Введите функцию и точку для предела, которому надо применить правило Лопиталя
Вычислим предел функции с помощью правила Лопиталя. Вы введёте функцию, для которой требуется вычислить предел и точку в которой предел должен сходиться.
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
- absolute(x)
- Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) - arccos(x)
- Функция — арккосинус от x
- arccosh(x)
- Арккосинус гиперболический от x
- arcsin(x)
- Арксинус от x
- arcsinh(x)
- Арксинус гиперболический от x
- arctg(x)
- Функция — арктангенс от x
- arctgh(x)
- Арктангенс гиперболический от x
- Функция — экспонента от x (что и e^x)
- log(x) or ln(x)
- Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) - sin(x)
- Функция — Синус от x
- cos(x)
- Функция — Косинус от x
- sinh(x)
- Функция — Синус гиперболический от x
- cosh(x)
- Функция — Косинус гиперболический от x
- sqrt(x)
- Функция — квадратный корень из x
- sqr(x) или x^2
- Функция — Квадрат x
- ctg(x)
- Функция — Котангенс от x
- arcctg(x)
- Функция — Арккотангенс от x
- arcctgh(x)
- Функция — Гиперболический арккотангенс от x
- tg(x)
- Функция — Тангенс от x
- tgh(x)
- Функция — Тангенс гиперболический от x
- cbrt(x)
- Функция — кубический корень из x
- gamma(x)
- Гамма-функция
- LambertW(x)
- Функция Ламберта
- x! или factorial(x)
- Факториал от x
- DiracDelta(x)
- Дельта-функция Дирака
- Heaviside(x)
- Функция Хевисайда
Интегральные функции:
- Si(x)
- Интегральный синус от x
- Ci(x)
- Интегральный косинус от x
- Shi(x)
- Интегральный гиперболический синус от x
- Chi(x)
- Интегральный гиперболический косинус от x
В выражениях можно применять следующие операции:
- Действительные числа
- вводить в виде 7.
3- — возведение в степень
- x + 7
- — сложение
- x — 6
- — вычитание
- 15/7
- — дробь
3- asec(x)
- Функция — арксеканс от x
- acsc(x)
- Функция — арккосеканс от x
- sec(x)
- Функция — секанс от x
- csc(x)
- Функция — косеканс от x
- floor(x)
- Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
- ceiling(x)
- Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
- sign(x)
- Функция — Знак x
- erf(x)
- Функция ошибок (или интеграл вероятности)
- laplace(x)
- Функция Лапласа
- asech(x)
- Функция — гиперболический арксеканс от
- csch(x)
- Функция — гиперболический косеканс от x
- sech(x)
- Функция — гиперболический секанс от x
- acsch(x)
- Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные:
- pi
- Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..
- e
- Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
- i
- Комплексная единица
- oo
- Символ бесконечности — знак для бесконечности
14159..Вычисление пределов по правилу Лопиталя
— Правило Лопиталя для вычисления пределов с неопределенными выражениями видаилиможно сформулировать в виде теоремы. — Теорема. Пусть однозначные функции идифференцируемы в некоторой окрестности точки, причем. Тогда, если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных этих функций, то существует равный ему предел отношения самих функций.
—
Обратите
внимание: именно существование предела
отношений производных гарантирует
существование предела отношения функций,
но не наоборот! Предел отношения функций
может существовать и при отсутствии
предела отношения производных.
Однако на практике это правило применяют в обратном порядке: предел отношения функций приравнивают пределу отношения производных.
Пример – иллюстрирует случай неприменимости правила Лопиталя.
и их производных: — не существует.
Правило Лопиталя применять нельзя.
— и
Правило Лопиталя можно применять несколько раз подряд, если неопределенность после очередного применения не раскрыта.
Неопределенные выражения вида с помощью тождественных преобразований приводят к видуи применяют правило Лопиталя.
Желательно совмещать применение правила Лопиталя с применением эквивалентных бесконечно малых величин. При этом следует строго придерживаться теоремы: заменять эквивалентными можно только в произведении (частном) !
После каждого применения правила Лопиталя следует проверять, сохранилось ли неопределенное выражение.
Если при
проверке находятся сомножители,
предел которых конечен и не равен нулю
(равен числу, отличному от нуля),их сразу
заменяют соответствующими пределами.
Если при
проверке находятся сомножители,
предел которых конечен и не равен нулю
(равен числу, отличному от нуля),их сразу
заменяют соответствующими пределами.Примеры
Вычислить пределы по правилу Лопиталя.
| Применять эквивалентные бесконечно малые величины нельзя, т.к. , а не к0. |
= | Первое применение правила Лопиталя дает конечный предел. |
| Применять эквивалентные бесконечно малые величины нельзя, выполним тождественные |
= | преобразования,
чтобы можно было применить правило
Лопиталя. |
но проверка пределов сомножителей показывает, что некоторые из них имеют конечные пределы, которыми они и заменяются. | |
Еще раз применяется правило Лопиталя. | |
Полученный в результате предел бесконечен. |
— При вычислении пределов сомножителей используются известные величины:
— Раскрытие степенных неопределенных выражений вида
.
Допустим, существует конечный или бесконечный предел степенно-показательной функции (см. раздел о логарифмическом дифференцировании, тема 5). Обозначим его
.
Прологарифмируем
данное выражение и применим правило
предельного перехода под знаком
непрерывной функции (см.
раздел о
непрерывности функции, тема 4).
Логарифмируем по основанию е. | |||
Используем свойства логарифмов (см. приложение) и правило предельного перехода. | |||
Степень числа е вычисляется как предел. | |||
, где | |||
— Часто при вычислении А применяют правило Лопиталя, поэтому полученные формулы для раскрытия степенно-показательной неопределенности иногда называют вторым правилом Лопиталя.
ПРИМЕР
Вычислить предел по
второму правилу Лопиталя.
Допустим нужный предел существует и обозначим его . | |||
Теперь вычислим показатель степени А. Преобразуем выражение под знаком предела, чтобы можно было применить правило Лопиталя. | |||
| Берем производные от числителя и знаменателя (отдельно!). | |||
Преобразуем полученное выражение и проверяем неопределенность. Она не устранена. | |||
Заменяем и снова применяем правило Лопиталя. | |||
Окончательный ответ. | |||
Еще примеры вычисления пределов по правилу Лопиталя приведены в разделе «Примеры выполнения обязательных заданий по теме 5».
57
-}, \lim_{x\to \infty}, {\small\textrm{и}} \lim_{x\to -\infty}$ в общем случае через $\lim$ в дальнейшем.Правило Лопиталя для $\displaystyle\frac{0}{0}$
- Если $\displaystyle \lim\, \frac{f'(x)}{g'(x)}=L$, то $\displaystyle \lim\, \frac{f(x)}{g( х)}=\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}=L$.
- Если $\displaystyle \lim\, \frac{f'(x)}{g'(x)}$ стремится к $+\infty$ или $-\infty$ в пределе, то и $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$. 9х}{2x}=\текст{не существует}.$
- Если $\displaystyle \lim\, \frac{f'(x)}{g'(x)}=L$, то $\displaystyle \lim\, \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}=L$.
- Если $\displaystyle \lim\, \frac{f'(x)}{g'(x)}$ стремится к $+\infty$
или $-\infty$ в пределе, то и $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}$ тоже.
9х=1.\]
Обратите внимание, что правило Лопиталя применимо только к неопределенным формам. Для ограничения в первом примере этого руководства L’Hôpital’s Правило не применяется и даст неправильный результат 6. Правило Лопиталя мощное и удивительно простое в использовании. вычислить неопределенные формы типа $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$.
Ключевые понятия
Правило Лопиталя для $\frac{0}{0}$
Предположим, что $\lim f(x) = \lim g(x) = 0$. Затем
- Если $\displaystyle\lim \frac{f'(x)}{g'(x)} = L,$, то $\displaystyle\lim
\frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle\lim \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$.
- Если $\displaystyle\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ стремится к $+\infty$ или $-\infty$ в пределе, то и $\frac{f(x)}{g(x)}$ тоже.
Правило Лопиталя для $\frac{\infty}{\infty}$
Предположим, что $\lim f(x)$ и $\lim g(x)$ оба бесконечны. Затем- Если $\displaystyle\lim \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$, то $\displaystyle\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle\lim \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$.
- Если $\displaystyle\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ стремится к $+\infty$ или $-\infty$ в пределе, то и $\frac{f(x)}{g(x)}$ тоже.
[Я готов пройти тест.] [Мне нужно просмотреть больше.]
Как и когда использовать правило Лопиталя — Криста Кинг Математика
Используйте правило Лопиталя для фиксации пределов неопределенных форм
Правило Лопиталя используется для выхода из затруднительных ситуаций с неопределенными предельными формами, такими как ???\pm\infty/\pm\infty??? или ???0/0??? или ???0\cdot\pm\infty???.
Если вы подставите число, к которому вы приближаетесь, к функции, для которой вы пытаетесь найти предел, и ваш результат является одной из неопределенных форм, указанных выше, вам следует попробовать применить правило Лопиталя.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать больше.
Чтобы использовать его, возьмите производные от числителя и знаменателя и замените исходный числитель и знаменатель их производными. Затем введите номер, к которому вы приближаетесь. Если вы по-прежнему получите неопределённую форму, продолжайте использовать правило Лопиталя, пока не сможете использовать подстановку, чтобы получить более красивый ответ.
Когда и как применять правило Лопиталя для оценки предела
Пройти курс
Хотите узнать больше об исчислении 1? У меня есть пошаговый курс для этого.
- Если $\displaystyle\lim \frac{f'(x)}{g'(x)} = L,$, то $\displaystyle\lim
\frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle\lim \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$.
Если числитель и знаменатель стремятся к $\infty$ или $-\infty$, правило Лопиталя остается в силе.
Правило Лопиталя для $\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$
Предположим, что $\lim f(x)$ и $\lim g(x)$ бесконечны.
Затем
