Вычислить площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями: 11.1.9.2. Площадь криволинейной трапеции. Примеры.

Вычисление площади криволинейной трапеции — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Вычисление площади криволинейной трапеции

Применение определенного интеграла
для нахождения площади
криволинейной трапеции.
Найдите производную и одну из
первообразных функции
f'(x)
1
0
х
2Cos2x
22 ln2
х
f(x)
х
х
2х
Sin2x
F(x)
х3
12 2
х x
Соs2
2 ln22
x2
3

3.

Определенный интегралb
f x dx F x
b
a
F b F a
a
– формула Ньютона-Лейбница.
Геометрический смысл определенного интеграла
заключается в том, что определенный интеграл
равен площади криволинейной трапеции:
ограниченной кривой у = f(x),
прямыми х = а; х = b и осью Ох, у = 0 .
Криволинейная трапеция
Криволинейной трапецией называется фигура,
ограниченная графиком одной непрерывной
функцией f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком
[а;b] на оси Ох.
У
0
a
x=b
х=а
y = f(x)
b
Х
На каком рисунке изображена
криволинейная трапеция?
y
1.
2.
y
x
x
3.
y
4.
x
y
x

6. Какие из данных фигур являются криволинейными трапециями?

1
2
3
у
y
y
y = f(x)
0
a
b
х
a
0
y
b
c
4
0
b
b x
y
y = f1(x)
b
x
0
0
a
y
a
a
x
y = f2(x)
0
x
5
a
b x
6

7.

Площадь криволинейной трапецииy
D
C
b
S ABCD f x dx
a
a
b
B
x=b
x=a
0
A
F b F a
y=0
x

8. Площадь криволинейной трапеции

y
B
b
y=0
x
b
S ABCD
f x dx
D
C
x=b
a
x=a
0
A
a
F b F a
y
Площадь криволинейной
трапеции
D
0
A
a
C
S PMCD S ABCD S ABMP
B
b
b
b
x
f x dx g x dx
a
a
b
b
а
a
f ( x)dx g ( x)dx
P
M
y
Площадь криволинейной
трапеции
D
C
S PMCD S ABCD S ABMP
P
0
Aa
M
b B
b
b
a
a
f x dx g x dx
f x g x dxx
b
a

11. Пример 1:

вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = x2, y = x + 2.
y
SВОС SABCD SABOCD
C
2
2
1
1
x 2 dx x 2 dx
B
A
-1
2
2
x
x
х 2 х 2 dx 2x
3
2
1
O
D
2
2
3
2
1
8 1
1
1
2 4 2 5 4,5
3 2
3
2
x
y
Площадь криволинейной
трапеции
SАЕDВ SAEDC SСDB
D
с
b
a
с
f x dx g x dx
Е
0
Aa
с
C
b
B
x
вычислить площадь фигуры,
Пример 2:
ограниченной линиями
y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0
y
4
0
SАDВ SADС SСDB
D
A
2
4
C
8
B
x
вычислить площадь фигуры,
Пример 2:
ограниченной линиями
y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0
4
8
x — 2 dx 2
2
2
3 4
x 2
8 — хdx
3
4
4 8 x 8 x
3
2
8
4
4 2 3 2 2 3 4 8 8 8 8 4 8 4 8 4
3
3
3
3
8 х t
dx dt
1
2
2 t dt 2 t dt
3
2
t
4
2 (8 x) 3
3
3
2
8 32 40
1
13
3 3
3
3

15.

Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции y = (x-1)2, осью Ox и прямой x=2.y x 1
2
1
0
1
01
x=2
y
12
x
Найти площадь криволинейной трапеции,
изображенной на рисунке
У=х²
y
b
S
f ( x ) dx
a
3
S
х 2 dx F (3) F (1)
1
33 13
2
8 ( кв.ед)
3
3
3
1
0
1
3
x
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у
1
S ( x 2 2)dx
2
3
x
1
( 2 x) 2
3
1
8
2 ( 4)
3
3
х
-2
0
1

18. Вычисление площадей плоских фигур

Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями y=x-2 и y=x2-4x+2
y
1.
y=x2-
4x+2, xв =2, yв = -2
2. у=х-2: х=0, у=-2; х=2, у=0
3. Абсциссы точек пересечения:
x2- 4x+2=x-2
х1=1, х2=4
4
4. S= ((x 2)
( х 2 4 x 2))dx
1
4
2
3
4
5x
x
(5 x x 4)dx (
4 x) 4,5
2
3
1
1
Ответ: S=4,5
1
2
-2
4
x
Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
у
х
-2
3
у = х2 — 3
Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
у
S1
S2
х
Найти площадь криволинейной трапеции,
изображенной на рисунке
y
I
1
0
I
-1
y=sinx
2
x

English     Русский Правила

сделать чертеж и вычислить площадь криволинейной трапеции ограниченной.

.. — Учеба и наука

Ответы

13. 02.18 Ответ понравился автору вопроса

13. 02.18 Ответ понравился автору вопроса

Михаил Александров Читать ответы

Евгений Читать ответы

Андрей Андреевич Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

Решено

На полке было 12 книг. 2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решено

В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, AB = 4, tg А=0.75 . Найдите АС.

Пользуйтесь нашим приложением

Площадь криволинейной трапеции у х 2. Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу. Применение интеграла к решению прикладных задач

Применение интеграла к решению прикладных задач

Вычисление площади

Определенный интеграл от непрерывной неотрицательной функции f(x) численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(x), осью О х и прямыми х = а и х = b. Соответственно, формула площади записывается так:

Рассмотрим несколько примеров вычисления площадей плоских фигур.

Задача №1. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Решение. Построим фигуру, площадь которой нам предстоит вычислить.

у = х 2 + 1 — это парабола, ветви которой направлены вверх, причем парабола смещена вверх на одну единицу относительно оси О у (рис. 1).

Рис. 1. График функции y = x 2 + 1

Задание №2. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x 2 — 1, y = 0 в диапазоне от 0 до 1.

Раствор. График этой функции представляет собой параболу ветви, которая направлена ​​вверх, а парабола смещена на единицу вниз относительно оси O y (рис. 2).

Рисунок 2. График функции y = x 2 — 1

Задание №3. Сделать чертеж и вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y = 8 + 2x — x 2 и y = 2x — 4.

Решение. Первая из этих двух линий представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при x 2 отрицательный, а вторая линия представляет собой прямую, пересекающую обе оси координат.

Для построения параболы найдем координаты ее вершины: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисса вершины; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 – его ордината, N(1;9) – его вершина.

Теперь найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Приравнивание правых частей уравнения, у которого равны левые части.

Получаем 8+2х — х 2 = 2х — 4 или х 2 — 12 = 0, откуда .

Итак, точки — это точки пересечения параболы и прямой (рисунок 1).

Рисунок 3 Графики функций y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4

Построим прямую y = 2x – 4. Она проходит через точки (0;-4), ( 2;0) на осях координат.

Для построения параболы можно также иметь ее точки пересечения с осью 0x, то есть корни уравнения 8 + 2x — x 2 = 0 или x 2 — 2x — 8 = 0. По теореме Виета, легко найти его корни: х 1 = 2, х 2 = четыре.

На рис. 3 изображена фигура (параболический отрезок M 1 N M 2), ограниченная этими линиями.

Вторая часть задачи — найти площадь этой фигуры. Его площадь можно найти с помощью определенного интеграла по формуле .

С учетом этого условия получаем интеграл:

2 Расчет объема тела вращения

Объем тела, полученный при вращении кривой y = f(x) вокруг оси О х, вычисляется по формуле:

При вращении вокруг оси О у формула имеет вид:

Задача № 4. Определить объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = 0 х = 3 и а кривая у = вокруг оси О х.

Раствор. Построим чертеж (рис. 4).

Рис. 4. График функции y =

Искомый объем равен

Задача № 5. Вычислить объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = x 2 и прямые y = 0 и y = 4 вокруг оси O y .

Раствор. Имеем:

Контрольные вопросы

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную осью Ох, кривой у = f (х) и двумя прямыми: х = а и х = b (рис. 85). Возьмем произвольное значение x (только не a и не b). Зададим ей приращение h = dx и рассмотрим полосу, ограниченную прямыми AB и CD, осью Ox и дугой BD, принадлежащей рассматриваемой кривой. Эту полосу будем называть элементарной полосой. Площадь элементарной полосы отличается от площади прямоугольника ACQB на криволинейный треугольник BQD, а площадь последнего меньше площади прямоугольника BQDM со сторонами BQ = =h= dx) QD=Ay и площадь равна hAy = Ay dx. С уменьшением стороны h сторона Du также уменьшается и одновременно с h стремится к нулю. Следовательно, площадь БКДМ бесконечно мала второго порядка. Площадь элементарной полосы есть приращение площади, а площадь прямоугольника ACQB, равная AB-AC==/(x)dx>, есть дифференциал площади. Поэтому находим саму площадь, интегрируя ее дифференциал. В пределах рассматриваемого рисунка независимая переменная l: изменяется от а до b, поэтому искомая площадь 5 будет равна 5 = \f (x) dx. (I) Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную параболой у — 1 -х*, прямыми Х = — Fj-, х = 1 и осью О* (рис. y\ u003d sin jc, заключенный между двумя соседними точками пересечения с осью Ox (например, между началом координат и точкой с абсциссой i). Обратите внимание, что из геометрических соображений ясно, что эта площадь будет в два раза больше площади предыдущего примера. Однако проведем расчеты: i 5= | s\nxdx=[-cosx)*—cosi-(-cos0)=1+1=2. o Действительно, наше предположение оказалось справедливым. Пример 4. Вычислить площадь, ограниченную синусоидой и осью Ох на одном периоде (рис. 88). Предварительные рас-фигурные суждения предполагают, что площадь получится в четыре раза больше, чем в пр. 2. Однако проделав вычисления, получим «i G, * i S — \sin x dx = [- cos x] 0 = = — cos 2n — (-cos 0) = — 1 + 1 = 0. Этот результат требует уточнения. Для пояснения сути дела вычисляем также площадь, ограниченную той же синусоидой y = sin l: и осью Ох в пределах от l до 2n. Применяя формулу (I), получаем Таким образом, мы видим, что эта площадь оказалась отрицательной. Сравнивая его с площадью, рассчитанной в упр. x = [замена:

] =

Следовательно, несобственный интеграл сходится и его значение равно .

Глава V

Глава V

Глава В

ОПРЕДЕЛЕННО ИНТЕГРАЛ

5.1 Определенный интеграл как предел суммы

5.1.1 Интегральная сумма: Пусть функция f ( x ) быть определенным на интервале a х б, и а = х ₀ < х ₁ < < x _н .= б ан произвольное разбиение этого интервала на n подинтервалов (рис. 37). Сумма вида

где

называется интегралом сумма функции f ( х ) на ( а, б ) . Геометрически говоря, S _n является алгебраическая площадь ступенчатой ​​фигуры (рис. 37).

5.1.2 Определенный интеграл : Предел суммы S _n , при условии, что количество подразделений n стремится к бесконечность и самый большой из них, D x _и , к нулю, называется определенным интегралом функция f ( x ) в пределах от x = a от до x = b, т. е.

Если функция f ( x ) непрерывная на ( а , б ) , интегрируема на [ а , b ], т. е. предел (2) существует и не зависит от режим разбиения интервала интегрирования [ и , b ] на подинтервалы и не зависит от выбора точки x _i в этих подинтервалах. С геометрической точки зрения определенный интеграл (2) есть алгебраическая сумма площадей фигур, составляющих криволинейной трапеции aABb, , в которой площади части, расположенные над осью x , являются положительными, а те ниже оси x- отрицательны (рис. 37).

Определения интегральных сумм и определенных интегралы естественным образом обобщаются на случай отрезка [ а, b ] , где a > b.

Пример 1. Составление интегральной суммы S _n для функции

на отрезке [1, 10], разделив интервал в n равные части и выбор точек x _i которые совпадают с левыми концами подинтервалов [ x _i , х _я+1 ]. Найдите предел

Решение: У нас есть D x _i = (10 — 1)/ n = 9/ n и x _i = x _i = x ₀ + i D x _i = 1 + 9 i / n , откуда f ( x _i ) = 1 + 1 + 9 i / n = 2 + 9 i / n (Рис. 38)

Пример 2: Найти площадь ограничен дугой параболы y = x , x -ось и ординаты x= 0 , x = a ( a > 0).

Решение: Раздел основание a в n равные части D x = a / n . Выбор значения функции в начале каждого подинтервал, у нас есть

Площади прямоугольников получаются умножение каждого y _k по основанию D x = a / n (рис. 39). Суммируя, получаем площадь ступенчатой ​​фигуры

Используя формулу суммы квадратов целые числа

находим

и, переходя к пределу,

УПРАЖНЕНИЯ 1501 — 1507

Оцените следующие определенные интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм:

Советы и ответы 1501 — 1507

5. 2 Вычисление определенных интегралов с помощью Неопределенные интегралы

5.2.1 Определенный интеграл с переменной верхней лимит: . Если функция f ( t ) непрерывна на отрезке [ a , b ], то функция

— антипроизводная от . функция f ( x ), т. е.

5.2.2 Формула Ньютона-Лейбница: . Если F’ ( x ) = f ( x ) , , то

Антипроизводная F ( x ) это вычисляется путем нахождения неопределенного интеграла

Пример 1. Найти интеграл

Решение:

УПРАЖНЕНИЯ 1508 — 1545

Советы и ответы 1508 — 1545

5. 3.1 Интегралы от неограниченных функций: Если функция f ( x ) не ограничена в любом окрестность точки c интервала [ a,b ] и является непрерывным для a x < с и с < х б, то по определению пишем

Если пределы в правой части (1) существуют и конечны, говорят, что несобственный интеграл сходится , иначе это расходится. Когда c = a или c = b, определение соответственно упрощается.

Если есть непрерывная функция F ( x ) на [ a , b ] такие, что F ‘( x ) = f ( x ), когда x c ( обобщенный антипроизводная ) , затем

Если f ( x ) F ( x ) когда a x ~ J ~ b и

сходится, то интеграл (1) тоже сходится ( сравнение проверка ) .

Если f ( x ) 0 и

как х c , то а) интеграл (1) сходится для m < l, б) интеграл (1) расходится на м л.

5.3.2. Интегралы с бесконечными пределами: . Если функция f ( x ) непрерывна когда a x < , то мы предполагаем, что

и, в зависимости от наличия конечного предел или нет в правой части, соответствующий интеграл равен говорят, что сходятся или расходятся.

Аналогично,

Если f ( x ) F ( x ) и интеграл

сходится, то сходится и интеграл (3).

Если f ( x ) 0 и

как х , то а) Интеграл (3) сходится на м > 1, б) для м<л Интеграл (3) расходится на м 1.

Пример 1.

и интеграл расходится.

Пример 2.

Пример 3. Проверка сходимости вероятности встроенный

Решение: Ставим

Первый из двух интегралов справа сторона не несобственная, а вторая сходится, так как e ^-x е ^-х при х л и

откуда сходится интеграл (4).

Пример 4. Проверка сходимости интеграла

Решение: Когда x + , мы имеем

Так как интеграл

сходится, интеграл (5) аналогично сходится.

Пример 5: Тест сходимость эллиптического интеграла

Решение: Точка разрыв подынтегральной функции равен х = л . Применение Лагранжа формула , находим

где x < x ₁ < 1, откуда для х 1,

Так как интеграл

тоже самое (6).

УПРАЖНЕНИЯ 1546 — 1575

Оцените неправильные интегралы или установите их расхождение

): 1546.~. D Проверка сходимости интегралов

1574*. Докажите, что интеграл Эйлера от первый вид ( бета-функция )

сходится, когда p > 0 и q > 0.

1575*. Докажите, что интеграл Эйлера от второй вид ( гамма-функция )

сходится к р > 0.

Советы и ответы 1546 — 1575

5.4 Замена переменной в определенном интеграле

Если функция f ( x ) непрерывна более a x b и x = j ( t ) является a функция, непрерывная вместе со своей производной j ‘ ( t ) свыше а т б , где а = j ( а ) и б = й ( б ), и f [ j ( t )] определенная и непрерывная на интервале a t b , затем

Пример 1. Найти

Раствор. Ставим

Тогда t = arsin x / a и, следовательно, можно взять a = arsin 0 = 0, б = арсин л = p /2, откуда

. Упражнения 1576 — 1598

1576. Можно заменить х = cos т изготавливаться в Интеграле

Преобразование определенных интегралов с помощью указанные замены:

Найдите целочисленную линейную замену

в результате чего лимиты интегрирование будет равно 0 и 1 соответственно. Применение указанных замены, вычислить интегралы:

Оценить с помощью соответствующих замен интегралы:

Вычисление интегралов:

1595. Докажите, что если f ( x ) — четная функция, то

Но, если ф ( х ) нечетная функция, то

Советы и ответы 1576 — 1598

5,5 Интеграция с помощью Детали

Если функции u ( x ) и v ( x ) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b ] , затем

УПРАЖНЕНИЯ 1599 — 1609

Вычисление интегралов по частям:

Советы и ответы 1599 — 1609

5,6 Теорема о среднем значении

5. 6.1 Оценка интегралов: . Если ф ( х ) Ф ( х ) для a x b , затем

Если f ( x ) и j ( x ) непрерывный для a x b и, кроме того, j ( x ) 0, затем

, где m — наименьшее, а M — наименьшее. наибольшее значение функции f ( x ) в интервале [ а , б ].

В частности, если j ( x ) = l, затем

Неравенства (2) и (3) можно заменить, соответственно эквивалентными равенствами

где c и x точно числа, лежащие между a и b.

Пример 1. Оценить интеграл

Решение: Поскольку 0 sin x 1 , имеем

5. 6.2 Среднее значение функции: 90 130 Номер

называется средним значением функция f ( x ) на интервале a x b.

УПРАЖНЕНИЯ 1610 — 1622

1610*. Определите признаки следующих интегралы без их вычисления:

Советы и ответы 1510 — 1622

5.7 Площади плоских фигур

5.7.1 Площадь в прямоугольных координатах : . Если непрерывная кривая определена в прямоугольные координаты по уравнению

площадь криволинейной трапеция, ограниченная этой кривой двумя вертикальными линиями в баллы x = a и x = b и сегментом оси x а х б (рис. 40), определяется как

Пример 1. Вычислите площадь, ограниченную параболой y = x /2 , прямые линии x = 1 и x = 3 , и ось x (Рис.41).

Решение: В площадь выражается интегралом

Пример 2. Оценить площадь ограничен кривой x = 2 — y — y и осью y- (рис. 42).

Решение: Роли координатные оси здесь поменялись местами, поэтому искомая площадь выражается интегралом

где пределы интегрирования г ₁ = — 2 и y ₂ = l — ординаты точки пересечения кривой y- с осью .

В более общем случае, если область S ограничен двумя непрерывными кривыми y=f ₁ ( x , y = f ₂ ( x ) и двумя вертикальными строки x=a и x=b, где f ₁ ( x ) ф ₂ ( х ) когда а х b (рис. 43), тогда у нас будет

Пример 3. Оценка площади S содержится между кривыми

Решение: Решение уравнений (3} одновременно находим пределы интегрирования х ₁ = — 1 и х ₂ = л. По (2) получаем

Если кривая определяется уравнениями в параметрическая форма: x = j ( t ) , y = y ( t ), площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикальные линии ( x = a и x = b ) и сегмент x — ось задается интегралом

где т ₁ и t ₂ определяются из уравнений

Пример 4. Найти площади эллипса (рис. 45) с помощью его параметрического уравнения

Решение: Из-за симметрии, достаточно вычислить площадь одного квадрант, а затем умножьте результат на четыре. Если мы сначала установим х = 0 в уравнении x = a cos t и затем x = a, получаем пределы интегрирования t ₁ = р /2 и т ₂ = 0 , откуда

и, следовательно, S = p аб.

5.7.2 Район в полярных координатах: . Если кривая — это , определенная в полярных координатах как уравнение r = f ( j ), тогда площадь сектора АОБ (рис. 46), ограничен дугой кривой и двумя радиус-векторами OA и ОВ, , которые соответствуют значениям j ₁ = a и j ₂ = b, дается интегралом

Пример 5. Найти область внутри лемниската Бернулли

Раствор. В силу симметрии кривой, мы определяем первый квадрант требуемая площадь:

УПРАЖНЕНИЯ 1623 — 1664

Советы и ответы 1623 — 1664

5,8 Дуга Длина из a Кривая

5.8.1. Длина дуги в прямоугольных координатах: Длина дуги с кривой y=f ( x ), содержится между двумя точками с абсциссами x = a и x = б это

Пример 1. Найдите длину астроид x ^2/3 + у ^2/3 = а ^2/3 (рис. 49).

Решение: Отличие уравнение астроиды, получаем

откуда для длины дуги четверть астроида:

5. 8.2 Длина дуги представленной кривой параметрически: . Если кривая представлены уравнениями в параметрической форме х= j ( т ), у = y ( t ), тогда длина дуги s кривой задана к

где т ₁ и т ₂ значения параметра, соответствующие оконечности дуги.

Пример 2. Найдите длину одна дуга циклоиды (рис. 50)

Решение: У нас есть

Пределы интегрирования т ₁ = 0 и t ₂ = 2 p соответствуют крайние точки дуги циклоиды.

Если кривая определяется уравнением r = f ( j ) В полярных координатах длина дуги с

, где a и b значения полярного угла в крайних точках дуги.