Сумма ряда онлайн с подробным решением. §4. Приближенное вычисление суммы числового ряда
Сумма ряда
сайт позволяет найти сумму ряда онлайн числовой последовательности. Помимо нахождения суммы ряда онлайн числовой последовательности, сервер в режиме онлайн найдет частичную сумму ряда . Это полезно для аналитических выкладок, когда сумму ряда онлайн необходимо представить и найти как решение предела последовательности частичных сумм ряда . По сравнению с другими сайтами, сайт обладает неоспоримым преимуществом, так как позволяет найти сумму ряда онлайн не только числового, но и функционального ряда , что позволит определить область сходимости исходного ряда , применяя наиболее известные методы. Согласно теории рядов , необходимым условием сходимости числовой последовательности является равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности.
Однако, это условие не является достаточным для определения сходимости числового ряда онлайн .. Для определения
Если разложить функцию в ряд онлайн не представляет на этих серверах особого труда, то вычислить сумму функционального ряда онлайн , каждым членом которого, в отличие от числового ряда , является не число, а функция, представляется практически невозможным в силу отсутствия необходимых технических ресурсов. Для www.сайт такой проблемы не существует.Для того, чтобы вычислить сумму ряда , нужно просто сложить элементы ряда, заданное количество раз. Например:
В приведённом выше примере это удалось сделать очень просто, поскольку суммировать пришлось конечное число раз. Но что делать, если верхний предел суммирования бесконечность? Например, если нам нужно найти сумму вот такого ряда:
По аналогии с предыдущим примером, мы можем расписать эту сумму вот так:
Но что делать дальше?! На этом этапе необходимо ввести понятие частичной суммы ряда . Итак, частичной суммой ряда (обозначается S n
) называется сумма первых n
слагаемых ряда.
Тогда сумму исходного ряда можно вычислить как предел частичной суммы:
Таким образом, для вычисления суммы ряда , необходимо каким-либо способом найти выражение для частичной суммы ряда (S n ). В нашем конкретном случае ряд представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3. Как известно сумма первых n элементов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
здесь b 1 — первый элемент геометрической прогрессии (в нашем случае это 1) и q — это знаменатель прогрессии (в нашем случае 1/3). Следовательно частичная сумма S n для нашего ряда равна:
Тогда сумма нашего ряда (S ) согласно определению, данному выше, равна:
Рассмотренные выше примеры являются достаточно простыми. Обычно вычислить сумму ряда гораздо сложнее и наибольшая трудность заключается именно в нахождении частичной суммы ряда. Представленный ниже
онлайн калькулятор, созданный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислять сумму довольно сложных рядов.
Для нахождения суммы Вашего ряда, необходимо указать переменную ряда, нижний и верхний пределы суммирования, а также выражение для n -ого слагаемого ряда (т.е. собственно выражение для самого ряда).
Числовой ряд.
Среди числ. рядов выделяют знакопостоянные, знакочередующиеся, знакопеременные.
Частичной суммой ряда соответсв. номеру n наз. сумма n первых его слагаемых.
Частичная сумма.
Ряд a n наз. сходящимся, если последовательность частичных сумм для этого ряда имеет предел, т.е. если сущ-т число . Это число наз.суммой ряда.
38. Признаки сходимости ряда
членами ряда.Числовой ряд часто записывают в виде. Теорема (необходимый признак сходимости ряда): если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.
Следствие. Если n-й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.
Признак Даламбера — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.
Если для числового
ряда
существует
такое числоq, что
0 Определение. Частной
суммой числового ряда называется
сумма.
Числовой ряд называется сходящимся ,
если существует предел,
при этом S называется
суммой ряда. Теорема .
Числовой ряд сходится тогда и
только тогда, когда для любого существует
такое,
что для всехm,n
>39. Теоремы о сходимости числовых рядов.
Заметим, что
.
После этого утверждение превращается
в критерий
Коши сходимости последовательности
.
Теорема .
Если ряд сходится, то.
Доказательство .
Из свойств пределов следует, что . Отсюда следует, что.
40. Эталонные ряды для установления сходимости
Геометрический ряд
Обобщеный гармонический ряд
В частности, при к=1 получаем гармонический ряд
Эталонные ряды, т.е. разложения элементарных функций, можно использовать для получения рядов тех же функций, но сложного аргумента.
41. Функциональные ряды, степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена
Пусть
функции Un(x),n∈N,
определены в области D. Выражение U 1 (x )
+ U 2 (x )
+… + U n (x )+…= U n (x ),
где х ∈ D , наз. функциональным
рядом. Каждому значению x 0 ∈D
соответствует числовой ряд Если для x 0 ∈ D числовой ряд U n (x 0 ) сходится, то говорят, чтo
функциональный ряд сходится в точке x 0 ,
и точку x 0 наз. точкой
сходимости .Если
функциональный ряд сходится в каждой
точке x ∈ E ⊂ D ,
то этот ряд наз. сходящимся
на множестве Е ,
а множество Е наз. областью сходимости ряда. Если
множество Е пусто, то ряд расходится в каждой точке
множества D .
Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений переменной х, при которых соответствующий числовой ряд сходится. Ряд вида а 0 + а 1 х + а 2 х 2 + … а n х n + … = называетсястепенным рядом, а – некот. числа, х – переменная.
Коэффициентами степенного ряда называются числа а 0 , а 1 , … , а n .
Формулой Тейлора для функции f(x) в окрестности точки х называется многочлен Р n (х) = f(х 0) +Остаточным членом формулы Тейлора называется последнее слагаемое в формуле Тейлора
R n (x)= =f(x) – P n (x)
Т. о., многочлен
Тейлора Р n (х)
служит приближением функции f(х).
Оценкой этого приближения служит
остаточный член формулы Тейлора R n (х).
Формулой Маклорена для функции f(х) называется ее формула Тейлора при х 0 = 0: f(x)= f(0) +
где с – некоторая точка из интервала (0, х).
С помощью данного онлайн калькулятора можно находить суммы рядов, определять их сходимость, абсолютную и условную. Ряд — это последовательность чисел (либо функций — для функциональных рядов), которые связаны между собой определенным законом. Сумма членов ряда это и есть сумма ряда. Для доказательства того, что такая сумма существует (то есть она не равна бесконечности) можно использовать принципы сходимости числовых рядов — принцип Коши, принцип Доламбера и т.д. После доказательства того, что ряд сходится вычислить сумму числового ряда уже необходимо индивидуально. Для геометрической прогрессии, например, сумма вычисляется по формуле:
Найти сумму ряда онлайн
На нашем сайте вы можете вычислить сумму ряда онлайн . Всегда быстро, надежно, бесплатно. Удобный интерфейс для ввода рядов, задание начального и конечного значения элементов. Возможность находить сумму функционального ряда, использование буквенных констант. На практике студенты имеют дело с числовыми рядами довольно часто. Они широко используются в приближенных вычислениях (вычисление интегралов не имеющих аналитического решения, выполнение математических действий, решение дифференциальных уравнений и т.д.). А про функциональные ряды наподобие ряда Тейлора или ряда Фурье и говорить не приходится. С помощью нашего калькулятора определить сумму ряда теперь не проблема.
Поскольку точное значение суммы ряда удается вычислить далеко не всегда (такие задачи были нами рассмотрены), возникает проблема приближенного вычисления суммы ряда с заданной точностью.
Напомним, что -ый остаток рядаполучается из исходного рядаотбрасыванием первыхслагаемых:
Тогда, поскольку для сходящегося ряда
,
остаток сходящегося ряда равен разности между суммой ряда и -ой частичной суммой:
,
и для достаточно больших имеем приближенное равенство
.
Из определения остатка ряда следует, что абсолютная погрешность при замене точного неизвестного значения суммы его частичной суммойравна модулю остатка ряда:
.
Таким образом, если требуется вычислить сумму ряда с заданной точностью , то нужно оставить сумму такого числаслагаемых, чтобы для отброшенного остатка ряда выполнялось неравенство:
.
Метод приближенного вычисления суммы выбирается в зависимости от вида ряда:
если ряд положительный и может быть исследован на сходимость по интегральному признаку (удовлетворяет условиям соответствующей теоремы), то для оценки суммы используем формулу
;
если это ряд Лейбница, то применяем оценку:
.
В других задачах можно использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Задача №1. Сколько нужно взять
слагаемых ряда
,
чтобы получить его сумму с точностью
0,01.
Решение. Прежде всего отметим, что данный ряд сходится. Рассмотрим-ый остаток ряда, который и является погрешностью вычислений суммы ряда:
Оценим этот ряд с помощью бесконечно
убывающей геометрической прогрессии. Для этого заменим в каждом слагаемом
множитель
на,
при этом каждое слагаемое увеличится:
После вынесения общего множителя за скобку, в скобке остался ряд, составленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумму которого мы и вычислили по формуле
.
Заданная точность будет достигнута, если будет удовлетворять условию
.
Решим неравенство, учитывая, что — целое.
При
имеем
.
При
имеем
.
В силу монотонности функции
,
неравенство
будет выполняться для всех
.
Следовательно, если вместо точного значения суммы мы возьмем первые пять (или более) слагаемых, то погрешность вычислений не превысит 0,01.
Ответ:
.
Задача №2. Оценить ошибку, получаемую
при замене суммы ряда
суммой
первых 100 слагаемых.
Решение. Заметим, что данный ряд
является сходящимся и знакопеременным.
Оценивать будем ряд
,
состоящий из модулей исходного ряда,
что сразу увеличивает погрешность
вычислений. Кроме того, нам придется
перейти (используя признак сравнения)
к большему, более простому сходящемуся
ряду:
.
Рассмотрим ряд . Поскольку этот ряд удовлетворяет условиям теоремы – интегрального признака сходимости, то для оценки погрешности вычисления суммы используем соответствующую формулу:
.
Вычислим несобственный интеграл:
погрешность вычислений можно оценить по формуле
,
по условию
,
тогда.
Ответ:
.
Задача №3. Оценить ошибку,
получаемую при замене суммы ряда
суммой
первых 10 слагаемых.
Решение. Подчеркнем еще раз, что задача о приближенном вычислении суммы имеет смысл только для сходящегося ряда, поэтому, прежде всего отметим, что данный ряд сходится. Поскольку исследуемый ряд является знакопеременным со сложным правилом изменения знака, то оценивать придется, как и в предыдущем примере, ряд из модулей данного ряда:
.
Используя тот факт, что
при любом значении аргумента, имеем:
.
Оценим остаток ряда:
.
Мы получили ряд, составленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой
,
его сумма равна:
,
.
Ответ:
.
Задача №4. Вычислить сумму ряда
с
точностью 0,01.
Решение. Данный ряд является рядом Лейбница. Для оценки погрешности верна формула:
,
другими словами, погрешность вычислений меньше модуля первого отброшенного слагаемого. Подберем номер так, чтобы
.
При
имеем
.
При
имеем
.
Погрешность
,
если в качестве значения суммы возьмем
сумму первых четырех слагаемых:
Ответ:
.
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Переписав числитель в виде $\sin x-x-\ln\cos x$, обратите внимание, что $\sin x-x$ — нечетная функция; поскольку знаменатель четный, отношение обращается в нуль при $x=0$, и эти члены можно игнорировать. {-1}=\frac12.$$ 92} =\frac{1}{2} .$
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.Что такое лимитный ордер в торговле и как он работает?
Что такое лимитный ордер?
Лимитный ордер на финансовых рынках — это указание на покупку или продажу акций или других ценных бумаг по указанной цене или выше. Это положение позволяет трейдерам лучше контролировать цены, по которым они торгуют. Лимит может быть установлен как на покупку, так и на продажу:
- Лимитный ордер на покупку будет исполнен только по лимитной цене или по более низкой цене.
- Лимитный ордер на продажу будет исполнен только по лимитной цене или выше.
Цена гарантирована, а исполнение заказа — нет. Лимитные ордера будут исполнены только в том случае, если цена соответствует требованиям ордера.
Альтернативой лимитному ордеру является рыночный ордер, который требует исполнения сделки по преобладающей рыночной цене без указания какого-либо ценового предела.
Основные выводы
- Лимитный ордер гарантирует, что ордер будет исполнен на уровне определенной цены или выше.
- Однако выполнение лимитного ордера не гарантируется.
- Лимитные ордера контролируют цену исполнения, но могут привести к упущенным возможностям в быстро меняющихся рыночных условиях.
- Лимитные ордера можно использовать вместе со стоп-ордерами для предотвращения больших убытков.
- Лимитный ордер обычно действителен либо в течение определенного количества дней (т.е. 30 дней), пока ордер не будет выполнен, либо пока трейдер не отменит ордер.
Как работают лимитные ордера?
Как работают лимитные ордера
Лимитный ордер — это использование заранее определенной цены для покупки или продажи ценной бумаги. Например, если трейдер хочет купить акции XYZ, но имеет лимит в 14,50 долларов, он купит акции только по цене 14,50 долларов или ниже. Если трейдер хочет продать акции XYZ с лимитом в 14,50 долларов, он не будет продавать акции до тех пор, пока цена не достигнет 14,50 долларов или выше.
При использовании лимитного ордера на покупку инвестор гарантированно заплатит цену лимитного ордера на покупку или более высокую цену, но не гарантируется, что ордер будет исполнен. Лимитный ордер дает трейдеру больший контроль над ценой исполнения ценной бумаги, особенно если он опасается использовать рыночный ордер в периоды повышенной волатильности.
Существуют различные ситуации, когда можно использовать лимитный ордер, например, когда акции растут или падают очень быстро, и трейдер боится плохого исполнения рыночного ордера. Кроме того, лимитный ордер может быть полезен, если трейдер не следит за акцией и имеет в виду конкретную цену, по которой он был бы счастлив купить или продать эту ценную бумагу. Лимитные ордера также можно оставить открытыми с датой истечения.
Пример лимитного ордера
Управляющий портфелем хочет купить акции Tesla Inc (TSLA), но считает, что их текущая оценка примерно в 750 долларов за акцию слишком высока, и хотел бы купить акции, если они упадут до определенной цены. Премьер-министр поручает своим трейдерам купить 10 000 акций Tesla, если цена упадет ниже 650 долларов, пока они не будут отменены. Затем трейдер размещает заказ на покупку 10 000 акций с лимитом в 650 долларов. Если акции упадут ниже этой цены, трейдер может начать покупать акции. Ордер будет оставаться открытым до тех пор, пока запас не достигнет лимита PM или PM не отменит заказ.
Кроме того, премьер-министр хотел бы продать акции Amazon.com Inc. (AMZN), но считает, что их текущая цена в размере примерно 2300 долларов слишком низкая. Премьер-министр поручает своему трейдеру продать 5000 акций, если цена поднимется выше 2750 долларов, до отмены. Затем трейдер размещает ордер на продажу 5000 акций с лимитом в 2750 долларов.
Брокерские фирмы могут не разрешать лимитные ордера, если они нелогичны (например, если лимит на покупку установлен выше цены, Брокерские фирмы также могут предлагать эту услугу инвесторам бесплатно.
Лимитные ордера и рыночные ордера
Когда инвестор размещает ордер на покупку или продажу акций, есть два основных варианта исполнения с точки зрения цены: разместить ордер «по рынку» или «по лимиту». Рыночные ордера — это сделки, предназначенные для максимально быстрого исполнения по текущей или рыночной цене. И наоборот, лимитный ордер устанавливает максимальную или минимальную цену, по которой вы готовы купить или продать.
Покупку акций можно рассматривать по аналогии с покупкой автомобиля. С автомобилем вы можете заплатить цену, указанную дилером, и получить автомобиль, или вы можете договориться о цене и отказаться от завершения сделки, если дилер не удовлетворит вашу цену. Можно представить, что фондовый рынок работает аналогичным образом.
Рыночный ордер имеет дело с исполнением ордера; цена ценной бумаги вторична по отношению к скорости совершения сделки. Лимитные ордера имеют дело в первую очередь с ценой; если стоимость ценной бумаги в данный момент находится за пределами параметров, установленных в лимитном ордере, транзакция не происходит.
Что такое лимитный ордер?
Лимитный ордер — это указание брокеру купить или продать ценную бумагу по определенной цене или выше. Это способ для трейдеров совершать сделки по желаемым ценам без необходимости постоянно следить за рынками. Это также способ хеджировать риски и обеспечить минимизацию убытков за счет фиксирования цен продажи на определенных уровнях.
Как работает лимитный ордер?
У вашего брокера размещен лимитный ордер. В этом лимитном ордере указывается ценная бумага, количество, цена и находится ли вы в позиции на покупку или продажу. Ордер не срабатывает до тех пор, пока не будет достигнута конкретная желаемая рыночная цена. Даже в этом случае исполнение лимитного ордера не гарантируется, особенно на рынках с высокой волатильностью или в отношении ценных бумаг с высокой волатильностью и низкой ликвидностью.
В чем разница между лимитным ордером и стоп-лимитным ордером?
Лимитный ордер — это ордер на покупку или продажу ценных бумаг при достижении определенной цены. Стоп-лимитный ордер создает один дополнительный слой, который требует соблюдения определенной цены, отличной от цены продажи. Например, лимитный ордер на продажу вашей ценной бумаги за 15 долларов, скорее всего, будет исполнен, когда рыночная цена достигнет 15 долларов. В качестве альтернативы можно разместить стоп-лимитный ордер на продажу вашей ценной бумаги за 15 долларов только в том случае, если цена акции упала с 20 до 16 долларов.
Как долго действует лимитный ордер?
Срок лимитного ордера будет зависеть от вашей спецификации и политики вашего брокера. Многие брокеры по умолчанию устанавливают лимитные ордера на дневные сделки; любые неисполненные ордера при закрытии рынка отменяются без исполнения. Другие брокеры могут предлагать определенное количество дней, часто с интервалом в 30 дней (т.е. 30 дней, 60 дней или 90 дней). Наконец, некоторые брокеры предлагают лимитные ордера, которые считаются действительными, пока не будут исполнены; лимитный ордер будет оставаться в силе до тех пор, пока он не будет заполнен или преднамеренно отменен трейдером.
Почему мой лимитный ордер не был исполнен?
Лимитный ордер может не исполниться по нескольким причинам. Во-первых, ваш лимитный ордер сработает только тогда, когда рыночная цена будет соответствовать желаемой сумме контракта.