
Непрерывные функции на замкнутом интервале интегрируемы. Функции, которые не являются непрерывными, могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов. 9b_cf(x)\,dx\)
Глоссарий
среднее значение функции
(или $f_{ave})$ среднее значение функции на интервале можно найти, вычислив определенный интеграл функции и разделив это значение на длину интервала
определенный интеграл
первичная операция исчисления; площадь между кривой и осью $x$ на заданном интервале есть определенный интеграл
интегрируемая функция
функция интегрируема, если существует предел, определяющий интеграл; другими словами, если предел сумм Римана при стремлении $n$ к бесконечности существует
подынтегральная функция
функция справа от символа интегрирования; подынтегральное выражение включает интегрируемую функцию
пределы интегрирования
эти значения появляются вверху и внизу знака интеграла и определяют интервал, по которому функция должна интегрироваться
чистая область со знаком
площадь между функцией и осью $х$, при которой площадь под осью $х$ вычитается из площади над осью $х$; результат такой же, как определенный интеграл функции
общая площадь
общая площадь между функцией и осью $x$ рассчитывается путем сложения площади над осью $x$ и площади под осью $x$; результат тот же, что и определенный интеграл от модуля функции
переменная интегрирования
указывает, по какой переменной вы интегрируете; если это $x$, то за функцией под интегралом следует $dx$
Эта страница под названием 5. 2: The Definite Integral распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax.
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или страница
Автор
ОпенСтакс
Лицензия
CC BY-NC-SA
Версия лицензии
4,0
Показать страницу TOC
да
Включено
да
Теги
среднее значение функции
расчетный участок: да
определенный интеграл
интегрируемая функция
подынтегральная функция
чистая область со знаком
общая площадь
переменная интегрирования
Определенные интегралы — Photomath
Исследуйте интегралы
Итак, вы узнали о неопределённых интегралах, но теперь пришло время проявить себя определённому интегралу!
Определенный интеграл имеет начальное и конечное значения, в отличие от неопределенного интеграла, у которого их нет.
Давайте посмотрим на некоторые определенные интегралы в действии, не так ли? 9b f(x)$$
— область со знаком области, которая ограничена функцией, осью $$x$$ и вертикальными линиями $$x=a$$ и $$x=b$$.
Хотите знать, как мы найдем определенный интеграл?
Что ж, чтобы найти определенный интеграл, мы на самом деле сначала находим неопределенный интеграл, а затем возвращаем пределы интегрирования.
«Подождите… а что значит вернуть пределы интегрирования?»
Хороший вопрос!
Когда вычисляется неопределенный интеграл от $$f$$, мы получаем следующий вывод: 9b=F(b)-F(a)$$
Так же, как когда мы работали с неопределенными интегралами, нам нужно будет использовать правила и свойства интегрирования, чтобы помочь нам:
9{\ простое число} (т) dt = \ int {f (x)} dx $ $
Постоянное кратное свойство интегралы $$\int{(c\times f(x))}dx=c\times \int{f(x)}dx$$
Постоянная кратность интегралов
Интеграция по частям $$\int{u}dv=uv-\int{v}du$$
Почему так полезен определенный интеграл?
Как уже упоминалось, с помощью определенного интеграла можно найти площадь со знаком области, ограниченной функцией, осью $$x$$ и вертикальными линиями $$x=a$$ и $ $x=b$$, где $$a$$ и $$b$$ — пределы интегрирования. Скажи это в пять раз быстрее! 9{2}}{2}dx$$ равно:
$$\frac13$$
Это было не так уж и плохо, правда? Давайте рассмотрим весь процесс, чтобы вы могли использовать его с любой проблемой :
Резюме исследования
Чтобы вычислить определенный интеграл, сначала оцените неопределенный интеграл, используя свойства интеграла.
Оцените интеграл.
9{4}+3}{4}$$
Если вы все еще боретесь с процессом решения, ничего страшного! Хотите верьте, хотите нет, путаница — это часть обучения. Если вы слишком застряли, просто отсканируйте проблему с помощью приложения Photomath, и мы проведем вас через нее!
Вот краткий обзор того, что вы увидите:

00:00 / 00:00
Есть домашнее задание по математике?
Зайдите в приложение Photomath, чтобы быстро найти пошаговые решения всех ваших математических задач.
Вычисление определенных интегралов — GeeksforGeeks
Интегралы являются очень важной частью исчисления. Они позволяют нам вычислять первообразные, то есть по производной функции, интегралы дают функцию на выходе. Другие важные применения интегралов включают вычисление площади под кривой, объема, ограниченного поверхностью, и т. д. В то время как предыдущее приложение в основном включает неопределенные интегралы, последнее требует, чтобы границы были четко определены, и интеграл вычисляется между этими только границы. Такие интегралы называются определенными интегралами.
Определенные интегралы
Определенные интегралы в основном используются для вычисления площадей и объемов, охватываемых кривыми. Обычно площадь вычисляется по четко определенным формулам для прямоугольников, кругов, квадратов и т. д. В реальной жизни фигуры не так просты, поэтому для вычисления площадей любой произвольной формы мы используем определенные интегралы. Для функции f(x), определенной на интервале [a, b], определенный интеграл между этими пределами определяется выражением
Здесь a называется нижним пределом функции, а b называется верхним пределом функции.
Для заданной функции f(x), непрерывной на интервале [a, b], разделим интервал на n подинтервалов одинаковой ширины и из каждого интервала выберем точку. Тогда определенный интеграл f(x) от a до b равен
На приведенном выше рисунке поясняется определение предела: по мере увеличения количества прямоугольников под кривой аппроксимированная площадь становится все ближе и ближе к фактической. площадь под фигурой.
Основная теорема исчисления
Площадь области, ограниченной кривой f(x) между ординатами x = a и x = b и осью x, определяется как . Допустим, x — это любая точка между пределами, тогда представляет собой площадь области от a до x. Другими словами, площадь этой заштрихованной области от «а» до значения х называется функцией площади. Он определяется как
На основе этого определения определяются две фундаментальные теоремы исчисления.
Первая фундаментальная теорема исчисления
Пусть f(x) — непрерывная функция на отрезке [a, b], а A(x) — функция площади.
Тогда A'(x) = f(x) для всех x ∈ [a, b].
Вторая фундаментальная теорема исчисления
Пусть f(x) — непрерывная функция на отрезке [a, b], а F(x) — первообразные функции f(x). Затем
Площадь под кривой
Площадь под кривой определяется определенными интегралами. Мы знаем, что площадь всегда положительная величина, но при использовании определенных интегралов иногда площадь получается отрицательной. Например, рассмотрим две функции ниже: одна лежит полностью над осью абсцисс, а другая имеет некоторую часть, лежащую ниже оси абсцисс. В таких случаях две области могут компенсировать друг друга.
В этом случае площадь определяется как
В этом случае отрицательные и положительные площади должны быть рассчитаны отдельно, и должна быть добавлена только величина их площадей.
Определенные интегралы рациональной функции
Для вычисления определенных интегралов для таких функций эти функции разбиваются с помощью алгебраических операций.
Вопрос: Рассчитайте значение следующего интеграла
Решение:
Определенные интегралы радикальных функций
Для вычисления определенных интегралов таких функций мы используем правило обратной степени.
Вопрос: Рассчитайте значение следующего интеграла
Решение:
Использование правила реверсированной мощности,
Decipment Integrait интегралов для таких функций, мы используем правило обратной степени.
ВОПРОС: Рассчитайте значение следующего интеграла
Решение:
Определенные интеграции для естественной логарифмической функции
для расчета определенных интегралов для таких функций. личность.
Вопрос: Вычислите значение следующего интеграла
Решение:
Using the formula mentioned above,
Let’s look at some sample problems
Sample Problems
Question 1: Calculate the value of the following integral
Solution:
Вопрос 2. Вычислите значение следующего интеграла
Решение:
ВОПРОС 3: Рассчитайте значение следующего интеграла
Решение:
Использование правила реверсированной мощности
Вопрос 4: Рассчитайте значение следующего интеграла
111: Рассчитайте значение следующего интеграла
.
Решение:
Вопрос 5. Вычислите значение следующего интеграла
Решение:
Используя приведенную выше формулу,

5.2 Определенный интеграл | Исчисление, том 1
Цели обучения
Дать определение определенного интеграла.
Объясните термины подынтегральная функция, пределы интегрирования и переменная интегрирования.
Объясните, когда функция интегрируема.
Опишите связь между определенным интегралом и чистой площадью.
9*)\Дельта х[/латекс].
Однако это определение имело ограничения. Мы требовали, чтобы [latex]f(x)[/latex] был непрерывным и неотрицательным. К сожалению, реальные проблемы не всегда соответствуют этим ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим, как применить понятие площади под кривой к более широкому набору функций посредством использования определенного интеграла.
Определенный интеграл l обобщает понятие площади под кривой. Мы отменяем требования непрерывности и неотрицательности [latex]f(x)[/latex] и определяем определенный интеграл следующим образом. 9*)\Delta x[/latex],
при наличии ограничения. Если этот предел существует, говорят, что функция [latex]f(x)[/latex] интегрируема на [latex][a,b][/latex] или является интегрируемой функцией.
Символ интеграла в предыдущем определении должен показаться вам знакомым. Мы встречали похожие обозначения в главе о применении производных, где мы использовали символ неопределенного целого числа (без [латекс]а[/латекс] и [латекс]b[/латекс] выше и ниже) для обозначения первообразной. Хотя обозначения неопределенных интегралов могут выглядеть аналогично обозначениям определенных интегралов, они не совпадают. Определенный интеграл – это число. Неопределенный интеграл — это семейство функций. Позже в этой главе мы рассмотрим, как связаны эти понятия. Однако всегда следует уделять пристальное внимание обозначениям, чтобы мы знали, работаем ли мы с определенным интегралом или с неопределенным интегралом.
Интегральное представление восходит к концу семнадцатого века и является одним из вкладов Готфрида Вильгельма Лейбница, которого часто считают одним из первооткрывателей исчисления наряду с Исааком Ньютоном. Символ интегрирования [латекс]\int[/латекс] представляет собой удлиненную букву S, что означает сигму или суммирование. В определенном интеграле выше и ниже символа суммы находятся границы интервала [латекс][а,б][/латекс]. Числа [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] являются [latex]x[/latex]-значениями и называются пределами интегрирования; в частности, [латекс]а[/латекс] — нижний предел, а [латекс]b[/латекс] — верхний предел. Чтобы уточнить, мы используем слово ограничивают двумя разными способами в контексте определенного интеграла. Во-первых, мы говорим о пределе суммы как [latex]n\to \infty[/latex]. Во-вторых, границы региона называются пределами интегрирования .
Мы называем функцию [latex]f(x)[/latex] подынтегральной функцией , а [latex]dx[/latex] указывает, что [latex]f(x)[/latex] является функцией относительно в [latex]x[/latex], называемую переменной интегрирования . Обратите внимание, что, как и индекс в сумме, переменная интегрирования является фиктивной переменной и не влияет на вычисление интеграла. Мы можем использовать любую переменную, которая нам нравится, в качестве переменной интегрирования: 9*)\Delta x[/latex] существует и уникален. Это приводит к следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.
Непрерывные функции интегрируемы
Если [latex]f(x)[/latex] непрерывен на [latex][a,b][/latex], то [latex]f[/latex] интегрируем на [latex ][а,б][/латекс].
Функции, которые не являются непрерывными на [латексе][а,б][/латексе], могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов. Например, интегрируемы функции с конечным числом скачков на отрезке.
Здесь также стоит отметить, что мы сохранили использование регулярного разбиения в суммах Римана. Это ограничение не является строго необходимым. Любое разбиение можно использовать для формирования суммы Римана. Однако, если для определения определенного интеграла используется нерегулярное разбиение, недостаточно принять предел, поскольку количество подынтервалов стремится к бесконечности. Вместо этого мы должны принять предел, поскольку ширина наибольшего подынтервала стремится к нулю. Это вводит немного более сложные обозначения в наши пределы и усложняет вычисления, не получая при этом особого дополнительного понимания, поэтому мы придерживаемся регулярных разбиений для сумм Римана. 93 (2x-1) dx[/латекс]. Используйте приближение правой конечной точки, чтобы сгенерировать сумму Римана.
Показать решение
Вычисление определенных интегралов таким способом может быть довольно утомительным из-за сложности вычислений. Далее в этой главе мы разработаем методы вычисления определенных интегралов без ограничения сумм Римана. Однако пока мы можем полагаться на тот факт, что определенные интегралы представляют площадь под кривой, и мы можем вычислить определенные интегралы, используя геометрические формулы для вычисления этой площади. Мы делаем это, чтобы подтвердить, что определенные интегралы действительно представляют площади, поэтому мы можем затем обсудить, что делать в случае, когда кривая функции опускается ниже оси [латекс]х[/латекс]. 9*) \Delta x =[/latex] (Площадь прямоугольников над осью [latex]x[/latex]) [latex]-[/latex] (Площадь прямоугольников под осью [latex]x[/latex]- ось)
Рисунок 2. Для частично отрицательной функции сумма Римана равна площади прямоугольников над осью [latex]x[/latex] минус площадь прямоугольников под осью [latex]x[/ латекс]-ось.
Принимая предел как [latex]n\to \infty[/latex], сумма Римана приближается к области между кривой над осью [latex]x[/latex] и [latex]x[/latex] -ось минус площадь между кривой под осью [латекс]х[/латекс] и осью [латекс]х[/латекс], как показано на (рис.). Затем 92 f(x) dx & =\underset{n\to \infty}{\lim}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma}} f(c_i) \Delta x \\ & = A_1-A_2 \end{array}[/latex]
Величина [latex]A_1-A_2[/latex] называется чистой подписанной областью .
Рис. 3. В пределе определенный интеграл равен площади [латекс]А_1[/латекс] минус площадь [латекс]А_2[/латекс] или чистой площади со знаком.
Обратите внимание, что чистая область со знаком может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если площадь над осью [latex]x[/latex] больше, чистая область со знаком положительна. Если площадь под осью [latex]x[/latex] больше, чистая область со знаком будет отрицательной. Если области выше и ниже оси [latex]x[/latex] равны, чистая область со знаком равна нулю.
Нахождение чистой площади со знаком
Найти чистую площадь со знаком между кривой функции [latex]f(x)=2x[/latex] и осью [latex]x[/latex] на интервале [latex ][-3,3][/латекс].
Показать решение
Найдите чистую область со знаком [latex]f(x)=x-2[/latex] на интервале [latex][0,6][/latex], показанном на следующем рисунке.
Показать решение
Общая площадь
Одним из применений определенного интеграла является нахождение смещения при заданной функции скорости. Если [latex]v(t)[/latex] представляет скорость объекта как функцию времени, то площадь под кривой говорит нам, насколько далеко объект находится от своего исходного положения. Это очень важное применение определенного интеграла, и мы рассмотрим его более подробно далее в этой главе. А пока мы просто рассмотрим некоторые основы, чтобы понять, как это работает, изучая постоянные скорости. 92 75 dt=150[/латекс].
Рисунок 5. Площадь под кривой [latex]v(t)=75[/latex] говорит нам, насколько далеко автомобиль находится от начальной точки в данный момент времени.
В контексте смещения чистая площадь со знаком позволяет учитывать направление. Если автомобиль движется прямо на север со скоростью 60 миль в час в течение 2 часов, он находится на 120 миль к северу от своего начального положения. Если затем автомобиль развернется и поедет на юг со скоростью 40 миль в час в течение 3 часов, он вернется в исходное положение ((Рисунок)). Опять же, используя интегральное обозначение, мы имеем 95 -40 dt & =120-120 \\ & =0 \end{array}[/latex]
В этом случае смещение равно нулю.
Рис. 6. Площадь над осью и площадь под осью равны, поэтому чистая площадь со знаком равна нулю.
Предположим, мы хотим узнать, какое расстояние проезжает машина в целом, независимо от направления. В этом случае мы хотим знать площадь между кривой и осью [latex]x[/latex] независимо от того, находится ли эта область выше или ниже оси. Это называется общей площадью 95 40 dt \\ & =120+120 \\ & =240 \end{array}[/latex]
Формально объединяя эти идеи, сформулируем следующие определения.
Определение
Пусть [latex]f(x)[/latex] будет интегрируемой функцией , определенной на интервале [latex][a,b][/latex]. Пусть [latex]A_1[/latex] представляет собой область между [latex]f(x)[/latex] и осью [latex]x[/latex], лежащей на выше оси, и пусть [latex]A_2[ /latex] представляет собой область между [latex]f(x)[/latex] и осью [latex]x[/latex], которая лежит на 9б |f(x)| dx = A_1+A_2[/латекс].
Нахождение общей площади
Найти общую площадь между [латекс]f(x)=x-2[/латекс] и осью [латекс]х[/латекс] на интервале [латекс][0,6 ][/латекс].
Показать решение
Найдите общую площадь между функцией [латекс]f(x)=2x[/латекс] и осью [латекс]х[/латекс] на интервале [латекс][-3,3][/латекс] .
Показать решение
Свойства неопределенных интегралов применимы и к определенным интегралам. Определенные интегралы также обладают свойствами, относящимися к пределам интегрирования. Эти свойства вместе с правилами интегрирования, которые мы рассмотрим позже в этой главе, помогают нам манипулировать выражениями для вычисления определенных интегралов. 92 f(x) dx[/латекс].
Показать решение
Сравнительные свойства интегралов
Изображение иногда может рассказать о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое представление о процессе интегрирования. Интуитивно можно сказать, что если функция [latex]f(x)[/latex] находится выше другой функции [latex]g(x)[/latex], то площадь между [latex]f(x)[/latex] ] и ось [latex]x[/latex] больше площади между [latex]g(x)[/latex] и осью [latex]x[/latex]. Это верно в зависимости от интервала, по которому производится сравнение. Свойства определенных интегралов действительны независимо от того, [латекс]аb[/латекс]. Однако следующие свойства относятся только к случаю [латекс]а \le b[/латекс] и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов. 92}[/latex] и [latex]g(x)=\sqrt{1+x}[/latex] на интервале [latex][0,1][/latex].
Показать решение
Нам часто нужно найти среднее значение набора чисел, например, средней оценки за тест. Предположим, вы получили следующие результаты тестов на уроке алгебры: 89, 90, 56, 78, 100 и 69. Ваша оценка за семестр — это среднее значение результатов тестов, и вы хотите знать, какую оценку ожидать. Мы можем найти среднее значение, сложив все баллы и разделив их на количество баллов. В этом случае имеется шесть тестовых баллов. Таким образом,
[латекс]\frac{89+90+56+78+100+69}{6}=\frac{482}{6}\примерно 80,33[/латекс].
Таким образом, ваш средний балл за тест составляет примерно 80,33, что соответствует B− в большинстве школ.
Предположим, однако, что у нас есть функция [latex]v(t)[/latex], которая дает нам скорость объекта в любой момент времени [latex]t[/latex], и мы хотим найти среднюю скорость объекта скорость. Функция [latex]v(t)[/latex] принимает бесконечное число значений, поэтому мы не можем использовать только что описанный процесс. К счастью, мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти 9b f(x) dx[/латекс].
Нахождение среднего значения линейной функции
Найдите среднее значение [latex]f(x)=x+1[/latex] на интервале [latex][0,5][/latex].
Показать решение
Найдите среднее значение [латекс]f(x)=6-2x[/латекс] на интервале [латекс][0,3][/латекс].
Показать решение
Ключевые понятия
Определенный интеграл можно использовать для вычисления чистой площади со знаком, которая представляет собой площадь над осью [latex]x[/latex] минус площадь под осью [latex]x[/latex] . Чистая площадь со знаком может быть положительной, отрицательной или нулевой.
Составными частями определенного интеграла являются подынтегральная функция, переменная интегрирования и пределы интегрирования.
Непрерывные функции на замкнутом интервале интегрируемы. Функции, которые не являются непрерывными, могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов.
Свойства определенных интегралов можно использовать для вычисления интегралов.
Площадь под кривой многих функций можно рассчитать с помощью геометрических формул. 9*) \Delta x[/latex] over [latex][0,1][/latex]
Показать решение
В следующих упражнениях для данных [latex]L_n[/latex] или [latex]R_n[/latex] выразите их пределы как [latex]n\to \infty [/latex] в виде определенных интегралов, определяя правильные интервалы.
5. [латекс]L_n=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma}}\frac{i-1}{n}[/latex ]
6. [латекс]R_n=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma}}\frac{i}{n}[/latex]
Показать решение
7. [латекс]L_n=\frac{2}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma}}(1+2\frac{i-1}{n })[/latex]
8. 2)[/latex]
Показать решение
В следующих упражнениях оцените интегралы функций, изображенных на графике, используя формулы для площадей треугольников и кругов и вычитая площади под осью [latex]x[/latex].
11.
12.
Показать решение
13.
14.
Показать решение
15.
16.
Показать решение 93 (3-|x|) dx[/latex]
Показать решение
В следующих упражнениях используйте средние значения в левой ([latex]L[/latex]) и правой ([latex]R[/latex]) конечных точках для вычисления интегралов кусочно-линейных функций с графиками, которые проходят через заданный список точек на указанных интервалах.
25. [латекс]\{(0,0),(2,1),(4,3),(5,0),(6,0),(8,3)\}[/ латекс] поверх [латекс][0,8][/латекс]
26. [латекс]\{(0,2),(1,0),(3,5),(5,5), (6,2),(8,0)\}[/латекс] по [латексу][0,8][/латекс] 92}, \, a=0, \, b=2[/латекс]
54. [латекс]f(x)=(3-|x|), \, a=-3, \, b =3[/latex]
Показать решение
55. [латекс]f(x)= \sin x, \, a=0, \, b=2\pi [/latex]
56. [латекс]f(x)= \ cos x, \, a=0, \, b=2\pi [/latex]
Показать решение
В следующих упражнениях аппроксимируйте среднее значение, используя суммы Римана [latex]L_{100}[/latex] и [latex]R_{100}[/latex]. Как ваш ответ соотносится с точным данным ответом? 9d g(t) dt[/latex] для каждого подинтервала [latex][c,d][/latex] из [latex][a,b][/latex]. Объясните, почему [latex]f(x)\le g(x)[/latex] для всех значений [latex]x[/latex].
Показать решение
73.
No related posts.